第一章 4 第2课时 正方形的判定（PDF部分书稿）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

第2课时 ④分点训练 。夯实基础 知识点①正方形的判定 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O.只需添加一个条件，即可证明菱形 ABCD是正方形，这个条件可以是( A.∠ABC=90° B.AB=BC C.AC⊥BD D.AB=CD 2.如图，O是矩形ABCD对角线的交点，添加 一个条件： ,使矩形ABCD成为 正方形.（填一个即可） (第2题图) (第3题图) 3.新趋势动手操作如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕 为BE.若沿EF剪下，则折叠部分ABFE是 一个正方形，其数学原理是 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,点E,F在对角线BD上，且BE= DF,OE=OA.求证：四边形AECF是正方形. 13 数学九年级上册北师大版 正方形的判定 5.新趋势半开放性题)如图，已知口ABCD的对 角线AC,BD相交于点O,∠OBC=∠OCB. (1)如果 ,那么四边形ABCD为正 方形；（写出一个能使结论成立的条件） (2)根据题目中的条件和你添加的条件进行 证明. 知识点2正方形的性质与判定的综合 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC的 平分线交BC于点D,DE∥AB交AC于点 E,DF∥AC交AB于点F. (1)求证：四边形AFDE为正方形； (2)若AD=2√2，求四边形AFDE的面积. B综合运用 ⊙提升能力 7.如图，□ABCD的对角线AC,BD交于点O, 分别以点B,C为圆心，2AC,2BD长为半 径画弧，两弧交于点P,连接BP,CP.请说明 当□ABCD的对角线满足什么条件时，四边 形BPCO是正方形， 嘉嘉说：添加AC⊥BD; 淇淇说：添加AC=BD; 请判断以下结论，正确的是 A.嘉嘉说得对 B.淇淇说得对 C.两人合在一起才对D.无法判断 火P (第7题图) (第8题图) 8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB= BC,∠A=90°，点E在CD边上，F是AD边 的中点，且AB∥CF,FE⊥CD于点E,FE 与BC的延长线交于点G,连接BF.若BF 4,则BG的长是 9.如图，在矩形ABCD中，∠BAD和∠ADC 的平分线交于BC边上一点E,F为矩形外 一点，四边形AEDF是平行四边形.求证：四 边形AEDF是正方形. C创新拓展 0发展素养 10.如图①，四边形ABCD为正方形，E为对角 线AC上一点，连接DE,BE. (1)求证：BE=DE. (2)如图②，过点E作EF⊥DE,交边BC 于点F,以DE,EF为邻边作矩形 DEFG,连接CG. ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG=3√2， 则正方形DEFG的边长为 图① 图② 提示 请完成儿何专练（一） 第一章特殊平行四边形144正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1.B2.A3.A4.B5.36.2 。1 7.证明：：四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠A=∠CBE=90°.∠ABF十 ∠CBG=90°.又：BF⊥CE,∠BGC=90°..∠BCE+∠CBG=90°..∠BCE= (∠BCE=∠ABF, ∠ABF.在△BCE和△ABF中，BC=AB, .△BCE≌△ABF(ASA).∴.CE=BF. C∠CBE=∠A, 8.解：(1)：四边形ABCD是正方形，.AB=BC=CD,∠ABC=∠BCD=90 ÷∠DBC=∠BCA=45:BP=BC,∠BCP=∠BPC=X(180-∠DBC)= 67.5°.∴∠ACP=∠BCP-∠BCA=22.5°.(2)：BC=CD=5,.BD=√BC+CD =5√2.∴.DP=BD-BP=5W2-5. 9.c10.D11.号 12.(1)证明：，四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，AD=CD,∠ADC=90°， CG=FG,∠G=90°.∴.∠ACD=∠GCF=45°..∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°.H 是AF的中点，CH=合AR,(2)解：四边形ABCD和四边形CEPG是正方形， ∴.AB=BC=1,EF=CE=3,∠B=∠E=90..AC=√AB+BC=√2，CF= VEF+CE=3V2.∠ACF=90,∴AF=VAC+CF=2V5.∴CH=2AF=5. 13.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.BC=CD,∠BCD=90°.∠DBC=∠BCA =∠ACD=45.:CE平分∠ACD,∠ACE=∠DCE=∠ACD=2.5.∠BCE =∠BCA+∠ACE=67.5..∠BEC=180°-∠BCE-∠DBC=67.5°.∴∠BCE= ∠BEC.∴.BE=BC.∴.△BEC是等腰三角形.(2)解：：四边形ABCD是正方形，∴.BC =CD=AB=1,∠BCD=90°，∠ABD=∠CDB=45°..BD=√BC+CD=√2.，EF ⊥EC,.∠CEF=90°.∴∠BEF=∠CEF-∠BEC=22.5°.∴∠DCE=∠BEF.,BE =BC,∴，BE=CD..△CDE≌△EBF(ASA)..BF=DE=BD-BE=√2-1.∴AF= AB-BF=2-√2. 第2课时正方形的判定 1.A2.AC⊥BD(答案不唯一)3.邻边相等的矩形是正方形 4.证明：四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.,BE=DF,.OB一 BE=OD-DF,即OE=OF..四边形AECF是菱形.OE=OA,.EF=AC.∴.四边 形AECF是正方形. 5.解：答案不唯一，如：(1)AB=AD(2),四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC, OB=OD.:∠OBC=∠OCB,.OB=OC..AC=BD.∴.四边形ABCD是矩形.AB =AD,.四边形ABCD是正方形. 6.(1)证明：，DE∥AB,DF∥AC,.四边形AFDE是平行四边形.，∠BAC=90°， .四边形AFDE是矩形..AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD.DF∥AC, ∠FDA=∠CAD..∠FDA=∠BAD.AF=DF.四边形AFDE是正方形. (2)解：，四边形AFDE是正方形，∴∠AFD=90°.AF2十DF=AD2.,AF=DF, AD=2V2,∴2DF2=(2√2)2..S四边形AFDE=DF=4. 7.C8.42 9.证明：：四边形ABCD是矩形，.∠BAD=∠CDA=90°.AE平分∠BAD,DE平 分∠ADC,∴∠EAD-合∠BAD=45,∠EDA-号∠ADC=45.∠EAD- ∠EDA.AE=DE.四边形AEDF是平行四边形，.四边形AEDF是菱形. :∠EAD+∠EDA=90°，∠AED=180°-90°=90°.∴.四边形AEDF是正方形. 10.(1)证明：四边形ABCD为正方形，.∠BAE=∠DAE=45°，AB=AD.在△ABE —4 (AB-AD 和△ADE中，∠BAE=∠DAE,∴.△ABE≌△ADE(SAS)..BE=DE.(2)①证明： AE-AE, 过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N.易得四边形EMCN是矩形.∴.∠MEN =90°.，四边形ABCD为正方形，∴.CE平分∠BCD.∴.EM=EN.,EF⊥DE, ∴∠DEF=90°=∠MEN..∠DEF-∠FEN=∠MEN-∠FEN,即∠DEN= I∠DNE=∠FME, ∠FEM.在△DEN和△FEM中，EN=EM, ∴.△DEN≌△FEM(ASA). ∠DEN=∠FEM, DE=FE.,四边形DEFG是矩形，.矩形DEFG是正方形.②解：3√5 专题特训中点四边形问题【回归教材·通性通法】 1.(1)证明：连接BD.,E,H分别是AB,DA的中点，EH是△ABD的中位线. ∴EH=2BD,EH∥BD.同理，FG=2BD,FG∥BD.EH=FG,EH∥FG.∴四边 形EFGH是平行四边形.(2)正方形(3)106(4)AC=BD(5)证明：连接AC, BD交于点O.,E,F分别为AB,BC的中点，EF是△ABC的中位线..EF∥AC, EF=2AC.同理，得HG∥AC,HG=号AC.∴EF∥HG,EF=HG.四边形EFGH 是平行四边形.AB=AD,BC=CD,.AC是线段BD的垂直平分线.∴.AC⊥BD. ,E,H分别为AB,AD的中点，EH是△ABD的中位线.∴.EH∥BD.EF∥AC, .EF⊥EH,即∠HEF=90°..四边形EFGH是矩形. 【变式题C【拓展练】岛 大单元整合练特殊四边形中的折叠问题【回归教材·落实课标】 相等相等全等 1.D2.75°3.4 4.(1)证明：.四边形ABCD是矩形，.AB=CD,∠B=∠D=90°.由折叠的性质，得 ∠F=∠D=∠B=90°，CF=CD=AB.,'∠AEB=∠CEF,.△ABE≌△CFE(AAS. (2)证明：，△ABE≌△CFE,∴.AE=CE.∴.△AEC是等腰三角形.(3)解：设CE=AE =x.:四边形ABCD是矩形，BC=AD=8.∴.BE=8-x.在Rt△ABE中，BE2十 AB2=AE2,.(8-x)2十42=x2,解得x=5..AE=5. 5.(1)证明：由折叠的性质知∠EAB=∠PAB,∠FAD=∠PAD,∴.2（∠PAB+ ∠PAD)=180°，即∠BAD=∠PAB+∠PAD=90°.同理可得∠ADC=∠ABC=90°. .四边形ABCD是矩形.(2)解：连接AC.由折叠的性质知AE=AP=AF,∴.AF= 合ER.同理可得CG=号GH,:四边形EFGH是菱形，EF=GH,EF/GH,:AF CG,AF∥CG..四边形ACGF是平行四边形..FG=AC.