2026年湖南省普通高中学业水平合格性考试高二数学仿真模拟卷（一）

**基本信息** 2026年湖南省学业水平合格性考试数学模拟卷，覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，通过声强级计算、成绩统计分析等情境，考查数学眼光观察现实世界、数学思维解决问题的能力，适配合格考基础与应用并重的要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|集合、复数、向量、函数定义域、立体几何异面直线成角|基础概念辨析，如全称命题否定、充分必要条件判断| |填空题|4/16|对数运算、分层抽样、三角函数、圆锥体积|简单运算与应用，如分层抽样中史政生组合人数计算| |解答题|3/30|频率分布直方图、立体几何证明、二次函数综合|综合应用，如用频率分布直方图估计平均值、立体几何中面面垂直证明，考查空间观念与推理能力|

2026年湖南省普通高中学业水平合格性考试·模拟卷(一) 数　　学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量90分钟，满分100分 一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“∀x∈R，x≥x2”的否定是( ) A．∀x∈R，x<x2 B．∀x∈R，x≤x2 C．∃x∈R，x≥x2 D．∃x∈R，x<x2 2．已知集合A＝{x|x<3}，B＝{2，5}，则A∩B等于( ) A．{2} B．{2，5} C．{x|2<x<3} D．{x|x<5} 3．已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)，则|z|为( ) A．1 B．2 C． D．3 4．已知向量＝(2，x)，＝(－1，2)，且⊥，则x＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 5．函数y＝＋的定义域是( ) A． B．∪ C．∪ D． 6．“四边形ABCD为矩形”是“四边形ABCD为平行四边形”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若a>b，c∈R，则下列结论一定成立的是( ) A．a－b>0 B．ac>bc C．< D．a2>b2 8．为了得到f(x)＝sin (x＋)的图象，可将y＝sin x的图象( ) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 9．函数y＝3x＋(x>0)的最小值是( ) A．4 B．5 C．3 D．2 10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则异面直线A1C1与BD所成角的大小是( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 11．函数y＝log2(x＋1)的图象经过( ) A．(0，1) B．(1，0) C．(0，0) D．(2，0) 12．已知0<α<，cos α＝，则sin 2α＝( ) A．－ B． C． D． 13．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取10名学生，统计他们的数学成绩如下(满分：100分). 学生 A B C D E F G H I J 成绩/分 82 81 65 78 68 75 96 90 88 72 由此可知，在期中考试中，这10名学生数学成绩的75%分位数是( ) A．81分 B．82分 C．85分 D．88分 14．如图，在△ABC中，＝2，则等于( ) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 15．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝ asin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 16．已知a＝log22.7，b＝0.40.3，c＝log23，则a，b，c的大小关系为( ) A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．c>a>b 17．从只有2张有奖的8张彩票中不放回地随机逐张抽取，则直至第三次才抽到中奖彩票的概率为( ) A． B． C． D． 18．声强级(单位：dB)由公式LI＝10lg ()给出，其中I为声强(单位：W/m2).某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40 dB.现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为5×10-7 W/m2，10-8 W/m2，2×10-9 W/m2，则这3人中达到班级要求的人数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 19．计算：log39＋()-1＝________． 20．某校高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为480，40，120和80，现采用分层随机抽样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动，则“史政生”组合中选出的学生人数为________. 21．已知tan θ＝，则tan (θ－)＝________. 22．某圆锥的母线长为5 cm，底面半径长为3 cm，则该圆锥的体积为________cm3. 三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 23．(本小题满分10分) 进入11月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图． (1)估计五校学生综合素质成绩的平均值； (2)某校决定从本校综合素质成绩排名前6名同学中，推荐3人参加自主招生考试，若已知6名同学中有4名理科生、2名文科生，试求这3人中含文科生的概率． 