2025-2026学年北师大版数学八年级下册期末模拟试卷

**基本信息** 2025-2026学年八年级期末数学模拟卷，以青铜器纹样（中心对称）、物理密度计算等真实情境为载体，覆盖几何（平行四边形、动态问题）与代数（分式、因式分解）核心知识，通过基础题、综合题、创新题梯度设计，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称、不等式变形、一次函数|结合青铜器纹样（文化传承）、函数图像交点（几何直观）| |填空题|6/18|因式分解、分式方程、动态四边形|光学棱镜路径计算（跨学科）、“2阶倒差数”定义（创新应用）| |解答题|8/72|全等证明、方案优化、模型迁移|手拉手模型探究（推理能力）、机器人购买方案（模型意识）|

2025-2026学年下学期八年级期末数学模拟试卷 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B C D D D A B C 二、填空题：本大题共6小题，满分18分。只填写最后结果，每小题填对得3分。 11. 36 12. m＞5 13. 3 14. 或． 15. 16. 7 三、解答题：本大题共8小题，满分72分。解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤。 17.本题9分 【解答】解：（1）a3﹣16a ＝a（a2﹣16） ＝a（a+4）（a﹣4）；..............................................................................3分 （2）﹣x2+x﹣ ＝﹣（x2﹣x+） ＝﹣（x﹣）2．..............................................................................6分 （3）， 解：整理得1﹣+＝0， 因为分式中分母不能为零， 所以x﹣3≠0，即x≠3 方程两边同时乘以x﹣3得， x﹣3﹣2+x﹣5＝0， 解得x＝5， 经检验：x＝5是原分式方程的根；.............................................................................9分 18题本题6分 【解答】解：原式＝ ＝ ＝，..............................................................................2分 ， 解不等式①得：x＞﹣1， 解不等式②得：x≤2， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，.............................................................................4分 由题知x﹣1≠0，x+1≠0，x≠0， ∴x≠1，x≠﹣1，x≠0， ∵x为整数， ∴x＝2．.............................................................................5分 ∴原式＝．.............................................................................6分 19.本题6分。 【答案】（1）如图，△OA1B1，..............................................................................2分 △OA2B2即为所求；..............................................................................4分 （2） （﹣b，a）．..............................................................................6分 20题10分 【解答】解：（1）∵BD＝BC，∠DBC＝60°， ∴△DBC是等边三角形． ∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°． 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADC≌△ADB（SSS）． ∴∠ADC＝∠ADB． ∴∠ADC＝×（360°﹣60°）＝150°． 故答案为：150°；............................................................................2分 （2）△ACE是等边三角形． 证明：∵∠ACE＝∠DCB＝60°， ∴∠ACD＝∠ECB． ∵∠CBE＝150°，∠ADC＝150°， ∴∠ADC＝∠EBC． 在△ACD和△ECB中， ， ∴△ACD≌△ECB（ASA）． ∴AC＝CE． ∵∠ACE＝60°， ∴△ACE是等边三角形；............................................................................6分 （3）连接DE． ∵DE⊥CD， ∴∠EDC＝90°． ∵∠BDC＝60°， ∴∠EDB＝30°． ∵∠CBE＝150°，∠DBC＝60°， ∴∠DBE＝90°． ∴EB＝DE． ∵△ACD≌△ECB，AD＝4， ∴EB＝AD＝4． ∴DE＝2EB＝8．...........................................................................10分 21.本题9分 【解答】解：（1）设甲型机器人模型的单价是x元，则乙型机器人模型的单价是（x﹣150）元， 根据题意得：＝， 解得：x＝375， 经检验，x＝375是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣150＝375﹣150＝225．.............................................................................4分 答：甲型机器人模型的单价是375元，乙型机器人模型的单价是225元； （2）设学校再次购买m台甲型机器人模型，则购买（40﹣m）台乙型机器人模型， 根据题意得：40﹣m≤3m， 解得：m≥10， 设学校再次购买两种型号机器人模型的总花费为w元，则w＝375×0.8m+225×0.8（40﹣m）， 即w＝120m+7200， ∵120＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝10时，w取得最小值，最小值为120×10+7200＝8400，此时40﹣m＝40﹣10＝30． 答：购买10台甲型机器人模型、30台乙型机器人模型时花费最少，最少花费是8400元． .............................................................................9分 22题本题10分 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB∥AD， ∴∠C＝∠EDF， ∵E为CD边的中点， ∴CE＝DE， 在△BCE和△FDE中， ， ∴△BCE≌△FDE（ASA）．.............................................................................5分 （2）解：四边形AEFG是平行四边形，理由如下： ∵△BCE≌△FDE， ∴CE＝DE，CB＝DF， ∵CB＝DA， ∴DF＝DA， ∵DG＝DE， ∴四边形AEFG是平行四边形，...........................................................................10分 23题本题10分 【解答】解：（1）原式＝x2+2x+1﹣1﹣8 ＝（x+1）2﹣9 ＝（x+1﹣3）（x+1+3） ＝（x﹣2）（x+4）；.............................................................................3分 （2）x2+4x﹣3＝x2+4x+4﹣4﹣3＝（x+2）2﹣7， ∴多项式x2+4x﹣3的最小值是﹣7；...........................................................................6分 （3）a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c， a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0， （a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴△ABC的周长为3+4+5＝12．..........................................................................10分 【解答】（1）证明：∵△ABC与△ADE都是等腰三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE， ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）；..........................................................................3分 （2）解：EF2＝BE2+FC2，理由如下： 如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝∠BAC＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2；..........................................................................8分 （3）解：如图，在△ABC内部任取一点P，连接AP，BP，CP， 将△BPC绕点B顺时针旋转90°得到△BP′C′， 由旋转的性质得：PB＝P′B，PC＝P′C′，∠PBP′＝∠CBC′＝90°， ∴由勾股定理得， ∴， ∴当A，P，P′，C′四点共线时，取到最小值，最小值为AC′长， 如图，过点A作BC′垂线交C′B延长线于点D， ∴∠D＝∠CBC′＝90°， ∴AD∥BC， ∵∠ABC＝30°， ∴∠BAD＝30°， ∴，， 又∵BC′＝BC＝5， ∴， ∴，即的最小值为7．..........................................................................12分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期八年级期末数学模拟试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。 1．青铜器是我国商周时期的文化瑰宝，其纹样与造型蕴含着对称美．下列青铜器纹样图案中，属于中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 凤鸟纹 螭龙纹 蛇纹 蟠虺纹 2．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 3．下列不等式变形正确的是（　　） A．由x＞y，得x+1＜y+1 B．由x＞y，得2﹣x＜2﹣y C．由3x＞3y，得x＜y D．由，得x＞y 4．把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．缩小为原来的 5．如图，一次函数y1＝﹣x+b1和y2＝k2x+b2的图象交于（﹣1，2），则不等式组k2x+b2＜﹣x+b1＜4的解集为（　　） A．﹣1＜x＜3 B．﹣2＜x＜﹣1 C．x＜﹣1 D．﹣3＜x＜﹣1 6．如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上，点D，E分别是边AB，AC与网格对角线的交点，连接DE，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 7．若表示的是一个最简分式，则☆可以是（　　） A．﹣a B．a C．﹣1 D．1 8．在物理学中，物质的密度ρ等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为2：1，当物体A的质量是100g，物体B的质量是200g时，物体B的体积比物体A的体积大27cm3．如果设物体A的体积是xcm3，那么根据题意列方程为（　　） A． B． C． D． 9．已知关于x的整式x2+mx+6＝（x+a）（x+b），其中a、b为整数，能使这个等式成立的m的值共有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 10．如图，▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，CE，点F为BE的中点，连接DF交CE为G，若GE＝2，则CG的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 二、填空题：本大题共6小题，满分18分。只填写最后结果，每小题填对得3分。 11．已知ab＝2，a﹣b＝3，则代数式2a3b﹣4a2b2+2ab3＝　 　 12．已知关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是　 　 ． 13.如图为一块光学直棱镜，其截面为Rt△ABC，AB所在的面为不透光的磨砂面，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4cm．现将一束单色光从AC边上的O点射入，折射后到达AB边上的点D处，恰有CD⊥AB，再经过反射后（即∠CDE＝∠ODC，从点E垂直于BC射出，则光线在棱镜内部经过的路径OD+DE的总长度为　 　 cm． 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16cm，BC＝21cm．动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3cm的速度运动．动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动；当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为　 　 ． 15．若非负实数a可以表示成两个连续自然数的倒数差，例如，，所以是第1个“1阶倒差数”，，所以是第2个“1阶倒差数”，，所以是第3个“1阶倒差数”…，即，那么我们称a是第n个“1阶倒差数”；同理，，那么我们称b为第n个“2阶倒差数”，若x，y均是由两连续偶数组成的“2阶倒差数”，且，则x＝　 　 16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，AB＝2，点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，﹣1），则CA+AB+BD的最小值为 　 　 ． 三、解答题：本大题共8小题，满分72分。解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤。 17．（9分）（1）分解因式（1）a3﹣16a； （2）﹣x2+x﹣ （3）解方程：； 18(6分）．先化简，再求值：，其中x为不等式组的一个整数解． 19.（6分）如图，△OAB的各顶点坐标分别为A（2，3），B（3，1），O（0，0）． （1）下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点O为对称中心，画出与△OAB成中心对称的△OA1B1； 步骤二：以点O为旋转中心，画出将△OA1B1按顺时针方向旋转90°后的△OA2B2； （2）在嘉嘉设计的图案中，若点M（a，b）为△OAB边上的任意一点，则该点在△OA2B2上对应点的坐标为　 　 ． 20（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为边作等边三角形BDC，点E在△ABC外，∠CBE＝150°，∠ACE＝60°． （1）直接写出∠ADC的度数为 　 　 ； （2）判断△ACE的形状并加以证明； （3）连接DE，若DE⊥CD，AD＝4，求DE的长． 21（9分）．某学校计划购买甲、乙两种型号的机器人模型．经市场调研得到以下信息： 信息一：甲型机器人模型单价比乙型机器人模型单价多150元； 信息二：用4500元购买甲型机器人模型和2700元购买乙型机器人模型的数量相同． （1）求甲型、乙型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买甲型和乙型机器人模型共40台，购买乙型机器人模型的数量不超过甲型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买甲型和乙型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 22（10分）．如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE，AG，FG． （1）求证：△BCE≌△FDE； （2）四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由． 23（10分）．阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． （1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8； （2）求多项式x2+4x﹣3的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长． 24（12分）研究性学习：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：如果两个等腰三角形的顶点重合，且顶角相等，则称此图形为“手拉手全等模型”． (1)【模型感知】如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中，求证； (2)【知识迁移】如图2，在△ABC中，，，E、F为边上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论． (3)【方法推广】如图3，在△ABC中，，，，点P为△ABC内一点，连接、、，求的最小值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $