第2章 1 认识一元二次方程（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 √知识梳理 一元二次方程的 只含有 个未知数x的 方程，并且可以化成ax2十bx十c=0(a,b,c 概念 为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程 我们把ax2+十bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其 一元二次方程的 中ax2,bx,c分别称为二次项、一次项和 ,a,b分别称为 一般形式 和 √针对训练 1.下列关于x的方程中，是一元二次方程5.若关于x的方程(k-1)x2+2x一3=0是 的是 ( 元二次方程，则k的值可以是 .(写 A.x2-2=0 B.y2+x=1 出一个即可) C.2x+1=0 D.2x2-1=3 6.根据题意，列出一元二次方程： x (1)已知两个数的和等于5，乘积等于6， 2.将一元二次方程x(x一1)=2化成一般 求出这两个数； 形式为 (2)已知一个长方体铁盒的容积为750cm3, A.x2-x=2 高为6cm,底面的长比宽多5cm,求 B.x2-x-2=0 这个长方体铁盒底面的长和宽. C.x2-x+2=0 D.x2+x+2=0 3.已知一个直角三角形的三边长为连续的 偶数，且其最短边长为x,则可列方程为 ( A.x+x+2=x十4 B.x2+(x-2)2=(x-4)2 C.x2+(x十2)2=(x+4)2 D.x2+2x2=(x+4)2 4.若关于x的一元二次方程9x2=11x一1 化成一般形式后，二次项系数为9，则其 一次项系数为 ·8 第2课时 一元二次方程的解及其估算 √知识梳理 ·元二次方程的解 使一元二次方程左右两边 的未知数的值叫作一元二次方程的解（根） 求ax2十bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0)的近似解的一般步骤： 一元二次方程的解 (1)列出x的几组值，并计算对应的ax2十bx十c的值； 的估算 (2)找出使得ax2+bx十c=0的x的范围； (3)在上一步的基础上继续缩小范围，直至近似解符合精确度要求 针对训练 1.下列各数是一元二次方程x2十2x=8的 同样大小的正方形，可制成一个底面积 根的是 ( 是12cm的无盖长方体纸盒.小明在做 A.-2 B.5 这道题时，设剪去的正方形边长为xcm, C.-4 D.4 列出方程(8一2x)(6一2x)=12,整理， 2.根据下面的表格，确定方程x2一8x十 得x2-7x十9=0. 7.5=0的一个獬的范围是 ( 他想知道剪去的边长到底是多少，下面 1.0 1.1 1.2 1.3 是他的探索过程， x2-8x+7.50.5 0.09 -0.66 -1.21 第一步： A.1.0x<1.1 B.1.1<x<1.2 0 1 C.1.2<x<1.3 D.x<1.0 x2-7x+9 17 9 3.若关于x的方程x2一3x十k=0的一个 <x< 根是x=2,则常数k的值是 第二步： A.1 B.2 1.5 1.6 1.7 1.8 C.-1 D.-2 x2-7x+9 0.75 4.根据下面的表格，确定方程x2一bx一5=0 -0.36 的负数解的取值范围是 <x< -3-2- (1)请你帮助小明完成表格中未完成的 4 x2-bx-5135 3 部分，并写出x的范围； 5.若t是方程x2十3x一1=0的一个根，则 (2)通过以上探索，估计x的值是多少， 代数式2+6t的值是 (精确到0.1) 6.如图，这是一张长8cm、 宽6cm的矩形纸板，将 纸板四个角各剪去一个 9课堂训练 第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 知识梳理 有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等，并且有一个角是直角两四 针对训练 1.D2.A3.C4.矩形5.75 6.解：，四边形ABCD是矩形，∴.CD=AB=8,BC=AD=15.,∠ABC=90°，∴.AC= √AB+BC=17.:0是AC的中点，M是AD的中点.∴0C=2AC=8.5,DM= 之AD=7.5,OM是△ACD的中位线.0M=合CD=.:四边形0MDC的周长为 OM+DM+CD+OC=4+7.5+8+8.5=28. 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 知识梳理 相等垂直 针对训练 1.C2.B3.B4.C5.35 6.解：(1)5030(2)四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,BD=2OB.在Rt△AOB 中，AB=50,OA=30,∴.OB=√AB2-OA2=40.∴.BD=2OB=80. 第2课时菱形的判定 知识梳理 相等相等垂直 针对训练 1.D2.C3.OA=OC(答案不唯一)4.四边相等的四边形是菱形 5.证明：，AE⊥BC,CF⊥AB,∴.SOABCD=BC·AE=AB·CF.AE=CF,∴.BC= AB.,.□ABCD是菱形 6.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC..∠ADB=∠CBD.BD平 分∠ABC,∠ABD=∠CBD.∠ABD=∠ADB..AB=AD.□ABCD是菱形. (2)口ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,BO=DO.,EC=BC,.OC是△BDE的中位线. ∴.OC∥DE..DE⊥BD.∴∠BDE=90. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 知识梳理 直角相等一半 针对训练 1.C2.C3.D4.A5.56.35° 7.证明：.四边形ABCD是矩形，.AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.，PB=PC, ∴.∠PBC=∠PCB.∴.∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB,即∠ABP=∠DCP. ∴.△ABP≌△DCP(SAS).∴.PA=PD. 第2课时矩形的判定 知识梳理 平行四边形直角相等 针对训练 1.D2.C3.C4.有三个角是直角的四边形是矩形5.90° 6.(1)证明：，AB=CD,AD=BC,∴.四边形ABCD是平行四边形..AC=2OA,BD= 2OD.,OA=OD,∴AC=BD.∴.四边形ABCD是矩形.(2)解：由(1)可知四边形 ABCD是矩形，.∠BAD=90°.，OA=OD,∠AOD=60°，.△AOD是等边三角形 ∴.OD=AD=5.∴.BD=2OD=10.∴.AB=√BD2-AD=5W3. —43 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 知识梳理 直角相等相等垂直平分 针对训练 1.B2.B3.B4.D5.(-2,2)6.2 7.证明：：四边形ABCD是正方形，∴.AD=DC,∠ADC=90°.∠ADE+∠CDF= 90°.AE⊥DP,CF⊥DP,.∠AED=∠DFC=90°..∠CDF+∠DCF=90°. ∠AED=∠DFC, ∴.∠ADE-∠DCF.在△ADE和△DCF中，∠ADE=∠DCF,∴.△ADE≌△DCF(AAS) AD-DC, 第2课时正方形的判定 知识梳理 邻边直角矩形垂直直角菱形 针对训练 1.D2.D3.正方形4.∠ABC=90(答案不唯一) 5.(1)证明：连接AC,交BD于点O.,四边形ABCD为菱形，∴AO=CO,BO=DO,AC ⊥BD.BE=DF,BO+BE=DO+DF,即EO=FO..四边形AECF是菱形.∴AE =AF...∠AFE=∠AEF=45°..∠EAF=180°-∠AFE-∠AEF=90°..四边形 AECF为正方形.(2)解：20 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 知识梳理 一整式常数项二次项系数一次项系数 针对训练 1.A2.B3.C4.-115.-1(答案不唯一，k≠1即可) 6.解：(1)设其中一个数为x.根据题意，可列方程为x(5一x)=6.(2)设长方体铁盒底 面的宽为xcm.根据题意，可列方程为6x(x十5)=750. 第2课时一元二次方程的解及其估算 知识梳理 相等 针对训练 1.C2.A3.B4.-2<x<-15.2 6.解：(1)3-1120.36-0.011.61.7(2)x的值约为1.7. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 知识梳理 完全平方式一半 针对训练 1.A2.A3.m≤14.534 5.解：(1)移项，得5x2=80.两边都除以5，得x2=16.两边开平方，得x=士4..x1=4, x2=一4.(2)两边都除以2，得(x一1)2=9.两边开平方，得x一1=士3..x1=4,x2= -2.(3)配方，得x2+6x十32=6+32，即(x+3)2=15.两边开平方，得x+3=士√15. ∴x1=-3十√15，x2=-3-√15.(4)移项，得x2-3x=一2.配方，得x2-3x十 (号)》”=-2+（号）广，即(x一号）广=子两边开平方，得x一多=土分=26=1 第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程 知识梳理 一半 44 针对训练 1.D2.B3.x2-4x-2=02222262+√62-√6 4.解：1)两边都除以2，得x+受=子配方，得2+受+（什）°=合+（分），即 (红+号)°-6两边开平方，得x+子=士是.函=号函=-1.(2)两边都除以3， 得x-2x+号=0.移项，得2-2x=-子配方，得2-2x+1=-号+1，即(x 1少-导两边开平方，得一1=士9=1+号=1-怎（3)丙边都除以，得 2-号-是=0，移项得2-号x=是配方，得-是+(）°=是+()月， 即（一）广=器两边开平方，得x一是=士=3+，=3二区 4 4 (④)整理，得2：十7x=7.两边都乘2，得2十14x=14.配方，得x+14x+7-14+ 72,即(x+7)2=63.两边开平方，得x十7=士3√7..x1=一7+3V7,x2=-7-3V7. 第3课时用公式法求解一元二次方程 知识梳理 不相等相等一品设有 针对训练 1.B2.B3.B4.5二35-3255.8 2 2 6.解：(1)将原方程化为一般形式，得x2一3x十3=0.这里a=1,b=一3，c=3.,b2- 4ac=(-3)2-4X1×3=-3<0.原方程没有实数根.(2)这里a=2,b=-√2，c= 1.0-4ac=(-②2-4X合×1=0，x--《②±0-，即西=4=E. 2x 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 知识梳理 00 针对训练 1.C2.C3.B4.0或2 5.解：1)原方程可变形为x(5x+3)-0.x-0,或5x十3-0.=0，=-号 (2)原方程可变形为x(x一2)一3(x一2)=0.'.(x一2)(x一3)=0.∴.x一2=0，或x一3 =0..x1=2,x2=3.(3)原方程可变形为(x-1)2-2(x-1)=0..(x-1)(x-1-2) =0,即(x-1)(x-3)=0.x-1=0,或x-3=0.∴.x1=1,x2=3.(4)原方程可变形 为3(x-5)2-(x十5)(x-5)=0..(x-5)(3.x-15-x-5)=0,即(x-5)(2x-20)= 0..x-5=0,或2x-20=0.∴x1=5,x2=10. 3一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 -台 针对训练 1.D2.D3.A4.12 5.解：(1)将原方程化为一般形式，得x2-√2x-3=0.这里a=1,b=一√2，c=-3.4 =b-4ac=(-√2)2-4×1×(-3)=14>0，.方程有两个实数根.∴.x1十x2=√2， x1x2=一3.(2)将原方程化为一般形式，得x2-x-5=0.这里a=1,b=一1，c=-5. △=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-5)=21>0,.方程有两个实数根.∴.x+x2=1, x2=-5. 6.解：(1)：方程x2-3x+2m=0有两个不相等的实数根，△=（-3)2-4×2m>0, 45