专题03平面向量（期末复习讲义，5重难题型+分层验收）高一数学下学期沪教版

专题03平面向量（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01：线性运算：加减、数乘、共线判断 题型02 坐标运算：求模、夹角、数量积 题型03：垂直/平行：求参数（如求） 题型04：投影：在上投影 题型05：几何综合：向量解三角形、最值 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 向量基础概念 1. 概念掌握理解向量、模、零向量、单位向量、共线/垂直、相等相反向量，区分向量与数量。 低频基础选择填空，多为概念辨析，送分题 线性运算与坐标 2. 线性运算熟练掌握向量加减、数乘、基底分解，会坐标运算与参数求解。 中频必考，填空常考基底表示、参数求值 数量积 3. 数量积核心掌握数量积公式、模、夹角、垂直平行判定，熟练代数运算。 最高频！选择填空大题均考，核心得分点 平行与垂直判定 4. 位置关系判定熟练用坐标判定向量平行、垂直，解决几何位置问题。 必考题型，常求参数范围、参数值 常用综合公式 5. 综合应用会用向量求解长度、角度、共线、模最值，解决平面几何问题。 期末大题高频，考最值、几何综合 知识点01 向量基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量，记作或，大小为模长。 2. 零向量：，方向任意，与任意向量平行。 3. 单位向量：模长为1，非零向量的同向单位向量：。 4. 共线向量：。 ·示例：已知，求其同向单位向量。 ·易错点：1. 忽略零向量方向任意、平行一切向量的特殊性质，解题漏判零向量； 2. 混淆单位向量与原向量，忘记单位向量是无量纲方向向量； 3. 认为“模相等则向量相等”，忽略向量需要大小、方向同时相同。 知识点02 向量线性运算（加减、数乘、坐标） 设 1. 加减运算： 2. 数乘运算：， 3. 平面向量基本定理：不共线，则（唯一分解） ·示例：已知，求。 ·易错点：1. 数乘运算只乘横坐标、漏乘纵坐标，坐标运算粗心出错； 2. 向量减法顺序颠倒，极易写反； 3. 基底分解误用共线向量，基底必须满足不共线条件。 知识点03 向量数量积 1. 定义式： 2. 坐标式： 3. 模长公式： 4. 夹角公式： ·示例：已知，求与夹角。 ·易错点：1. 数量积结果是实数，不是向量，易误判为向量； 2. 夹角范围记错：必须，非锐角钝角随意取值； 3. 误用运算律：数量积无结合律，； 4. 模平方公式遗忘：求模最值不会用转化。 知识点04 向量平行与垂直判定 设， 1. 平行（共线）： 2. 垂直： ·示例：已知，若，求。 ·易错点：1. 公式混淆：平行用乘积差、垂直用乘积和，极易记反； 2. 平行判定忽略，参数求解出现增根； 3. 两向量平行≠两直线平行，向量平行可重合，直线平行不可重合。 知识点05 向量模长综合与最值 完全平方公式： . ·示例：已知，求。 ·易错点：1. 平方展开漏写交叉项，是期末最常见失分点； 2. 求出模平方后忘记开根号，直接用平方值作为模长结果； 3. 最值问题不会转化，忽略利用二次函数、三角函数求模的范围 题型一 线性运算：加减、数乘、共线判断 解｜题｜技｜巧 1. 几何运算优先用“首尾相接”：加法首尾连，减法共起点、指向被减向量； 2. 共线问题优先找倍数关系，无需坐标即可快速判定平行； 3. 线性组合化简，优先合并同类向量，简化后续计算。 【典例1】是所在平面内一点，，则点必在（    ） A．内部 B．在直线上 C．在直线上 D．在直线上 【典例2】（25-26高一下·上海·期末）在中，，则是（   ）三角形. A．等腰 B．等腰直角 C．等腰或直角 D．等边 【变式1】在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 题型二 坐标运算：求模、夹角、数量积 答｜题｜模｜板 1. 写出两向量坐标； 2. 代入公式计算、、； 3. 代入夹角公式求； 4. 根据值结合范围，求出夹角。 【典例1】（25-26高一下·上海普陀·期末）已知向量，，则__________. 【典例2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则______． 【变式1】已知向量，则_________. 【变式2】若向量、满足，，则______. 题型三 垂直/平行：求参数（如求） 答｜题｜模｜板 1. 写出两向量坐标； 2. 根据平行/垂直条件列方程； 3. 解方程求出参数； 4. 检验特殊情况，规范作答。 易｜错｜点｜拨 1. 公式记反：平行是差为0，垂直是和为0（高频致命错误）； 2. 平行问题不检验零向量，导致参数多解、增根； 3. 混淆向量平行与直线平行：向量可重合，直线不可重合。 【典例1】（24-25高一下·上海·期末）设， 已知向量 若 则x=（   ） A．2 B．- 2 C． D． 【典例2】（24-25高一下·上海·期末）设，向量，．若，则_________． 【变式1】若向量，，且，则________. 【变式2】已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求的值. 题型四 投影：在上投影 答｜题｜模｜板 1. 区分所求为投影数量/投影向量； 2. 代入对应公式计算数量积与模长； 3. 化简得出结果，向量需保留向量形式。 【典例1】（24-25高一下·上海·期末）已知向量与的夹角为，，则在方向上的数量投影为________． 【典例2】（24-25高一下·上海普陀·期末）已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为______． 【变式1】已知向量，，则在方向上的投影向量为__________. 【变式2】（25-26高一下·上海普陀·期末）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是__________. 题型五 几何综合：向量解三角形、最值 答｜题｜模｜板 1. 对所求模整体平方； 2. 展开向量完全平方公式； 3. 代入已知模长、数量积，化简为函数式； 4. 求函数最值，最后开根号还原模长； 5. 写出最终最值结果。 易｜错｜点｜拨 1. 模平方展开漏写交叉项，期末最高频失分点； 2. 求最值忘记还原开根号，直接输出平方结果； 3. 三角形向量方向混乱，写错向量关系式。 【典例1】如图，在边长为2的正方形中，P是对角线上一点，且，则 (1)求的值 (2)若点M为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 【典例2】已知菱形的边长为2，，为边中点，且，为线段的中点． (1)若，求的值； (2)求的最小值． 【变式1】如图，已知等边三角形的边长为4，以顶点为圆心，4为半径作圆弧，设是弧上的动点（包括端点）. (1)求阴影部分的面积； (2)求的取值范围. 【变式2】如图，在梯形中，，且，设，. (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值； (3)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．已知向量，满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）． ①若，则的最小值为； ②若，则存在唯一的y，使得； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．（25-26高一下·上海·期末）若，，则_________. 4．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 三、解答题 5．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知． (1)求与的夹角大小； (2)求在方向上的投影与数量投影． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在中，，，N为BC的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．10 B．20 C． D． 2．小张同学在学习了向量的数量积后，想出一道题考考同学们，题目和他给出的答案如下： 题目：，求的值．答案：的值为7. 则他的数学老师小朱老师最有可能给出的评价为（    ） A．题目正确，答案正确 B．题目错误，答案错误 C．题目错误，答案正确 D．题目正确，答案错误 二、填空题 3．（25-26高一下·上海·期末）已知向量，则向量在上的投影向量的坐标为______. 4．在平面直角坐标系中，点． 将向量绕原点顺时针旋转，得到向量，则在方向上的数量投影为______． 三、解答题 5．如图，在直角三角形ABC中，，，，，，其中，，设DE中点为M，AB中点为N． (1)若，求证：C、M、N三点共线； (2)若，求的最小值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．设 是平面向量的一组基底，那么 “ ” 是 “ 是钝角” 的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．已知正六边形 的边长为 是其边上的动点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．在四边形 中，若 ，则 ______． 4．在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为________. 三、解答题 5．