2026年湖南省普通高中学业水平合格性考试高二数学仿真模拟卷（二）

**基本信息** 立足学业水平合格性要求，以长沙旅游满意度调查、“正函数”新定义等情境设计，融合基础巩固与创新应用，体现数学眼光、思维与语言的核心素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|集合、函数、向量等基础知识点|第16题结合视力测量数据转换，体现数学眼光观察现实| |填空题|4/16|三角、解三角形、统计、立体几何|第21题计算成绩分位数，考察数据意识| |解答题|3/30|立体几何证明与体积、统计概率应用、函数新定义|24题用频率分布直方图分析旅游满意度，体现数学语言表达现实；25题“正函数”新定义，考察数学思维中的推理与创新|

2026年湖南省普通高中学业水平合格性考试·模拟卷(二) 数　　学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量90分钟，满分100分 一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合M＝{0，1，2}，N＝{－1，0，1}，则M∪N＝( ) A．{0，1} B．{0，1，2} C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1} 2．下列几何体中为圆锥的是( )　 3．已知x∈R，则“x>1”是“x2>1”的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知角α的终边过点P(－3，4)，则cos α＝( ) A．－ B． C．－ D． 5．在△ABC中，＝，＝，则等于( ) A． B． C． D． 6．不等式x(x－2)>0的解集为( ) A．{x|x<0} B．{x|x>2} C．{x|0<x<2} D．{x|x<0或x>2} 7．函数f(x)＝2x－1的零点是( ) A．(0，1) B．(1，0) C．0　　 D．1 8．函数f(x)＝5cos (2x＋)的最小正周期为( ) A．2π B．Π C． D． 9．下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是( ) A．y＝()2 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 10．已知i为虚数单位，则－2i(1＋3i)＝( ) A．6－2i B．6＋2i C．－6－2i D．－6＋2i 11．已知函数f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋2，则f(－10)＝( ) A．8 B．－8 C．12 D．－12 12．多项选择题是新高考数学试卷中增加的新题型，四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，并规定：如果选择了错误选项就不得分．若某题的正确答案是ABC，某考生随机选了两项，则其能得分的概率为( ) A． B． C． D． 13．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝()x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝cos x 14．已知两个随机事件A和B，其中P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则P(AB)＝( ) A． B． C． D． 15．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为( ) A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>a>c 16．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据V和五分记录法的数据L满足V＝10L-5，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(注：)( ) A．0.6 B．0.8 C．1.2 D．1.5 17．已知a>0，b>0且2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则实数m的最大值为( ) A．10 B．9 C．8 D．7 18．已知平面向量＝(1，3)，＝(－2，1)，则( ) A．> B．(2)∥ C．与的夹角为钝角 D．在上的投影向量的模为 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 19．sin 135°＝________. 20．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，其中A＝，b＝1，a＝，则c＝________. 21．学校组织班级进行知识竞赛，某班的8名学生的成绩(单位：分)分别是68，63，77，76，82，88，92，93，则这8名学生成绩的75%分位数是________． 22．长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，那么这个球面的面积是________． 三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应与出文字说明、证明过程或演算步骤． 23．(本小题满分10分) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点． (1)求证：A1B∥平面ADC1； (2)若AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2，求几何体ABD－A1B1C1的体积． 24．(本小题满分10分) 长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市．为更好地了解游客对长沙旅游体验的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客对长沙旅游体验进行满意度评分(满分100分)，根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求x的值； (2)估计这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)； (3)旅游部门的工作人员采用按比例分层随机抽样的方法从评分在[50，60)，[60，70)的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在[50，60)内，另1人在[60，70)内的概率． 25．(本小题满分10分) 已知函数f(x)的定义域是使得解析式有意义的x集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则称此函数为“正函数”． (1)证明：函数f(x)＝lg (x2＋1)＋1是“正函数”； (2)如果函数f(x)＝|x|＋－1不是“正函数”，求正数a的取值范围； (3)如果函数f(x)＝是“正函数”，求正数a的取值范围 参考答案 1．C　2.A　3.B　4.A　5.B　6.D　7.C　8.B 9．B　解析：y＝x的定义域，值域都为R，y＝()2 的定义域为[0，＋∞)，与函数y＝x的定义域不相同，故A错误；y＝ 的定义域为R，与函数y＝x的定义域相同，且解析式化简后为y＝x，与y＝x解析式相同，故B正确；y＝化简后为y＝|x|，故C错误，y＝的定义域为{x|x≠0}，故D错误．故选B. 10．A 11．D　解析：因为函数f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x＋2，所以f(－10)＝－f(10)＝－(10＋2)＝－12.故选D. 12．C　解析：由题可得该考生随机选了两项的情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，其中能得分的情况有AB，AC，BC，共3种，则其能得分的概率为＝.故选C. 13．B　解析：f(x)＝x＋1，f(x)＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，f(x)＝()x在区间(0，＋∞)上单调递减，f(x)＝cos x在区间(0，＋∞)上不单调，故选B. 14．D　解析：因为A和B是两个随机事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，则P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝＋－＝.故选D. 15．D　解析：因为，所以b>a>c.故选D. 16．B　解析：在V＝10L-5中，L＝4.9，所以V＝104.9-5＝10-0.1＝＝≈＝0.8，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选B. 17．B　解析：＋＝(＋)(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，所以＋的最小值为9.又因为＋≥m恒成立，所以m≤9，即实数m的最大值为9.故选B. 18．D　解析：向量不能比较大小，故A错误；＝(4，5)≠λ·，故B错误；，则与的夹角为锐角，故C错误；在上的投影向量的模为，故D正确．故选D. 19．答案： 20．解析：在△ABC中，A＝，b＝1，a＝，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bc cos A，即7＝1＋c2－2c cos ，整理得c2－c－6＝0，解得c＝3或c＝－2(不合题意，舍去)，所以c＝3.答案：3 21．解析：8名学生的成绩从小到大排列为63，68，76，77，82，88，92，93， 因为8×75%＝6，所以75%分位数为第6个数和第7个数的平均数，即×(88＋92)＝90(分).答案：90 22．解析：由题意长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在一个球面上， 所以球的直径为＝，所以半径为，所以表面积为4πR2＝14π.答案： 14π. 23．解析：(1)证明：如图，连接A1C，交AC1于点O，连接DO. 由直三棱柱的性质可知，侧棱垂直于底面，侧面为矩形，所以O为A1C的中点， 又D为BC的中点，则A1B∥OD.又因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1， 所以A1B∥平面ADC1. (2)由于几何体ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以侧棱长就是几何体的高， 又AB⊥AC，所以△ABC为直角三角形，所以VABC－A1B1C1＝×1×1×2＝1， VC1－ACD＝×××1×1×2＝，所以VABD－A1B1C1＝VABC－A1B1C1－VC1－ACD＝1－＝. 24．解析：(1)由(0.005＋0.010＋0.015＋x＋0.040)×10＝1，解得a＝0.030. (2)(55×0.005＋65×0.010＋75×0.015＋85×0.030＋95×0.040)×10＝84， 所以这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数为84分． (3)评分在[50，60)的人数为100×0.005×10＝5人，评分在[60，70)的人数为100×0.010×10＝10人，按分层随机抽样的方法从两组中共抽取6人，则从评分在[50，60)中抽取6×＝2人，分别用a，b表示， 从评分在[60，70)中抽取6×＝4人，分别用A，B，C，D表示，则从这6人中随机抽取2人的所有结果为AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种． 所以恰有1人评分在[50，60)内，另1人在[60，70)内的所有结果为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种，所以选取的2人中，恰有1人评分在[50，60)内，另1人在[60，70)内的概率为. 25．解析：(1)证明：函数的定义域为R，且f(x)＝lg (x2＋1)＋1≥lg 1＋1＝1，函数值恒为正，故为正函数，得证． (2)从反面入手，即函数f(x)＝|x|＋－1是“正函数”，求实数a的取值范围．函数的定义域为R，且f(x)＝|x|＋1＋－2≥2－2>0，则a>1，故0<a≤1. (3)依题意，或＝＝，又a>0，解得0<a<1或a＝3，当y＝2x2＋(a－1)x－2a＋2的图象与x轴相切，可得Δ＝(a－1)2－8(2－2a)＝0，解得a＝1或a＝－15，即有a＝1时，f(x)＝>0恒成立；当a＝－15时，f(x)＝>0不恒成立．故正数a的取值范围为(0，1]∪{3}． 学科网（北京）股份有限公司 $