2026年中考数学三轮冲刺培优训练：二次函数之实际应用

三轮冲刺培优训练：二次函数之实际应用 1．武汉欢乐谷是华中地区超受欢迎的主题乐园，位于东湖畔，占地35万平方米，拥有38个室外游乐项目，过山车是其经典项目之一．如图所示，以OE所在直线为x轴，OF所在直线为y轴建立平面直角坐标系，F→E→G为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）． （1）求抛物线F→E→G的函数关系式； （2）在轨道距离地面米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了1.5米至K点，又进入下坡段K→H（K接口处轨道忽略不计，点H为最低点）．已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，求OH的距离； （3）现需要在轨道下坡段F→E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求AB＝2OA，已知这种材料的价格是50000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？ 2．某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m． （1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 3．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系：，已知OA＝70m，OC＝60m，落点P的水平距离是40m，竖直高度是30m． （1）点A的坐标是 　 　 ，点P的坐标是 　 　 ； （2）求y与x的函数关系式； （3）运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，求此时的水平距离． 4．在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ （2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 5．某公园计划修建一个如图1所示的以OB为半径的圆形喷水池，喷水池中心O处立着一个高为2m的实心石柱OA，喷水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合．为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱0.5m处能达到最大高度，与池面的距离为2.25m．在距离池面1.25m的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流． （1）求圆形喷水池的半径． （2）为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少m？ 6．一名运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）该运动员身高1.82m，在这次跳投过程中，球在头顶上方0.2m处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 7．【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方70m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 8．小王同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为x轴，起抛点所在铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线yx+a和直线yx+m．其中，当纸飞机飞行的水平距离为8m时，自动进入滑行阶段． （1）若纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.8m． ①直接写出a，m的值； ②小明的前方有一堵2.7m高的围栏，小明最多距离围栏多少米时，纸飞机可以顺利飞过围栏？ （2）要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过16m，直接写出a的最大值． 9．综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出， 研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 ①条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足排队人数＝现场总人数﹣已入场人数； ②条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现， 现场总人数y与安检时间x之间满足关系式y＝﹣x2+60x+100（0≤x≤30）． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间x分钟时，已入场人数为　 　 ，排队人数w与安检时间x的函数关系式为　 　 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 10．如图所示，一质地均匀的小球从斜坡O点处抛出，它抛出的路线可以用抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的一部分进行刻画，斜坡可用直线y＝kx（k≠0，k为常数）的一部分进行刻画．如题2、3图（2）所示建立直角坐标系，已知小球能达到的最高点的坐标为（﹣2，4），小球在斜坡上的落点A的横坐标为﹣3． （1）求出抛物线与直线的函数解析式并写出自变量的取值范围． （2）当小球落到A点时由于受到重力因素的影响会加速下滑，当小球滑到O点时速度最大．设小球落到A点的速度为vo，小球滑落到点O时的速度为v，v与vo满足（t为小球从A点滑落到O点所需时间），已知小球从A点滑落到O点需要秒，请分别求出v与vo的值（提示：平均速度）． （3）如图（2）所示，点B是抛物线上（小球从起点到落点的运动轨迹）的动点，连接BO，AB．是否存在点B，使得AB⊥OB？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 11．根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于O处，以点O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，A处是一座城池的城墙，其竖直截面为ABCD，CD与x轴平行，墙宽CD＝2米，垂直距离AD＝9米． 问题解决： （1）在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； （2）若外墙AD到投石车的距离AO约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 12．综合与实践 问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，AB＝8米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝16米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红； 第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩12米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完12米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求12米材料恰好用完时DE与CF的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．求出符合设计要求的矩形周长的最大值． 13．在排球比赛中，通常情况下，一名球员（二传手）在网前将球垫起来，球在本方球场的网前与球网平行的方向飞行，其飞行路线是抛物线的一部分，进攻队员跳起扣球．如图，球网AB的长度为10米，高OA为2.4米，二传手在距边界O处0.5米的E点传球，球（看成一个点）从点M处开始沿抛物线MHN飞行，点M的高度为1.8米，球在水平方向飞行5米后达到最高3.8米．以点O为坐标原点，建立直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）甲球员在距二传手2米的F处起跳扣快球，其最大扣球高度为3.10米（只考虑在起跳点正上方扣球，不考虑起跳时间等因素），试问甲队员能否扣到球？ （3）若乙队员的最大扣球高度是3.4米，而对方防守队员最大防守高度为3.2米，试问乙队员应在距点O多远的范围内起跳，既能扣到球又避免对方拦网？（参考数据：，） 14．某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在AO，BC两面墙之间，CO为水平地面，AO⊥CO，BC⊥CO．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶AB上，其到墙面AO的水平距离AM为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面AO上的点E处，OE＝1米．以O为原点，地面CO所在的水平线为x轴，墙面AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求这条抛物线的解析式； （2）已知车棚的宽度CO为15米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面1米高的全部范围．工作人员计划在棚顶AB上安装若干个与消防喷淋头M相同型号的消防喷淋头（第一个喷淋头的位置不变）． ①请通过计算，回答至少需要　 　 个消防喷淋头； ②直接写出安装最少喷淋头时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离d的取值范围． 15．某科研团队模仿自然界生物的跳跃机制研发了仿生跳跃机器人，将其用于灾害救援、地形勘察等场景．将机器人看作一点，其起跳后的运动路线可看作抛物线的一部分，且每次运动路线的形状保持不变．在模拟实验中，如图，机器人从水平地面上点O起跳，落在水平地面上的点M，以点O为原点，OM所在直线为x轴，过点O且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy．在机器人跳跃正前方的水平地面上有一个长方体障碍物，其与机器人的运动路线在同一平面内的截面是矩形ABCD．机器人从障碍物上方越过，且与障碍物无接触，则视为顺利越过障碍物．实验测得OM＝4m，运动路线最高点距水平地面1m，OA＝4.5m，AB＝0.5m，BC＝1m． 若机器人从点P（0，p）处起跳，其他所有条件均不变． （1）当p＝2时，判断它能否跳跃一次顺利越过障碍物，并说明理由； （2）当它跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域EF内（不含点E，点F）时，OE＝5.5m，EF＝1.5m，直接写出p的取值范围． 16．用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线C1，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G，运动路径近似为抛物线C2，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） （1）小星抛出石块后，当飞行高度第一次达到1时，求石块距离小星的水平距离； （2）若FG＝4，在水面上有一个截面宽AB＝1，高BC＝0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为（4.5，0），判断此时石块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物？请说明理由； 17．如图，某悬索桥的主跨长40m（即CD＝40m），两座桥塔高12m（即AD＝BC＝12m），DA⊥AB，CB⊥AB，主缆可视为抛物线，其最低处P距离桥面2m，在主缆上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，起到承接桥面重量的作用．现以CD的中点为原点，CD所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该主缆所在抛物线的函数表达式； （2）现在点P两侧各有一吊索需要更换，且这两根吊索的长度相等，若这两根吊索的总长度为9m，求需要更换的这两根吊索之间的水平距离． 18．篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离5m的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习，篮筐距离地面的高度为3.05m篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系． （1）小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 竖直高度y/m 1.8 3.05 3.8 4.05 3.8 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0），求a的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； （2）小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.3x2+bx+c，篮球出手时竖直高度满足2≤y≤2.05，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出b的取值范围． 19．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？ 20．图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点6米时达到最大高度12米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为9米，与地面的竖直距离为6米，AB是高度为5米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB． （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 参考答案 1．解：（1）设抛物线解析式为 ， ∴， 解得：， ∴抛物线F→E→G的函数关系式为． （2）当时，， ∴x2＝8，x1＝1， ∴PK＝7+1.5＝8.5，PG＝8﹣1＝7， ∴EH＝PK＝8.5， ∴米． （3）设A（t，0），则B（3t，0）， ∴AM+CM+BN+DN ， ∵， ∴当时，支架最短，为12米， 此时，最低造价为12×50000＝600000元． 2．解：（1）由题意，∵抛物线的顶点坐标为（5，8）， ∴可设抛物线y＝a（x﹣5）2+8． 又把（13，0）代入y＝a（x﹣5）2+8， ∴0＝a（13﹣5）2+8． ∴a． ∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：y（x﹣5）2+8． （2）由题意，由（1）y（x﹣5）2+8， ∴可令x＝0，则y（0﹣5）2+8（m）． 答：这个装饰物的设计高度为m． 3．解：（1）由题意得，点A的坐标是（0，70），点P的坐标是（40，30）， 故答案为：（0，70），（40，30）； （2）把A（0，70），P（40，30）代入得， ， 解得， ∴； （3）设直线BC的表达式为y＝kx+b，把C（0，60），P（40，30）代入得， ， 解得， ∴直线BC的表达式为， 设到BC竖直方向上的距离最大，作MN∥y轴交抛物线和直线BC于点M、N， ∴， ∴ ， ∵， ∴当m＝18时，MN的值最大， 即当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，此时的水平距离为18m． 4．解：（1）①∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为（2.5，3.5）， ∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5． 由图知图象过点：（4，3.05）． ∴2.25a+3.5＝3.05， ∴a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5． ②设球出手时，他跳离地面的高度为hm， ∵（1）中求得y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5， ∴球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m， ∴h+2.05＝﹣0.2×（0﹣2.5）2+3.5， ∴h＝0.2（m）． 答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m； （2）由题意得，此时顶点为（4，4）， ∴可设y＝m（x﹣4）2+4． 又∵图象过（0，）， ∴16m+4． ∴m． ∴y（x﹣4）2+4． ∴令x＝7，则y＝3＜3.05． ∴此球不能投中这个篮圈． 5．解：（1）以O为原点建立平面直角坐标系，则第一象限抛物线的顶点的坐标为（0.5，2.25）． 设y＝a（x﹣0.5）2+2.25． 将点A（0，2）代入，得a（0﹣0.5）2+2.25＝2， 解得a＝﹣1． ∴y＝﹣（x﹣0.5）2+2.25． 令y＝0，则﹣（x﹣0.5）2+2.25＝0， 解得x＝2或x＝﹣1（不符合题意）， ∴半径为2m． （2）令y＝1.25，则﹣（x﹣0.5）2+2.25＝1.25， 解得x＝1.5或x＝﹣0.5（不符合题意）， ∴小水池的半径不能超过1.5m． 6．解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5． 由图知图象过以下点：（1.5，3.05）． ∴2.25a+3.5＝3.05， ∴a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5； （2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm， ∵y＝﹣0.2x2+3.5， 而球出手时，球的高度为h+1.82+0.2＝（h+2.02）m， ∴h+2.02＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5， ∴h＝0.23． 答：球出手时，他跳离地面的高度为0.23m． 7．解：（1）设y关于t的函数解析式为y＝at2+bt+c，将（0，0），（1，27），（2，48）代入得， ， 解得：， ∴y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t； （2）由（1）得y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t， 当t＝4时，y＝﹣3×42+30×4＝72， ∴汽车刹车4s后，行驶了72米； （3）由（1）得y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t， ∴y＝﹣3t2+30t＝﹣3（t﹣5）2+75， ∴当t＝5时，汽车停下，行驶了75米， ∵75＞70， ∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 8．解：（1）①由题意，∵抛物线经过点（8，3.8）， ∴3.882+8+a． ∴a＝2.2． ∵yx+m经过点（8，3.8）， ∴3.88+m， ∴m＝7.8． ②当y＝2.7时，2.7x2+x+2.2， ∴x2﹣10x+5＝0， ∴x1＝5+28（不合题意，舍去），x2＝5﹣2， 又∵2.7x+7.8， ∴x＝10.2． ∵10.2＞5﹣2， ∴小明最多距离围栏10.2米时，纸飞机可以顺利飞过围栏． （2）由题意得：yx+m经过点（16，0）， ∴016+m， ∴m＝8， ∴yx+8， 当x＝8时，y＝4， ∴yx2+x+a经过点（8，4）， ∴482+8+a， ∴a＝2.4． 故答案为：2.4． 9．解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入场人数为（用x表示）18x，若排队人数为w，则w与x的函数表达式为w＝y﹣18x＝﹣x2+42x+100； 故答案为：18x，w＝﹣x2+42x+100； （2）w＝﹣x2+42x+100＝﹣（x﹣21）2+541， ∴当x＝21时，Wmax＝541； 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人； （3）设开了m条通道， ∴w＝y﹣6mx＝﹣x2+60x+100﹣6mx＝﹣x2+6（10﹣m）x+100， ∴对称轴为x＝3（10﹣m）， ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少， ∴0≤3（10﹣m）≤10． ∴m≤10． 又∵最多开通9条， ∴m≤9． ∵m为正整数， ∴m最小值为7， ∴最少开7条通道． 10．解：（1）抛出的路线可以用抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的一部分进行刻画，斜坡可用直线y＝kx（k≠0，k为常数）的一部分进行刻画． 抛物线解析式： ∵小球能达到的最高点的坐标为（﹣2，4）， ∴设抛物线顶点式y＝a（x+2）2+4， 由图可知抛物线过原点（0，0），代入得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+2）2+4＝﹣x2﹣4x， 令y＝0，则﹣x2﹣4x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣4， ∴自变量的取值范围：﹣4≤x≤0； 即：抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）， 直线解析式： ∵小球在斜坡上的落点A的横坐标为﹣3， 设点A（﹣3，y）代入抛物线y＝﹣x2﹣4x， 得：y＝﹣9+12＝3， ∴A（﹣3，3）， 把点A（﹣3，3）代入斜坡直线y＝kx，得3＝﹣3k， ∴k＝﹣1， ∴直线解析式为y＝﹣x， ∴自变量的取值范围：﹣3≤x≤0， 即：直线的函数解析式为y＝﹣x（﹣3≤x≤0）； （2）由（1）得A（﹣3，3）， ∴A到O的距离， 由题意可得：平均速度， ∵v与vo满足， 即， ∴， 即：vo+1＝3， ∴vo＝3﹣1＝2， ∴v＝vo+2＝2+2＝4； （3）存在点B，使得AB⊥OB， 则满足：AB2+OB2＝AO2， 设点B的坐标为（x，﹣x2﹣4x），（﹣4≤x≤0） ∵A（﹣3，3），O（0，0）， ∴AB2＝（x+3）2+（﹣x2﹣4x﹣3）2， OB2＝x2+（﹣x2﹣4x）， AO2＝（﹣3﹣0）2+（3﹣0）2＝18， ∵AB2+OB2＝AO2， ∴（x+3）2+（﹣x2﹣4x﹣3）2+x2+（﹣x2﹣4x）2＝18， 整理，得（x+3）2+（x2+4x+3）2+x2+（x2+4x）2＝18， 令m＝x2+4x，则方程变为：（x+3）2+（m+3）2+x2+m2＝18， 去括号，合并同类项，得2x2+6x+2m2+6m＝0， 将m＝x2+4x代回，得2x2+6x+2（x2+4x）2+6（x2+4x）＝0， 整理，得x（x+3）（x2+5x+5）＝0， x＝0，对应点O，舍去； x+3＝0，即：x＝﹣3对应点A，舍去； x2+5x+5＝0，解得， 结合﹣3≤x≤0，， ∴代入抛物线解析式y＝﹣x2﹣4x，得： ， ∴点B的坐标为． 11．解：（1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为（100，25）， 设抛物线方程为y＝a（x﹣100）2+25， 则a（0﹣100）2+25＝0， 解得， ∴； （2）火球会落在城墙内， 城墙其竖直截面为ABCD，CD与x轴平行，墙宽CD＝2米，垂直距离AD＝9米， 则石块发射距离x的范围为170≤x≤172， 当x＝170时，， 当x＝172时，， 由于石块高度均高于城墙， 因此，火球会落在城墙内． 12．解：（1）建立如图1所示的平面直角坐标系， ∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝8， ∴， ∴点B的坐标为（4，0）， ∵OP＝16， ∴点P的坐标为（0，16）， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+16， ∵点B（4，0）在抛物线y＝ax2+16上， ∴16a+16＝0， 解得：a＝﹣1， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+16（﹣4≤x≤4）； （2）点D，E在抛物线y＝﹣x2+16上， ∴设点E的坐标为（t，﹣t2+16）， ∵DE∥AB，交y轴于点F， ∴DF＝EF＝t，OF＝﹣t2+16， ∴DE＝2t， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB， ∴， ∴CF＝OF﹣OC＝﹣t2+16﹣4＝﹣t2+12， 根据题意得：DE+CF＝12， ∴﹣t2+12+2t＝12， ∴t2﹣2t＝0， ∴t（t﹣2）＝0， 解得：t1＝2，t2＝0（不符合题意，舍去）， ∴t＝2， ∴DE＝2t＝4，CF＝﹣t2+12＝8， 答：DE的长为4米，CF的长为8米； （3）如图2，矩形灯带为GHML， 由点A，B，C的坐标得， 设直线AC的解析式为y＝mx+n，代入得： ，解得， ∴直线AC的解析式为y＝x+4， 同理得BC的表达式为：y＝﹣x+4， 设点G（m，﹣m2+16），H（﹣m，﹣m2+16），L（m，m+4），M（﹣m，m+4）， ∴GH＝﹣m﹣m＝﹣2m，GL＝﹣m2+16﹣m﹣4＝﹣m2﹣m+12， 则矩形周长＝2（GH+GL） ＝2（﹣2m﹣m2﹣m+12） ＝﹣2（m2+3m）+24 ＝﹣2（m2+3m）+24 ＝﹣2（m）2， 故矩形周长的最大值为米． 13．解：（1）以O为坐标原点，OC为x轴正方向，OA为y轴正方向建立直角坐标系． 令y＝a（x﹣h）2+k，把（5.5，3.8）代入，得y＝a（x﹣5.5）2+3.8， 由题意可得：1.8＝a（0.5﹣5.5）2+3.8， 解得， ∴； （2）当x＝2.5时，， ∵3.08＜3.10， ∴甲队员能扣到球； （3）若乙队员的最大扣球高度是3.4米，而对方防守队员最大防守高度为3.2米， 当y＝3.4时，， 解得x1＝7.74，x2＝3.26． 当y＝3.2时，， 解得x1＝8.24，x2＝2.76． ∵，抛物线开口向下， ∴当3.2＜y≤3.4时，2.76＜x≤3.26或7.74≤x＜8.24． ∴乙队员在离边界O点2.76＜x≤3.26或7.74≤x＜8.24范围时起跳扣球，可扣球成功且避免对方拦网． 14．解：（1）由题意可知：点E的坐标为（0，1），顶点M的坐标为（2，3）， 则可设最外层水柱所在抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+3（a≠0）， 将点E（0，1）代入，得1＝4a+3， 解得， ∴； （2）①∵， ∴当y＝1时，， 解得x＝0或x＝4， 设抛物线上横坐标为4的点为P，则P（4，1）， ∴一个喷淋头在y＝1高度覆盖的水平宽度为4米， 15÷4＝3.75， ∴至少需要4个消防喷淋头； ②由题意可设消防最后一个喷淋头N的最外层水柱所在抛物线的表达式为， 当抛物线经过点（15，1）时，有， 解得h＝17（舍去）或h＝13， 此时AN＝13米， ∴MN＝AN﹣AM＝11米． 当抛物线经过点（4×3，1）时，有， 解得h＝10（舍去）或h＝14， 此时AN＝14米， ∴MN＝AN﹣AM＝12米． 综上所述，直接写出安装最少喷淋头时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离d的取值范围为11≤d≤12． 15．解：（1）不能，理由如下： 由题意可得：机器人运动路线的最高点为（2，1）， ∴可设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1， 又∵函数过原点， ∴0＝4a+1， 解得， ∴抛物线的解析式为， 若机器人从P（0，2）起跳，相当于抛物线上移2个单位，此时机器人运动轨迹的新抛物线解析式为：， 当x＝5时，此时， ∴当p＝2时，它跳跃一次不能越过障碍物； （2）机器人从点P（0，p）处起跳，此时机器人运动轨迹的新抛物线解析式为：， 当跳跃一次顺利越过障碍物时，此时x＝5，y＝1代入解析式得到，解得， ∵要求当它跳跃一次顺利越过障碍物， ∴p＞2.25； 由题意可得：E（5.5，0），F（7，0）， 当机器人落在E点时，E（5.5，0）代入解析式得到， 解得； 当机器人落在F点时，F（7，0）代入解析式得到， 解得； ∴综上，当机器人跳跃一次顺利越过障碍物，且落在水平地面上的区域EF内（不含点E，点F）时，p的取值范围为2.25＜p＜5.25． 16．解：（1）∵， ∴当y＝1时，， 解得：x1＝0（是抛出点，舍去），x2＝1， ∴当飞行高度第一次达到1时，石块距离小星的水平距离为1． （2）∵， ∴当y＝0时，， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝2， ∴F（2，0）， ∵FG＝4， ∴G（6.0）， ∵石块沿抛物线C2运动，点F、G在抛物线C2上，， ∴， 解得：， ∴， ∵点A的坐标为（4.5，0），AB＝1， ∴B（5.5，0）， 当x＝5.5时，， ∵BC＝0.5，0.35＜0.5， ∴若FG＝4，在水面上有一个截面宽AB＝1，高BC＝0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为（4.5，0），则石块沿抛物线C2运动时不能越过障碍物． 17．解：（1）∵点O是CD的中点， ∴OC＝ODCD＝20（m）， ∴点C的坐标为（20，0）， ∵最低处P距离桥面2m，AD＝BC＝12m， ∴OP＝12﹣2＝10（m）， ∴点P的坐标为（0，﹣10）， ∴设该主缆所在抛物线的函数表达式为y＝ax2﹣10， 把C（20，0）代入y＝ax2﹣10中得：0＝400a﹣10， 解得：a， ∴yx2﹣10； （2）∵这两根吊索的总长度为9m，这两根吊索的长度相等， ∴每根吊索的长度为4.5m， 把y＝﹣（12﹣4.5）＝﹣7.5代入yx2﹣10中得：﹣7.5x2﹣10， 解得：x1＝10，x2＝﹣10， ∴10﹣（﹣10）＝10+10＝20（m）， ∴需要更换的这两根吊索之间的水平距离为20m． 18．解：（1）①根据题意，顶点坐标为（3，4.05）， ∴篮球的竖直高度的最大值为4.05m； ②根据题意，顶点坐标为（3，4.05），图象过（0，1.8），代入二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）中得， 1.8＝a（0﹣3）2+4.05， 解得，； ③能，理由如下， 根据上述计算可得，， ∴当x＝5时，， ∴小华本次投篮能将篮球投进篮筐； （2）篮球出手时竖直高度满足2≤y≤2.05，篮筐中心水平距离5m的位置，篮筐距离地面的高度为3.05m， ∴当（0，2），（5，3.05）经过函数关系y＝﹣0.3x2+bx+c的图象上时， ， 解得，b＝1.71 当（0，2.05），（5，3.05）经过函数关系y＝﹣0.3x2+bx+c的图象上时， ， 解得，b＝1.7； ∴小明将篮球投进篮筐中心，b的取值范围为1.7≤b≤1.71． 19．解：（1）根据题意结合图形可得，球出手时的坐标为（0，），抛物线的顶点坐标为（4，4）， 设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2+4， 将点（0，）代入y＝a（x﹣4）2+4可得： 16a+4， ∴a， 则抛物线的解析式为：y（x﹣4）2+4； （2）令x＝7，则y9+4＝3， 即点（7，3）在抛物线上， 所以此球能准确投中． 20．解：（1）设y＝a（x﹣6）2+12， 将点（0，0）代入，得36a+12＝0， 解得， ∴． （2）∵当x＝9时，， BE＝6+5＝11＞9， ∴石块不能飞越防御墙AB． （3）A的坐标为（9，6）， 设直线OA为y＝kx， ∴6＝9k， ∴， ∴． 作直线MN⊥x轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N， 设点，则点N的坐标为， ∴， ∴当m＝5时，MN有最大值，最大值为， ∴在竖直方向上，最大距离是米． 学科网（北京）股份有限公司 $