湖南株洲市第一中学2026年普通高中学业水平合格性模拟考试 数学试题

**基本信息** 以七巧板传统文化、统计案例等真实情境为载体，全面考查集合、函数、立体几何等基础知识，突出数学眼光、思维与语言的核心素养，适配学业水平合格性考试要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|集合、函数单调性、复数、概率等|第18题结合七巧板考对数函数，体现文化传承与数学应用| |填空题|4/16|复数运算、独立事件概率、球的体积|第20题考查独立事件概率，强化数据意识| |解答题|3/30|统计分析、立体几何证明、函数最值|第24题立体几何存在性问题，考查空间观念与推理能力|

2026年普通高中学业水平合格性模拟考试 数学 一、选择题：本题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合M={1,2,N={1,2,3),则MUN= A.{3 B.{1,2 C.{1,2,3 D.{1,2,1,2,3 2.下列函数中，在(0，+0)上单调递减的为 A.y=x2 B.y=√ C.y=x3 D.y=x- 3.l0g;9= A.2 B.3 C.4 D.27 4.己知复数z=1-2i,则z在复平面上所对应的点为 A.1,-2 B.(1,2 C.-2,1 D.（2,1) 5.已知命题p:“x∈R,x+2≤0”，则一P为 A.3x∈R,x+2>0 B.3xeR,x+2≤0 C.VxER,x+2>0 D.VxgR,x+2>0 6为了约到=6o行+)的图像，只震将y=心的图修 A.向左平移严个单位长度 B.向右平移严个单位长度 6 6 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 3 3 7.“x2=y2”是“x=y”的 A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知cosa=-写，其中a∈(0，x列，则sina+） 4 A.4-2 B.4+V2 c.2-4 D.-4+2 6 6 6 6 9.函数fx)=3x一x2的零点所在区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(-2,-1) D.(-1,0) 数学第1页共4页 10.已知cosa=2则a可以是 A.0 B哥 D. 2 1l.在空间中，若直线l//平面a,直线mc平面a,则1与m A.相交 B.平行 C.是异面直线 D.可能平行，也可能是异面直线 12.一个袋子中有4个球，其中有2个白色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4）， 这4个球除颜色和标号外完全相同，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球 颜色相同的概率为 A子 B.月 D. 6 13.在正方体ABCD-A,B,CD中，直线AC与AB,所成的角的大小为 A.30 B.45 C.60° D.90 14.为了了解某学校数学学习情况，随机抽取8位学生.某数学考试分数如下： 8593959288929590 据此估算该年级数学考试第25百分位数为 A.88 B.89 C.90 D.94 15.已知向量a=(2,x,b=（-2,1,若a/,则x= A.-1 B.1 C.-4 D.4 16.cos20°cos25°-sin20°sin25°= A.2 B. c.3 D.1 2 17.已知“xeR,不等式x2-4x-a-1≥0恒成立”，则a的取值范围为 A.(-0,-5] B.-0,-2] C.-5,+o D.[-5,+0 18.七巧板是我国的一种传统益智玩具，由七块板组成，用它们可以拼出丰富的图案如图， 在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形OABD由七巧板拼成（①②③⑤⑦均为等腰直 角三角形，④为正方形，⑥为平行四边形)若对数函数y=l0g。x的图象经过 B,C,E,F,G,H,I这七个点中的两个点，则a= 数学第2页共4页 ① E ③ ② ④ ⑤ ⑥ ⑦ A.2 B.√2 c. 2 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 19.己知复数，=1+i,2=2+3i,则z1+z2= 20.己知事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.5,P(B)=0.6,则P(AB)= 21.已知球的表面积为12π，则它的体积为 x+2,x<0 22. 已知f(x)= -x2+2,x≥0， 则f(-)=三 ；∫(x)的最大值为 三、解答题：本题共3小题，每小题10分，共30分。 23.某中学为了解某选修课的学习情况，通过抽样获得50名学生的期末考试成绩，将数据 制成如下的频率分布表和频率分布直方图 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100 人数 5 5 10 20 10 频率 0.1 0.1 0.2 a 0.2 频率 组距 6 0.02 0.01 O 30405060708090100分数 (1)求频率分布表中a的值及频率分布直方图中b的值： (②)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，试估计该中学选修该课程的所有学 生成绩的平均数 数学第3页共4页 24.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形 A.. ------D B 0 (1)求证：BC/平面PAD; (2)在直线BC上是否存在点Q,使得AD⊥PQ?说明理由. 25.已知函数f(x)=x2-ax+1,x∈[1,4] 1)若a=4,求f(x)的最小值； (2)当4≤a≤6时，证明：对任意x,x2e[1,4,都有f(x)-f(x2≤4 数学第4页共4页 2026年普通高中学业水平合格性模拟考试 数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 4 S 6 7 8 9 10 答案 C D A 9 C B 9 D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 0 B B B A B 二、填空题 19.3+41 20.0.3/3 21.4V5元 22. 2 0 三、解答题 23. (1)由0.1+0.1+0.2+a+0.2=1,可得：a=0.4, 由0.01+0.01+0.02+b+0.02×10=1,可得：b=0.04 (2)所有学生成绩的平均数为： 55×0.1+65×0.1+75×0.2+85×0.4+95×0.2=80, 所以平均数为80 24. (1)因为底面ABCD为正方形，所以BC/IAD. 又AD∈平面PAD,BCt平面PAD, 所以BCII平面PAD (2)在直线BC上存在点Q,使得AD⊥PQ,证明如下： 因为底面ABCD为正方形，所以AB⊥AD, 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD, 又ABC平面PAB,PAC平面PAB,AB∩PA=A,所以AD⊥平面PAB 因为PBc平面PAB,所以AD⊥PB 所以当点Q与点B重合时，AD⊥PQ 25. (1)若a=4,则f(x)=x2-4x+1,xe[1,4, 开口向上，对称轴为x=2, ·f(xmn=f(2)=-3,故f(x)的最小值为-3； (2)函数f)=r-a+1xeL4,对称轴x=号 4sas6,=号2， 做)--1=+1. 当4≤a≤5时，f(x)mx=f(4)=17-4a, t时l-八s儿=17-4a-（女+-女-4如+16， 又因为y=a2-4a+16,对称轴a=8, 4 所以y=a2-4a+16在4,5上单调递减， 故(-s儿402-4a+16≤4-4x4+16=4: 当5<a≤6时，fxs=f)=2-a 此时-2-a(+小-0-a*1 又医为)=女-a+1,对称轴a=2, 所以y女2-a+1在5.6上华调递蜡。 故5-儿-02-a+1s6-6+1=4: 4 综上，当4≤a≤6时，对任意x,x2∈[1,4，都有f(x)-f(x2≤4.