山东省聊城市2025-2026学年八年级下学期期末检测练习（五）

**基本信息** 山东省聊城市八年级下学期期末数学试卷，涵盖二次根式、一次函数、平行四边形等知识，以无人驾驶快递车、端午节粽子等真实情境为载体，考查抽象能力、推理意识与应用意识，题量适中，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|二次根式运算、一次函数性质、中位数|基础巩固，聚焦概念辨析与基本运算| |填空题|7题|旋转性质、动态几何中点坐标|能力提升，涉及数形结合与规律探究| |解答题|7题|几何证明（平行四边形）、函数应用（一次函数解析式）、实际应用（粽子购买方案）、旋转综合（等边三角形旋转）|创新应用，结合科技与文化情境，考查推理能力与模型意识|

山东省聊城市2025-2026学年八年级下学期期末检测（五） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知一次函数，则下列选项正确的是（     ） A．函数图象经过 B．随的增大而减少 C．直线平行于直线 D．函数图象在第一、三、四象限 3．已知一组数据：、、、、、，这组数据的中位数是（    ） A． B． C． D． 4．使得式子在实数范围内有意义的的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 5．在平面直角坐标系中，点先向上平移个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，D是的中点，平分，，垂足为E，连接．若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图是某公园里一处矩形草地，长，宽，为方便游人行走，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为，那么这块草地青草覆盖的面积（图中阴影部分）还有（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 9．随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，匀速行驶到达甲快递点卸完包裹后，立即以相同的速度前往乙快递点．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点包裹的时间相同，快递车离公司的路程与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（     ） A． B． C． D． 10．李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若实数满足，则的取值范围是 __． 12．一次函数的图像经过点，则关于的方程的解为____________． 13．如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为______． 14．将点向左平移2个单位长度，向上平移2个单位长度得到点，点的坐标为，则__________． 15．在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，若直线也经过点A，则关于x，y的方程组的解是______． 16．如图， 在中，，，， 分别为上的动点，为的中点，将绕点旋转，点刚好落在边上，则的最小值为______． 17．如图，在矩形中，，，点在边上从点向点以每秒的速度运动，在边上，且当点运动了秒后，才以的速度从点出发，在、两点之间做往返运动，当点到达点时停止（同时点也停止），点运动秒时，动点，能与点，点形成平行四边形，________． 三、解答题 18．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 19．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 20．已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ (3)若函数的图象经过点和，求m，n的值． 21． 中，平分． (1)求证四边形是菱形． (2)满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由． 22．如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为1． (1)求一次函数的解析式； (2)若点在轴上，且满足，求点的坐标； (3)请直接写出时的取值范围． 23．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍． (1)求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，要求购进甲种粽子不少于乙种粽子的3倍，若设购买甲种粽子个，总费用为元，请为该超市设计出最省钱的购买方案并求最低费用． 24．阅读下面材料，解决下列问题： (1)【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1，在等边中，点P在内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系．即能求_____： (2)【学以致用】如图2，在等腰直角中，，P为内一点，，，，求的长； (3)【能力拓展】如图3，等腰三角形中，，D、E是底边上的两点且，若，，求的长． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省聊城市2025-2026学年八年级下学期期末检测（五）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B D A C B B C 1．D 【分析】根据二次根式加减乘除的计算规则逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，不能求和运算，该选项错误； B. ，该选项错误； C. ，该选项错误； D. ，该选项正确． 2．C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，利用一次函数的点坐标特征，增减性，两直线平行的判定，象限分布规律逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，∵将代入，得 ，∴函数图象不经过点，A错误． 选项B，∵一次函数中，，∴随的增大而增大，B错误． 选项C，∵直线与直线的值相等，截距不相等，∴两直线平行，C正确． 选项D，∵，，∴函数图象经过第一，二，三象限，D错误． 3．B 【分析】先将这组数据从小到大排列，再根据中位数的定义计算，偶数个数据的中位数为排列后中间两个数的平均数． 【详解】解：∵将这组数据从小到大排列为：11、12、13、15、17、18，排在中间的两位是， ∴这组数据的中位数是． 4．B 【详解】解：∵ 式子在实数范围内有意义， ∴  ，， 解得，， ∴ 的取值范围是且． 5．D 【分析】根据坐标平移的规律，牢记规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可计算得出结果． 【详解】解：∵点向上平移个单位长度， ∴点的纵坐标为； 再向右平移个单位长度， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 6．A 【分析】延长交于点，先证明，得出，，求出，再证明是的中位线，即可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴． 7．C 【分析】利用平移的性质，得出阴影部分为长为，宽为的长方形，然后根据长方形面积公式进行计算即可． 【详解】解：根据平移得出图中阴影部分可以看作一个长为，宽为， ∴图中阴影部分的面积为： ． 8．B 【分析】求出，证明是等边三角形，得出，在中，利用勾股定理求出，最后证明是等边三角形，从而求出的长度． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ，点恰好落在中点， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中，， ， ， 是等边三角形， ． 9．B 【分析】设快递车在每个快递点卸包裹的时间为x，根据快递车的速度不变列方程求解即可． 【详解】解：设快递车在每个快递点卸包裹的时间为x， ∵快递车的速度不变， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴快递车在每个快递点卸包裹的时间为． 10．C 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 11． 【分析】根据二次根式，将等式变形后，利用绝对值的化简规则得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：根据二次根式的性质可得： 由题意得 ， 整理得 ， 根据绝对值的性质，若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数为非正数， 因此：， 解得． 12． 【分析】方程的解是一次函数中，函数值时对应的自变量的值，已知一次函数图像经过点，即可得到方程的解． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴当时，， ∴关于的方程的解为． 13．/度 【分析】由旋转的性质得到，则由等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．2 【分析】利用坐标平移的变化规律得到平移后点的坐标，根据平移后点的已知坐标建立关于和的方程，求解得到和的值后，即可计算的值． 【详解】解：将点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到点的坐标为，即． 点的坐标为， ，， 解得，， ． 15． 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个对应一次函数图象的交点坐标，先根据点在直线上求出点的坐标，再利用一次函数与二元一次方程组的关系得到方程组的解. 【详解】解： 点在直线上， 将代入得 ， 即点的坐标为， 方程组可变形为， 又一次函数和相交于点， 该方程组的解为两个一次函数图象交点的坐标，即. 16． 【分析】根据勾股定理逆定理判定 为直角三角形，由旋转的性质可知点的对应点与点关于点对称，即为的中点，即得，可知当 时最短，即最小，再利用等面积法求出的长即可求解． 【详解】解：， ，， ， 是直角三角形，且， 设旋转后点落在上的点为，如图， 由旋转的性质可知，与关于点中心对称， ∴点与点关于点对称， 为线段的中点， ， 要使最小，则需最小， ∵点在边上 ， ∴当 时，的值最小，此时， 即， 解得 ， 的最小值为． 17．秒或秒 【分析】先利用矩形性质得出，将“四边形是平行四边形”转化为核心等量关系；再分别表示出，并根据点晚秒出发、在上往返运动的特点，分“从向运动”和“从向返回”两个阶段表示的长度；最后在每个阶段列方程求解，并验证解是否在对应时间段内，即可得到的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，即， ∴当时，四边形是平行四边形， ∵点的速度为，运动时间为秒， ∴， ∵点在运动秒后才开始运动，速度为，， ∴分两种情况讨论的长度： ①当时（从向运动，未到达）， ∵的运动时间为秒， ∴， 令，得， 解得，符合的范围； ②当时（到达后，从向返回）， ∵运动的总路程为， ∴从往走的距离为， ∴， 令，得， 解得，符合的范围； 综上，的值为秒或秒． 18．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式 19．(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】（1）根据中点的定义和平行线的性质得到条件，证明即可； （2）证明，又由已知即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：是的中点， ．     ， ，   （2）四边形是平行四边形     证明：，      又是的中线， ， ∴     又， ∴四边形是平行四边形． 20．(1) (2)，且， (3)的值分别为 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数的定义． （1）根据y是x的一次函数，得到，求解即可； （2）根据y是x的正比例函数，得到，求解即可； （3）将点代入求出的值，再将代入即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意得，即时， 函数是一次函数； （2）解：由题意得，且， 即得，且时，函数是正比例函数； （3）解：函数图象经过点 ，即． 又经过点， ， 解得， 故的值分别为． 21．(1)见解析 (2)四边形是正方形，理由见解析 【分析】本题考查正方形的判定，菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的需要的条件，利用正方形的判定、菱形的判定与性质解答． （1）根据交AB于点E，交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立； （2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可以解答本题． 【详解】（1）证明：， ∴四边形是平行四边形； 平分． ． ， ． ． ． ∴四边形是菱形． （2）解：当时，四边形是正方形； ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形． 22．(1) (2)点坐标为或 (3) 【分析】（1）根据，可得，把代入中得：，可得，根据待定系数法即可求解； （2）先求出△AOB的面积，即可得△BOC的面积，设，即有，则C点坐标可求； （3）根据（1）的结果可知不等式为：，该不等式的含义为求一次函数的图象在正比例函数图象上方时，自变量x的取值范围，即根据B点坐标以及图象即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 把代入中得：， ∴， 把，代入得： ， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）∵，， ∴， ∴， ∵点在轴上，设， ∴， 即：，解得：， ∴点坐标为或； （3）根据（1）的结果可知不等式为：， 根据可知，一次函数的图象在正比例函数图象上方时，自变量x的取值范围为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求解一次函数解析式、一次函数与三角形面积以及根据一次函数图象求解不等式解集等知识，理解不等式所体现的函数图象的意义是解答本题的关键． 23．(1)甲种粽子的单价为8元/个，乙种粽子的单价为4元/个 (2)购进甲种粽子150个，乙种粽子50个最省钱，最低费用为1400元． 【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意：购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子个，总费用为w元，可得w与m的函数关系式，再根据，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设乙种粽子的单价为元/个，则甲种粽子的单价为元/个， 由题意得： 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意，， 答：甲种粽子的单价为8元/个，乙种粽子的单价为4元/个， （2）解：设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子个， 依题意，得， ∵， ∴， 在中，随的增大而增大， 所以时，费用最小为1400元， 即购进甲种粽子150个，乙种粽子50个最省钱，最低费用为1400元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据题意列一次函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 24．(1)5 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，证明为等边三角形，得到，则可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）把绕点C逆时针旋转得到，连接，由旋转性质可知，，，则可证明是等腰直角三角形，可求出，，再利用勾股定理求解即可； （3）将绕点C逆时针旋转得到，连接，作于点H，由旋转的性质可得，，，，证明，得到，求出，得到，则可得到，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，把绕点C逆时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，作于点H， 由旋转的性质可得，，，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴，， ∴   ∴． 答案第2页，共14页 答案第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $