第12讲 实际问题与二次函数（暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

第12讲 实际问题与二次函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 利用二次函数解决拱桥问题 题型2 利用二次函数解决投球问题 题型3 利用二次函数解决喷水问题 题型4 利用二次函数解决销售问题 题型5 利用二次函数解决图形问题 题型6 利用二次函数解决图形运动问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 建模、最值、顶点、自变量范围、最大利润、最大面积、检验。 1. 能根据实际问题中的数量关系，建立二次函数模型，并确定自变量的取值范围。 2. 掌握利用二次函数的顶点坐标求最值的方法，解决最大利润、最大面积等优化问题。 3. 理解二次函数在实际问题中的增减性，能根据自变量范围判断函数的最值（不一定在顶点处）。 4. 经历“问题—建模—求解—检验”的过程，体会数学建模思想，提升应用意识和分析问题的能力。 学习重点:建立二次函数模型解决实际问题，利用顶点坐标求最值。 学习难点:准确找出实际问题中的等量关系并列出函数解析式，以及根据实际意义确定自变量的取值范围，并能判断最值是在顶点处还是在端点处取得。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的应用 1. 核心应用场景： - 最值问题：解决利润最大、产量最优、用料最省、高度/距离最值等 - 实际建模：根据实际情境（如抛体运动、增长率、几何图形面积）建立二次函数关系式，转化为数学问题求解。 2. 解题步骤： - 审题：明确变量关系，确定自变量取值范围（需符合实际意义）。 - 建模：设合适的函数解析式（顶点式、一般式、交点式按需选择）。 - 求解：代入已知条件求参数，利用顶点或单调性求目标值。 - 检验：验证结果是否符合实际情境，舍去不合理解。 3. 关键技巧与思想： - 解析式选择：最值问题优先用顶点式 y=a(x-h)2+k ，已知交点用交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 。 - 数形结合：通过函数图像分析自变量取值范围与最值的合理性。 - 实际约束：忽略不符合实际的解（如负数、超出定义域的数值）。 【易错提醒】 审清题意（利润、面积、抛线等），正确建立函数模型。注意自变量实际范围（如边长>0），顶点处取最值时需验证是否在取值范围内。单位要统一，结果合理取舍。 即时即练1．（25-26九年级上·全国·期中）如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的应用，正确求解方程是解题的关键．解方程，求出结果即可． 【详解】解：令，则， 解得：（舍去），， 则该运动员这次抛出的水平距离为． 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知铅球落地时的水平距离为．则铅球出手时离地面的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据铅球落地时的水平距离为，可得点的坐标是，把点的坐标代入，求出，可得抛物线的解析式是，当时，对应的函数值就是高度． 【详解】解：铅球落地时的水平距离为， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是， 当时，可得：， 铅球出手时离地面的高度是． 故答案为：． 3．（河南省安阳市第五中学教育集团2025-2026学年九年级上学期11月期中联考数学试题）网络销售已经成为一种比较热门的销售方式，某电商购进一种单价元的商品，为减少库存．未来天，这种商品将开展“每天降价元”的促销活动，即从活动开始的第一天起每天的销售单价均比前一天降元，通过市场调查发现，该商品的销售单价每降元，每天销售量增加件，活动前的销售单价为元，每天销售件，设活动开始后的第天（为正整数）所获的利润为（元） (1)求出与之间的函数关系式； (2)哪一天所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) ； (2) 第天所获利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据题意列出二次函数的解析式，再利用二次函数的性质解答． 活动第天的销售单价为元，每天的销售量为件，根据利润销量单位利润，可得函数关系式：； 根据二次函数的性质可知当时，取最大值，又因为促销活动只有天，所以当时所获利润最大，把代入函数解析式计算即可求出最大利润． 【详解】（1）解：活动第天的销售单价为元，每天的销售量为件， 可得：， 整理得：； （2）解：二次函数中， 有最大值， 二次函数的对称轴为， 当时，取最大值， 由题意可知：， 当时，有最大值， 最大值为， 第天所获利润最大，最大利润是元． 题型1 利用二次函数解决拱桥问题 【例1】“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出点的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）设，则，得出纵坐标为：，即，确定，再根据题意得出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：轴垂直平分，， ，， 由题意得， 设该抛物线的函数表达式为，将代入， ， 解得： 该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图所示： 设， ∴， ∴点E的横坐标为x， ∴纵坐标为：，即， ∴， ∵灯饰C与其水中倒影之间的距离， ∴， ∵灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴． 【例2】赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少． (1)水面的宽度______m； (2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【答案】(1) (2)最多可设计赛道5条． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案； （2）求出当时，x的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为即可得到答案． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 解得或， ∴， ∴， （2）解：令，得， ∴ 解得，． 可设计赛道的宽度为， ∵每条龙舟赛道宽度为， 最多可设计赛道5条． 【技巧归纳】 以水面为x轴，拱顶为y轴建系，设y=ax²+c。代入已知点（如水面宽对应点）求解析式。再求给定高度处宽度：代入y解x，宽度=|x₁-x₂|。注意实际问题中变量正负与坐标系选择。 【变式1-1】西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻浐河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采用大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分．如图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点，水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度为，檐口离地高度为，拱檐拱顶最高处离地高度为． (1)求该抛物线的表达式； (2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于，求灯带两端水平距离的最大长度． 【答案】(1)该抛物线的表达式为 (2)灯带两端水平距离的最大长度为 【分析】（1）设抛物线表达式为：，根据题意可得点坐标为，代入求解即可； （2）要求离地高度不低于，即，将代入抛物线表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线对称轴为轴，顶点坐标为， 设该抛物线表达式为， ，， 由对称性得点的坐标为， 将代入表达式得：， 解得， 该抛物线的表达式为． （2）解：要求离地高度不低于，即， 令代入抛物线表达式得 ， 整理得， 解得，， 两个交点的水平距离为：， 因此灯带两端水平距离的最大长度为． 【变式1-2】综合与实践 问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度的城市景观，兼具工程美学与力学价值． 数学建模：图1是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2为其一桥拱的示意图，以桥面所在直线为轴，桥墩立柱所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知桥拱的跨度米，桥拱最高点到桥面的距离为9米． 问题解决： (1)①求该桥拱抛物线的函数表达式； ②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5米高的位置，搭建施工水平支架平台（点均在桥拱上），对桥拱横向作业，求该水平作业平台的长度． (2)如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功”的矩形灯牌，其中点在抛物线上，点在桥面上，边靠近桥墩且到桥墩的距离不小于11米，为更好地筹备所需材料，需测算单块宣传牌的周长最大值（宣传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即可． 【答案】(1)①；②44米 (2)98米 【分析】（1）①待定系数法求函数表达式；②根据题意可得点的纵坐标，代入解析式，解方程可得点的横坐标，即可求解； （2）设点的横坐标为，表示出矩形的周长，根据二次函数的图象和性质求出最值． 【详解】（1）解：①由题意得抛物线的顶点为桥拱最高点，横坐标为，纵坐标为9，即顶点坐标为． 设函数表达式为， 将原点代入上式，得， 解得， ∴该桥拱抛物线的函数表达式为； ②平台距离桥面的垂直距离为5米，即点的纵坐标， 将其代入抛物线解析式， 得， 解得， ∴（米）． 答：该水平作业平台的长度为44米； （2）解：设点的横坐标为， 由抛物线的对称性可知，点的横坐标为， ∴， 矩形的高即为点的纵坐标，． 设矩形的周长为， ∴ ， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数随的增大而减小， 根据题意，边到桥墩距离不小于11米，即． ∴当取最小值11时，周长取得最大值． 当时，（米）． 答：单块宣传牌的周长最大值为98米． 题型2 利用二次函数解决投球问题 【例3】如图，小贤与小刚在进行篮球的传球训练，小贤在点处，小刚在点处，两人相距6米，小贤给小刚传球，篮球的飞行轨迹可看成是抛物线．已知小贤投出球时手离地面米，篮球飞行的水平速度为10米/秒，篮球与小贤的水平距离（单位：米）与离地高度（单位：米）的数据如下表所示（水平距离水平速度时间）： /米 … 1 2.5 4 5.5 7 … /米 … 3 3.75 4 3.75 3 … (1)求关于的函数解析式． (2)小刚在小贤传球瞬间就作出接球反应，当小刚位于篮球正下方时，若篮球离地高度不大于小刚的最大接球高度，则视为接球成功．已知小刚面对篮球后退的过程中的速度为2米/秒，最大接球高度为米．请问小刚能否成功接球？并说明理由． 【答案】(1) (2)小刚不能成功接球．理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意得，抛物线与轴的交点为，可设抛物线为，又抛物线的对称轴是直线，且过点，可得方程组，求出，即可得解析式； （2）依据题意，设秒时，篮球位于小刚正上方，从而可得球飞行的水平距离为，求出，进而可得，再代入解析式，结合题意即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线与轴的交点为， 可设抛物线为， 又抛物线的对称轴是直线，且过点， ．． 所求函数的解析式为； （2）解：小刚不能成功接球． 理由：设秒时，篮球位于小刚正上方， 球飞行的水平距离为． ． ． ． ， 小刚不能成功接球． 【例4】一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方处 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键． （1）先确定抛物线的顶点坐标，再设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据抛物线平移规律，设出移动后抛物线的解析式，再将代入，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把的坐标代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， 球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得或（不合题意，舍去）， 当小明带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处． 【技巧归纳】 建立坐标系，以抛出点为原点或地面为x轴，抛物线设为y=ax²+bx+c。代入出手点、最高点、落地点坐标求解析式。最大高度即顶点纵坐标，水平距离由落地点横坐标确定。注意系数正负与实际意义。 【变式2-1】杂技演员抛球表演时，秒后该球离起点的高度为米，已知，其中与成正比，与成正比．当时，，当时，． (1)求与的函数解析式；并求小球达到最高点时的值； (2)求经过多少秒球回到起点的高度？ (3)杂技演员在表演空中抛球时，当把球抛出后，演员必须在球距离起点不小于1．8米的上空完成其他表演动作，否则就容易出现失误，求演员完成其他表演动作的时间最多有多少秒？ 【答案】(1)，时小球达到最高点 (2)经过2秒球回到起点的高度 (3)完成其他表演动作的时间最多有1.6秒 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）根据题意设，然后利用待定系数法求出函数解析式，再根据函数的性质求出最值即可； （2）令，求解即可得解； （3）令，求解即可得解． 【详解】（1）解：根据题意设， 把，；，代入解析式得： 解得： 与的函数解析式为； ， ， 当时，有最大值5，即时小球达到最高点； （2）解：令， 解得，． 因为是回到起点的高度，所以， 答：经过2秒球回到起点的高度； （3）解：令， 解得，， （秒）， 完成其他表演动作的时间最多有1.6秒． 【变式2-2】乒乓球被誉为我国的“国球”，备受人们喜爱．已知标准乒乓球台（如图1）长为，小明购买了一台发球机辅助练习乒乓球，抛球口B距离台面，如图2，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，收球口C距离台面，乒乓球从抛球口落到左台上的点处弹起越过球网（标准高度为），落在球台右侧点E处并弹起，则发球成功，乒乓球在空中的轨迹分别由三条抛物线的一部分，，组成，反弹后的抛物线与原抛物线关于过反弹点垂直于轴的直线成轴对称，其中段抛物线的对称轴是y轴． (1)求所在抛物线的解析式；（用含n的代数式表示） (2)若发球成功，求n的取值范围； (3)若乒乓球从点E处弹起后运动到点A的正上方F处，且F处的高度与C处的高度相同． ①求n的值； ②若小明在F处击球，使球落在球台左侧的台面上点处后弹起，正好进入收球口，若球在球网正上方距台面的高度h满足，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或  ② 【分析】（1）先利用待定系数法求出所在抛物线的解析式，再根据题意可知所在抛物线与所在抛物线关于直线对称，求出其顶点坐标，即可求出所在抛物线的解析式． （2）由题意得，在所在的抛物线上，求出时y的值为．根据题意可得，若发球成功，则n应满足，求出不等式的解集即可． （3）①由所在抛物线与所在抛物线关于直线对称，可求出所在抛物线的解析式，再将F点的坐标代入表达式中，即可求出n的值． ②设所在抛物线的解析式为，则可得所在的抛物线的解析式为，将、代入中，将代入中，将m、a、k都用含有t的代数式表示出来，即可得到所在的抛物线的解析式．将代入解析式中，求出h的表达式，最后根据，且列不等式组，即可求出t的范围． 【详解】（1）解：由题知：所在抛物线的顶点为，对称轴为y轴． 设所在抛物线的解析式为， 将代入， 得 ∴所在抛物线的解析式为． 由题知：所在抛物线与所在抛物线关于直线对称， ∴其顶点为， ∴所在抛物线的解析式为：． （2）∵E点和关于直线对称， ∴， ∵，M是的中点， ∴， ∴． 由得， 时，． 若发球成功，则n应该满足， 由②得， 由③得， ∴n的取值范围为． （3）解：①由题意得所在抛物线与所在抛物线关于直线对称， ∴其顶点为， ∴所在抛物线的解析式为：． 由题意得， ∴， 整理得， 解得，， ∴n的值为或． ②设所在抛物线的解析式为，顶点为， 由题知，所在的抛物线与所在的抛物线关于直线对称， ∴其顶点为， ∴所在的抛物线的解析式为． 由题知，经过、，经过 ， ∴， 解得，，． ∴所在的抛物线的解析式为 ， 当时，， 由题意得， 由①得， 由②得， 由③得， ∴t的范围是． 题型3 利用二次函数解决喷水问题 【例5】某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹上，任意一点与支柱的水平距离x（单位：）与广场地面的垂直高度为y（单位：）满足关系式，且点在抛物线上    (1)求该抛物线的表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离； (3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到的距离）控制在7到14之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度 【答案】(1) (2)14米 (3)米 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）求出抛物线与x轴正半轴交点的横坐标即可； （3）利用待定系数法求出抛物线的表达式，化为顶点式，求出最大值，与（2）中水柱喷水的半径为时的最大高度比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入， 得，解得， ∴； （2）在中， 令，得， 解得或（舍去）， ∴水柱落地点与雕塑的水平距离是14米； （3）当水柱喷水的半径为时，抛物线经过，，代入，得 ， 解得． ∴， ∴当时，喷水池水柱的最大高度是米； 由（2）知，当水柱喷水的半径为时，， ∴当时，喷水池水柱的最大高度是米． ∵， ∴喷水池水柱的最大高度是米． 【例6】一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．    (1)求y关于x的函数表达式； (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长． 【答案】(1)y关于x的函数表达式为； (2)运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，利用待定系数法即可求解； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，， 设抛物线的表达式为， ∴，解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：令，则， 解得（负值舍去）， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为． 【技巧归纳】 以喷水口为原点或地面为x轴建系，设y=ax²+bx+c。代入水流经过的点求解析式。最远距离为y=0时的正根，最大高度为顶点纵坐标，注意喷口高度c。根据实际取舍负根。 【变式3-1】如图，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 【答案】(1)，喷出水的最大射程为 (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点的坐标； （3）根据，求出点的坐标，利用灌溉车行驶时距离绿化带的增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：如图，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又抛物线过点， ∴， ， 上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，舍去， 喷出水的最大射程为； （2）解：∵对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 点的坐标为； （3）解：∵， 点的纵坐标为， ， 解得， ， ， 当时，随的增大而减小， 当时，要使， 则， 当时，随的增大而增大，且时，， 当时，要使，则， ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 的最大值为， 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， 的最小值为， 综上所述，的取值范围是． 【变式3-2】如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点．    (1)的值为______； (2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； (3)若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为______； (4)若时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)水柱与坡面之间的最大铅直高度为米 (3) (4)水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树，理由见解析 【分析】（1）代入抛物线与y轴的交点的坐标即可求解； （2）根据已知条件求出抛物线解析式及直线解析式，设抛物线上一点P点横坐标为t，作作轴交于点Q，用t表示P点和Q点的坐标，并计算的长度，建立关于t的二次函数，在取值范围内求最大值即可； （3）代入B点横坐标到一次函数解析式，求出对应纵坐标；代入点、抛物线对称轴及B点横坐标到二次函数解析式，建立不等式进行求解； （4）根据平移求得平移后的抛物线解析式，代入到抛物线解析式和直线解析式进行对比即可． 【详解】（1）代入到抛物线解析式，得：； 故答案为：1； （2）设抛物线的解析式为 将点代入，得 抛物线的解析式为 即 坡地经过点 的解析式为 如解图，    设抛物线上一点，过点P作轴交于点Q， 则，的长为 ， 函数图像开口向下，d有最大值 根据顶点公式当时，有最大值 水柱与坡面之间的最大铅直高度为米； 故答案为：水柱与坡面之间的最大铅直高度为米； （3）由（2）知，直线的解析式为， 时， ， 抛物线的解析式为，即， 当时，，要使水柱能超过点B则， 解得 故答案为：； （4）不能； 当灌溉装置水平向后移动4米时，由（2）可得平移后的抛物线解析式为． 将代入抛物线解析式，得， 将代入直线OB解析式，得 水平向后移动4米，不能灌溉到这棵树． 题型4 利用二次函数解决销售问题 【例7】育新书店发售一套儿童绘本，成本价40元/套，经市场调查，绘本售价每套50元/套，每天可以销售200套．若每套绘本涨价1元，日销量将减少10套．育新书店预计每天的销售量不少于100套． (1)问每套绘本售价应不高于多少元？ (2)为了回报社会，育新书店决定每销售一套儿童绘本，就为市儿童基金会捐赠元，捐赠后，该书店每天的最大利润能否达到1690元？若能，求的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)60 (2)能， 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意建立函数模型，利用二次函数的性质求解． （1）根据销售量的限制条件列出不等式，求解得出每套绘本的最高售价； （2）建立利润的函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润，进而确定的值． 【详解】（1）解：设每套绘本售价为元．由题意可得不等式方程， 解得， 故每套绘本售价应不高于60元； （2）解：设每天的利润为元． 每套的利润为元，日销量为套． 则利润函数为： 在此函数中，，所以顶点横坐标为： 因为，且，该函数图象为开口向下的抛物线， 所以当时，取得最大值． 将代入利润函数： 令，则： 解得或， 当时，每套利润为，因为售价，所以，不符合实际，舍去， 当时，每套利润为，售价，符合实际． 所以能，的值为4． 【例8】直播带货已成为一种热门的销售方式，某商家在网络平台上直播销售芒果．已知该芒果的成本为4元/，销售价格不高于18元/，且每售卖1需向网络平台支付1元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量（）与销售价格（元/）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数解析式； (2)当每千克芒果的销售价格定为多少元时，销售这种芒果日获利最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当每千克芒果的销售价格定为15元时，销售这种芒果日获利最大，最大利润为5000元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用和二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设与的函数解析式为，然后结合题意，利用待定系数法求解即可； （2）设销售这种芒果日获利元，可得与的二次函数解析式，结合二次函数的图像与性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 将，代入， 可得，解得， 所以，与的函数解析式为； （2）设销售这种芒果日获利元，根据题意， 可得， 因为，且销售价格不高于18元/， 所以当时，有最大值，为5000元． 答：当每千克芒果的销售价格定为15元时，销售这种芒果日获利最大，最大利润为5000元． 【技巧归纳】 设降价（或涨价）x元，利润=（单件利润）×销量。单件利润=原利润±x，销量=原销量±kx，得二次函数。求顶点横坐标得最佳定价，注意定义域（销量非负、价格非负）。开口向下有最大值。 【变式4-1】某食品厂生产一种半成品食材，产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式 ，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，如下表： 销售价格x（元/千克） 2 4 10 市场需求量q/（百千克） 12 10 4 已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克 (1)求q与x的函数关系式； (2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围； (3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，若该半成品食材的成本是2元/千克． ①求厂家获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式； ②当厂家获得的利润y（百元）随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围．（利润售价成本） 【答案】(1) (2) (3)① ；② 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，正确得出二次函数解析式是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）由题意可得，进而得出x的取值范围； （3）①利用顶点式求出函数最值得出答案；②利用二次函数的增减性得出答案即可． 【详解】（1）解：设（k，b为常数且），当时，，当时，，代入解析式得：， 解得： ， ∴q与x的函数关系式为：． （2）解：当产量小于或等于市场需求量时，有， ， 解得：， 又， ∴； （3）解：①当产量大于市场需求量时，可得，由题意得：厂家获得的利润是： ； ②∵当时，y随x的增加而增加． 又∵产量大于市场需求量时，有， ∴当 时，厂家获得的利润y随销售价格x的上涨而增加． 【变式4-2】宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足一种函数关系，售价x（元/件）与y（万件）的对应关系如表： x … 20 26 28 31 35 … y … 20 14 12 9 5 … (1)求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式； (2)2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产的成本平均每件减少了1元． ①求2023年该特产的售价； ②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大? 最大利润是多少? 【答案】(1)每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为； (2)①2023年该特产的售价为28元；②该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大，最大利润是108万元． 【分析】本题主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，学会构建方程或函数解决问题是关键． （1）用待定系数法求出一次函数关系式即可； （2）①由题意列出一元二次方程，并求解即可；②设2024年售价定为元，工厂利润为元，根据题意列出二次函数，并求解即可． 【详解】（1）设该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为， 由题意得： ，解得， 每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为， （2）①由题意得：， 解得：， 销售单价定为25元到30元之间， ， 2023年该特产的售价为28元； ②设2024年售价定为元，工厂利润为元，根据题意得： ， 且， 当或30时，的值最大，最大值为（万元）， 该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大，最大利润是108万元． 题型5 利用二次函数解决图形问题 【例9】在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用米长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边）． (1)若比长米，求、的长； (2)若在墙角处有一棵树与墙、的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？ 【答案】(1)长米，长米 (2)花园可以围出的最大面积是 【分析】（1）设长米，依据比长6米表示出的代数式，再结合栅栏总长米列一元一次方程，解方程得到长后算出长度； （2）先设为米，用总长表示，根据树木位置列出的取值不等式确定取值范围，列出面积二次函数，根据函数性质即可求出最大面积． 【详解】（1）解：设长米，则长米， 根据题意，得：， 解得； ∴； 答：长米，长米； （2）解：设长米，则长米， 由题意得， 解得， ∵花园面积 ， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，花园的面积取得最大值， ， 答：花园可以围出的最大面积是． 【例10】某景区要建一个游乐场（如图所示），其中分别靠现有墙（墙长为27米，墙足够长），其余用篱笆围成．篱笆将游乐场隔成等腰直角和长方形两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．设的长为x米． (1)则的长为 　 　米（用含x的代数式表达）； (2)当多长时，游乐场的面积为320平方米？ (3)直接写出当为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？ 【答案】(1) (2)当长为16米时，游乐园的面积是320平方米； (3)当为12米时，游乐场的面积达到最大，最大值为360平方米． 【分析】（1）根据的长=篱笆总长得出结论； （2）根据矩形的面积与等腰直角三角形的面积的和=320列出方程，解方程即可，并根据BE的取值范围得出结论； （3）根据游乐场的面积=矩形的面积与等腰直角三角形的面积的和列出函数解析式，由函数的性质求出最大． 【详解】（1）解：由题意知，， 设的长为x米，则的长为米， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得， ∵， 解得， ∴， 答：当长为16米时，游乐园的面积是320平方米； （3）解：设游乐场的面积为y平方米， 由题意得：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为360， 答：当为12米时，游乐场的面积达到最大，最大值为360平方米． 【技巧归纳】 设未知边长或坐标，根据面积、周长等几何关系列二次函数。求最值时，用配方法或顶点公式，注意自变量范围（边长>0，三角形两边和大于第三边）。开口方向决定最大或最小值。 【变式5-1】在开封古城墙遗址旁，考古队要保护一段城墙（长约），他们想用的围栏围出一个矩形保护区域，如图所示，一面利用现存城墙，设垂直于城墙的边长为，并在边上留一个宽为的门． (1)若矩形区域长比宽多，求此时长方形的长． (2)设长方形区域的长为，请写出y与x的函数关系式，并求出x的最小值． (3)求长方形区域的面积S的最大值． 【答案】(1)此时长方形的长为； (2)y与x的函数关系式为，x的最小值为61； (3)长方形区域的面积S的最大值为． 【分析】（1）根据题意列式，据此计算即可求解； （2）根据题意得，再根据长为，求得，据此计算即可求解； （3）得到二次函数，结合，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为， 由题意得：， 解得：, 所以长， 答：此时长方形的长为； （2）解：由题意得：， 所以， 因为城墙长为， 所以，即， 解得：， 所以x的最小值为61， 答：y与x的函数关系式为，x的最小值为61； （3）解：由题意得： ， ∵，， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为4880． 答：长方形区域的面积S的最大值为． 【变式5-2】蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： (1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；    (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；      (3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．    【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解； （3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， ∵四边形为矩形，为的中垂线， ∴，， ∵， ∴点，代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）∵四边形，四边形均为正方形，， ∴， 延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，    ∴， ∴， ∵，当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴； （3）∵，垂直平分， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∵太阳光为平行光， 设过点平行于的光线的解析式为， 由题意，得：与抛物线相切， 联立，整理得：， 则：，解得：； ∴，当时，， ∴， ∵， ∴． 题型6 利用二次函数解决图形运动问题 【例11】如图所示，在中，，，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动，若，两点分别从，两点同时出发，在运动过程中，求的最大面积． (1)当，同时出发后经过时，_____cm，_____cm． (2)在运动过程中，求的最大面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据“路程=速度×时间”得，同时出发后经过时，，，根据可求出； （2）设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 【详解】（1）解：当，同时出发后经过时，，， 又， ∴； （2）解：设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，， 则． ∵，，动点从出发沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为． 【例12】如图①，在等腰直角三角形中，，．动点从点出发向终点运动（不与点、重合），速度为每秒个单位长度．过点作于点，以为边向右侧作矩形，且．设点运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)当点在线段上时（不与点重合），设矩形与重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)； (2)点落在边上时，的值为2； (3)． 【分析】（）先得出，又四边形是矩形，则， ，从而有 ，所以，然后通过勾股定理得，再代入即可求解； （）可得、、都是等腰直角三角形，又四边形是矩形，则 ， ，，所以 ，即，然后求出的值即可； （）分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：； （2）解：当点落在边上时，如图， 同（）理可得、、都是等腰直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴ ， ， ∵，， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴点落在边上时，的值为； （3）解：当点与点重合时，，， 当时， 重叠部分的面积就是矩形的面积，此时，； 当时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ∴、、都是等腰直角三角形， ∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上所述：． 【技巧归纳】 设运动时间t，用t表示线段长、面积等变量，建立关于t的二次函数。根据运动过程确定t的定义域。求最值或特定值时，利用顶点公式或解方程。注意点运动方向导致分段函数可能不同。 【变式6-1】如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】(1)， (2)①是，；② 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 【变式6-2】综合与实践： 【问题提出】如图（1）在中，，为的中点，点沿折线运动（运动到点停止），以为边在上方作正方形．设点运动的路程为，正方形的面积为． 【初步感悟】（1）当点在上运动时，①若，则　　　　　　； ②关于的函数关系式为　　　　　　； （2）当点从点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 【延伸探究】（3）当时，的长为　　　　　　，此时关于的函数图象上点的坐标为　　　　　　； （4）连接正方形的对角线，两对角线的交点为，求点在内部时和的取值范围． 【答案】（1）①5；②；（2）；（3）0或1；或；（4）点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【分析】（1）根据正方形面积公式求解即可； （2）当时，点与点重合，求得，由题图（2）可知点与点重合时，，即，在中，利用勾股定理即可求解； （3）分当和当时，即可求解； （4）取的中点，连接，分析点的运动规律可求得，点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【详解】解：（1）①若，则； ②y关于x的函数关系式为； 故答案为：5；； （2）由题意可知，当时，点与点重合， ∴，此时， 连接， 由题图（2）可知点与点重合时，，即， 在中，，即， ∴（负值已舍）， 当点在上运动时，， ∴， ∴在中，， ∴， 即当点在上运动时，y关于x的函数关系式为； （3）当时，， 则时，， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，， 则时，， 解得或； 当时，，此时， 当时，，此时， ∴当时，的长为0或1，此时y关于x的函数图象上点的坐标为或； 故答案为：0或1；或； （4）由（2）知，，， 又∵D为的中点， ∴， 取的中点，连接， ∴，是的中位线， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， 分析点的运动规律可知，当点运动到，即点运动到点处时，点与点重合， 点在线段(不含点)上运动时，点在内部， 当点运动到点处时，，此时； 当，； ∴点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 一、单选题 1．某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 2．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（为常数，）运动，其中（单位：）是铅球离初始位置的水平距离，（单位：）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①； ②铅球运动的高度可以是； ③铅球掷出的水平距离为； ④当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（  ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用抛出时，求出，得到抛物线解析式，再结合二次函数最值，解方程逐个判断4个结论正误． 【详解】解：抛物线经过点， ， 解得，①正确； 抛物线的关系式为， 当时，， 铅球运动的高度可以是，②正确； 当时，， 解得（舍），， 铅球掷出的水平距离为，③正确； 当时，， 解得，， 它离初始位置的水平距离是或，④错误， 所以正确的有①②③共3个． 3．如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形的最大面积为4平方米； ②与之间的函数关系式为； ③当时，矩形的面积最大； ④的值为12．其中正确的结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：观察图2，得出当时，函数值最大，即矩形的最大面积为4平方米， ∴①说法正确，③说法错误； 由图2可知，函数图象最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入得 解得， ∴， ∴②说法正确； 当时，函数值最大，即矩形的最大面积为4平方米，此时，， ∵隔断、分别与矩形的两条邻边平行， ∴四边形和都是矩形， ∴，， ∴矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长米， ∴④说法正确． 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 二、填空题 4．某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）与销量（单位：袋）的关系分别为和．若本周销售两款商品一共30袋，则能获得的最大利润为______元． 【答案】 【分析】设销售款商品袋，则销售款商品袋，根据总利润等于两款商品利润之和，列出总利润的函数解析式，再利用配方法求函数的最大值，注意为正整数. 【详解】解：设销售款商品袋，则销售款商品袋，为非负整数，且， 由题意，总利润， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数在处取得最大值， 为非负整数， 当或时，取得最大值， 将代入得； 故能获得的最大利润为元. 5．如图，一根铝合金型材长为，用它制作一个“日”字型窗户的框架，如果恰好用完整条铝合金型材，则窗户的最大面积是_______． 【答案】 【分析】设为，则，根据矩形的面积求得面积与的函数关系，根据二次函数的性质求解即可求得答案． 【详解】解：设为，则， 则窗户的面积 当时，取得最大值为． 6．景区喷泉以出水口为原点建立坐标系，水柱高度（单位：米）与水平距离（单位：米）满足：．在水柱最高点正下方修建矩形观景通道，通道顶部距离水柱竖直高度不少于2米，通道宽度米，求通道顶部距离地面的最大高度：_______． 【答案】米 【分析】由题意易得该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，然后可得，当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度，进而问题可求解． 【详解】解：∵喷出水的竖直高度y（单位：米）与距出水口的水平距离x（单位：米）近似满足函数关系， ∴该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， ∵在喷泉水柱最高处的正下方搭建矩形通道， ∴矩形关于抛物线的对称轴对称， ∵通道宽为2米， ∴，即， ∵通道顶部到水柱的竖直距离均不小于2米， ∴，即， 即当通道顶部到水柱的竖直距离均等于2米时，通道顶端到地面有最大高度， 当时，则有， ∴通道顶端到地面的最大高度为（米）． 三、解答题 7．某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元， (1)若每月租出辆汽车，则每辆汽车月租费增加______元，该出租公司的月利润______元； (2)若出租公司的月利润为304000元，则租出多少辆汽车？ (3)当每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】(1) ； (2)80或76 (3)当每月租出辆汽车时，该出租公司的月利润最大，是元 【分析】（1）根据若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车，列式计算每辆汽车月租费增加钱数，再根据每辆汽车月租费乘以车辆数，并减去维护费等于总收益计算该出租公司的月利润； （2）由（1）中月利润等于304000，列方程计算即可； （3）根据题意找出月利润和车辆数的函数关系式，根据二次函数的性质确定答案． 【详解】（1）解：由题意知，共100辆汽车，若每月租出辆汽车，则少租出 辆汽车， ∵若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车， ∴每辆汽车月租费增加； ∵每辆汽车月租费为（元）， ∴该出租公司的月利润为（元）； （2）解：， 化简得，， ， ，， 答：租出80辆或76辆汽车； （3）解：设每月租出辆汽车，该出租公司的月利润为y元， 由题意知，， 整理得，， ∵，∴开口向下， 当时，y有最大值，最大值为304200， 答：当每月租出78辆汽车时，该出租公司的月利润最大，最大月利润是304200元． 8．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以为原点，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，点A在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑的高； (2)求落水点C、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1)雕塑的高为 (2) (3)当时，， ∴点在抛物线上． 又∵， ∴顶部不会碰到水柱． 【分析】（1）直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】（1）解：当时，， ∴点的坐标为， ∴雕塑的高为． （2）解：当时，， 解得（舍去），， ∴点的坐标为， ∴． ∵从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴， ∴． （3）略 9．小明同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段．如图所示，以地平线为轴，起抛点所在铅垂线为轴建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为时，自动进入滑行阶段． (1)若纸飞机进入滑行阶段时的高度为． ①直接写出和的值； ②小明的前方有一堵高的围栏，若要纸飞机顺利飞过围栏，求小明与围栏之间距离的取值范围； (2)要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过，直接写出的最大值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）①由纸飞机进入滑行阶段时的高度为，可得抛物线和直线都过点，分别代入计算即可； ②将代入两个函数解析式，求出的值，即可得出结果； （2）由题意得：经过，得到直线表达式，再得到抛物线经过，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵纸飞机进入滑行阶段时的高度为， ∴抛物线和直线都过点， ∴，， ∴； ②由①可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， 当时，解得或（舍去）； 当时，解得； ∴小明与围栏之间距离的取值范围为； （2）解：由题意得：经过， ，解得：， ． ∴当时，，抛物线经过， ，解得：． 10．在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为． (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过点作轴的垂线交下方轮廓于点，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，直接设顶点式；把已知点代入解析式求出系数a，即可得到抛物线表达式． （2）设两点横坐标相同，分别写出P、Q坐标；用上方点纵坐标减下方点纵坐标列出线段的二次函数关系式；对二次式配方，结合开口方向与自变量取值范围，求出最大值． 【详解】（1）解：由题意，得该抛物线的顶点坐标为．点的坐标为． 设这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点，分别在抛物线和抛物线上， ∴设点的坐标为（），点的坐标为， ． ，， ∴当时，的最大值为． 11．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)当时，满足条件的花园面积能达到平方米 (3)当时，最大，最大面积是平方米 【分析】（1）根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围； （2）把代入解方程并检验取值； （3）配方法求二次函数在定义域内的最值． 【详解】（1）解：米，三边栅栏总长为米， 米． ，即． 墙长米， ， 解得． （2）解：令，则， 整理，得， 解得或． ， ， 当时，满足条件的花园面积能达到平方米． （3）解：将化为顶点式为， ， 当时，最大，最大面积是平方米． 12．【背景介绍】某公园准备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池中心点设为点，其正上方米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图）．在忽略空气阻力的情况下，假设喷头喷出的水流运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内． 【数学建模】以水池中心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（轴在水面水平方向，轴竖直向上），其中为喷泉的喷头位置．在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点时的坐标为，随后水流落回水面上的点． (1)【建立模型】求该抛物线的函数表达式； (2)【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径的长（结果保留根号）； (3)【优化设计】公园设计师认为，当水流落点距离中心恰好为5米时，视觉效果最好．在不改变抛物线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？ 【答案】(1) (2)米 (3)要把喷泉喷头升高2米． 【分析】（1）理解题意，先设该抛物线的函数表达式为，再运用待定系数法求出解析式，即可作答． （2）理解题意，把代入计算，再结合在轴的正半轴，故半径的长为米． （3）理解题意，设要把喷泉喷头升高米，得出升高后的抛物线的解析式为，把整理得出的代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∵最高点时的坐标为， ∴设该抛物线的函数表达式为， 把代入，得 解得， ∴ （2）解：由（1）得， 依题意，把代入， 得 整理得 解得， ∵在轴的正半轴， ∴． ∴半径的长为米． （3）解：由（1）得， 设要把喷泉喷头升高米， 依题意，升高后的抛物线的解析式为 ∵水流落点距离中心恰好为5米， ∴ 把代入， 得 整理得 解得 ∴要把喷泉喷头升高2米． 13．多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方． 【答案】(1)，； (2)解：不可以，理由如下： 根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得， 解得（舍去），． ， ， ， 这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方． 【分析】（1）由题可得：抛物线的顶点的坐标为．设与的函数解析式为，再进一步利用待定系数法求解即可． （2）设点的坐标为，代入抛物线的解析式求解，再进一步判断即可． 【详解】（1）解：由题可得：抛物线的顶点的坐标为． 设与的函数解析式为， 抛物线的函数解析式为． 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得， 解得． 抛物线的函数解析式为，． （2）略 14．综合与实践 为了更好地培养学生的思考与探究能力，张老师以“图形的运动”为主题来开展如下数学活动．如图1，在等腰中，，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且均以的速度运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．连接．以为边向下作正方形，设点的运动时间为（），正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)【直观感知】的长为________（用含的代数式表示）． (2)【初步探究】如图2，当落在上时，求的值． (3)【深入研究】如图3．当在的下方时，求与之间函数关系式． (4)【问题解决】在点，的运动过程中，正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是多少？（直接写出结果） 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）易得为等腰直角三角形，进行求解即可； （2）易得为等腰直角三角形，得到，再根据，列出方程进行求解即可； （3）设，分别交于点，则为等腰直角三角形，四边形为矩形，求出的长，根据题意，得到重叠部分的面积即为矩形的面积，进行求解即可； （4）分两种情况，进行讨论，求出最值即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∵， ∴； （2）解：∵等腰中，，， ∴， ∵正方形，落在上 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，设，分别交于点， 则为等腰直角三角形，四边形为矩形， ∵，； ∴， ∴， ∴； （4）解：当时，重叠部分的面积即为正方形的面积， ∴， ∴当时，值最大为； 当时，由（3）可知：； ∴当时，值最大为； ∵， ∴正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第12讲实际问题与二次函数 孓内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点破方法：典型题型深度拆解 题型1利用二次函数解决拱桥问题 题型2利用二次函数解决投球问题 题型3利用二次函数解决喷水问题 题型4利用二次函数解决销售问题 题型5利用二次函数解决图形问题 题型6利用二次函数解决图形运动问题 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.能根据实际问题中的数量关系，建立二次函数模型，并确定自变量的取值 范围。 建模、最值、顶点、自2.掌握利用二次函数的顶点坐标求最值的方法，解决最大利润、最大面积等 变量范围、最大利润、优化问题。 最大面积、检验。 3.理解二次函数在实际问题中的增减性，能根据自变量范围判断函数的最值 (不一定在顶点处)。 4.经历“问题一建模一求解一检验”的过程，体会数学建模思想，提升应用 意识和分析问题的能力。 学习重点：建立二次函数模型解决实际问题，利用顶点坐标求最值。 学习难点：准确找出实际问题中的等量关系并列出函数解析式，以及根据实际意义确定自变量的取值范 围，并能判断最值是在顶点处还是在端点处取得。 1/20 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 02 教材全解 知|识|框|架 单件利润=售价进价 售价进价找利润 利润问题 总利润=单件利润×销量 销量变化设变量 利润问题口快 销量随售价变化关系 总利公式列解析 顶点最值求最大 利用二次函数求最大面积 解题方法与口诀 面积问题 围墙围栏限定条件 审清题意设变量 常见模型 几何图形边长关系 等量关系列函数 实际应用题思路 抛物线形运动路径 给定范围求最值 符合实际再作答 运动轨迹问题 喷泉投篮铅球等 建立坐标系 自变量取值范围遗漏 拱桥抛物线形状 最值不在对称轴处 高频易错点 桥梁隧道问题 隧道限高限宽 单位换算忽略 坐标系下函数解析式 实际意义检验缺失 实际问题与二次函数 找出已知量与未知量 利润最大值问题 审题建模 确定变量关系 面积最值问题 高频考点 设自变量与因变量 抛物线运动问题 根据等量关系列式 列函数解析式 实际应用综合题 注意自变量取值范围 长度面积非负 解题步骤 顶点公式法 实际意义约束 销量价格非负 求最值 自变量取值范围 配方法 涨价降价幅度 利用函数增减性 题目条件限制 整数解要求 验证是否符合实际 检验作答 检查取值范围 写出最终答案 知识精讲 知识点01二次函数的应用 1. 核心应用场景： -最值问题：解决利润最大、产量最优、用料最省、高度/距离最值等 实际建模：根据实际情境（如抛体运动、增长率、几何图形面积）建立二次函数关系式，转化为数学问题 求解。 2.解题步骤： 审题：明确变量关系，确定自变量取值范围（需符合实际意义）。 -建模：设合适的函数解析式（顶点式、一般式、交点式按需选择）。 -求解：代入已知条件求参数，利用顶点或单调性求目标值。 -检验：验证结果是否符合实际情境，舍去不合理解。 3.关键技巧与思想： 解析式选择：最值问题优先用顶点式y=a(xh)2+k，已知交点用交点式y=a(x-x)(xx2)。 2/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 - 数形结合：通过函数图像分析自变量取值范围与最值的合理性。 实际约束：忽略不符合实际的解（如负数、超出定义域的数值）。 【易错提醒】 审清题意（利润、面积、抛线等），正确建立函数模型。注意自变量实际范围（如边长>0），顶点处取最 值时需验证是否在取值范围内。单位要统一，结果合理取舍。 即时即练1，（25-26九年级上·全国期中)如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出 手时的正下方地面上一点O为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度 四与水平距离m之间的联系为y一++2，则该运动员这次拉出的水平距离为( 3 y/m 》 x/m A.7.5m B.9m C.11.25m D.12m 2.（25-26九年级上广东广州·阶段练习)如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y （单位：m)与水平距离x(单位：m）近似满足函数关系y=x x2+二x+c,已知铅球落地时的水平距 12 3 离OB为10m,则铅球出手时离地面的高度OA是 m, A 0 B 3. (河南省安阳市第五中学教育集团2025-2026学年九年级上学期11月期中联考数学试题)网络销售已经 成为一种比较热门的销售方式，某电商购进一种单价30元的商品，为减少库存，未来30天，这种商品将开 展“每天降价1元”的促销活动，即从活动开始的第一天起每天的销售单价均比前一天降1元，通过市场调查 发现，该商品的销售单价每降1元，每天销售量增加3件，活动前的销售单价为100元，每天销售15件，设 活动开始后的第t天(t为正整数)所获的利润为w(元) (I)求出w与t之间的函数关系式： (②)哪一天所获利润最大，最大利润是多少元？ 3/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 03 题型突破 题型1利用二次函数解决拱桥问题 【例1】“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中 的美景，己知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A,B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的 距离为2.4米.如图，以水面AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. D B (1)求该抛物线的函数表达式； (②)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为DE.若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计）， 当灯饰C与其水中倒影C'之间的距离CC'与水面宽度DE比为1：2时，形成的景色最美，求此时水面的宽 度 【例2】赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动.某地计划进行一场划龙舟比 赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分， 建立如图所示的平面直角坐标系xOy,桥拱上的点到水面的竖直高度y(单位：m)与到点O的水平距离x (单位：m)近似满足函数关系y=-0.01(x-30)+9,据调查，龙舟最高处距离水面2m,为保障安全，通 过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m. 示意图 本y/m 拱桥 龙舟 3四 2m 衣m 水面 图1 图2 (1)水面的宽度OA= m; (2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为8m，求最多可设计龙舟赛道的数量 【技巧归纳】 以水面为x轴，拱顶为y轴建系，设y=x2+c。代入已知点（如水面宽对应点）求解析式。再求给定高度处 宽度：代入y解x,宽度=x1-x2。注意实际问题中变量正负与坐标系选择。 【变式11】西安东站坐落于西安灞桥区，东依白鹿原、西邻产河，是西北地区特大型综合交通枢纽，也是 西安“米”字形高铁网核心枢纽之一，以“秦山渭水、丝路长安”为设计理念，如图①，其站房主门楼顶部采 4/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 用大气、对称的抛物线形拱檐设计，线条流畅优美，其拱檐轮廓可近似看作开口向下的抛物线的一部分，如 图②，现以拱檐对称轴与水平地面的交点为坐标原点O,水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角 坐标系，结合东站实景真实比例：拱檐左右两端檐口水平总跨度AB为80m,檐口离地高度AE为36m,拱 檐拱顶最高处离地高度OC为48m. B 0 图① 图② (1)求该抛物线的表达式： (2)为美化夜景，需要在拱檐安装亮化灯带，要求灯带安装位置离地高度不低于45m,求灯带两端水平距离 的最大长度 【变式1-2】综合与实践 问题情境：漪汾桥是太原首座双七拱吊桥，具有划时代意义，它是中承式连续拱桥，其最亮眼的设计在于 桥体两侧对称舒展的抛物线形桥拱，远远望去犹如两道绚丽的彩虹横跨汾河，早已成为汾河畔极具辨识度 的城市景观，兼具工程美学与力学价值 数学建模：图1是太原漪汾桥实物图，桥面上方的桥拱可近似看作完全相同的抛物线，图2为其一桥拱的 示意图，以桥面OA所在直线为x轴，桥墩立柱OC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.己 知桥拱的跨度OA=66米，桥拱最高点到桥面的距离为9米. 问题解决： 米 米 0 Ax米 x/米 C 图1 图2 图3 (1)①求该桥拱抛物线的函数表达式： ②为了方便给桥拱顶部喷涂除锈剂，养护工人需在桥拱上距离桥面5米高的位置，搭建施工水平支架平台 MN(点M,N均在桥拱上)，对桥拱横向作业，求该水平作业平台MN的长度， (②)如图3，若需在漪汾桥桥拱下方安装一块内容为“晋善晋美，马到成功”的矩形灯牌DEFG,其中点D,G 在抛物线上，点E,F在桥面OA上，DE边靠近桥墩OC且到桥墩OC的距离不小于11米，为更好地筹备所 需材料，需测算单块宣传牌的周长最大值（宣传牌厚度忽略不计），请你帮忙计算一下，直接写出结果即 可. 5/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型2利用二次函数解决投球问题 【例3】如图，小贤与小刚在进行篮球的传球训练，小贤在A点处，小刚在B点处，两人相距6米，小贤给 小传球，篮球的飞行轨迹可看成是苑物线。已知小贤投出球时手离地面)米，篮球飞行的水平速度为10 米/秒，篮球与小贤的水平距离x(单位：米)与离地高度y(单位：米)的数据如下表所示（水平距离= 水平速度×时间)： x/米 2.5 4 5.5 7 y/米 3 3.75 4 3.75 3 A B (1)求y关于x的函数解析式 (2)小刚在小贤传球瞬间就作出接球反应，当小刚位于篮球正下方时，若篮球离地高度不大于小刚的最大接 球高度，则视为接球成功。已知小网刚面对篮球后退的过程中的速度为2米秒，最大接球高度为20米，请 问小刚能否成功接球？并说明理由， 【例4】一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水 平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m,已知球门高OB为2.4m,现以O为原点建立如图所示 直角坐标系。 y(m) 6 6 8 x(m)） (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）， (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少 米射门，才能让足球经过点0正上方2.25m处？ 【技巧归纳】 建立坐标系，以抛出点为原点或地面为x轴，抛物线设为y=x2+bx+c。代入出手点、最高点、落地点坐标 求解析式。最大高度即顶点纵坐标，水平距离由落地点横坐标确定。注意系数正负与实际意义。 【变式2-l】杂技演员抛球表演时，t秒后该球离起点的高度为h米，已知h=d,+d,其中d与t成正比，d, 6/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 与t2成正比.当t=1时，h=5,当1=0.1时，h=0.95. (1)求h与t的函数解析式；并求小球达到最高点时t的值； (2)求经过多少秒球回到起点的高度？ (3)杂技演员在表演空中抛球时，当把球抛出后，演员必须在球距离起点不小于1,8米的上空完成其他表演 动作，否则就容易出现失误，求演员完成其他表演动作的时间最多有多少秒？ 【变式2-2】乒乓球被誉为我国的“国球”，备受人们喜爱，已知标准乒乓球台（如图1）OA长为2.8m,小 明购买了一台发球机辅助练习乒乓球，抛球口B距离台面0.5m,如图2，以OA所在直线为x轴，OB所在 直线为y轴建立平面直角坐标系，收球口C距离台面0.32m,乒乓球从抛球口落到左台OM上的点D(n,0) 处弹起越过球网（标准高度MN为0.1525m)，落在球台右侧点E处并弹起，则发球成功，乒乓球在空中 的轨迹分别由三条抛物线的一部分BD，DE，EF组成，反弹后的抛物线与原抛物线关于过反弹点垂直于 x轴的直线成轴对称，其中BD段抛物线的对称轴是y轴， D M E 图1 图2 (1)求DE所在抛物线的解析式；（用含n的代数式表示） (2)若发球成功，求n的取值范围； (3)若乒乓球从点E处弹起后运动到点A的正上方F处，且F处的高度与C处的高度相同. ①求n的值； ②若小明在F处击球，使球落在球台左侧的台面上点G(t,O)处后弹起，正好进入收球口，若球在球网正上 方距台面的高度h满足0.16≤h≤0.32，直接写出t的取值范围. 题型3利用二次函数解决喷水问题 【例5】某公司为城市广场上一雕塑AB安装喷水装置.喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面3，喷 出的水柱轨迹呈抛物线型.据此建立如图的平面直角坐标系，若喷出的水柱轨迹BC上，任意一点与支柱AB 的水平距离x（单位：m）与广场地面的垂直高度为y(单位：m）满足关系式y=3 x2+bx+c,且点 28 6 D2,7 在抛物线BC上 7/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D O() 广场地面C衣 (1)求该抛物线的表达式： (2)求水柱落地点与雕塑AB的水平距离； (3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为 3 x2+b,x+c,把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在7m到14m之间，请探 2 究改建后喷水池水柱的最大高度 【例6】一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员 离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平 距离为lm时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m. 支 (1)求y关于x的函数表达式； (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长， 【技巧归纳】 以喷水口为原点或地面为x轴建系，设y=x2+bx+c。代入水流经过的点求解析式。最远距离为y=0时的正 根，最大高度为顶点纵坐标，注意喷口高度c。根据实际取舍负根。 【变式3-1】如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h=1.5米·如图2，可以把灌溉车 喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG, 其水平宽度DE=3米，竖直高度E℉=0.5米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线 最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.5米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米。 8/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H 喷水口 上边缘 h+0.5.2 、边缘 图1 图2 (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC； (2)求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标： (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围 【变式3-2】如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头 到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线x=10,用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水 柱的高度y(单位：米)与水柱落地处距离喷水头的距离x(单位：米)之间的函数关系式为 y=a2+bx+c,其图像如图②所示.己知坡地OB所在直线经过点(I0,1). B 10 20 图① 图② (1)c的值为 (2者a=。,求水柱与坡面之间的最大铅直高度： (3)若点B横坐标为l8,水柱能超过点B,则a的取值范围为； (4若口=0时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溪。园艺工人将藩漫装置 水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由. 题型4利用二次函数解决销售问题 【例7】育新书店发售一套儿童绘本，成本价40元/套，经市场调查，绘本售价每套50元/套，每天可以销 售200套，若每套绘本涨价1元，日销量将减少10套.育新书店预计每天的销售量不少于100套。 (1)问每套绘本售价应不高于多少元？ (②)为了回报社会，育新书店决定每销售一套儿童绘本，就为市儿童基金会捐赠m元，捐赠后，该书店每天 的最大利润能否达到1690元？若能，求m的值；若不能，说明理由. 9/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【例8】直播带货已成为一种热门的销售方式，某商家在网络平台上直播销售芒果.已知该芒果的成本为4 元/kg,销售价格不高于18元/kg,且每售卖1kg需向网络平台支付1元的相关费用，经过一段时间的直 播销售发现，每日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间满足如图所示的一次函数关系， Ay/kg 950-- 600 6 x/(元/kg) (1)求y与x的函数解析式； (2)当每千克芒果的销售价格定为多少元时，销售这种芒果日获利最大，最大利润为多少元？ 【技巧归纳】 设降价（或涨价）x元，利润=（单件利润）×销量。单件利润=原利润±x,销量=原销量±x,得二次函数。 求顶点横坐标得最佳定价，注意定义域（销量非负、价格非负）。开口向下有最大值。 【变式4-1】某食品厂生产一种半成品食材，产量p(百千克)与销售价格x(元/千克)满足函数关系式 卫-2x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量g(百千克)与销售价格x(元/干克)满 1 足一次函数关系，如下表： 销售价格x(元/千克) 2 4 10 市场需求量gl(百千克〉 12 10 己知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克 (1)求q与x的函数关系式： (2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围； (3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废 弃，若该半成品食材的成本是2元/千克， ①求厂家获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式； ②当厂家获得的利润y(百元)随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围.（利润=售价-成 本) 【变式4-2】宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价廉，在惠农网商平 台推广下，该产品火爆畅销全国各地，己知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，该产品的销售单 价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足一种函数关 系，售价x(元/件)与y(万件)的对应关系如表： 10/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 20 26 28 31 35 20 14 12 9 5 (1)求该产品每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间的函数关系式； (2)2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特产 的成本平均每件减少了1元、 ①求2023年该特产的售价； ②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大？最大利润是多少？ 题型5利用二次函数解决图形问题 【例9】在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20米长的栅栏 围成一个矩形花园ABCD(栅栏只围AB,BC两边)， B D (I)若BC比AB长6米，求AB、BC的长； (2)若在墙角P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是12米和6米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考 虑树的粗细)，花园可以围出的最大面积是多少？ 【例1O】某景区要建一个游乐场（如图所示），其中AD、CD分别靠现有墙DM、DN(墙DM长为27米， 墙DN足够长)，其余用篱笆围成.篱笆DE将游乐场隔成等腰直角△CED和长方形ADEB两部分，并在三 处各留2米宽的大门.已知篱笆总长为54米.设AB的长为x米. B E C M A D 7777777777 (1)则BE的长为米（用含x的代数式表达）； (2)当AB多长时，游乐场的面积为320平方米？ (3)直接写出当AB为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？ 【技巧归纳】 设未知边长或坐标，根据面积、周长等几何关系列二次函数。求最值时，用配方法或顶点公式，注意自变 量范围（边长>0，三角形两边和大于第三边）。开口方向决定最大或最小值。 11/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式5-1】在开封古城墙遗址旁，考古队要保护一段城墙MN(长约80m)，他们想用200m的围栏围出 一个矩形保护区域ABCD,如图所示，一面利用现存城墙，设垂直于城墙的边长AB为m，并在边CD上留 一个宽为2m的门. (1I)若矩形区域ABCD长比宽多10m,求此时长方形的长. (②)设长方形区域的长BC为m,请写出y与x的函数关系式，并求出x的最小值， (3)求长方形区域ABCD的面积S的最大值 【变式5-2】蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬 菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温 室空间.如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m,BC=4m, 取BC中点O,过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E,若以O点为原点，BC所在直线 为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系 请回答下列问题： (1)如图，抛物线AED的顶点E(0,4),求抛物线的解析式： y B C (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMWR,若 FL=NR=0.75m,求两个正方形装置的间距GM的长； E 7 A D FGMN B C无 (3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为BK,求BK的长. 12/20 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B C K 题型6利用二次函数解决图形运动问题 【例11】如图所示，在△ABC中，∠B=90°，BC=8cm,AB=6cm,动点P从A出发沿边AB向点B以 1cm/s的速度运动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度运动，若P,Q两点分别从A,B两 点同时出发，在运动过程中，求PBQ的最大面积. B (1)当P,2同时出发后经过s时，BQ=cm,BP=cm, (2)在运动过程中，求△PBQ的最大面积 【例12】如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4V2.动点P从点A出发向终点C 运动（不与点A、C重合），速度为每秒√2个单位长度，过点P作P2LAB于点Q,以PQ为边向右侧作 矩形POMN,且PN=2PQ,设点P运动时间为t秒. 图① 备用图 (1)用含t的代数式表示线段PN的长 (2)当点N落在边BC上时，求t的值； (3)当点M在线段AB上时（不与点B重合），设矩形PQMN与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t之间的 函数关系式 【技巧归纳】 设运动时间t,用t表示线段长、面积等变量，建立关于t的二次函数。根据运动过程确定t的定义域。求最 13/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 值或特定值时，利用顶点公式或解方程。注意点运动方向导致分段函数可能不同。 【变式6-1】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=l2cm,点P从点A出发沿AB以lcms的速度向点B 匀速移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C匀速移动.设点P运动的时间为 s(0<t<6). D A→P B (1)AP= cm,CO= cm(用含t的代数式表示) (2)记△BQP的面积为S,△DPQ的面积为S,. ①试判断S+S,是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 ②求S-S,的最小值 【变式6-2】综合与实践： 80 E D 04 图(1) 图(2) 【问题提出】如图(1)在△ABC中，∠A=90°，D为AB的中点，点P沿折线D-A-C运动（运动到点C 停止)，以DP为边在DP上方作正方形DPEF,设点P运动的路程为x,正方形DPEF的面积为y. 【初步感悟】(1)当点P在AD上运动时，①若x=√5，则y= ②y关于x的函数关系式为」 (2)当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图(2)所示的函数图象， 直线x=4是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）· 【延伸探究】(3)当y-x=12时，AP的长为 ，此时y关于x的函数图象上点的坐标 为 (4)连接正方形DPEF的对角线DE,PF,两对角线的交点为M,求点A在△DFM内部时x和y的取值范 围 14/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 04 过关检测 一、单选题 1,某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口，要在拱门上顺次粘 贴“毕“业“典“礼”（分别记作点A,B,C,D)四个大字，要求BC与地面平行，且BC∥AD,抛物线最 高点的五角星（点E)到BC的距离为0.6m,BC=2m,AD=4m,如图2所示，则点C到AD的距离为(） 业典 图1 图2 A.1.5m B.1.8m C.2m D.2.4m y/m E B /m由题意可得点C的坐标为(1,0)，点B的坐标为(-l,0),则点E的坐标为0,0.6) D 故设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-1), 将点E的坐标代入上式，得a(0+1)×(0-1)=0.6, 解得：a=-0.6, ∴.抛物线的解析式为y=-0.6(x+1)(x-1), ,点D的横坐标为2， ∴.点D的纵坐标为-0.6×(2+1)×(2-1)=-1.8， .点C到AD的距离为1.8m. 2.如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x-3)+5a+3(a为常数，a≠0)运动，其中x(单位： m)是铅球离初始位置的水平距离，y(单位m)是铅球离地面的高度.若铅球在抛出时离地面的高度OA 为1.6m,有下列结论： ①a=-0.1； ②铅球运动的高度可以是2.4m; ③铅球掷出的水平距离OB为8m; ④当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离为1m, 15/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 其中，正确结论的个数为()· 0 B衣 A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图1所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF、GH的总长为a米，且隔断EF、GH分别与矩 形的两条邻边平行，设BC的长为x米，矩形ABCD的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，给出 的下列结论： G D 4 B H -x-> 图1 图2 ①矩形ABCD的最大面积为4平方米； ②y与x之间的函数关系式为y=-x2+4x; ③当x=4时，矩形ABCD的面积最大； ④a的值为12.其中正确的结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 4.某商店销售A,B两款商品，利润y(单位：元)与销量x(单位：袋)的关系分别为y,=-x2+23x和 y,=4x.若本周销售两款商品一共30袋，则能获得的最大利润为元 5,如图，一根铝合金型材长为6m,用它制作一个“日”字型窗户的框架ABCD,如果恰好用完整条铝合金 型材，则窗户的最大面积是 m2, E B 6,景区喷泉以出水口O为原点建立坐标系，水柱高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)满足： y=(x-+5,在水柱最高点正下方修建矩形宽录通道E℉GH,通道顶部EH距离水柱竖直高废不少于 2米，通道宽度FG=2米，求通道顶部距离地面的最大高度： 16/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y/米个 /米个 E H Px米 F G Px/米 图1 图2 图3 三、解答题 7,某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50 元，则少租出1辆汽车，已知每辆租出的汽车支付月维护费200元， (1)若每月租出x辆汽车，则每辆汽车月租费增加元，该出租公司的月利润 元 (2)若出租公司的月利润为304000元，则租出多少辆汽车？ (③)当每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月利润最大？最大月利润是多少？ 8.某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA,从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如 图，以O为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水 点，水柱所在抛物线〈第一象限部分)的函数表达式为y=-1（x-5)+6. 6 y(m) D(m) (1)求雕塑OA的高： (2)求落水点C、D之间的距离； (3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF,OE=8m,EF=3m,EF⊥OD.问：J顶部F是否会碰到水柱？ 请通过计算说明， 9.小明同学很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的 飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段.如图所示，以地平线为x轴，起抛点所 在铅重线为)轴建立平面直角坐标系，分别行到抛物线)吉+口和直线)=方+b,其中，当纸飞机 飞行的水平距离为6时，自动进入滑行阶段. y/km (起抛点) (地平线) 6(落地点)km (1)若纸飞机进入滑行阶段时的高度为3m. ①直接写出a和b的值； 17/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②小明的前方有一堵2高的围栏，若要纸飞机顺利飞过围栏，求小明与围栏之间距离的取值范围 (2)要使纸飞机落地点与起抛点的水平距离不超过14m,直接写出a的最大值 10.在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗，它的叶片上方轮廓和下方轮 廓分别可以看作是抛物线的一部分.如图2，以地面为x轴，以枝干所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分.己知该轮廓的最低点A的坐标为(0,6).右侧叶尖B距离地 面l0cm,与枝干的水平距离为3cm. y/cm x/cm 图1 图2 (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式： ②若右侧叶片上方轮第所在抛物线的函数表达式为%=+了+6，现在需要在右侧上方的轮廓上任高取 一点P,过点P作x轴的垂线交下方轮廓于点Q,求PQ的最大值 11,某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙，另 外三边用总长为36米的栅栏围成（如图所示)，若设花园的边长AB为x米，面积为y平方米. A B (I)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到34平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由； (3)当x是多少时，矩形花园面积y最大？最大面积是多少？ 12.【背景介绍】某公园淮备在一个圆形水池内建一个“音乐喷泉”，圆形水池中心点设为点0，其正上方0.5 米处安装一个音乐喷泉的喷头（如图），在忽略空气阻力的情况下，假设喷头喷出的水流运动轨迹呈抛物 线型，且水流始终在同一竖直平面内， 【数学建模】以水池中心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系(x轴在水面水平方向，y轴竖直向 18/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 上)，其中A为喷泉的喷头位置，在某一固定音乐节奏下，测得喷出的水流到达最高点B时的坐标为 (2,2.5),随后水流落回水面上的点C. (1)【建立模型】求该抛物线的函数表达式： (②)【数据计算】求音乐喷泉水洒落的半径OC的长（结果保留根号）； (3)【优化设计】公园设计师认为，当水流落点C距离中心O恰好为5米时，视觉效果最好.在不改变抛物 线形状和对称轴情况下，为达到设计师的要求，要把喷泉喷头升高多少米？ 13,多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境.图 ①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛 物线的最高点，点B到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A和点B的水平 距离为6米 VA 0 图① 图② (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式： (②)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，己知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点P 离地面高约2.5米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方. 14.综合与实践 为了更好地培养学生的思考与探究能力，张老师以“图形的运动”为主题来开展如下数学活动.如图1，在等 腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=I2,动点E,F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀 速运动，且均以2cm/s的速度运动，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF,以EF为边向下 作正方形EFGH,设点E的运动时间为xs(0<x<6),正方形EFGH和四边形BEFC重合部分图形的面 积为ycm. 图1 H 图2 图3 (I)【直观感知】EF的长为 cm(用含x的代数式表示). (2)【初步探究】如图2，当HG落在BC上时，求x的值， (3)【深入研究】如图3，当HG在BC的下方时，求y与x之间函数关系式. (4【问题解决】在点E,F的运动过程中，正方形EFGH和四边形BEFC重合部分图形的面积y的最大值 是多少？（直接写出结果） 19/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 20/20