已知平面上的，是锐角，，，在边上的射影满足，点满足，点在直线上，使得. (1)若，求； (2)若是中点，求的值； (3)记的中点为，求面积的最小值. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03平面向量（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01：线性运算：加减、数乘、共线判断 题型02 坐标运算：求模、夹角、数量积 题型03：垂直/平行：求参数（如求） 题型04：投影：在上投影 题型05：几何综合：向量解三角形、最值 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 向量基础概念 1. 概念掌握理解向量、模、零向量、单位向量、共线/垂直、相等相反向量，区分向量与数量。 低频基础选择填空，多为概念辨析，送分题 线性运算与坐标 2. 线性运算熟练掌握向量加减、数乘、基底分解，会坐标运算与参数求解。 中频必考，填空常考基底表示、参数求值 数量积 3. 数量积核心掌握数量积公式、模、夹角、垂直平行判定，熟练代数运算。 最高频！选择填空大题均考，核心得分点 平行与垂直判定 4. 位置关系判定熟练用坐标判定向量平行、垂直，解决几何位置问题。 必考题型，常求参数范围、参数值 常用综合公式 5. 综合应用会用向量求解长度、角度、共线、模最值，解决平面几何问题。 期末大题高频，考最值、几何综合 知识点01 向量基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量，记作或，大小为模长。 2. 零向量：，方向任意，与任意向量平行。 3. 单位向量：模长为1，非零向量的同向单位向量：。 4. 共线向量：。 ·示例：已知，求其同向单位向量。 解：，单位向量。 ·易错点：1. 忽略零向量方向任意、平行一切向量的特殊性质，解题漏判零向量； 2. 混淆单位向量与原向量，忘记单位向量是无量纲方向向量； 3. 认为“模相等则向量相等”，忽略向量需要大小、方向同时相同。 知识点02 向量线性运算（加减、数乘、坐标） 设 1. 加减运算： 2. 数乘运算：， 3. 平面向量基本定理：不共线，则（唯一分解） ·示例：已知，求。 解：，。 ·易错点：1. 数乘运算只乘横坐标、漏乘纵坐标，坐标运算粗心出错； 2. 向量减法顺序颠倒，极易写反； 3. 基底分解误用共线向量，基底必须满足不共线条件。 知识点03 向量数量积 1. 定义式： 2. 坐标式： 3. 模长公式： 4. 夹角公式： ·示例：已知，求与夹角。 解：，故两向量垂直，夹角。 ·易错点：1. 数量积结果是实数，不是向量，易误判为向量； 2. 夹角范围记错：必须，非锐角钝角随意取值； 3. 误用运算律：数量积无结合律，； 4. 模平方公式遗忘：求模最值不会用转化。 知识点04 向量平行与垂直判定 设， 1. 平行（共线）： 2. 垂直： ·示例：已知，若，求。 解：由垂直条件：。 ·易错点：1. 公式混淆：平行用乘积差、垂直用乘积和，极易记反； 2. 平行判定忽略，参数求解出现增根； 3. 两向量平行≠两直线平行，向量平行可重合，直线平行不可重合。 知识点05 向量模长综合与最值 完全平方公式： . ·示例：已知，求。 解：，故。 ·易错点：1. 平方展开漏写交叉项，是期末最常见失分点； 2. 求出模平方后忘记开根号，直接用平方值作为模长结果； 3. 最值问题不会转化，忽略利用二次函数、三角函数求模的范围 题型一 线性运算：加减、数乘、共线判断 解｜题｜技｜巧 1. 几何运算优先用“首尾相接”：加法首尾连，减法共起点、指向被减向量； 2. 共线问题优先找倍数关系，无需坐标即可快速判定平行； 3. 线性组合化简，优先合并同类向量，简化后续计算。 【典例1】是所在平面内一点，，则点必在（    ） A．内部 B．在直线上 C．在直线上 D．在直线上 【答案】B 【分析】根据共线定理可知即与共线，从而可确定点一定在边所在直线上． 【详解】 ， ， ，即与共线 ∴点一定在边所在直线上. 故选：B． 【典例2】（25-26高一下·上海·期末）在中，，则是（   ）三角形. A．等腰 B．等腰直角 C．等腰或直角 D．等边 【答案】D 【详解】因为， 所以该三角形是等边三角形. 【变式1】在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C 【变式2】在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A 题型二 坐标运算：求模、夹角、数量积 答｜题｜模｜板 1. 写出两向量坐标； 2. 代入公式计算、、； 3. 代入夹角公式求； 4. 根据值结合范围，求出夹角。 【典例1】（25-26高一下·上海普陀·期末）已知向量，，则__________. 【答案】 【详解】因为，，所以， ， 则. 【典例2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则______． 【答案】 【分析】根据题意，得到和的坐标，求得，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和， 可得，，所以， 所以. 故答案为：. 【变式1】已知向量，则_________. 【答案】 【分析】根据平面向量得夹角的坐标表示计算即可. 【详解】由， 得， 所以. 故答案为：. 【变式2】若向量、满足，，则______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解作答. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 题型三 垂直/平行：求参数（如求） 答｜题｜模｜板 1. 写出两向量坐标； 2. 根据平行/垂直条件列方程； 3. 解方程求出参数； 4. 检验特殊情况，规范作答。 易｜错｜点｜拨 1. 公式记反：平行是差为0，垂直是和为0（高频致命错误）； 2. 平行问题不检验零向量，导致参数多解、增根； 3. 混淆向量平行与直线平行：向量可重合，直线不可重合。 【典例1】（24-25高一下·上海·期末）设， 已知向量 若 则x=（   ） A．2 B．- 2 C． D． 【答案】C 【分析】由两向量平行的充要条件结合坐标运算即可得解. 【详解】设, , 则 ， 所以由题意可得,即,解得 故选：C 【典例2】（24-25高一下·上海·期末）设，向量，．若，则_________． 【答案】 【分析】依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故答案为： 【变式1】若向量，，且，则________. 【答案】 【分析】利用向量平行的坐标运算即可求解. 【详解】因为向量，，且， 可得，解得. 故答案为：. 【变式2】已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据向量平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据向量垂直满足的坐标关系可得，由模长公式即可求解. 【详解】（1）由题意知 （2），， 题型四 投影：在上投影 答｜题｜模｜板 1. 区分所求为投影数量/投影向量； 2. 代入对应公式计算数量积与模长； 3. 化简得出结果，向量需保留向量形式。 【典例1】（24-25高一下·上海·期末）已知向量与的夹角为，，则在方向上的数量投影为________． 【答案】 【分析】由在方向上的数量投影公式计算即可. 【详解】在方向上的数量投影为. 故答案为：. 【典例2】（24-25高一下·上海普陀·期末）已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为______． 【答案】2 【分析】由，得，再根据数量投影即可求解. 【详解】由，得， 又向量，的夹角为， 所以在方向上的数量投影为. 故答案为：2. 【变式1】已知向量，，则在方向上的投影向量为__________. 【答案】 【分析】先依次求出、、，再结合投影向量公式即可计算求解. 【详解】由题意得，， 所以， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为：. 【变式2】（25-26高一下·上海普陀·期末）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据投影向量的定义可推得，结合夹角范围与余弦函数的单调性即得的取值范围. 【详解】依题意， ,则在方向上的投影向量为， 又因，则， 因， 而函数在上单调递减， 则得， 即的取值范围是. 题型五 几何综合：向量解三角形、最值 答｜题｜模｜板 1. 对所求模整体平方； 2. 展开向量完全平方公式； 3. 代入已知模长、数量积，化简为函数式； 4. 求函数最值，最后开根号还原模长； 5. 写出最终最值结果。 易｜错｜点｜拨 1. 模平方展开漏写交叉项，期末最高频失分点； 2. 求最值忘记还原开根号，直接输出平方结果； 3. 三角形向量方向混乱，写错向量关系式。 【典例1】如图，在边长为2的正方形中，P是对角线上一点，且，则 (1)求的值 (2)若点M为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示，再根据向量数量积求解即可. （2）用表示，再根据向量数量积以及二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，， 则， ， 所以， 所以. （2）因为点M为线段（含端点）上的动点，设，， 则， ， 其中， 可得 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 【典例2】已知菱形的边长为2，，为边中点，且，为线段的中点． (1)若，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量基本定理，再用向量数量积求解； （2）由向量基本定理和向量的线性运算得到， ，再由向量的数量积运算得到，最后利用二次函数求解即可. 【详解】（1）依题意，； 由， 则， 所以. （2）因为，所以 又因为，所以， 因为为的中点， 所以 因为，在上单调递减， 所以的最小值为. 【变式1】如图，已知等边三角形的边长为4，以顶点为圆心，4为半径作圆弧，设是弧上的动点（包括端点）. (1)求阴影部分的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过扇形面积减去等边三角形面积，直接计算阴影部分的面积； （2）法一，建立平面直角坐标系，用参数表示点的坐标，将向量数量积转化为三角函数，利用三角函数的单调性求取值范围；法二，利用向量中点公式和极化恒等式，将数量积转化为点到定点距离的平方形式，通过几何对称性求距离最值，进而得到取值范围. 【详解】（1）设阴影部分面积为，则. （2）法一：以为坐标原点，为轴，过与垂直的直线为轴，建立直角坐标系. 设，则， 则， 所以， ， 因为，所以， 所以的取值范围为. 法二：取中点，再取中点，则， 则， 由对称性可知，当点位于弧中点时， 当点与点或重合时， 所以的取值范围为. 【变式2】如图，在梯形中，，且，设，. (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值； (3)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）梯形中线段和的位置关系和长度关系得到，再利用向量的线性运算； （2）因为，，三点共线，所以，且； （3）设，用，和表示和，所以可转化成关于的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】（1）因为，且，所以， 则. （2）因为，所以， 又因为，，三点共线，所以，解得. （3）因为，，，所以，，， 设， 则， ， 所以 ， 因为，所以当时，的最小值为. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】利用向量共线的判断方法来推理，即可得到选项． 【详解】对于A，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项A中两个向量能作为基底，故A错误； 对于B，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项B中两个向量能作为基底，故B错误； 对于C，因为，所以与共线，即选项C中两个向量不能作为基底，故C正确； 对于D，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项D中两个向量是能作为基底，故D错误； 故选：C． 2．已知向量，满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）． ①若，则的最小值为； ②若，则存在唯一的y，使得； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】对于①，对两边平方转化为求的最值可判断①；对两边同乘以可判断②；对两边平方然后利用基本不等式可判断③；由③知可判断④. 【详解】，， 对于①，若，则 ，当且仅当时，取得等号， 的最小值为的最小值为①正确； 对于②，若，由得， 存在唯一的，使得，②正确； 对于③，若，则 ， 当且仅当时取得等号， 又，当且仅当，时取得等号，③正确； 对于④，若，则， 由③知，④正确. 故答案为：D. 二、填空题 3．（25-26高一下·上海·期末）若，，则_________. 【答案】 【详解】因为，，所以. 4．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【分析】根据条件，利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】因为，， 所以在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 三、解答题 5．（25-26高一下·上海黄浦·期末）已知． (1)求与的夹角大小； (2)求在方向上的投影与数量投影． 【答案】(1)； (2)投影为，数量投影为. 【分析】（1）根据数量积的运算律求得，然后根据夹角公式计算即可； （2）根据投影和数量投影的概念计算即可. 【详解】（1）由题可知， 所以， 则，， 又，所以夹角为. （2）在上的投影为. 在上的数量投影为. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在中，，，N为BC的中点，且外接圆的圆心为M，则（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，分别取线段的中点为结合向量数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为的中点，则， 所以． 如图，分别取线段，的中点为，，因为为的外接圆圆心，所以，， 则，， 因此． 2．小张同学在学习了向量的数量积后，想出一道题考考同学们，题目和他给出的答案如下： 题目：，求的值．答案：的值为7. 则他的数学老师小朱老师最有可能给出的评价为（    ） A．题目正确，答案正确 B．题目错误，答案错误 C．题目错误，答案正确 D．题目正确，答案错误 【答案】B 【分析】根据向量加法的几何意义，有：，可得，因此题目条件自相矛盾，题目错误，答案错误． 【详解】根据向量加法的几何意义，有：， 代入已知条件，则， 但题目中给出的，互相矛盾， 因此题目条件自相矛盾，题目错误． 若强行按公式计算： ，解得， 虽然计算过程正确，但由于题目条件本身不成立，此结果无实际意义，答案错误． 综上，题目条件矛盾且答案无意义． 故选：B． 二、填空题 3．（25-26高一下·上海·期末）已知向量，则向量在上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以向量在上的投影向量的坐标为. 4．在平面直角坐标系中，点． 将向量绕原点顺时针旋转，得到向量，则在方向上的数量投影为______． 【答案】 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】由题意得， 所以 在 方向上的数量投影为. 三、解答题 5．如图，在直角三角形ABC中，，，，，，其中，，设DE中点为M，AB中点为N． (1)若，求证：C、M、N三点共线； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理，化简得证明即可； （2）根据，代入化简可得，再根据二次函数的最值分析最小值即可 【详解】（1）当时， ，，故，故C、M、N三点共线，即得证 （2）当时，，，故，故，故当时，取得最小值，即的最小值为 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．设 是平面向量的一组基底，那么 “ ” 是 “ 是钝角” 的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】 是钝角时，，必要性满足， 是平面向量的一组基底，则， 时，， 时，，充分性也满足， 所以应为充要条件. 2．已知正六边形 的边长为 是其边上的动点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作直线，分别延长交直线于点，则在直线上的射影在线段上，利用数量积的定义可得结论. 【详解】是正六边形，则， 所以， ，则， 过作直线，则，分别延长交直线于点， 则是矩形，， 作于，由图可知，当在正六边形的边上移动时，在线段之间移动， ， 又由向量夹角定义知， ， 当在线段时，，当在线段时，， 所以. 二、填空题 3．在四边形 中，若 ，则 ______． 【答案】 【分析】利用数量积的线性运算即可求解. 【详解】由题意得： . 4．在斜三角形中，是的中点，在边上，，与交于点，若，且，则的值为________. 【答案】12 【详解】如图，取中点，连接，所以， 因为， 所以，为中点， 所以，即. 因为，， 所以代入可得， 因为， 所以. 因为在斜三角形中，， 所以，解得. 三、解答题 5．已知平面上的，是锐角，，，在边上的射影满足，点满足，点在直线上，使得. (1)若，求； (2)若是中点，求的值； (3)记的中点为，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意知在上的投影向量为，再根据数量积的定义求解即可； （2）用，表示向量，，进而结合题意，利用求解即可； （3）设，用，表示向量，，再结合得，根据得，根据求得中边上的高为，最后结合基本不等式求解面积的最小值即可. 【详解】（1）解：因为在边上的射影满足， 所以在上的投影向量为，且， 所以 所以，当时， （2）解：因为点满足， 所以， 因为是中点，所以， 所以， 因为， 所以，即，解得（负舍） 所以 （3）解：结合（2）知，因为点在直线上， 设，则， 因为， 所以，即， 代入整理得，即 因为的中点为， 所以， 所以 因为，，在边上的射影满足， 所以，且 因为点满足 所以点到的距离为，即中边上的高为 所以面积为 记，令，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，即时等号成立， 所以面积为，即面积的最小值为，此时. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $