第08讲 二次函数y=ax²的图象和性质（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

第08讲 二次函数y=ax²的图象和性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数y=ax²中a值决定开口 题型2 求二次函数y=ax²中开口、顶点坐标、最值 题型3 利用二次函数y=ax²中增减性比较大小 题型4 二次函数y=ax²的图象和性质 题型5 利用二次函数y=ax²的性质求参数 题型6 画二次函数y=ax²的图象 题型7 二次函数y=ax²的图象和性质综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 抛物线、顶点、对称轴、开口方向、开口大小、a的作用、增减性。 1. 会用描点法画出二次函数y=ax² 的图象，归纳出其图象特征（抛物线、顶点、对称轴）。 2. 掌握二次项系数 a 对抛物线开口方向、开口大小的影响： a > 0开口向上， a < 0 开口向下， |a| 越大开口越小。 3. 理解二次函数y=ax²的增减性：当 a > 0 时，在对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧增大；当 a < 0时相反。 4. 体会从特殊到一般、数形结合的数学思想，发展观察、归纳和几何直观能力。 学习重点：二次函数y=ax²的图象特征（顶点在原点，对称轴为 y 轴）及其性质，特别是 a 对开口方向和大小的决定作用。 学习难点：理解 a 的正负与开口方向的关系，以及 |a| 大小与开口宽窄的关系；掌握函数增减性（特别是对称轴两侧的不同变化趋势）并能用语言准确描述。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数y = ax2（其中a ≠ 0）图象和性质 一、基本形式 图象是抛物线，顶点在原点(0,0)。 二、图象特征（取决于a的符号与大小） 1. 开口方向 a > 0 ：开口向上，有最小值（在顶点） a < 0：开口向下，有最大值（在顶点） 2. 顶点 顶点坐标：(0,0) 是抛物线的最低点(a>0）或最高点(a<0） 3. 对称轴 对称轴：x = 0（即 y 轴） 4. 开口大小（形状） 开口大小由|a|决定： |a|越大，抛物线越窄（靠近 y 轴） |a|越小，抛物线越宽（扁平） 三、函数性质（a > 0 为例，a<0则增减性相反） 1. 定义域：全体实数 2. 值域 当a > 0 ：y≥0； 当a < 0：y≤0； 3. 单调性 a >0时：在x<0上单调递减;在x>0上单调递增 a < 0 时：在x<0上单调递增;在x>0上单调递减 4. 最值 - a > 0 ：最小值 ymin= 0 （在 x=0 处），无最大值 - a < 0：最大值 ymax = 0 （在 x=0 处），无最小值 【易错提醒】 即时即练1．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它的形状是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它的顶点在原点处，坐标为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值．根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的图象是一条抛物线，故选项A正确， 该函数图象开口向上，关于y轴对称，故选项B正确， 图象的顶点是抛物线的最低点，故选项C错误， 图象的顶点坐标是，故选项D正确， 故选：C． 2．关于抛物线，给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点； ②当时，y随x的增大而减小； ③当时，； ④若，是该抛物线上两点，则． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线，可得抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函数的图象与性质． 【详解】解：，， 抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下， ①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确； ②抛物线的对称轴为轴，当时，随的增大而减小，故②正确； ③当时，，取最大值为0，时，取值最小值为，所以，故③错误； ④若，是该抛物线上的两点，则，关于轴对称，横坐标互为相反数，所以，故④正确； 正确的说法共有3个， 故选C． 3．（1）在同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象．    （2）观察（1）中所画的图象，回答下列问题： ①由图象可知抛物线与抛物线___________的形状相同，且两抛物线关于___________轴对称；同样，抛物线与抛物线___________的形状相同，也关于___________轴对称． ②当相同时，抛物线开口大小___________；当变大时，抛物线的开口___________；当变小时，抛物线的开口___________． 应用：抛物线与中，开口较小的抛物线是___________． 【答案】（1）见详解，（2）①，x，，x；②相同，较小，较大， 【分析】（1）按要求作图即可； （2）①结合轴对称梯形的特点，根据（1）中的图象作答即可；②根据（1）的图象特点直接作答即可． 【详解】（1）作图如下：    （2）①由图象可知抛物线与抛物线的形状相同，且两抛物线关于x轴对称；同样，抛物线与抛物线的形状相同，也关于x轴对称． 故答案为：，x，，x； ②当相同时，抛物线开口大小相同；当变大时，抛物线的开口较小；当变小时，抛物线的开口较大． 应用：抛物线与中，开口较小的抛物线是． 故答案为：相同，较小，较大，． 