24．(本小题满分10分) 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，AC⊥BC1. (1)求证：BC1⊥AB1; (2)若侧面ACC1A1为矩形，AC＝，BC＝2. ①求证：平面ACC1A1⊥平面BCC1B1； ②求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正切值． 25．(本小题满分10分) 设二次函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a，b∈R). (1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|x≠1}，求a，b的值； (2)若f(1)＝3， ①a>0，b>0，求＋的最小值，并指出取最小值时a，b的值； ②求函数f(x)在区间[1，3]上的最小值． 参考答案 1．D　2.A　3.C　4.A　5.C　6.A　7.A　8.A 9．D　10.D　 11.C 12．C　解析：因为0<α<，且cos α＝，所以sin α＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.故选C. 13．D　解析：10名学生期中考试数学成绩由小到大排列为65，68，72，75，78，81，82，88，90，96，因为10×75%＝7.5，所以这10名学生数学成绩的75%分位数为88，故选D. 14．B　解析：因为＝2，所以－＝2(－)，即得3＝2＋，＝＋.故选B. 15．B　解析：因为b cos C＋c cos B＝a sin A，由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A，因为sinA≠0，所以sin A＝1，A＝，故△ABC为直角三角形．故选B. 16．D　解析：由y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，且2<2.7<3，可得1＝log22<log22.7<log23，则c>a>1. 由y＝0.4x在(0，＋∞)上单调递减，且0.3>0，则0.40.3<0.40＝1，则b<1， 所以a，b，c的大小关系为c>a>b.故选D. 17．D　解析：直至第三次才抽到中奖彩票的概率为××＝.故选D. 18．C　解析：依题意，LI＝10lg ()≤40，所以I≤10-8，故声强为10-8 W/m2，2×10-9 W/m2的两人达到要求，故选C. 19．答案：4 20．答案：8 21．解析：因为tan θ＝，所以tan (θ－)＝＝＝－. 答案：－ 22．解析：因为圆锥的母线长为5 cm，底面半径长为3 cm， 所以该圆锥的高为＝4(cm). 所以V＝πr2h＝π×32×4＝12π(cm3). 答案：12π 23．解析：(1)依题意可知：55×0.12＋65×0.18＋75×0.40＋85×0.22＋95×0.08＝74.6， 故综合素质成绩的平均值为74.6. (2)设这6名同学分别为a，b，c，d，1，2，其中设1，2为文科生， 从6人中选出3人，所有的可能的结果为(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，1)，(a，b，2)，(b，c，d)，(b，c，1)，(b，c，2)，(c，d，1)，(c，d，2)，(d，1，2)，(a，c，d)，(a，c，1)，(a，c，2)，(a，d，1)，(a，d，2)，(b，d，1)，(b，d，2)，(c，1，2)，(a，1，2)，(b，1，2)，共20种， 其中含有文科学生的有(a，b，1)，(a，b，2)，(b，c，1)，(b，c，2)，(c，d，1)，(c，d，2)，(d，1，2)，(a，c，1)，(a，c，2)，(a，d，1)，(a，d，2)，(b，d，1)，(b，d，2)，(c，1，2)，(a，1，2)，(b，1，2)，共16种，故含文科生的概率为＝. 24．解析：(1)证明：连接B1C(图略). 因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1， 又AC⊥BC1，B1C∩AC＝C，B1C⊂平面ACB1，AC⊂平面ACB1， 所以BC1⊥平面ACB1， 又因为AB1⊂平面ACB1， 所以BC1⊥AB1. (2)①证明：因为侧面ACC1A1为矩形， 所以AC⊥CC1. 因为AC⊥BC1，BC1∩CC1＝C1，CC1⊂平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1， 所以AC⊥平面BCC1B1， 因为AC⊂平面ACC1A1， 所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1. ②因为AC⊥平面BCC1B1，所以AC1在平面BCC1B1上的射影为CC1， 所以直线AC1与平面BCC1B1所成角为∠AC1C， tan ∠AC1C＝＝， 所以直线AC1与平面BCC1B1所成角的正切值为. 25．解析：(1)根据题意，若关于x的不等式f(x)>0，即ax2＋(b－2)x＋3>0的解集为{x|x≠1}， 则方程ax2＋(b－2)x＋3＝0的两根相等且都为1，同时a>0， 则有解得 (2)由f(1)＝3，则有a＋(b－2)＋3＝3，变形可得a＋b＝2. ①由于a>0，b>0， 则＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋2＝， 当且仅当b＝2a时等号成立，此时，即 ②由于a＋b＝2，则b－2＝－a，则有f(x)＝ax2－ax＋3，其对称轴为x＝， 当a>0时，f(x)在[1，3]上单调递增，其最小值为f(1)＝3， 当a<0时，f(x)在[1，3]上单调递减，其最小值为f(3)＝6a＋3. 综上所述：当a>0时，f(x)在区间[1，3]上的最小值为3， 当a<0时，f(x)在[1，3]上的最小值为6a＋3. 学科网（北京）股份有限公司 $