河南信阳市罗山县楠杆高级中学2025-2026学年高二下学期数学期末复习考试练习卷

**基本信息** 2026学年罗山楠杆高中高二数学期末复习卷，覆盖选择性必修1-3内容，以数列、圆锥曲线、导数等核心知识为载体，融入《孙子算经》文化素材与药材种植收益分析等实际问题，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|双曲线方程（1）、数列周期性（2）、抛物线应用（3）|结合《孙子算经》（6）考查数论应用| |多选题|3/18|圆的方程（9）、导数几何意义（10）、统计回归（11）|通过异常样本点分析（11）强化数据分析| |填空题|3/15|等差数列求和（12）、点到直线距离（13）、函数单调性（14）|注重数学符号语言表达（14构造函数）| |解答题|5/77|立体几何向量（15）、导数极值与零点（16）、数列证明（17）、圆方程（18）、统计回归与决策（19）|以药材种植收益（19）构建完整数学建模过程，融合回归分析与实际决策|

2026学年度罗山县楠杆高中高二期末复习考试练习卷 高二数学 考试范围：选择性必修123；考试时间：120分钟；分值：150 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．在数列中，，，，记数列的前n项和为，则（    ） A． B． C．0 D．3 3．如图，南北方向的公路，地在公路正东处，地在东偏北方向处，河流沿岸曲线上任意一点到公路和到地距离相等．现要在曲线上一处建一座码头，向两地运货物，经测算，从到、到修建费用都为万元，那么，修建这条公路的总费用最低是万元 A． B． C． D． 4．在等差数列中，若，，则（   ） A．10 B．18 C．26 D．32 5．已知数列满足：若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？意思是：有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个，这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，则前10个数的和为（    ） A．754 B．755 C．756 D．757 7．在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．为更好地促进同学们的动手能力，某学校拟开展物理实验周活动，组织同学们到实验室中开展物理实验.在某个实验中，某同学利用自己测量得出的实验数据（已知其中含1个异常样本点），利用最小二乘法进行计算得出了经验回归方程及决定系数.并利用计算机处理得到了以下的实验结果1，实验结果2为删除该异常样本点后利用最小二乘法进行计算得到的经验回归方程及决定系数，则（    ） A．可认为该实验中的自变量与因变量符合线性回归模型 B．推测实验结果1中的异常样本点的自变量的值可能为0.33 C．由于，则实验结果1相较于实验结果2拟合更好 D．实验结果1的因变量的平均值大于实验结果2的因变量的平均值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设为等差数列的前项和.若，，则______. 13．原点到直线的距离为___________. 14．设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 ____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC､BD､EF，点E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，请化简下列算式，并标出化简得到的向量. (1)； (2). 16．（15分）已知函数. (1)试确定函数的极大值与1的大小关系，并说明理由； (2)若函数有3个零点，求实数的取值范围. 17．（15分）已知数列中，，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 18．（17分）已知圆的圆心为，且经过坐标原点. （1）求圆的标准方程； （2）直线与圆相交于，两点，求. 19．（17分）某中药企业计划种植两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据.药材A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表： 年份 2018 2019 2010 2021 2022 年份编号 1 2 3 4 5 单价（元/公斤） 18 20 23 25 29 药材的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下： (1)若药材A的单价（单位：元/公斤）与年份编号间具有线性相关关系；请求出关于的回归直线方程，并估计2024年药材A的单价； (2)利用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量（同一组数据用中点值为代表）； (3)若不考虑其他因素影响，为使收益最大，试判断2024年该药企应当种植药材A还是药材B？并说明理由. 参考公式：回归直线方程，其中. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026学年度罗山县楠杆高中高二期末复习考试练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C D B B D B AB ACD 题号 11 答案 AB 1．A 【分析】原方程可变形为，根据已知有，解出即可. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的双曲线， 可变形为. 所以有，即，解得. 故选：A. 2．A 【分析】由已知结合数列递推公式分别求出数列的前几项，可得数列是周期为4的周期数列，则可求． 【详解】由，，， 得，，，，，，，， 可知数列是周期数列，且周期为4． 则． 故选：． 【点睛】本题考查数列递推公式，考查数列的函数特性，训练了数列周期性的应用，是中档题． 3．C 【详解】试题分析：依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线， 根据抛物线的定义知： 欲求从M到A，B修建公路的费用最低，即求的最小值，设点M到直线l的距离为d，且，即求的最小值，即为点B到直线l的距离． 因B地在A地东偏北300方向km处， ∴B到点A的水平距离为3（km）， ∴B到直线l距离为：3+2=5（km）， 那么修建这两条公路的总费用最低为：5a（万元）．故选C． 考点：抛物线方程的应用. 4．D 【分析】利用等差数列片段和的性质求解. 【详解】因为数列为等差数列，所以等差数列的片段和： ，，，仍为等差数列. 又，， 所以， . 故选：D 5．B 【分析】利用裂项相消法求和，先根据已知将裂项为形式，再相加即可化简求解. 【详解】由条件得，且，， 则，. 所以； ； ； . 各式相加可得， 又因为， 该数列显然从第二项起单调递增， 所以. 故选：B. 6．B 【分析】由题意可得除以三余二且除以五余三的正整数是以为首项，为公差的等差数列，再根据等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】设除以三余二的正整数为数列，则， 除以五余三的正整数为数列，则， 除以三余二且除以五余三的正整数为数列， 而和的最小公倍数为， 则数列是由数列和的公共项构成的一个数列， 数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 所以前10个数的和为. 故选：B. 7．D 【分析】利用函数在连续可导且单调递增，可得导函数在大于等于0恒成立即可得到的取值范围． 【详解】因为函数在连续可导且单调递增， 所以在恒成立， 分离参数得恒成立，即，故选D． 【点睛】本题考查函数在区间内单调递增等价于在该区间内恒成立． 8．B 【分析】设，根据椭圆的定义可得，从而得到点为椭圆的上顶点或下顶点，在中由余弦定理可得的值，最后在中由余弦定理可得结果. 【详解】设，则，， 由，可得， ，所以点为椭圆的上顶点或下顶点， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，即，. 故选：B. 9．AB 【分析】依次求点到圆心的距离进行判断即可. 【详解】对A：因为，所以点在圆内； 对B：因为，所以点在圆内； 对C：因为，所以点在圆上； 对D：因为，所以点在圆外. 故选：AB 10．ACD 【分析】根据函数的图象确定在处的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论. 【详解】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误； 由图可知，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率， 即，所以，D正确. 故选：ACD 11．AB 【分析】利用图即可判断AB，由决定系数的意义即可判断C，根据图象估计平均值即可判断D. 【详解】对于A：由散点图可知该实验中的自变量与因变量符合线性回归模型，故A正确； 对于B：根据实验结果1的图可知异常样本点的自变量的值可能为0.33，故B正确； 对于C：由于，则实验结果2相较于实验结果1拟合得更好，故C错误； 对于D：由于实验结果1包含了异常样本点对应的因变量值接近，比其他正常样本点对应的因变量值小得多， 故实验结果1的因变量的平均值小于实验结果2的因变量的平均值，即D错误. 故选：AB. 12．15 【分析】根据等差数列基本量运算求出公差，利用等差数列前n项和公式运算得解. 【详解】， ，又，解得， . 故答案为：15. 13． 【解析】利用点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】原点到直线的距离为. 故答案为：. 【点睛】本题考查点到直线的距离的计算，考查计算能力，属于基础题. 14． 【分析】令，由题意得为奇函数，并结合导数得的单调性，再由，利用的单调性求解即可. 【详解】 令，即，则为奇函数， 当时，，则在上单调递增， 故在区间上单调递增，则在上单调递增， ∵， 即， ∴，解得． 故答案为： . 15．(1)，作图答案见解析 (2)，作图答案见解析 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】（1）解：； 向量如图所示. （2）因为点E､F､G分别为BC､CD､DB的中点. 所以，， 所以. 向量如图所示. 16．(1)函数的极大值大于1，理由见解析； (2). 【分析】（1）利用导数研究的单调性，进而确定其极大值，结合单调性与比较大小即可； （2）根据（1）所得单调性，只需保证极小值即可求参数范围. 【详解】（1）函数的极大值大于1，理由如下： 由题设，令，解得， 当或时，单调递增， 当时，单调递减， 所以时取得极大值，由单调性知， 所以函数的极大值大于1. （2）由（1）知，当时有极大值，且极大值为， 因为，且当时有极小值， 要使函数有3个零点，应满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 17．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题意，将原式两边同时取倒数，即可得到证明； （2）由（1）可得数列的通项公式，从而求得数列的通项公式． 【详解】（1）因为，，所以，即， 所以，即数列是首项为1，公差为3的等差数列. （2）由（1）可知，数列是首项为1，公差为3的等差数列， 所以，所以. 18．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】（1）首先求出圆的半径，即可求出圆的方程； （2）求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理计算可得； 【详解】（1）解：由题意知，圆的半径， 所以，圆的标准方程为. （2）解：圆心到直线的距离， . 19．(1)，元/公斤 (2)公斤 (3)应该种植药材A，理由见解析 【分析】（1）根据题中数据结合公式求得回归直线方程为，再令代入运算即可得结果； （2）根据频率分布直方图中平均数公式计算可得； （3）比较A、B两种药材的均值，即可判断. 【详解】（1）由题意可得：， ， 则，， 故回归直线方程为， 当时，， 即2024年药材A的单价预计为元/公斤. （2）由频率分布直方图可得：组距为20，自左向右各组的频率依次为， 故B药材的平均亩产量为公斤. （3）预计2024年药材A每亩产值为元， 药材B每亩产值为元元， 所以药材A的每亩产值更高，应该种植药材A. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $