平面向量（1）期末复习教案-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

平面向量复习（1） 【教学目标】 1. 掌握向量的线性运算及数量积运算； 2. 掌握向量平行与垂直的表示方法； 3. 理解平面向量基本定理. 【教学重点与难点】 重点：掌握向量的线性运算及数量积运算. 难点：能够运用向量的线性运算及数量积运算解决问题. 【教学过程】 1． 知识梳理 1. 向量的加法 （1）首尾相接、首指向尾，如；（2）平行四边形法则与三角形法则. 2. 向量的减法 （1）起点重合，指向被减量，如；（2）平行四边形法则与三角形法则. 3. 实数与向量的乘积，实数与向量的乘积是一个向量，记作 （1）概念，①模：；②方向：当时，的方向与相同；当时，的方向与相反；③特殊情况：当或时，. （2）向量与非零向量平行的充要条件是：存在实数，使得. （3）与非零向量同方向的单位向量记作. 4. 平面向量基本定理 （1）如果与是平面上两个不平行的向量，那么该平面上的任意向量，都可唯一地表示为与的线性组合，即存在唯一的一对实数与，使得. （2）若，则三点共线的充要条件是. 5. 向量的数量积 （1） 向量的夹角：共起点；范围是； （2） 与的数量积为，向量的夹角公式：； （3） 向量在向量方向上的投影为.，是个向量， 向量在向量方向上的数量投影为，是个实数； （4） 求向量模的重要方法：由，可知； （5） ；. 2． 例题与练习 例1 设向量、满足，，向量与垂直. 求. 解：与垂直得， ， 所以 . 例2 设向量满足，. 求. 解： ， 所以. 例3 三角形中，是中点，，求. 解：以为基，则，由余弦定理得， . 3． 课堂小结 知识：向量的线性运算及数量积运算． 思想方法：数形结合思想． 核心素养：直观想象，逻辑推理． 4． 课后作业 1．如图，在中，，P为上一点，且满足，则实数m的值为________． 【答案】已知，则， 设，则 ， 已知， ，解得． 2．（1）化简： （2）若，其中是已知向量，则用向量，向量表示向量和向量 【答案】（1） ； （2）由得，代入得, ，所以， 所以. 3．已知向量满足，则与的夹角为________. 【答案】因为， 所以，则， 因为，所以，即与的夹角为. 4．已知向量满足，，则___． 【答案】， 因为：故， 可得；则： ． 5．已知向量，满足：，，与的夹角． (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值． 【答案】（1）因为，，与的夹角，则， 可得，所以. （2）因为，则， 即，解得. （3）因为，则存在实数满足， 可得，解得， 所以. 6．已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】由题意可知向量在向量上的投影向量为. 7．已知，，，则向量在方向上的投影向量为________. 【答案】因为，，， 所以， 则向量在方向上的投影向量为. 学科网（北京）股份有限公司 $