题型1 二次函数y=ax²中a值决定开口 【例1】抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 【例2】已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 【技巧归纳】 【变式1-1】如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系． 【详解】解：抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选C． 【变式1-2】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用取特殊点的方法，比较字母系数的大小； 【详解】解：直线与四个二次函数的图象的交点分别为； 由图像可知：； 故选：D 题型2 求二次函数y=ax²中开口、顶点坐标、最值 【例3】抛物线开口______，顶点坐标是______． 【答案】 向下 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，对于二次函数，当时，则开口向上，当时，则开口向下，并且二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， 故答案为：向下，． 【例4】函数的图象开口方向是___________，顶点坐标是___________，对称轴是___________． 【答案】 向上 直线 【分析】本题考查二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次函数的图象进行求解即可． 【详解】解：函数的图象开口方向向上，顶点坐标是，对称轴是直线， 故答案为：向上，，直线． 【技巧归纳】 【变式2-1】抛物线，开口 _____，顶点坐标为 __，对称轴为 __；抛物线，开口____，顶点坐标为 ______，对称轴为 ____．相比之下，抛物线 _____的开口程度较大． 【答案】 向上 y轴 向上 y轴 【分析】本题考查二次函数的相关知识．根据二次函数的性质逐一填写即可． 【详解】解：抛物线，开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴； 抛物线，开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴． 相比之下，抛物线的开口程度较大． 故答案为：向上，，y轴，向上，，y轴，． 【变式2-2】二次函数的图象开口____________（填“向上”或“向下”），有最____________（填“大”或“小”）值2024． 【答案】 向下 大 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线抛物线开口向下， ∵抛物线顶点坐标为， ∴二次函数的最大值为2024， 故答案为：向下，大． 题型3 利用二次函数y=ax²中增减性比较大小 【例5】已知点是函数图象上两点，则______（填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较函数值的大小，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．直接将点代入求出函数值，比较即可． 【详解】解：∵点是函数图象上两点， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【例6】已知抛物线经过三点，则的大小关系是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质，直接代入求值，进行比较即可． 【详解】解：∵抛物线经过，，三点， ∴， ∴， 故答案为：． 【技巧归纳】 【变式3-1】已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________（用“<”连接）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质判断的大小关系． 【详解】解：． 又二次函数的图象开口向下， 当时，y随x的增大而减小， ． 故答案为：． 【变式3-2】已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是y轴，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故答案为：． 题型4 二次函数y=ax²的图象和性质 【例7】下列关于二次函数的说法正确的是(  ) A．它的图象经过点 B．当时，有最大值为0 C．它的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的基本性质，包括对称轴、最值和增减性．二次函数的二次项系数为正，图像开口向上，对称轴为轴(即)，在对称轴左侧随增大而减小． 【详解】解： ∵二次函数， ∴，图像开口向上，对称轴为． 对于选项A：当时，，∴A错误． 对于选项B：当时，，为最小值，不是最大值，∴B错误． 对于选项C：对称轴为，不是，∴C错误． 对于选项D：当时，随增大而减小，∴D正确． 故选：D． 【例8】关于二次函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．它是一条抛物线 B．它的开口向下，且关于y轴对称 C．它的顶点是抛物线的最低点 D．它与的图象关于x轴对称 【答案】C 【详解】本题考查了二次函数的性质，牢记其性质是解答本题的关键． 根据二次函数图象的性质，判断各选项的正误。 【分析】二次函数 的二次项系数 ， A、它是一条抛物线，该选项说法正确，不符合题意； B、它的开口向下，且关于y轴对称，该选项说法正确，不符合题意； C、∵ 开口向下，∴ 顶点是抛物线的最高点，故该选项说法错误，符合题意； D、∵ 与 的函数值互为相反数，∴ 它们的图象关于 x 轴对称，该选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【技巧归纳】 【变式4-1】关于抛物线，给出下列说法， 其中正确的说法有（   ） ①抛物线开口向下，顶点是原点；②当时，y随x的增大而减小；③当时，；④若是该抛物线上两点，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质． 根据二次函数的特点可解答①；再根据是在对称轴的右侧，由增减性可得解答②；然后根据自变量取值求出函数值，再结合最大值可判断③；最后根据关于对称轴对称的点的特点解答④即可． 【详解】解：抛物线的开口向下，顶点在原点，所以①正确； 当时，函数值y随着x的增大而减小，所以②正确； 当时，，当时，， 所以当时，， 故③不正确； ∵点在抛物线上，可知这两个点关于对称轴对称，且对称轴是y轴， ∴，即， 所以④正确， 综上所述，正确的有3个． 故选：C． 【变式4-2】下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可． 【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． 题型5 利用二次函数y=ax²的性质求参数 【例9】若抛物线（为常数），不经过第二象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】抛物线顶点在原点，不经过第二象限需满足当时，则抛物线开口应向下，开口方向由系数决定，解不等式即可； 本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点为， 当时，开口向上，时，经过第二象限； 当时，开口向下，时，不经过第二象限； 故答案为：． 【例10】已知二次函数，在对称轴的右侧部分，函数值y随自变量x的增大而增大，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的概念与性质，解题的关键掌握二次函数的增减性． 根据二次函数的定义，指数必须为，且二次项系数不为零；再根据函数在对称轴右侧递增的性质，判断开口向上，从而确定系数的正负． 【详解】解：∵该函数是二次函数， ∴指数部分 ，解得 ，即 又∵二次项系数 ，即 ． 函数在对称轴右侧部分，函数值 随自变量 的增大而增大，表明抛物线开口向上， ∴二次项系数 ，即 ． 综上， 时，，不符合 ；，符合条件， 故答案为 ：． 【技巧归纳】 【变式5-1】已知抛物线与的形状相同，并且时，随的增大而减小，抛物线的解析式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，两个二次函数的形状相同，那么对应的二次项系数的绝对值相同，再由函数的对称轴为轴，且时，随的增大而减小可得，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同， ∴， ∵在中，时，随的增大而减小，且对称轴为轴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 【变式5-2】已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． （1）k的值是_________． （2）若是此二次函数的图象上一点，且，则n的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式． （1）根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出结论； （2）当时，，当时，，并结合函数图象求出y的取值范围． 【详解】解：（1）由题意可得，解得； 故答案为：； （2）由题意可得二次函数的解析式为， 当时，有最大值为0， 当时，，当时，， ∴当是此二次函数的图象上一点，且时，则， 故答案为：． 题型6 画二次函数y=ax²的图象 【例11】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． ①； ②； ③； ④． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键；因此此题可根据列表、描点、连线的方法分别取原点及左右对称的四个点绘制函数图象． 【详解】解：函数列表如下： x …… 0 1 2 …… y …… 1 0 1 …… 图象如下所示： 同理可分别作出②③④的函数图象如图所示． 【例12】在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 【答案】见解答 【分析】本题考查画二次函数的图象，在对称轴两侧分别取点，描点，连线即可． 【详解】解：二次函数①；②；③；④的对称轴都为y轴， 在对称轴两侧分别取点，列表如下： 0 1 2 ① 2 0 2 ② 0 ③ 8 2 0 2 8 ④ 0 描点、连线可得图象为： 【技巧归纳】 【变式6-1】分别在同一坐标系内作出下列函数的图象． (1)，； (2)，，． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查二次函数的图象，用描点法画函数图象． （1）根据描点法，可得，的函数图象； （2）根据描点法，可得，，的函数图象． 【详解】（1）解：各取个点，坐标如下： 在平面直角坐标系中，画出，的图象： （2）解：各取个点，坐标如下： 在平面直角坐标系中，画出y＝3x2，y＝﹣2x2，yx2的图象， 【变式6-2】在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 【答案】(1)图见解析；二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． (2)，低． (3)，，大，0． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确作出二次函数的图象是解题关键． （1）先在网格内画出两个二次函数的图象，然后再根据图象即可知开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）根据函数的图象解答即可； （3）根据函数的图象解答即可． 【详解】（1）解：图象如图： 由图可得：二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：抛物线，当时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最低点． 故答案为：，低． （3）解：函数，对于一切的值，总有函数；当时，有最大值是0． 故答案为：，，大，0． 题型7 二次函数y=ax²的图象和性质综合 【例13】已知抛物线经过点，． (1)求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： (2)求m的值； 【答案】(1)函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 (2)8 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的图象性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m； （1）先把代入，求出函数解析式，再根据函数的解析式，，可得出抛物线开口向上，并找出抛物线的对称轴及顶点坐标． （2）把代入（1）中所求的解析式计算即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得 解得： ∴ ∵ ∴函数图象的开口向上、对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：把代入，得 ． 【例14】已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】(1)； (2)点B不在此抛物线中； (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及二次函数的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，此题难度不大． 把点代入抛物线中求得a的值，即可求得此抛物线的解析式； 把代入此函数解析式即可判断； 把代入抛物线的解析式中求得x的值即可． 【详解】（1）抛物线经过点， 把点代入抛物线中：， ， 此抛物线的函数解析式为：； （2）当时，， 点不在此抛物线上； （3）此抛物线上一点的纵坐标为， 把代入此抛物线中得：， ， 此抛物线上纵坐标为的点的坐标为或． 【技巧归纳】 【变式7-1】已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，该函数图象的开口向下 (3)当时，最小值为 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ，即 ∵抛物线顶点坐标为， ∴该函数最小值为． 【变式7-2】如图，点、在的图象上.直线与y轴交于点C，连接、. (1) ； ； (2)直线的函数表达式 ； (3)求的面积； (4)观察图象，当时，y的取值范围 ；当时，y的取值范围 . 【答案】(1)；4 (2) (3)6 (4)； 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，轴对称，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求得，将代入求出； （2）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）求出的长，根据求解即可； （3）根据函数图象确定两个范围内各自的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， ∴， ∵点在的图象上， ∴， 故答案为：；4； （2）解：设直线的解析式为， ∵、， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 故答案为：； （3）解：在中，令，则， ∴C的坐标为， ∴， ∴； （4）解：∵、， 观察图象，当时，当时有最小值；当时有最大值； y的取值范围； 当时， 当时有最小值， 当时有最大值， ∴y的取值范围， 故答案为：；． 一、单选题 1．二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 将点代入二次函数解析式求解的值即可． 【详解】∵函数经过点， 当时，， 代入得：, 解得： 故选：A． 2．抛物线不相同的是（    ） A．形状大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的基本性质，关键是比较二次项系数的符号对开口方向的影响． 比较两条抛物线和的性质，包括形状大小、开口方向、对称轴和顶点坐标．由于二次项系数绝对值相同，形状大小相同；对称轴均为y轴；顶点均为原点；但开口方向相反． 【详解】解：抛物线的形状大小相同；对称轴均为；顶点均为，但开口方向相反， 故选：B． 3．关于函数，下列说法正确的是（    ） A．无论取何值， B．其图象的对称轴是 轴 C． 随的增大而减小 D．其图象在第二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 函数为二次函数，形式为，根据的符号，确定抛物线方向，再根据对称轴，分别出函数的增减性，函数经过的象限． 【详解】∵函数是二次函数，且， ∴抛物线开口向下，顶点在原点， 当时，； 当时，， 故A错误； 对称轴为，即轴， 故B正确； ∵中，， ∴当时，随增大而增大； 当时，随增大而减小， 故C错误； ∵当时，，函数的图象上的点在第四象限； 当时，，函数的图象上的点在第三象限， ∴图象不在第二象限， 故D错误， 故选：B． 4．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 5．如图，的三个顶点的坐标分别为，，将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上，则a的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．0或4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的变化——平移，观察坐标特征得出平移的方向和距离是解题的关键．根据A、B点的坐标特征可知向左平移2个单位满足题意，则平移后的C点的坐标为，代入抛物线解析式，即可求得a的值． 【详解】解：，，轴， 将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上， 向左平移2个单位满足题意， 平移后的C点的坐标为， 代入得，，解得或4， 故选：D． 二、填空题 6．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 7．已知点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小．根据函数解析式得到对称轴为y轴，且离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到y轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点，，都在函数的图象上， 且， ∴， 故答案为：． 8．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 9．已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为___________． 【答案】4 【分析】设出、两点的坐标，并表示出三条直线的表达式，可以得出直线过定点，可知当与轴平行时，边上的高有最大值． 【详解】解：如图： 设点，， 则：直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， ， 过点分别作轴垂线，交轴于点， ∴， ∴， ∴， ， ， 则直线的表达式为：， 直线必过点， 当与轴平行时，边上的高有最大值，为． 10．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律是解题的关键． 根据正方形性质得和是等腰直角三角形．设的直角边长为，则，代入抛物线的解析式中解得，则的直角边长为，同理可求得等腰直角的直角边长为，依此类推，等腰直角的直角边长为，即可求得其周长． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则； 代入抛物线的解析式中得： ， 解得（舍去），； 故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为， … 依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为． 故答案是：． 三、解答题 11．已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 【答案】(1)开口向上 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 12．如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练结合函数与几何图形的性质是解题关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式； （2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：将代入， 解得：，， 点、的坐标分别为，， ，， 是等边三角形， 易得点在轴上，且， 轴， ， ， 点的坐标为， 点的坐标为或． 13．已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 【答案】(1)或 (2)当时，抛物线有最低点，当时，随的增大而减小 (3)当时，抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大 【详解】（1）解：∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得：或， ∴满足条件的值为． （2）解：当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小． （3）解：当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大． 14．如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先根据二次函数的解析式求出，，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，则可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为， ∴与轴的交点即为所求， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为， 综上，此时点的坐标为，的最小值为． 15．用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点法画函数的图象，并按照要求回答下列问题： x … 0 1 2 3 … y … 4.5 0.5 0 2 4.5 …    (1)补齐上表； (2)在所给坐标系内描出表格中的点； (3)将上述各点用平滑曲线连线． (4)由图象可知：当时， ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析； (4)8，； 【分析】（1）根据计算填空即可； （2）在坐标系内描点即可； （3）将各点用平滑曲线连接即可； （4）通过图象可知：当时，图象上对应点的纵坐标即为答案；当时，可直接写出的取值范围． 