四边形ABCD是矩形， .BC=AD=√6，∠ABC=90°.∴.AC=√AB2+BC=3..FG=3,即菱形纸片EFGH 的边长为3. 专题特训与正方形有关的三种常考模型 1.解：两条路等长，它们的位置关系是互相垂直，理由如下：：四边形ABCD是正方形， .BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.AE=DF,.△BAE≌△ADF(SAS).∴.BE=AF, ∠ABE=∠DAF.:'∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，∴.∠BAO+∠ABE=90°.∴.∠AOB= 180°-（∠BAO+∠ABE)=90°..AF⊥BE.∴.AF与BE等长，且互相垂直. 【变式题1】4【变式题23√2 2.(1)证明：在AB上截取AM=CE,连接ME.,四边形ABCD是正方形，，AB=BC, ∠ABC=∠BCD=90°.∴∠BAE+∠AEB=90°.：'AM=CE,∴.AB-AM=BC-CE, 即BM=BE..△BEM是等腰直角三角形..∠BME=45°..∠AME=180°- ∠BME=135°.EF⊥AE,.∠AEF=90°..∠AEB+∠CEF=90°..∠BAE= ∠CEF..∠DCG=180°-∠BCD=90°，CF平分∠DCG,∴.∠DCF=∠GCF=45° ∴.∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°.∴.∠AME=∠ECF=135°..△AME≌△ECF (ASA).∴.AE=EF.(2)解：仍然成立，理由如下：延长BA至点H,使AH=CE,连接 HE.,四边形ABCD是正方形，.∠B=90°，AB=BC,AD∥BC..BH=BE,∠HAD 5 =90°，∠DAE=∠AEB.∴.△BEH是等腰直角三角形.∴.∠H=45.,CF平分 ∠DCE,∠ECF=∠DCE=45.∠H=∠BCF=45.∠AEF=90,∠HAD +∠DAE=∠AEF+∠AEB.∴∠HAE=∠CEF..△AEH≌△EFC(ASA).∴AE=EF. 3.解：(1)四边形ABCD为正方形，.∠B=∠ADF=90°，AB=AD..∠ADG=90° =∠B.,DG=BE,∴.△ADG≌△ABE(SAS)..∠DAG=∠BAE,AE=AG ∴.∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-∠EAF=45°，即∠EAF= ∠FAG.,AF=AF,∴.△AFG≌△AFE(SAS)..EF=FG..EF=DF+DG=DF+ BE,即EF=BE+DF.(2)DF=EF+BE.证明如下：在CD上截取GD=BE.同(I)可 证△AEB≌△AGD,∴.EB=DG,AE=AG,∠EAB=∠GAD.又：∠BAG+∠GAD= 90°，·∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG=90°.∴.∠FAG=∠EAG ∠EAF=45°.∴∠EAF=∠GAF.AF=AF,∴△EAF≌△GAF(SAS).∴.EF=FG. ∴.DF=FG+DG=EF+BE. 专题特训特殊平行四边形中的定值、最值问题【通性通法·热点】 1.5【变式题】号 【变式题2】解：I):四边形ABCD是菱形，A0=C0=号AC,ACLBD,B0=子BD =8.在R△AB0中，A0=VAB-B0=6,AC=2A0=12.∴S装em=合AC· BD=96.(2)GE十GF的值不发生变化.理由如下：连接AG.由题意，得S△ABD= SAm=SA+Se,即号×96=合×10GE+分X10GR,GE+GF=9.6 1 .GE+GF的值不发生变化. 2.B 3.(1)证明：四边形ABCD是菱形，AD∥BC,∠BAC=号∠BAD=60.∠B 180°-∠BAD=60°.∴△ABC为等边三角形..AB=BC=AC.△AEF为等边三角 形，∴.AE=AF,∠EAF=60°.∴.∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE= ∠CAF.∴△BAE≌△CAF(SAS).BE=CF.(2)解：四边形AECF的面积不发生变 化.：△BAE2△CAF,∴，.S△ABE=S△ACP..S网边形ABCF=S△ABC十S△ACF=S△AEC十S△ABE =SCc.:△ABC为等边三角形，AB=4,易得S6c=号×4×2万=4瓦， .S四边形ABCF=S△ABc=4V3. 4.255.8 6.5【变式题3√37.3√3【变式题V38.√2【延伸问】1 9.解：取BC的中点E,连接OD,OE,DE.OD≤OE十DE,当O,D,E三点共线时， 点D到点O的距离最大.此时，OD=OE+DE.,∠MON=90°，E是BC的中点，BC= 24,OE=CE=合BC=12.:四边形ABCD是矩形，∠ECD=902.DE= √CD+CE=13.∴.OD的最大值为OE+DE=25. 问题解决活动作内嵌于正方形的正八边形 【观察判断】①③【回顾反思】48 【解决问题】解：菱形ABCD的内接矩形EFGH的三种草图如图所示. A(E D(H) B(F) CG 【拓展探究】解：(1)(2)如图所示 图① 图② 6