专题 1.4 正方形的性质与判定 专项练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定，通过六类题型系统覆盖性质应用、判定证明及计算，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质证明|3题|结合图形重叠面积、教材结论应用考查性质|从正方形边、角、对角线性质出发，构建证明与计算逻辑| |判定定理理解|3题|以命题辨析、折叠操作、矩形证正方形为主|衔接矩形、菱形判定，明确正方形判定的双重条件| |添条件判正方形|3题|针对菱形、平行四边形添加判定条件|体现从一般四边形到特殊正方形的条件递进| |证明四边形是正方形|3题|结合菱形、等边三角形等背景综合证明|强化判定定理的综合应用，构建完整推理链条| |求角度|3题|涉及对角线、折叠、动点等情境下的角度计算|运用性质转化角度关系，培养空间观念| |求线段长|3题|通过翻折、动点、几何综合问题求长度|融合性质与勾股定理，提升运算能力与应用意识|

专题1.4 正方形的性质与判定 题型一 根据正方形的性质证明 1．如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】如图：连接ABCD的对角线，根据题意可以推出△COF≌△DOE，所以重合部分的面积为△OCD的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD， ∴∠DOC＝∠EOF＝90°， ∴∠DOE＝∠COF， 在△COF和△DOE中， ， ∴△COF≌△DOE（ASA）， ∴S△COF＝S△DOE， ∴四边形OECF的面积＝S△OCD＝S正方形ABCD＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质．解题关键在于找到全等三角形进行代换． 2．将边长为2的正方形和短边长为1的矩形按如图所示的方式摆放，则重合部分的面积是_______． 【答案】 【分析】连接正方形对角线，由边长为2得，点到对角线的距离．根据矩形的性质和判定得，则．再进行计算即可得，最后即可计算重合的面积． 【详解】解：如图，连接，交于点G，交于点H， 四边形是正方形， ，，， ∴， ∴， ∴ 解得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形中，．    (1)求证：． (2)【结论应用】如图②，设，相交于点G，若，图中阴影部分的面积和与正方形的面积之比为，则的面积为______，的长为______．    【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据证即可得证； （2）设三角形的面积为，根据题意列出方程求解即可得出的面积，设，，根据数量关系推出的值，即可得出的长． 【详解】（1）证明：设、交于点，   ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由（1）知，， 四边形的面积的面积的面积的面积， 即四边形的面积的面积， 设的面积为， 则阴影部分的面积为：， 即， 解得， 设，， ， ，， ， 即， ． 题型二 正方形的判定定理理解 4．下列命题中，正确的是（    ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C．两组邻角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，错误； D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理，熟记定理是解题的关键． 5．如图，把一张长方形纸片对折两次，然后在两次折痕交汇处剪下一个角，把剪下的这个角展开，若得到一个正方形，则剪口与折痕所成的角α的度数为____________． 【答案】45° 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的判定进行分析即可． 【详解】解：把一张长方形纸片对折两次，然后在两次折痕交汇处剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的角平分线， ∴当剪口线与折痕成45度角的时候，菱形就变成了正方形， 故答案为：45°． 【点睛】本题主要考查了通过折叠变换，正方形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 6．如图，在矩形中，连接，点是的中点，点是的中点，连接并延长交于点，，求证：四边形是正方形．    【答案】见解析 【分析】利用矩形的性质可证得，进而可知，，则，由题意可知，则，进而可知四边形是长方形，再结合，进而可证得四边形是正方形． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 题型三 添一个条件使四边形是正方形 7．如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形．据此解答即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足条件． 故选：C． 8．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，AB＝AD，添加一个条件：__，可使它成为正方形． 【答案】∠BAD=90° 【分析】根据正方形的判定即可得结论． 【详解】解：因为四边形是平行四边形，， 所以平行四边形是菱形， 如果， 那么菱形是正方形． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 9．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，，点G为的中点，连接的延长线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请增加一个条件，使得四边形为正方形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、正方形的判定方法． （1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质解决问题即可； （2）证明四边形是平行四边形，进而证得，根据正方形的判定即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：当时，四边形是正方形． 证明：由（1）知，， 又， ， 四边形是平行四边形， 由（1）知，， ， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形． 故答案为：． 题型四 证明四边形是正方形 10．如图，四边形是菱形，要使四边形是正方形．则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的判定定理，在菱形的基础上，只要添加条件或者即可证明四边形为正方形，逐一判断即可． 【详解】解：选项A：，该条件无法推出它是正方形，不符合题意； 选项B：，不能直接让菱形成为正方形，不符合题意； 选项C：四边形是菱形，添加条件后，直接符合正方形的判定要求，因此选项C正确； 选项D：和四边形成为正方形没有必然关系，不符合题意． 11．如图，在等边三角形中，点在边上，点、在边上，点在边上，下面四个结论中， ①存在无数个三角形是等腰直角三角形． ②存在无数个四边形是正方形． ③存在无数个三角形是等边三角形． ④存在无数个三角形是等腰直角三角形． 正确的是_____．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】结合图形、等腰三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，画出图形即可课解决问题． 【详解】解：由题意得，点、、、不是固定点，可理解为动点， 结论①中，只要且，可证三角形是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个， 结论①正确； 结论②中，满足、且，可证四边形是正方形，这样的正方形只有一个， 结论②错误； 结论③中，满足，可证三角形是等边三角形，这样的三角形可以有无数个， 结论③正确； 结论④中，当，时，三角形是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个， 结论④正确； 综上，结论正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识回答问题． 12．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，点F在的延长线上，且． (1)四边形是平行四边形吗？说明理由； (2)当的大小满足什么条件时，四边形为菱形？请说明你的结论； (3)四边形有可能是正方形吗？为什么？ 