【详解】（1）当时，； 当时，； 故答案为：． （2）描点如下图． （3）用平滑曲线连线如下图．    （4）由图象可知： 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查二次函数的性质、图象，及图象上点的坐标的特征．描点并作图是学习函数部分必备的基本能力，一定要熟练掌握． 16．在平面直角坐标系中，对于点，，若满足，则称，两点互为“倍点”． (1)已知直线上的点是点的“2倍点”， ①若点在轴上，求点的横坐标． ②若点在抛物线上，求点的坐标． (2)已知，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”，求的值． 【答案】(1)①；②点的坐标或 (2)2或  − 14 【分析】本题考查解一元一次方程，二次函数性质，解一元二次方程，根的判别式等． （1）①设，点，根据题意列式计算即可求出本题答案；②设点，列式，整理得，解出即可； （2）设点，再列式，利用根的判别式即可求出本题答案． 【详解】（1）解：①∵直线上的点是点的“2倍点”， ∴设，点， ，解得：， ②∵点在抛物线上， ∴设点，，即，解得，． 点的坐标或； （2）解：∵，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”， ∴设点， 有唯一解， 即， ，解得，． 即的值为2或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第08讲二次函数=x2的图象和性质 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1二次函数y=ax2中a值决定开口 题型2求二次函数y=x2中开口、顶点坐标、最值 题型3利用二次函数yx2中增减性比较大小 题型4二次函数x2的图象和性质 题型5利用二次函数y=x2的性质求参数 题型6画二次函数y=x2的图象 题型7二次函数yax2的图象和性质综合 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 07 预习航标 关键词 学习目标导航 1.会用描点法画出二次函数y=2的图像，归纳出其图象特征（抛物线、顶 点、对称轴)。 抛物线、顶点、对称 2.掌握二次项系数α对抛物线开口方向、开口大小的影响：a>0开口向 轴、开口方向、开口 上，a<0开口向下，ld越大开口越小。 大小、a的作用、增 3.理解二次函数y=ar2的增减性：当a>0时，在对称轴左侧y随x增 减性。 大而减小，右侧增大；当α<0时相反。 4.体会从特殊到一般、数妍形结合的数学思想，发展观察、归纳和几何直观能 力。 学习重点：二次函数y-x2的图象特征(J顶点在原点，对称轴为y轴)及其性质，特别是α对开口 方向和大小的决定作用。 学习难点：理解α的正负与开口方向的关系，以及a大小与开口宽窄的关系；掌握函数增减性 (特别是对称轴两侧的不同变化趋势)并能用语言准确描述。 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 教材全解 ◇知|识1框引架 开口方向与a符号混淆 顶点坐标记错 高频易错点 对称轴描述错误 一般形式 y=ax2 开口方向判断 函数定义 条件a0 增减性应用 高频考点 列表 图象选择题 图象画法 画图比较 比较方法 二次函数y=ax2的 描点 连线 代入计算比较 图象和性质 形状 抛物线 la越大开口越小 开口大小 对称性 关于y轴对称 a越小开口越大 图象特征 顶点 原点(0.0) X<0时y随x增大而减小 a>0 x>0时y随x增大而增大 a>0向上 增减性 图象性质 开口方向 X<0时y随x增大而增大 a<0向下 a<0 X>0时y随x增大而减小 a>0时最小值0 最值 a<0时最大值0 知|识I精|讲 知识点01二次函数y=ax2(其中a≠0)图象和性质 一、基本形式 图象是抛物线，顶点在原点(0,0)。 二、图象特征（取决于a的符号与大小） 1.开口方向 a>0:开口向上，有最小值（在顶点） a<0:开口向下，有最大值（在顶点） 2.顶点 顶点坐标：(0,0) 是抛物线的最低点(a>0)或最高点(a<0) 3.对称轴 对称轴：x=0(即y轴) 4.开口大小（形状） 2/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 开口大小由a决定： |a越大，抛物线越窄（靠近y轴） |α越小，抛物线越宽（扁平） 三、函数性质(a>0为例，K0则增减性相反) 1.定义域：全体实数 2.值域 当a>0:20: 当a<0:y≤0： 3.单调性 a>0时：在x<0上单调递减：在x>0上单调递增 a〈0时：在x<0上单调递增；在x>0上单调递减 4.最值 -a>0:最小值m=0(在x=0处)，无最大值 a〈0：最大值max=0(在x=0处)，无最小值 【易错提醒】 即时即练1. 关于二次函数y=x的图象，下列说法错误的是（) A.它的形状是一条抛物线 B.它的开口向上，且关于y轴对称 C.它的顶点是抛物线的最高点 D,它的顶点在原点处，坐标为(0,0) 2.关于抛物线y=-x,给出下列说法： ①抛物线开口向下，顶点是原点： ②当x>1时，y随x的增大而减小： ③当-1<x<2时，-4<y<-1: ④若(m,p),(n,p)是该抛物线上两点，则m+n=0, 其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 3.(1)在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2,y= x2 2 y=-2x2与y=-2的图象. 3/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A (2)观察(1)中所画的图象，回答下列问题： ①由图象可知抛物线y=2x2与抛物线 的形状相同，且两抛物线关于 轴对称；同样， 1 抛物线少=2x与抛物线 的形状相同，也关于 轴对称. ②当4相同时，抛物线开口大小 当a变大时， 抛物线的开口■ 当4变小时， 抛物线的开口 应用：抛物线y=2x与y=x中，开口较小的抛物线是 03 题型突破 题型1二次函数y=x2中a值决定开口 1 3 【例1】抛物线y 38y=-2y 2 的图象开口最大的是() 1 A.y=。x2 3 B.y=-2x2 C.y D.无法确定 【例2】已知三个二次函数的图象如图所示，那么4,2，a的大小关系是() /y1=a1x2 v.=ax2 V 4/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.a1<a2<a3B.a3<a41<a2 C.a<a3<a D.a3<a<a 【技巧归纳】 【变式1-1】如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①y=ar；②y=br2:③y=cr:④y=dx 则a,b,c,d的大小关系是() 2 ③ ④ A.a>b>c>d B.b>azczd C.a>b>d>c D.b>a>d>c 【变式1-2】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=ax:②y=br2:③y=cx；④y= 则a、b、c、d的大小关系为() (1 ② x=1③④ A.a<b<c<d B.d<c<b<a C.d<b<c<a D.c<d<b<a 题型2求二次函数y=a心2中开口、顶点坐标、最值 22 【例3】抛物线y=-3开口 顶点坐标是 【例4)函数y=6x的图象开口方向是 顶点坐标是 对称轴是 【技巧归纳】 【变式21】抛物线y=3x2,开口一， 顶点坐标为对称轴为二：抛物线3开口一， 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点坐标为 对称轴为 相比之下，抛物线 的开口程度较大。 【变式22】二次函数y=-x2+2024的图象开口 (填“向上”或“向下”)，有最 (填“大”或“小”)值2024。 题型3利用二次函数y=心2中增减性比较大小 【例5】已知点A(-2,)B(-Lh)是函数y=-x图象上两点，则h一2（填“>-”或“<"）· 【例6)已知抛物线y=3x2经过(-2，乃)，(0，乃)，(1，)三点，则4，，为的大小关系是 【技巧归纳】 【变式31】已知a>1,A(a-1,y),B(a,y),C(a+1,y)三点都在二次函数y=2的图象上，则，片 的大小关系是 (用“<”连接)· 【变式3-2】已知点4(-1，y),B(-2,),C(2)在函数y=4的图象上，则y,,⅓的大小关 系是 (用“<”连接) 题型4二次函数y=4x2的图象和性质 【例7】下列关于二次函数y=4x的说法正确的是() A,它的图象经过点（山，4） B.当x=0时，y有最大值为0 C.它的图象的对称轴是直线x=4 D.当x<O时，y随x的增大而减小 【例8】关于二次函数y=-3x的图象，下列说法错误的是() A.它是一条抛物线 B.它的开口向下，且关于y轴对称 C.它的顶点是抛物线的最低点 D.它与y=3x的图象关于x轴对称 【技巧归纳】 【变式41】关于抛物线y=-x,给出下列说法，其中正确的说法有() ①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x>2时，y随x的增大而减小：③当-2<<1时，-4<y<-1;④若 6/14 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (m,q),(n,q)是该抛物线上两点，则m+n=0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 12 【变式42】下列关于抛物线y 2和y=2的关系的说法中，正确的是() A.它们的形状相同，开口方向也相同： B.它们都关于y轴对称： C.它们的顶点不相同： 0.点(22)腾在港物骏分上包在y=方上 题型5利用二次函数y=心2的性质求参数 【例9】若抛物线y=(a-l)r2(a为常数)，不经过第二象限，则a的取值范围是 【例10】已知二次函数y=(2-k)x,在对称轴的右侧部分，函数值y随自变量x的增大而增大，则k= 【技巧归纳】 【变式51】已知抛物线y=(m+2)x与y=3x2-2的形状相同，并且x>0时，y随x的增大而减小，抛物 线的解析式为 【变式52】已知y=(k+2)x+4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大. (1)k的值是 (2)若P(m,n)是此二次函数的图象上一点，且-2≤m≤1，则n的取值范围是 题型6画二次函数y=戏2的图象 【例11】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象. ②y=4x2: @ 7/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④y=-4x2 -2 -1 0 2 … 1 0 1 雨雨雨雨重 图象如下所示： 【例12】在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： 1 ②y= @y=2 ④y=-2x2. 3 -1 0 1 2 @-分 2 1 0 2 @v -2 1 0 1 2 -2 ③y=2x2 8 2 0 2 8 ④y=-2x2 -8 -2 0 -2 -8 【技巧归纳】 【变式61】分别在同一坐标系内作出下列函数的图象. e.y. 0)y=2 ②y=3x2,y=-2x2,y= 3 -4 -2 0 2 y4 8 2 0 2 8 -8 -2 0 -2 -8 -2 -1 0 1 2 8/14 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=3x2 12 3 0 3 12 y=-2x2 -8 -2 0 -2 -8 -6 -3 0 3 6 3+2 y 12 3 0 12 【变式62】在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y=2r2和V=2·的图象，并根据图象 回答下列问题（设小方格的边长为1）： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和项点坐标： 2)抛物线y=2x2,当x时，抛物线上的点都在x轴的上方，它的顶点是图象的最点： 3)函数y=,对于一切x的值，总有函数y0:当x 时，y有最 值是 题型7二次函数y=4心2的图象和性质综合 【例13】己知抛物线y=ax2经过点（-1,2)，(2，m). (1)求函数图象的开口方向、对称轴和项点坐标： (2)求m的值： 【例14】已知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8), (1)求此抛物线的函数解析式： 2)判断点B(-山，4)是否在此抛物线上： 3)求出抛物线上纵坐标为-18的点的坐标. 