专题特训 与正方形有关的三种常考模型（PDF部分书稿）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1.B2.A3.A4.B5.36.2 。1 7.证明：：四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠A=∠CBE=90°.∠ABF十 ∠CBG=90°.又：BF⊥CE,∠BGC=90°..∠BCE+∠CBG=90°..∠BCE= (∠BCE=∠ABF, ∠ABF.在△BCE和△ABF中，BC=AB, .△BCE≌△ABF(ASA).∴.CE=BF. C∠CBE=∠A, 8.解：(1)：四边形ABCD是正方形，.AB=BC=CD,∠ABC=∠BCD=90 ÷∠DBC=∠BCA=45:BP=BC,∠BCP=∠BPC=X(180-∠DBC)= 67.5°.∴∠ACP=∠BCP-∠BCA=22.5°.(2)：BC=CD=5,.BD=√BC+CD =5√2.∴.DP=BD-BP=5W2-5. 9.c10.D11.号 12.(1)证明：，四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，AD=CD,∠ADC=90°， CG=FG,∠G=90°.∴.∠ACD=∠GCF=45°..∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°.H 是AF的中点，CH=合AR,(2)解：四边形ABCD和四边形CEPG是正方形， ∴.AB=BC=1,EF=CE=3,∠B=∠E=90..AC=√AB+BC=√2，CF= VEF+CE=3V2.∠ACF=90,∴AF=VAC+CF=2V5.∴CH=2AF=5. 13.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.BC=CD,∠BCD=90°.∠DBC=∠BCA =∠ACD=45.:CE平分∠ACD,∠ACE=∠DCE=∠ACD=2.5.∠BCE =∠BCA+∠ACE=67.5..∠BEC=180°-∠BCE-∠DBC=67.5°.∴∠BCE= ∠BEC.∴.BE=BC.∴.△BEC是等腰三角形.(2)解：：四边形ABCD是正方形，∴.BC =CD=AB=1,∠BCD=90°，∠ABD=∠CDB=45°..BD=√BC+CD=√2.，EF ⊥EC,.∠CEF=90°.∴∠BEF=∠CEF-∠BEC=22.5°.∴∠DCE=∠BEF.,BE =BC,∴，BE=CD..△CDE≌△EBF(ASA)..BF=DE=BD-BE=√2-1.∴AF= AB-BF=2-√2. 第2课时正方形的判定 1.A2.AC⊥BD(答案不唯一)3.邻边相等的矩形是正方形 4.证明：四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.,BE=DF,.OB一 BE=OD-DF,即OE=OF..四边形AECF是菱形.OE=OA,.EF=AC.∴.四边 形AECF是正方形. 5.解：答案不唯一，如：(1)AB=AD(2),四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC, OB=OD.:∠OBC=∠OCB,.OB=OC..AC=BD.∴.四边形ABCD是矩形.AB =AD,.四边形ABCD是正方形. 6.(1)证明：，DE∥AB,DF∥AC,.四边形AFDE是平行四边形.，∠BAC=90°， .四边形AFDE是矩形..AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD.DF∥AC, ∠FDA=∠CAD..∠FDA=∠BAD.AF=DF.四边形AFDE是正方形. (2)解：，四边形AFDE是正方形，∴∠AFD=90°.AF2十DF=AD2.,AF=DF, AD=2V2,∴2DF2=(2√2)2..S四边形AFDE=DF=4. 7.C8.42 9.证明：：四边形ABCD是矩形，.∠BAD=∠CDA=90°.AE平分∠BAD,DE平 分∠ADC,∴∠EAD-合∠BAD=45,∠EDA-号∠ADC=45.∠EAD- ∠EDA.AE=DE.四边形AEDF是平行四边形，.四边形AEDF是菱形. :∠EAD+∠EDA=90°，∠AED=180°-90°=90°.∴.四边形AEDF是正方形. 10.(1)证明：四边形ABCD为正方形，.∠BAE=∠DAE=45°，AB=AD.在△ABE —4 (AB-AD 和△ADE中，∠BAE=∠DAE,∴.△ABE≌△ADE(SAS)..BE=DE.(2)①证明： AE-AE, 过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N.易得四边形EMCN是矩形.∴.∠MEN =90°.，四边形ABCD为正方形，∴.CE平分∠BCD.∴.EM=EN.,EF⊥DE, ∴∠DEF=90°=∠MEN..∠DEF-∠FEN=∠MEN-∠FEN,即∠DEN= I∠DNE=∠FME, ∠FEM.在△DEN和△FEM中，EN=EM, ∴.△DEN≌△FEM(ASA). ∠DEN=∠FEM, DE=FE.,四边形DEFG是矩形，.矩形DEFG是正方形.②解：3√5 专题特训中点四边形问题【回归教材·通性通法】 1.(1)证明：连接BD.,E,H分别是AB,DA的中点，EH是△ABD的中位线. ∴EH=2BD,EH∥BD.同理，FG=2BD,FG∥BD.EH=FG,EH∥FG.∴四边 形EFGH是平行四边形.(2)正方形(3)106(4)AC=BD(5)证明：连接AC, BD交于点O.,E,F分别为AB,BC的中点，EF是△ABC的中位线..EF∥AC, EF=2AC.同理，得HG∥AC,HG=号AC.∴EF∥HG,EF=HG.四边形EFGH 是平行四边形.AB=AD,BC=CD,.AC是线段BD的垂直平分线.∴.AC⊥BD. ,E,H分别为AB,AD的中点，EH是△ABD的中位线.∴.EH∥BD.EF∥AC, .EF⊥EH,即∠HEF=90°..四边形EFGH是矩形. 【变式题C【拓展练】岛 大单元整合练特殊四边形中的折叠问题【回归教材·落实课标】 相等相等全等 1.D2.75°3.4 4.(1)证明：.四边形ABCD是矩形，.AB=CD,∠B=∠D=90°.由折叠的性质，得 ∠F=∠D=∠B=90°，CF=CD=AB.,'∠AEB=∠CEF,.△ABE≌△CFE(AAS. (2)证明：，△ABE≌△CFE,∴.AE=CE.∴.△AEC是等腰三角形.(3)解：设CE=AE =x.:四边形ABCD是矩形，BC=AD=8.∴.BE=8-x.在Rt△ABE中，BE2十 AB2=AE2,.(8-x)2十42=x2,解得x=5..AE=5. 5.(1)证明：由折叠的性质知∠EAB=∠PAB,∠FAD=∠PAD,∴.2（∠PAB+ ∠PAD)=180°，即∠BAD=∠PAB+∠PAD=90°.同理可得∠ADC=∠ABC=90°. .四边形ABCD是矩形.(2)解：连接AC.由折叠的性质知AE=AP=AF,∴.AF= 合ER.同理可得CG=号GH,:四边形EFGH是菱形，EF=GH,EF/GH,:AF CG,AF∥CG..四边形ACGF是平行四边形..FG=AC.四边形ABCD是矩形， .BC=AD=√6，∠ABC=90°.∴.AC=√AB2+BC=3..FG=3,即菱形纸片EFGH 的边长为3. 专题特训与正方形有关的三种常考模型 1.解：两条路等长，它们的位置关系是互相垂直，理由如下：：四边形ABCD是正方形， .BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.AE=DF,.△BAE≌△ADF(SAS).∴.BE=AF, ∠ABE=∠DAF.:'∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，∴.∠BAO+∠ABE=90°.∴.∠AOB= 180°-（∠BAO+∠ABE)=90°..AF⊥BE.∴.AF与BE等长，且互相垂直. 【变式题1】4【变式题23√2 2.(1)证明：在AB上截取AM=CE,连接ME.,四边形ABCD是正方形，，AB=BC, ∠ABC=∠BCD=90°.∴∠BAE+∠AEB=90°.：'AM=CE,∴.AB-AM=BC-CE, 即BM=BE..△BEM是等腰直角三角形..∠BME=45°..∠AME=180°- ∠BME=135°.EF⊥AE,.∠AEF=90°..∠AEB+∠CEF=90°..∠BAE= ∠CEF..∠DCG=180°-∠BCD=90°，CF平分∠DCG,∴.∠DCF=∠GCF=45° ∴.∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°.∴.∠AME=∠ECF=135°..△AME≌△ECF (ASA).∴.AE=EF.(2)解：仍然成立，理由如下：延长BA至点H,使AH=CE,连接 HE.,四边形ABCD是正方形，.∠B=90°，AB=BC,AD∥BC..BH=BE,∠HAD 5 =90°，∠DAE=∠AEB.∴.△BEH是等腰直角三角形.∴.∠H=45.,CF平分 ∠DCE,∠ECF=∠DCE=45.∠H=∠BCF=45.∠AEF=90,∠HAD +∠DAE=∠AEF+∠AEB.∴∠HAE=∠CEF..△AEH≌△EFC(ASA).∴AE=EF. 3.解：(1)四边形ABCD为正方形，.∠B=∠ADF=90°，AB=AD..∠ADG=90° =∠B.,DG=BE,∴.△ADG≌△ABE(SAS)..∠DAG=∠BAE,AE=AG ∴.∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-∠EAF=45°，即∠EAF= ∠FAG.,AF=AF,∴.△AFG≌△AFE(SAS)..EF=FG..EF=DF+DG=DF+ BE,即EF=BE+DF.(2)DF=EF+BE.证明如下：在CD上截取GD=BE.同(I)可 证△AEB≌△AGD,∴.EB=DG,AE=AG,∠EAB=∠GAD.又：∠BAG+∠GAD= 90°，·∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG=90°.∴.∠FAG=∠EAG ∠EAF=45°.∴∠EAF=∠GAF.AF=AF,∴△EAF≌△GAF(SAS).∴.EF=FG. ∴.DF=FG+DG=EF+BE. 专题特训特殊平行四边形中的定值、最值问题【通性通法·热点】 1.5【变式题】号 【变式题2】解：I):四边形ABCD是菱形，A0=C0=号AC,ACLBD,B0=子BD =8.在R△AB0中，A0=VAB-B0=6,AC=2A0=12.∴S装em=合AC· BD=96.(2)GE十GF的值不发生变化.理由如下：连接AG.由题意，得S△ABD= SAm=SA+Se,即号×96=合×10GE+分X10GR,GE+GF=9.6 1 .GE+GF的值不发生变化. 2.B 3.(1)证明：四边形ABCD是菱形，AD∥BC,∠BAC=号∠BAD=60.∠B 180°-∠BAD=60°.∴△ABC为等边三角形..AB=BC=AC.△AEF为等边三角 形，∴.AE=AF,∠EAF=60°.∴.∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE= ∠CAF.∴△BAE≌△CAF(SAS).BE=CF.(2)解：四边形AECF的面积不发生变 化.：△BAE2△CAF,∴，.S△ABE=S△ACP..S网边形ABCF=S△ABC十S△ACF=S△AEC十S△ABE =SCc.:△ABC为等边三角形，AB=4,易得S6c=号×4×2万=4瓦， .S四边形ABCF=S△ABc=4V3. 4.255.8 6.5【变式题3√37.3√3【变式题V38.√2【延伸问】1 9.解：取BC的中点E,连接OD,OE,DE.OD≤OE十DE,当O,D,E三点共线时， 点D到点O的距离最大.此时，OD=OE+DE.,∠MON=90°，E是BC的中点，BC= 24,OE=CE=合BC=12.:四边形ABCD是矩形，∠ECD=902.DE= √CD+CE=13.∴.OD的最大值为OE+DE=25. 问题解决活动作内嵌于正方形的正八边形 【观察判断】①③【回顾反思】48 【解决问题】解：菱形ABCD的内接矩形EFGH的三种草图如图所示. A(E D(H) B(F) CG 【拓展探究】解：(1)(2)如图所示 图① 图② 6专题特训 与正方形有关的三种常考模型 类型①十字模型 【变式题1】如图，在正方形ABCD中，点E, 模型总结：连接正方形的两组对边（或其延长线）上 H,F,G分别在边BC,DC,AD,AB上，EF, 任意两点，得到的两条线段（如：图①中的AE与 GH交于点O,∠FOH=90°，EF=4,则GH BF,图②中的AE与GF,图③中的EF与HG)满 的长为 足：若垂直，则相等；若相等，则垂直， F FD HD B B G 图① (变式题1图) (变式题2图) 图② 图③ 【变式题2】如图，已知正方形ABCD的边长为 1.【一题多变】在综合实践活动中，同学们将对 学校的一块正方形花园ABCD进行测量规 8,点E,F,G分别在DC,AD,BC上，DE=BG= 划使用.如图，点E,F处是它的两个门，且 2,AE=GF,AE与GF相交于点H,I为GE的 AE=DF,要修建两条直路AF,BE,AF与 中点，连接HI,则HI的长为 BE相交于点O(两个门E,F的大小忽略不 类型2 一线三等角模型 计).请问这两条路是否等长？它们有什么 位置关系？请说明理由， 在正方形ABCD中，E是射线BC上一点 条件 D AE⊥EF,∠BCF=135 图形 在AB上截取AM= 延长BA到，点M,使得 辅助线 CE,连接ME AM=CE,连接ME 结论 △AME≌△ECF,AE=EF,CF=√2BE 2.新趋势类比探究如图，四边形ABCD是正 方形，点E在直线BC上（不与点B,C重 合)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角 ∠DCG的平分线于点F. BE CEG 图① 图② 17 数学九年级上册北师大版 (1)如图①，当点E在线段BC上时，求证：3.如图①，点E,F分别在正方形ABCD的边 AE=EF; BC,CD上，∠EAF=45°，连接EF,试猜想 (2)如图②，当点E在BC的延长线上时，判断 EF,BE,DF之间的数量关系， (1)中的结论是否仍然成立，并说明理由. (1)在CD的延长线取一点G,使DG=BE, 连接AG,请根据以上思路推导出EF, BE,DF之间的数量关系 (2)如图②，点E,F分别在正方形ABCD的 边CB,DC的延长线上，∠EAF=45°.连 接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量 关系，并给出证明， D 图① 图② 类型3半角模型 模型呈现 辅助线 结论 在EB的 △ABG≌△ADF, 延长线上 ∠BAG=∠DAF 取一点G， △AEG≌△AEF 在正方形ABCD中 举 BG= EF=EG=BE十 点E,F分别在边BC, DF,连接 DE CD上，∠EAF=45° AG 第一章特殊平行四边形 18