2026年陕西中考数学考前冲刺二次函数实际应用问题3

**基本信息** 聚焦陕西中考25题8分高频考点，构建"考情-方法-题型"三维突破体系，以实际应用为载体培养数学建模与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考情分析|4年真题+副题|坐标转化/方程求解/最值判断|从真题特征提炼核心考法，建立"问题情境-函数模型-数学运算"逻辑链| |解题步骤|5步规范流程|顶点式优先/符号验证/结论书写|以"建系-求式-运算-检验"为主线，衔接数形转化与方程思想| |题型特训|5类型40题|利润公式/面积转化/轨迹分析|从基本性质到实际应用，梯度覆盖课标要求的建模与应用能力|

2026陕西中考数学考前冲刺——二次函数实际应用张学远新中考 · 个性化学伴 2026陕西中考数学 二次函数实际应用 老师备课、家长伴学、学生提高1 学科网（北京）股份有限公司 2026陕西中考数学考前冲刺——二次函数实际应用 目 录 一、考情分析 2 ◆（一）考情概览 2 ◆（二）核心考法 2 ◆（三）解题技巧 2 二、必备知识 3 三、通用解题步骤 5 四、易错分析 5 五、题型特训 6 ◆类型1：二次函数基本性质 6 ◆类型2：二次函数基本性质应用题 20 ◆类型3：利润最值问题 36 ◆类型4：面积最值问题 41 ◆类型5：新方向 44 附：课标要求 50 相关文档 1.教师版word 2.学生版word、pdf 3.参考答案详解详析pdf 选题：陈佳欢 策划：张学远 张苡 策划团队：张学远新中考·个性化学伴 一、考情分析 （一）考情概览 自2022年开始，陕西连续4年在25题（解答题）考查二次函数实际应用，分值为8分，难度中等偏难（2025年该题的预设难度为0.5，实测难度为0.39，实际平均得分为3.16分，得分较低）.具体考情如下： 年份 设问（1） 设问（2） 背景 抛物线条数 2025真题 求抛物线的函数表达式 求线段长 景区大门 3条 2025副题 求线段长 彩虹桥钢缆 3条 2024真题 求线段长 悬索桥 2条 2024副题 求最大高度 求水平距离 广场双喷头喷泉 单条 2023真题 求抛物线的函数表达式 判断面积大小 （转化为求线段长） 图书楼正门 单条 2023副题 求线段长 抛物线型钢构件 单条 2022真题 求点坐标 隧道横截面 单条 （二）核心考法 类型 考情 考查知识点 二次函数 基本性质 2025副题、2024、 2024副题、2022、 2021副题.25题 数形转化、二次函数的图象与性质、解一元二次方程（知y求x）、函数代入求值（知x求y） 二次函数基本性质应用 2025、2023.25题， 2023副题.8题 平行垂直线段转化横纵坐标、二次函数图象的对称变化（关于y轴）、线段运算转化 （三）解题技巧 1.求抛物线的函数表达式 （1）必写设式步骤，阅卷踩分点：设表达式→代点→求系数→写最终式子 （2）算出a后立刻检验：把已知点回代式子，验证坐标是否成立，当场修正计 算错误 2.知x求y：直接代表达式求y，不用解方程 3.判断能不能过桥 / 过水：算出该位置实际高度y，和物体高度比大小，最后必须写文字结论 4.灯带、支架竖线段长度 = 抛物线上方点纵坐标 − 下方点纵坐标 5.限定固定高度求水平宽度：令y为定值，解一元二次方程得两个x，线段长度为∣x2−x1∣. 二、必备知识 知识点（一）:数形转化 1.把实际水平距离转为横坐标x，竖直高度转为纵坐标y. 2.读懂坐标系原点、x轴、y轴实际含义 拱顶 / 最高点 = 抛物线顶点，落地、桥面、地面位置纵坐标y=0 知识点（二）:二次函数表达式的确定与性质 当题目中给出含参表达式时，根据题意找出二次函数图象上已知点的坐标，未知数有几个，则找几个已知点坐标，带入求解.当表达式未知时，设合适的表达式： 已知条件 顶点+任意一点 对称轴+最值+任意一点 与x轴的两个交点+ 任意一点坐标 任意三点坐标 设表达式 对称轴 顶点坐标 () () 对称性 对称轴两侧横坐标对称，纵坐标相等 性质 ＞0，开口向上，=时，有最小值， ，随的增大而增大，，随的增大而减小； ＜0，开口向下=时，有最大值， ，随的增大而减小，，随的增大而增大 知识点（三）:解一元二次方程 解法 适用形式 方程的根 直接开方法 ==－ ==－ 因式分解法 (x−a)(x−b)=0 == x(ax+b)=0(a≠0) == 公式法 任意一元二次方程： (a≠0, −4ac≥0) 求根公式为  在使用求根公式时： （1）要先将一元二次方程化为一般形式； （2）确定a,b,c的值时要带符号 配方法 任意的一元二次方程，转化为形如x2+2mx−n=0 求解过程： 变形得 x2+2mx=n， 配方得 x2+2mx+m2=n+m2，即(x+m)2=n+m2，解得 x=±−m 注：二次项系数不是 1 的先化为 1 知识点（四）:二次函数图象的变化 以顶点式为例：表达式： 顶点坐标：（h,k） 变换类型 原顶点坐标变化 变换后的表达式 速记口诀 向左平移m个单位长度 （h+m,k） h加m，、不变 向右平移m个单位长度 （h－m,k） h减m，、不变 向上平移m个单位长度 （h,k+m） +m k加m，、不变 向下平移m个单位长度 （h,k－m） －m k减m，、不变 速记口诀 左加右减只变h，上加下减只变k，系数a始终不变 关于x轴对称 （h,−k） 、全反号，不变 关于y轴对称 （−h,k） 反号，、不变 关于原点对称 （−h,−k） 、全反号 三、通用解题步骤 1.判模型、读坐标：快速判断模型类型，精准提取图中所有已知点坐标（端点、顶点、落地交点） 2.选对函数形式：有顶点/拱顶直接设顶点式；有双落地交点设交点式，优先最简形式，不盲目用一般式 3.代点求表达式（规范得分）：代入已知点列方程，求出系数a，写出完整函数式，必须标注自变量取值范围 4.第二问精准运算：根据题意代入求值、解方程、求线段长度、判断通行；两根必须取舍，结合图象对称性简化计算 5.规范收尾作答：完整文字结论、带单位、检查格式，杜绝跳步、漏答、无总结 四、易错分析 1.最致命易错：只算顶点最值，忽略自变量范围，顶点超区间必须取端点最值 2.轨迹题易错：解方程得两个根，未舍去负数根、超范围根 3.建模易错：利润公式代错、边长关系写反、靠墙边长混淆 4.格式易错：不写自变量范围、无答句、无文字判断结论 5.公式易错：对称轴漏负号、开口方向判断颠倒 6.建立平面直角坐标系混乱 原点、坐标轴乱设，坐标写错，后续全错 技巧：优先把顶点、中点、地面端点放坐标轴 7.坐标代值符号出错 点在 x 轴下方、左侧，坐标带负号，代入时漏负号 8.忽略物体尺寸 车辆、行人有宽度 /高度，不是只看点坐标 五、题型特训 类型1：二次函数基本性质 典例分析 例：（2024陕西副卷）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． （1）求喷头喷出的水流的最大高度； （2）一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【思路点拨】（1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出 的最大值即可；（2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 解：（1）∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得，令，得，可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得. 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）依题意，函数，令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 举一反三 1.（2025陕西副卷）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 （1）求所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 解：（1）由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ，解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 2．（2024陕西）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF′为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 已知：缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100m，AO＝BC＝17m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计） （1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式； （2）点E在缆索L2上，EF⊥FF′，且EF＝2.6m，FO＜OD，求FO的长． 解：（1）由题意，∵AO＝17m， ∴A（0，17）． 又OC＝100m，缆索L1的最低点P到FF′的距离PD＝2m， ∴抛物线的顶点P为（50，2）． 故可设抛物线为y＝a（x﹣50）2+2． 又将A代入抛物线可得， ∴2500a+2＝17，∴a． ∴缆索L1所在抛物线为y（x﹣50）2+2． （2）由题意，∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称， 又缆索L1所在抛物线为y（x﹣50）2+2， ∴缆索L2所在抛物线为y（x+50）2+2． 又令y＝2.6， ∴2.6（x+50）2+2． ∴x＝﹣40或x＝﹣60． 又FO＜OD＝50m， ∴x＝﹣40． ∴FO的长为40m． 3．（2022陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． （1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式； （2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 解：（1）依题意，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得．解之，得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）令，得． 解得． ∴． 4．（2026神木市一模）某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图1所示），该模型由“龙头”“船身”、“龙尾”三部分组成．船身外轮廓近似呈抛物线形，如图2所示，船身最左端O与最右端A关于该抛物线的对称轴对称，且它们之间的距离OA＝16cm，船身最低点到OA的距离为6cm．以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）为了便于摆放，在龙舟的B、C两点设置支撑点，在其下方分别安装平衡木，B、C两点均在抛物线上，且这两点关于抛物线的对称轴对称，若这两点间的距离为4cm，求点C到OA的距离． 解：（1）由题意可知，抛物线经过点O（0，0）和点A（16，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x8， ∵船身最低点到OA的距离为6cm，且抛物线开口向上， ∴抛物线的顶点坐标为（8，﹣6）， 设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣8）2﹣6， 将点O（0，0）代入，得： 0＝a（0﹣8）2﹣6， 解得a， ∴该抛物线的函数表达式为y（x﹣8）2﹣6， （2）∵点B、C关于抛物线的对称轴x＝8对称，且B、C两点间的距离为4cm， ∴点C到对称轴的距离为2cm， 由图可知点C在对称轴左侧， ∴点C的横坐标为x＝8﹣2＝6， 当x＝6时，y（6﹣8）2﹣6， ∴点C到OA的距离为cm． 5．（2026铁一中三模）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 解：（1）由题意得，顶点为，即（6，8）， 设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0）， 代入点（12，0）得a（12﹣6）2+8＝0， 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）能安全通过，理由如下：如图， 由题意得：， 将x＝2代入， 则， ∵，∴能安全通过． 6.（2026西安模拟）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁两钢缆与具有相同的抛物线形状．如图，以桥面水平方向为轴，以两钢缆主塔为轴，建立平面直角坐标系．已知所在抛物线与所在抛物线关于轴对称，钢缆的最低点到桥面的距离是，两钢缆最低点，之间的距离是，． （1）求钢缆所在抛物线的函数表达式． （2）为了提升桥梁的稳定性，现需要在钢缆的处（点右侧）与桥面之间加装一根垂直于桥面的加劲梁．已知加劲梁的长为，求加劲梁与主塔的水平距离． （3）在（2）的条件下，若在主塔上安装一个装饰物，使最小，请在图中画出点． 解：（1）由题意可得，所在抛物线的顶点坐标为， 设所在抛物线的函数表达式为． ，，将代入得，． 所在抛物线的函数表达式为． （2）所在抛物线与所在抛物线关于轴对称， 所在抛物线的函数表达式为． ，令，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 加劲梁与主塔的水平距离是． （3）点如图所示． 7．（2026铜川一模）如图是一座“彩虹门”喷泉景观，喷泉场地宽度米，在A，B处各安装一个喷水装置，出水口高度米，且，，喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点C到地面的距离为米．以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线形“彩虹门”的函数表达式； （2）为了避免游客被淋湿，设计团队计划在上安装6个挡雨伞，伞的顶端离地面的距离为3米，且相邻两个挡雨伞的间距相等．若最外侧两个挡雨伞顶端与水柱间的竖直高度均为米，求相邻两个挡雨伞的间距． 【分析】（1）由题意得抛物线的顶点，，设抛物线形“彩虹门”的函数表达式为，将代入求出，即可求出抛物线形“彩虹门”的函数表达式；（2）求出最外侧两个挡雨伞顶端上方的水柱高度，进而求出最外侧两个挡雨伞的底端的横坐标，求出最外侧两个挡雨伞之间的距离，即可求出相邻两个挡雨伞的间距． 解：（1）由题意得抛物线的顶点，． ∴设抛物线形“彩虹门”的函数表达式为． 将代入，得， 解得． ∴抛物线形“彩虹门”的函数表达式为． （2）令，则， 解得，． ∴最外侧两个挡雨伞之间的距离为（米） ∴相邻两个挡雨伞的间距（米）． 8．（2026西安模拟预测）某校中学生田径运动会男子跳远（沙坑）项目，比赛规则：以起跳板前缘为起跳线，沙坑有效落地区域为起跳线前．落点小于成绩无效；落点在之间，按实际水平距离记录成绩．初中男生运动员小凯参赛时，身体重心的运动轨迹可近似看作一条抛物线．现以起跳板前缘为坐标原点，水平向前为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系．起跳瞬间，小凯身体重心高度为，水平前进时，重心达到最大高度． （1）求该抛物线（重心运动轨迹）的函数表达式； （2）通过计算判断：小凯这次跳远成绩是否有效？若有效，最终记录成绩是多少？（参考数据：，结果保留到） 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，设该抛物线的函数表达式为，把代入，可得，即可得该抛物线（重心运动轨迹）的函数表达式；（2）在中，当时，解得，根据题意即可求解． 解：（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， ∵点在该抛物线上，∴，解得， ∴该抛物线（重心运动轨迹）的函数表达式为． （2）在中， 当时，， 解得或（不合题意，舍去）， ∵， ∴， ∵在之间， ∴小凯这次跳远成绩有效，最终记录成绩是． 9．（2026西安二模）儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心．当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，发射软弹后软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上的点处，软弹（大小忽略不计）的飞行路线可近似看作抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点（抛物线的顶点为点）．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线的函数表达式； （2）发射口在点正上方处，发射软弹后软弹的飞行路线可近似看作抛物线，抛物线与抛物线的形状相同，软弹最终落在地面上的点处，求的长． 【分析】（1）依题意，点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的函数表达式为，待定系数法求表达式，即可；（2）根据平移可得抛物线的函数表达式为，将代入，即可求解． 解：（1）由题意知：抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入中，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）发射口在点正上方处，且抛物线与抛物线的形状相同， 抛物线可以看作由抛物线沿轴向上平移得到， 抛物线的函数表达式为， 令，则， 解得，（不符合题意，舍去）， 的长为． 10．（2026西安三模）打铁花（如图①）是流传于民间的一种烟火，表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型．如图②，铁水从表演台中心被击打后飞出，其运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落地点的水平距离为．以为原点，地面OA所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求铁水运动路径所在抛物线的函数表达式； （2）为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面高的升降台（位于表演台中心正上方）上击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点以外的区域．请通过计算说明与表演台中心的水平距离为的位置是否在观赏区安全范围内．（参考数据：） 解：（1）根据题意可知，点的坐标为， 则抛物线的对称轴为，顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入可得，解得， 故抛物线的函数表达式为． （2）据（1）可知抛物线的函数表达式为， 根据题意，在升降台上击打铁水形成的抛物线表达式 为， 当，则，即， 解得，（不符合题意，舍去），， 故与表演台中心的水平距离为的位置不在观赏区安全范围内． 11．（2026西安三模）2026年3月25日，西安国际青年足球锦标赛中，中国国足对阵泰国队．比赛第67分钟，中国队球员陈泽仕在中圈弧附近观察到队友李新翔的跑位，送出一记精准的过顶长传，队友李新翔禁区前凌空破门，足球的飞行轨迹可近似看作二次函数抛物线．以陈泽仕传球站立位置为坐标原点，足球水平前进方向为x轴建立坐标系，单位：米．已知： ①传球瞬间，足球高度为0.2米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离18米时，达到最高点，高度为7米； ③李新翔在点球点附近位置接球凌空射门． （1）求皮球飞行轨迹对应的二次函数表达式； （2）通过计算说明，若李新翔射门时，改为头球攻门，头部触球的高度是1.9米，问足球从传球点水平飞行到头触球的距离是多少米？ 【分析】（1）由题意设皮球飞行轨迹对应的二次函数表达式为，代入即可求解；（2）令，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论． 解：（1）由题意设皮球飞行轨迹对应的二次函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴皮球飞行轨迹对应的二次函数表达式为． （2）令，则， 解得，， 根据图像，头球点在最高点右侧，即，舍去， ∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米． 12．（2026咸阳模拟改编）项目式学习以解决实际问题为核心，结合二次函数知识，聚焦城市绿化灌溉中的精准设计问题，开展实践探究． 项目主题：合理设计，智慧泉源——基于城市绿化灌溉的数学实践探究 项目背景：为响应“绿色城市”建设号召，洒水车作为城市绿化灌溉的核心设备，承担着道路清扫、降温除尘、浇灌绿化带的重要职责，直接影响绿化带存活与城市风貌．如图1，如何科学把控洒水车行驶路线与绿化带的距离，确保喷出的水能浇灌到整个绿化带、实现高效节水，是提升城市管理精细化水平的重要课题．数学小组成员结合所学二次函数知识，围绕这一实际问题，开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 为精准分析洒水范围、解决“浇灌全覆盖”的核心问题，小组成员建立如图2所示的平面直角坐标系，将洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地面的竖直高度h为1.2米，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口0.4米． （1）求上边缘抛物线的函数表达式； 任务二：推理分析 经过进一步实践探究，小组成员发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状保持不变（即抛物线的开口方向和开口大小不变），下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到．为判断浇灌效果，将绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝1.8米，竖直高度EF＝1.1米，洒水车到绿化带的水平距离OD为d米； （2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； （3）若d＝2.2米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 解：（1）喷水口H离地面的竖直高度h为1.2米，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口0.4米， ∴A（2，1.6），抛物线过点（0，1.2）， ∴设抛物线表达式为y＝a（x﹣2）2+1.6， ∴1.2＝a（0﹣2）2+1.6， 解得， ∴； （2）由条件可设上边缘抛物线向左平移t， ∴平移后的抛物线表达式为：， 由条件可得， 整理得（t﹣2）2＝4， 解得t1＝0（舍去），t2＝4， ∴平移后的表达式为， 令y＝0时，， 整理得（x+2）2＝16， 解得x1＝﹣6（舍去），x2＝2， ∴B（2，0）； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由如下， 当d＝2.2米时，OE＝OD+DE＝2.2+1.8＝4米， 当x＝4时，， ∵1.2＞1.1， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 类型2：二次函数基本性质应用题 典例分析 例：（2025陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长. 【思路点拨】（1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解．（2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程． 解：（1）∵，∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵，∴结合二次函数的对称性得， 将代入，得则，∴； （2）由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为，∴， 整理得，∴，∴，解得，∴． 举一反三 1.（2023陕西）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求方案一中抛物线的函数表达式； （2）在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 解：（1）由题意知：，， 方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得，，解得：，， 方案一中抛物线的函数表达式为； （2）在中，令，可得：，解得：或， ，， ，． 2．（2023陕西副卷）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． 解：（1）∵，，为抛物线的顶点， ∴，∴顶点的坐标为，， 设抛物线的表达式为：，代入，得：，解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：，即； （2）解：方案二的内部支架节省材料，理由如下： 方案一：∵，，∴，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案一内部支架材料长度为：； 方案二：∵，，∴，，， 当时，，即，当时，，即， ∴方案二内部支架材料长度为：； ∵，∴方案二的内部支架节省材料． 3．（2026榆林模拟）某室内篮球馆的屋顶采用了双抛物线形钢架结构，如图，其截面的两条钢梁(上)和(下)可近似地看作开口方向相反、开口大小相同的抛物线．以直线为轴，以过点且与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线与都过两点，且它们关于直线对称，为增强结构稳定性和美观度，在两钢梁之间竖直安装矩形透光天窗是抛物线上关于对称轴对称的两点（点在点左侧），点，为点关于直线的对称点，．已知米，抛物线的顶点到的距离为米． （1）求抛物线的表达式； （2）若矩形透光天窗的四边都需要铝合金边框密封，当点的横坐标为 时，所需边框材料最少，求边框总长度的最小值． 解∶（1）米，抛物线的顶点到的距离为米， ，设抛物线的表达式为 将代入表达式得，解得     ∴抛物线的表达式为； （2）∵当点的横坐标为时，边框总长度最小， ∴当时，，∴点的坐标为， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称，， 由题意可知点的坐标为， ，  ， 即边框总长度的最小值为米． 4．（2026渭南模拟）综合与实践 问题情境： “两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据： 已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B之间的距离为6米，桥拱最高点C到水面的距离为米． 数学建模： 如图，以水面AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； 问题解决： （2）如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽DE为5米． ①若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰F（大小忽略不计），求灯饰F与其水中倒影F′之间的距离； ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为米，另外2盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面DE的距离均为米，请直接写出3盏灯笼分别与桥拱最高点C的水平距离． 解：（1）∵y轴垂直平分AB，AB＝6，∴A（﹣3，0），B（3，0）， 由题意．得，设该抛物线的函数表达式为y＝ax2+k（a≠0）， 将代入，得，解得，∴）． （2）①由抛物线的对称性，得， 当时，，∴（米）， 答：灯饰F与其水中倒影F′之间的距离为米； ②乙型灯笼与桥拱最高点C的水平距离均为米，甲型灯笼与桥拱最高点C的水平距离为0米， 由题意可得，甲型灯笼的悬挂点到DE的距离为（米）， 由①得，点C与DE之间的距离为（米）， ∴甲型灯笼的悬挂点即为点C．∴甲型灯笼与桥拱最高点C的水平距离为0米；由题意可得，乙型灯笼的悬挂点到DE的距离为（米）， 由①得，DE与AB之间的距离为米，∴该悬挂点到AB的距离为（米），令，解得或， ∴乙型灯笼与桥拱最高点C的水平距离均为米． 5．（2026西安莲湖区五模）如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面NC的距离为10m，距离左、右侧桥墩（MN，BC）的水平距离均为15m，已知桥墩露出水面的高度BC＝MN＝1m，以NC所在直线为x轴，垂直于NC且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带EF，ED，FG（灯带利用卡扣固定），使得灯带EF与水面平行，ED＝FG，且DE，FG均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为1.5m，当灯带总长度（DE+EF+FG）最大时，求EF的长． 解：（1）设该抛物线的函数表达式为y＝ax2+10， ∵距离左、右侧桥墩（MN，BC）的水平距离均为15m，已知桥墩露出水面的高度BC＝MN＝1m，即B（15，1）， 把B（15，1）代入y＝ax2+10，得1＝a×152+10，解得a＝﹣0.04， ∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣0.04x2+10； （2）设F（b，﹣0.04b2+10），则EF＝2b， ∵灯带EF与水面平行，ED＝FG，且DE，FG均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为1.5m， ∴ED＝FG＝﹣0.04b2+10﹣1.5＝﹣0.04b2+8.5， ∴灯带总长度＝ED+FG+EF＝2×（﹣0.04b2+8.5）+2b＝﹣0.08b2+2b+17， ∴当时，灯带总长度有最大值， 即2b＝2×12.5＝25， 故EF的长为25m． 6.（2026渭南合阳一模改编）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数y＝ax2+bx+1.8（a，b为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离，图象经过点（2，3.2），（4，4.2）． 信息二：球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）（0≤t≤1.6）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： t（秒） 0 0.4 0.6 … x（米） 0 4 6 … （1）求y与x的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当t为1.6秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数y＝﹣0.02x2+px+m（p，m为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围为　 p≤0.36 （直接写出结果）． 解：（1）由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+1.8经过点（2，3.2）和（4，4.2）， ∴∴a＝﹣0.05，b＝0.8，∴二次函数为y＝﹣0.05x2+0.8x+1.8． （2）由题意，∵二次函数为y＝﹣0.05x2+0.8x+1.8，∴其对称轴为直线，∴此时最大高度为：y＝﹣0.05×82+0.8×8+1.8＝5． 又根据信息二，x与t是一次函数关系，∴可设x＝kt+c， 又∵结合表格数据可得，图象过（0，0）和（0.4，4）， ∴c＝0，且0.4k+c＝4．∴k＝10，c＝0．∴一次函数为x＝10t． ∴当x＝8时，t＝0.8（秒）．∴经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米． （3）由题意，当t＝1.6秒时，x＝10×1.6＝16， ∴代入原抛物线得y＝﹣0.05×162+0.8×16+1.8＝1.8，即此时球的坐标为（16，1.8）．又∵新抛物线y＝﹣0.02x2+px+m过点（16，1.8），得m＝1.8+0.02×162﹣16p＝6.92﹣16p，∴抛物线为y＝﹣0.02x2+px+6.92﹣16p． 又∵当x＝2时，y≥1.8，∴﹣0.02×22+2p+6.92﹣16p≥1.8．∴p≤0.36． 7.（25-26九下西安期中）如图所示，取某一位置的水平线为轴，建立了平面坐标系后，小山坡可以近似看成抛物线．小明在离点的楼顶抛出一球，其运动轨迹为抛物线，落在山坡的点处，测得点离轴的距离为． （1）求点的坐标； （2）求小球飞行过程中，离山坡的最大高度． 解：（1）测得点离轴的距离为， 点的横坐标为， 点在抛物线上， 当时，，点的坐标是． （2） ，当时，， ， ， ， ， 点和点在抛物线上 ， ． ∴． 高出山坡的高度 ． 当时，小球飞行过程中，离山坡的最大高度为． 8.（2025西安高新区六模）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由; （3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 解：（1）∵当时，， ∵点坐标为， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）不能，理由如下： ∵，点坐标为， ∴， ∴， ∵点的坐标为，， ∴ ∴将代入， ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3）∵正方形，， ∴， ∴如图所示， ∵抛物线开口向下， ∴， ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大， ∴设的表达式为， 将代入得，， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小， ∴设的表达式为， 将代入得，， 解得； ∴的取值范围为． 9．（2026咸阳永寿二模）乒乓球，让我国在世界体坛屡创佳绩、为国争光．乒乓球在空中运动轨迹近似抛物线，乒乓球在空中飞行的高度到台面的距离y与水平距离x之间的关系如图所示，球网的高度，台面长约为．甲站在球台左侧发球，乒乓球落在台上的C处到D处，运动轨迹为抛物线，，从D处弹起后沿运动，运动轨迹为抛物线， ．（所有点线均在同一平面内） （1）当，，若点D的坐标为，求抛物线的表达式； （2）若抛物线，乙在点处能否成功接球； （3）在（1）的情况下，乙接球后，球回弹的运动轨迹为抛物线．若要使球最后落在台面上，求h的取值范围． 解：（1）∵，，点在上， ∴， 将点代入得：，解得， ∴的表达式为． （2）， 当时，， 即在抛物线上， ∴乙在点E处能成功接球． （3）由题意知，当过原点时， 则有， 解得：， 当过点时， 则有， 解得：， ∴h的取值范围是． 10．（2026宝鸡模拟）综合与实践 问题情境：从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，a为定值，是物体被发射时的速度．科学实验小组用某种发球器从水平地面竖直向上发射一个小球（记作甲），并借助无人机探究小球甲离地面的高度与该小球的运动时间之间的关系，得到如下数据： 时间 0 1 2 3 4 5 6 高度 0 25 40 45 40 25 0 注：经科研人员检验，上述实验数据均满足 建立模型： （1）根据实验数据，求小球甲离地面的高度与它运动时间的关系式； 问题解决： （2）已知小球甲发射前，无人机悬停在的空中.在小球甲发射的同时，无人机以的速度沿竖直方向匀速下降． ①无人机下降过程中离地面的高度为 m（用含x的代数式表示）； ②当小球甲与无人机在空中离地面的高度恰好相等时，求x的值； （3）当时，地面上另一个发球器竖直向上发射小球乙.已知小球乙被发射时的速度与小球甲被发射时的速度相同，当小球甲与小球乙同时在空中，且离地面的高度差为时，直接写出x的值． 解：（1）由题意，将，和，分别代入关系式， 得，∴，∴y与x的关系式为． （2）①由题意，初始高度为，匀速下降速度为， ∴无人机下降过程中离地面的高度为：； ②由题意得，，解得：，， ∴当小球甲与无人机在空中离地面的高度恰好相等时，x的值为或4． （3）解：由题意得，甲速度，小球乙在时发射， 则乙运动时间：，∴，， ∴， ∵小球甲与小球乙同时在空中，离地面的高度差为，∴， 解得：，． 11．（2026交大附中模拟改编）综合与实践 问题情境：为打造“水韵休闲”主题景区，某生态景观园区安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：m）与距喷口O点的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表： x/m 0 7 14 21 28 y/m 0 4.5 6 4.5 0 问题解决： （1）根据表格中的各组对应数据，在给出的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式； （2）为提升观赏效果，要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于4.8m，求这条灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）； （3）景区计划在距离喷口O点水平距离15m的位置设置一个高度为h（单位：m）的灯光装置，若要保证水柱不会碰到该装置，求h的取值范围． 解：（1）根据表格中的数据利用描点法画出对应的函数图象，如图所示，即为所求，∵当x＝7时的函数值与当x＝21的函数值相同，∴对称轴为直线，∴二次函数的顶点坐标为（14，6） 设y与x的函数关系式为y＝a（x﹣14）2+6（a≠0）， ∵当x＝0时，y＝0，∴a（0﹣14）2+6＝0，解得，∴； （2）在中，令y＝4.8，得， 解得，，∴， 即观赏灯带可铺设的最大长度为． （3）在中， 当x＝15时，，∴要保证水柱不碰到装置，需．又∵高度h＞0，∴． 12．（2026安康二模）如图，这是露天电动车车棚顶棚的消防设计图，棚顶是抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，墙面所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知，点为所在抛物线的顶点，点C是棚顶上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．干粉喷射点D距离地面时，灭火器对地面的保护半径为．灭火器对空间的保护截面可看作顶点为D的抛物线与x轴形成的封闭区域，安装点C可以在所在抛物线上滑动，且从点D喷出的干粉形成的抛物线形状相同． （1）求所在抛物线的函数表达式． （2）若粉喷射点D距地面的高度恰好为，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由． 解：（1）∵抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线的表达式为， 又抛物线过点，∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）已知，点D离地面的高度为，则点C的纵坐标为 3.41， ∴，∴∴或， ∵点C在顶点左侧，∴，∴，∴此时点D的坐标为， 设此时从点D喷出的干粉形成的抛物线表达式为， 又对地面的保护半径为．∴抛物线与轴交于点，， 把代入表达式，得，解得， ∴所有干粉喷射抛物线表达式为， 当干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，此时D的坐标为， 则喷射抛物线表达式为， 当时，， ∴点在干粉抛物线上方，因此灭火器喷射时不能覆盖着火点． 13．（2026铁一中五模改编）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图1所示． 图2为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 解：（1）如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴，∵，， 在中，，∴，∴（米）； （2）如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的表达式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．∴，把代入，得， ∴，∴； （3）如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，，则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 类型3：利润最值问题 思路点拨 1.解题思路：以价格为自变量，价格的变化导致销售量、销售额、利润的变化，选择合适的量作为因变量，构建函数关系式. 核心公式：总利润 =（售价－成本）× 销量 2.解题策略：正确表示数量与价格的变化关系，确定二次函数关系式，转化为顶点式求最值 典例分析 例：（2025西安模拟改编）为弘扬地方文化，让更多游客了解故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．如何定价才能使利润最大？最大利润为多少元？ 【点拨】（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，利润为w元，则降价后的售价为（40-x）元，降价后每件的利润为（40﹣30﹣x）元，每天售出的数量为（60+10x）件，总利润为w=（40﹣30﹣x）（60+10x）元. （2）根据二次函数的性质解答，当x=2时，w最大. 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，利润为w元，根据题意， 得 w＝（40﹣30﹣x）（60+10x） ＝（10﹣x）（60+10x） ＝﹣10x2+40x+600 ＝﹣10（x﹣2）2+640， ∵﹣10＜0， ∴当x＝2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 举一反三 1．（25-26九上西安期末）12月10日，中央广播电视总台发布2026年春晚的主题为——“骐骥驰骋势不可挡”．《楚辞·离骚》中写道：“乘骐骥以驰骋兮，来吾道夫先路．”“骐骥”是古人对骏马、千里马的雅称，凝聚着中华民族开拓进取、驰而不息的精神品格；又音同“奇迹”，传递出创造奇迹的决心和一往无前的信心，饱含对新时代新征程满怀期冀的美好愿景．春节来临之际，商场推出一款“2026势骋”卡片深受大家喜爱，卡片进价35元，规定销售单价不低于40元，且不高于49元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出200个，销售单价每上涨1元，每天销量减少8个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将卡片的销售单价定为多少元时，商家每天销售卡片获得的利润元最大？最大利润是多少元？ 解：（1）根据题意得， ∵规定销售单价不低于40元，且不高于49元，∴， 即． （2）根据题意得 ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为． 答：将卡片的销售单价定为49元时，商家每天销售卡片获得的利润W最大，最大利润是1792元． 2．（2026咸阳模拟改编）随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价x超过14元/kg时，此农产品下市不再销售． （1）当x≥10时，求日销售数量y关于销售单价x的函数关系式； （2）已知此农产品种植成本为每千克5元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 解：（1）由题意，当x≥10时，设日销售数量y关于销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 又∵图象过（10，50），（14，42）， ∴．∴． ∴所求函数关系式为y＝﹣2x+70； （2）由题意，设日销售利润为W元，单件利润为（x﹣5）元/千克，可分两段讨论： ①当8≤x≤10时，此时y＝50， ∴利润W＝50（x﹣5）＝50x﹣250， ∵k＝50＞0，∴W随x增大而增大， ∴当x＝10时，Wmax＝50×10﹣250＝250（元）； ②当10≤x≤14时，此时y＝﹣2x+70， ∴利润W＝（x﹣5）（﹣2x+70）＝﹣2x2+80x﹣350＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）﹣350＝﹣2（x﹣20）2+450． ∵﹣2＜0且10≤x≤14，∴当x＝14时，W取最大值，最大值为378． 答：此农产品销售单价定为每千克为14元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润是378元． 3．（25-26九上榆林期末改编）艾德莱斯绸是国家级非物质文化遗产．某合作社通过车间直销、线下门店、线上直播三条渠道销售艾德莱斯绸，具体情况如下： ①生产艾德莱斯绸的成本为30元/米，车间固定成本为800元/天； ②线下门店固定开支为500元/天．根据市场调研发现，售价定为40元/米时，每天可售出80米，售价每增加1元，每天售出减少2米； ③线上直播销售无固定开支，且每销售1米可获得40元的利润． （1）若合作社以50元/米的价格，通过车间直销的方式售出60米，则当日车间直销利润为__400_元； （2）线下门店决定提高售价来增加利润，要使线下门店每天的利润为700元，且尽量让利于顾客，售价应定为多少元/米？ （3）“文化和自然遗产日”期间，为扩大品牌影响力，将推出线上公益活动：线上每售出1米，向学校非遗社团捐赠t元（），已知线上日销售量Q（米）与捐赠额t（元）之间的关系为，当线上销售利润最大时，捐赠额为多少元/米？最大利润是多少？ 【分析】（1）根据“利润（售价成本）销量固定成本”直接求解； （2）根据“总利润单个利润数量固定开支”将关系式列出来，求解后根据要尽量让利于顾客来确定所求的值； （3）根据“总利润单个利润数量固定支出”列出二次函数，利用二次函数开口向下，顶点处取得最大值求解． 解：（1）当日车间直销获得的利润为（元）． （2）设线下门店售价提高x元/米， 由题意可列方程，， 整理可得，解得或， ∵要尽量让利于顾客，∴，∴售价为元． 答：售价应定为50元/米； （3）由题意，线上直播销售每米实际利润为元，设利润为元，由题意可得， ， ∵，且， ∴当时，最大，此时． 答：当线上销售利润最大时，捐赠额为10元/米，最大利润为9000元 4．（25-26九上咸阳阶段检测）某农资店经销一种优质化肥，进价为每吨元，物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨元．经市场调研：当售价定为每吨元时，每日可售出吨；售价每提高元，每日销量减少吨．设每吨售价提高元． （1）写出每日销售量与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当每吨售价定为多少元时，每日销售利润最大?最大利润是多少? 【分析】（1）先根据“每提高元，销量减少吨”，写出销量关于的表达式为；再根据“售价不低于进价不高于元”结合“表示售价提高的次数”确定的取值范围即可；（2）设每日销售利润为元，根据“总利润=单吨利润×销量”得到利润的二次函数表达式；再利用二次函数的对称轴公式找到顶点横坐标，验证其在的取值范围内后，代入求得最大利润和对应售价． 解：（1）∵当每吨售价提高元时，每日销量减少吨，原销量为吨， ∴每日销售量与之间的函数关系式为：； ∵物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨元， ∴，解得， ∵表示售价提高的次数， ∴且为整数， ∴的取值范围为：且为整数； 综上，函数关系式为：（且为整数）； （2）解：设每日销售利润为元， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵对称轴为，满足且为整数， ∴当时，， 元． 答：当每吨售价定为元时，每日销售利润最大，最大利润是元． 类型4：面积最值问题 思路点拨 1.解题思路：是用一条边的长度表示另一条边的长度，再用面积公式构造二次函数，最终考查在约束条件下的最值问题 2.解题策略：（1）设一条边为 x； （2）用周长 / 围栏总长，写出另一条边关于 x 的表达式； （3）用 S=长×宽 写出面积函数； （4）求 x 的取值范围（边长 > 0，受围栏、墙长等限制）； （5）求二次函数的最大值或最小值. 例：（2026西安五模）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是多少平方米？典例分析    【方法指导】设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（60－2x）米，又因为墙长为40米，可得0＜60-2x≤40，所以10≤x＜30.菜园面积=x（60－2x）=-2，再结合二次函数的性质解答. 解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又∵墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 1．（25-26九上咸阳检测）如图，老王想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设．举一反三 （1）求y与x的关系式，并写出x的取值范围； （2）请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值． 解：（1）， 由题意得：， 解得：， ∴； （2）， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 答：长长矩形羊圈的面积S最大，S的最大值为． 2．（2026榆林模拟改编）综合与实践 【问题情境】 王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 （1）第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式． （2）第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式． （3）已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积． 解：（1）设菜地的宽为米， ∵长、宽比为的长方形菜地，∴菜地的长为米， ∴小路面积S关于的函数表达式为； （2）设道路的宽为米，根据题意得：， 即菜地面积关于的函数表达式； （3）根据题意得：，解得：， 由（2）得：菜地面积关于的函数表达式， ∵，，∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值为， 即道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为． 类型5：新方向 1．（2026榆林四模）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作ym；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作d1m；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作d2m，已知y＝d1+d2，d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，刹车距离为1m． （1）若骑行速度为26km/h，则d1＝　 5.2 m，d2＝　4 m； （2）设骑行速度为xkm/h，求y关于x的函数表达式； （3）当刹车距离为2m时，停车距离为多少？（精确到0.1m，参考数据：，.73，） 解：（1）d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．骑行速度为xkm/h，d1＝k1x，d2＝k2x2， ∵当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，∴13k1＝2.6， 解得：k1＝0.2，d1＝0.2x，当x＝26时，d1＝0.2×26＝5.2（m）， ∵当骑行速度为13km/h时，刹车距离为lm， ∴1＝132×k2，解得： ， 当x＝26时，； （2）设骑行速度为xkm/h，而d1． ∴y关于x的函数表达式为； （3）∵当刹车距离为2m时，∴， 解得：（）， ∴y，∴停车距离约为5.7m． 2．（2026咸阳二模）当咖啡滴到桌面上时，随着液体的蒸发，液体边缘会形成一个颜色更深的环状沉积物，而中心区域则相对干净，这就是物理中的“咖啡环效应”，其核心是由于液滴边缘蒸发更快，带动内部液体向边缘流动并沉积溶质． 小华参加了学校某科研社团，在研究“咖啡环效应”时发现，一滴咖啡滴在水平桌面上，自然扩散后形成一个直径为的圆形液滴．小华将液滴的沉积厚度分布用二次函数模型来模拟：设离圆心距离（单位：）处的沉积厚度（单位：）满足函数：；其中，并且已知在圆心处时，沉积厚度为0；在液滴边缘处，沉积厚度最大，为； （1）求液滴距离圆心处的沉积厚度； （2）直径为的圆形咖啡液滴的沉积厚度模型为：（单位：）其中．若沉积厚度超过的区域算作“明显咖啡环”，则液滴与液滴“明显咖啡环”区域的径向宽度（圆环宽度）与相比，__＞____（填“”或“”）． 解：（1）将 代入 得：，， ， 将代入得：， 液滴距离圆心处的沉积厚度为； （2）当时，即， 解得，（不符合，舍去）， ∴， 当，即， 解得，（不符合，舍去），∴， ∵，， ∴，即， 故答案为：． 3．（2026渭南三模）综合与实践 问题背景： 景点检票时游客排队是常见的现象．智慧学案（讲义）智慧课堂（作业）某校数学兴趣小组对该景区每天开园100分钟内“排队检票人数与开园时间、开放检票窗口之间的关系”开展了综合与实践活动． 调研数据： 信息1：景区开园时，检票窗口同时开始检票．已知每个检票窗口每分钟可检票20人． 信息2：景区开园后，到达景区的总人数（单位：人）与开园时间（单位：分钟）满足二次函数． 信息3：开园后不断有新的游客到达检票窗口，任意时刻满足：排队检票人数w（单位：人）到达景区的总人数已检票人数． 建立模型： 开园时景区同时开放14个检票窗口（该景区共有24个检票窗口）． （1）①开园10分钟，14个检票窗口已检票的人数为___2800_____； ②排队检票人数w（单位：人）与开园时间x（单位：分钟）之间的函数关系式为__． 问题解决： （2）求开园多少分钟不再有游客排队检票． （3）检票到第10分钟时，除正常游客外，又新增一单位团体游客200人，为了减少排队等候时间，决定当即临时增开个检票窗口．若景区检票口期望在开园40分钟以内不再出现排队的情况，求的最小值． 解：（1）①每个窗口每分钟检票20人，14个窗口10分钟检票总人数为：（人）； ②已检票总人数为，根据排队人数公式：到达总人数已检票人数，则； （2）不再排队即排队人数， 解方程：，整理得，因式分解为， 解得（舍去负根）．即开园70分钟后不再有游客排队． （3）要求开园40分钟以内不再排队，即时排队人数， 开园40分钟时，总游客数（含新增200人团体）为：（人）， 总已检票人数为：， 则，解得． 因为是正整数，且景区总窗口最多24个，所以的最小值为． 4．（2026西安新城区模拟）某科研团队正在研究一种新型材料，他们首先在实验室内记录了该种材料的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据．但考虑到不同环境会影响材料的导电性，他们又在室外进行了一次实验，记录了室外的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据，部分数据如下： x 0 10 20 30 40 50 y1 0.6 a 2.2 3.0 3.8 4.6 y2 0.8 1.7 2.3 2.8 3.1 3.3 （1）补全表格中 ．（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ① 该种材料在温度为 23 时（结果保留整数），室内外的导电性相同，此时的导电性为 24 （结果保留小数点后一位）； ② 当温度达到 10或28 时（结果保留整数），室内外的导电性相差． 解：（1）由题意得：温度每增加，导电性能增加， ∴，故答案为：； （2）如图， （3）由函数图象得：与x成一次函数关系，与x成二次函数关系， 设， 由题意，得，解得， ∴． 设， 由题意，得，解得， ∴， ①由题意，得， 整理，得， 解得（舍去） 把代入，得． ∴该种材料在温度为时，室内外的导电性相同，此时的导电性为， 故答案为：23，2.4； ②当室内导电性比室外导电性高时， 由题意，得， 整理，得， 解得（舍去）， 当室外导电性比室内导电性高时，由表格知，此时温度为， 故答案为：10或28． 5.（2026宝鸡四模）综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35 49.28 56 62.37 63 61.25 59.57 56 51.17 35 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点． 说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； （2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 解：（1）：观察上述各点的分布规律， y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为， 将，，代入得， ，解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）当时，，∴种子自然发芽率为35，∴当时，，解得，，当时，，解得（舍去），， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为． 附：课标要求 1.通过对实际应用问题的分析，体会二次函数的意义 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题 4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 老师备课、家长伴学、学生提高1 学科网（北京）股份有限公司 $