【技巧归纳】 9/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式7-1】已知函数y=(m+3)x+3m 是关于x的二次函数 (1)求m的值： (2)当为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【变式7-2】如图，点A(-2,)、B(4,m)在y=ax的图象上直线AB与y轴交于点C,连接OA、OB y=ax2 B (1)a=-;m=-: (2)直线AB的函数表达式： 3)求△AOB的面积： 4)观察图象，当-2<x<4时，y的取值范围；当3≤x≤6时，y的取值范围 04 过关检测 一、单选题 1.二次函数y=ar2的图象经过点(2，-2)，则a的值为() A分 B.1 C.1 D.2 2.抛物线y=42y=-4x2不相同的是（) A.形状大小 B.开口方向 C.对称轴 D.顶点坐标 3.关于函数y=-3x2,下列说法正确的是() A.无论x取何值，y>0 B.其图象的对称轴是y轴 C.y随x的增大而减小 D.其图象在第二、四象限 10114 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，四边形OABC是正方形，且点A、C恰好在抛物线y=x上，点B在y轴上，则OB的长为 ( A.2 B.2N2 C.4 n 5.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(,),B(3,),C(a,4)将△ABC进行平移，平移后的△ABC 的三个顶点都在抛物线y=x上，则a的值是() =x2 1,1)B(3,1) A.2 B.-2 C.2或-2 D.0或4 二、填空题 6.根据函数图象填空： (1)抛物线y=3x的对称轴是 顶点坐标是 当x 时，抛物线上的点都在x轴 的上方： (2)抛物线y=3x的开口向 除顶点外，抛物线上的点都在x轴的 方，它的顶点是 抛物线上的最一点。 7.已知点(1，)，（-2，)，(3，乃)都在函数y=-2x2的图象上，则4，，的大小关系为一· 8。如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=与y= 3 3r的 图像，则阴影部分的面积是 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.已知抛物线y=子的项点为坐标原点0：过0作两条互相垂直的直线分别与抛物线交)'=4于点A、 B,连接AB.求AB边上的高的最大值为 10.二次函数y=x的图象如图所示，点B,位于坐标原点，点B,B,,B,在y轴的正半轴上，点A, 4,…,A，点C,C,…,Cn在二次函数的图象上，四边形B4BC,四边形B4,B,C,…,四边形 B。-A,BCn都是正方形，则正方形B-A,BCn的周长为一 C A B A3 B B A Bo 三、解答题 11.己知二次函数y=ax2图像经过点P(-2,3) (1)判断这个函数图像的开口方向： ②)点(2，m)在这个函数图像上，求m的值. 12.如图，二次函数y=ax(a≠0)的图象经过点(4,4)，过点F(0,)作x轴的平行线交该二次函数的图象 于M、N两点. 12114 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M (1)求二次函数的解析式： (2)P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标. 13.已知函数y=(m+2)xr+m-4是y关于x的二次函数： (I)求满足条件m的值： (2)当m为何值时，此抛物线有最低点？这时，当x取何值时，y随x的增大而减小： (③)当m为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当x取何值时，y随x的增大而增大 14,如图。点4，B在抛物线y-日上。已知点4，B的横坐标分别为2·4，直线B与y轴交于点C 4 y= -20 (I)求直线AB的函数解析式； (②)在x轴上找一点P,使PA+PC的值最小，请求出此时点P的坐标及PA+PC的最小值. 15.用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系.请用描点 法画函数y= 2的图象，并按照要求回答下列问题： 3 -1 0 4.5 0.5 0 2 4.5 13114 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y个 9 8 7 6 5 A 3 -5-4-3-2-19 1 2345x (1)补齐上表： (2)在所给坐标系内描出表格中的点： (③3)将上述各点用平滑曲线连线， ④)由图象可知：当x=4时，y=;当y<2时，x的取值范围是_， 16.在平面直角坐标系中，对于点A(,),B(x,),若满足+=(：+x),则称A,B两点互为 “t倍点” )已知直线y=2x-3上的点B是点A的“2倍点”， ①若点A在x轴上，求点A的横坐标， ②若点A在抛物线y=x上，求点A的坐标. (2)已知A(2,0),若在抛物线y=x2-2x+8上存在唯一的点B是点A的“t倍点”，求t的值， 14/14