【答案】(1)四边形是平行四边形；理由见解析 (2)当时，四边形为菱形；说明见解析 (3)四边形不可能是正方形，理由见解析 【分析】本题主要考查平行四边形，菱形，正方形的判定和性质，掌握以上判定方法是关键． （1）根据垂直平分线的性质，中位线的判定和性质得到，，，，平行四边形的判定方法即可求解； （2）根据题意当时得到，由（1）知，根据菱形的判定方法求解即可； （3）根据正方形的判定方法求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下， 垂直平分， 为的中点，， 又， ， 为中点， 是的中位线． ，， ， 中，是斜边的中线， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形为菱形，理由如下， 理由：，， ， 由（1）知， ， 又四边形为平行四边形， 四边形为菱形； （3）解：四边形不可能是正方形， ， ， 即，不能为直角， 所以四边形不可能是正方形． 题型五 根据正方形的性质与判定求角度 13．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解． 【详解】解：分别取的中点为，连接， 分别是的中点， ， 又， ， 四边形是正方形， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形． 14．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 15．在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作于，根据正方形的性质及垂直的定义，证得四边形为矩形，进而求得，即可解答． （2）连接、，过作于，证明，、、三点共线，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图，过作于， ∵四边形为正方形， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接、，过作于， ∵， ∴， ∴， 又∵为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 又∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得， 由（1）知， ∴， ∴，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型六 根据正方形的性质与判定求线段长 16．如图，在中，，，点D为上一点，，点P为平分线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，过点P作于点E，于点F，由角平分线的性质得到，则可证明四边形CEPF是正方形，设，则，，由勾股定理结合可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解；如图所示，过点P作于点E，于点F， 平分，，， ∴， 又∵ ∴四边形CEPF是矩形， 矩形CEPF是正方形， 设，，则， ， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∴， 解得 ， 故选：C． 17．如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求的长． 【详解】解：①如图，若， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵将沿着翻折， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ②如图，若， ∵将沿着翻折， ∴，，， ∵， ∴点，点，点三点共线， ∵， ∴． ③若， ∵， ∴点不可能落在直线上， ∴不存在， 综上所述：或． 18．如图1，在矩形中，点是边的中点，，连接，过点作，并与矩形的外角的平分线交于点． (1)求的值（用含的代数式表示）； (2)连接交于点，连接，若，求的值． (3)如图2，当与题（2）取相同值时，为边上一点，连接，当，时，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图所示，在上取，根据矩形，可证，根据相似三角形的性质即可求解； （2）设，则，，证明，可得，再证明，可得，证明，可得，从而可得答案； （3）过点P作交于点Q，过点Q作分别交、于点M、N，则，，设，则， 证明，可得，设，证明，可得，，,结合，可得，证明四边形是正方形，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：如图所示，在上取， ∵四边形是矩形， ∴，且， ∴，则， ∵是的角平分线， ∴，则， ∴， ∵， ∴在中，，且， ∴， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）设，则，， 在和中 ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ （3）过点P作交于点Q，过点Q作分别交、于点M、N，则，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，，, ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形，全等三角形，正方形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 正方形的性质与判定 题型一 根据正方形的性质证明 1．如图，两个正方形的边长都为2．其中一个正方形的一顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积是（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．无法确定 2．将边长为2的正方形和短边长为1的矩形按如图所示的方式摆放，则重合部分的面积是_______． 3．【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形中，．    (1)求证：． (2)【结论应用】如图②，设，相交于点G，若，图中阴影部分的面积和与正方形的面积之比为，则的面积为______，的长为______．    题型二 正方形的判定定理理解 4．下列命题中，正确的是（    ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C．两组邻角相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 5．如图，把一张长方形纸片对折两次，然后在两次折痕交汇处剪下一个角，把剪下的这个角展开，若得到一个正方形，则剪口与折痕所成的角α的度数为____________． 6．如图，在矩形中，连接，点是的中点，点是的中点，连接并延长交于点，，求证：四边形是正方形．    题型三 添一个条件使四边形是正方形 7．如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，AB＝AD，添加一个条件：__，可使它成为正方形． 9．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，，点G为的中点，连接的延长线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请增加一个条件，使得四边形为正方形．（不需要说明理由） 题型四 证明四边形是正方形 10．如图，四边形是菱形，要使四边形是正方形．则（     ） A． B． C． D． 11．如图，在等边三角形中，点在边上，点、在边上，点在边上，下面四个结论中， ①存在无数个三角形是等腰直角三角形． ②存在无数个四边形是正方形． ③存在无数个三角形是等边三角形． ④存在无数个三角形是等腰直角三角形． 正确的是_____．（填写序号） 12．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，点F在的延长线上，且． (1)四边形是平行四边形吗？说明理由； (2)当的大小满足什么条件时，四边形为菱形？请说明你的结论； (3)四边形有可能是正方形吗？为什么？ 题型五 根据正方形的性质与判定求角度 13．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 14．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 15．在正方形中，是延长线上的点，是线段上一点且．过作，使，连接． (1)如图1，连接．求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于，并取中点，连接．若，，求线段的长． 题型六 根据正方形的性质与判定求线段长 16．如图，在中，，，点D为上一点，，点P为平分线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 17．如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 18．如图1，在矩形中，点是边的中点，，连接，过点作，并与矩形的外角的平分线交于点． (1)求的值（用含的代数式表示）； (2)连接交于点，连接，若，求的值． (3)如图2，当与题（2）取相同值时，为边上一点，连接，当，时，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $