第07讲 二次函数的概念（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第07讲二次函数的概念 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→析考点· 破方法：典型题型深度拆解 题型1二次函数的识别 题型2根据二次函数的定义求参数 题型3二次函数的一般形式 题型4二次函数的各项系数 题型5二次函数图象上点的坐标特征 题型6建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用) 题型7建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形) 04过关检测→练考点：强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 二次函数、一般形1.理解二次函数的概念，掌握其定义的三要素（整式、自变量的二次式、α≠0）。 式、a≠0、二次项2.能识别二次函数的二次项、一次项、常数项及各项系数。 系数、函数模型。3.能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并确定自变量的取值范围。 4.体会二次函数与一次函数、反比例函数的区别，感悟函数模型的多样性。 学习重点：二次函数的概念及一般形式y=c2+bx+c(a0),能准确识别各项系数。 学习难点：从实际问题中抽象出二次函数模型，以及理解α0的必要性（区分二次函数与一次函数）。 02 教材全解 知1识1框|架 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一般形式y=ax2+bx+c 二次函数定义 a*0 忽略a+0条件 高频易错点 条件 ×为自变量 混淆变量次数 y为因变量 函数类型判断 整式函数 系数条件应用 高频考点 二次函数的概念 二次函数特征 最高次数2 表示法转换 图象为抛物线 当y=0时化为方程 二次函数与一元二次方程关系 一股式 方程根为函数零点 二次函数表示法 顶点式 交点式 知|识|精|讲 知识点01二次函数的慨念 1.形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，称a为二次项系数，b为 次项系数，c为常数项。 注意：二次项系数a≠0，而b,c可以为零.二次函数的自变量的取值范围是全体实数. 【易错提醒】 形如y-a2+bx+c,必须满足a≠0。若a=0则为一次函数。同时x的最高次数必须为2，且是整式，分母中 不能有自变量。 即时即练1.下列函数属于关于x的二次函数的是() A.y=2x2 x B.y=(x-2)2-x C.y=-3x2+2x-1 D.y=ax2+bx+c 2.若y=(m+2)x-2+3x是关于x的二次函数，则m的值为一 知识点02二次函数的一般形式 般式：y=ar2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)； 【易错提醒】 一般式为y-ac2+bx+c(a0)。注意各项系数a,b,c要带前面的符号。化为一般式时需去括号、合并同类项， 并按x降幂排列，右边为0。 即时即练1，二次函数y=2x2-1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( A.2,0,-1B.2,2,-1 C.2,2,1 D.2,0,1 2/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.己知二次函数y=x(x-2)+1,则a=一，b=,c= 03 题型突破 题型1二次函数的识别 【例1】下列各式中，y是x的二次函数的是（) 4.y=3 B.y 3x 1 C.y=2x2-1 D.y=vx1 【例2】在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是() 3 A.y=3x2 B.y=- Γx2 C.y=V2x2+1 D.y=ax2+bx+c 【技巧归纳】 1.看形式：y=ax2+bx+c(at0),最高次为2，整式方程。 2.判非零：确保二次项系数不为0。 3.排除法：若可化为上述形式即为二次函数。 【变式1-1】下列函数中，是二次函数的是() A.y=- B.y=x2-(x-3)2 C.y D.y=1-4 【变式1-2】下列函数是二次函数的是() 1 A.y=-x B.y=x-1 C.y=x2+6x+7D.y=√ 题型2根据二次函数的定义求参数 【例3】已知y=(m+2)xm是关于x的二次函数，那么m= 【例4】若y=(m-1)xm1+1是关于x的二次函数，则m的值是 【技巧归纳】 1.化为标准式：整理成y=ax2+bx+c。 2.列条件：二次项系数a0,且x最高次数妫2。 3.解参数：列方程或不等式求解，注意除使=0的值。 3/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-1】若函数y=(k+3)x+4是关于x的二次函数，则k= 【变式2-2】若y=(m+2)x-2+4x+m是关于x的二次函数，则m的值为 题型3二次函数的一般妍形式 【例5】将二次函数y=x(x-1)+3x化为一般形式后，正确的是() A.y=x2-x+3 B.y=x2-2x+3 C.y=x2-2x D.y=x2+2x 【例6】把二次函数y=(x-22-3x(x+1)化为一般形式，一次项系数为() A.-2 B.-3 C.-5 D.-7 【技巧归纳】 1.标准形式：y=ax2+bx+c(a0)，按降幂排列。 2.识别系数：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 3.注意缺项：缺项时系数为0，如y=x2+c则b=0。 【变式3-1】将二次函数y=-(x-1)2+2整理为一般式得 【变式3-2】将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)y=1-2x2+4x; (2)y=(x+1(3-2x)-6. 题型4二次函数的各项系数 【例7】二次函数y=x2+5x-2的一次项系数是() A.1 B.5 C.2 D.-2 例8】三次函数yx-2}-3的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( A. 2’-2,-3B.3,-2,-1 C. 2,4,-3 D. 2，-4,1 【技5归纳】 1.化标准式：整理为，)y=ax2+bx+c。 2.对应找系数：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数顺。 3.注意符号：带符号移项，缺项系数为0。 【变式4-1】把y=(2-3x(6+x变成一般式，二次项系数为 次项系数为，常数项为 【变式4-2】二次函数y=3x2-4x+5中，二次项系数是」 次项系数是」 4/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型5二次函数图象上点的坐标特征 【例9】已知二次函数y=x3x+1,当x=2时，y的值为() A.-1 B.-3 C.3 D.11 【例10】已知y=(a-2)x2-2x+a2是关于x的二次函数，其图象经过(0,4)，则a的值为() A.a=±2 B.a=2 C.a=-2 D.无法确定 【技巧归纳】 1.代入验证：将点坐标代入解析试，满足则在图象上。 2.利用对称轴：若两点纵坐标相等，则它们关于对称轴对称。 3.求点坐标：已知横坐标代入求纵坐标，或设纵坐标列方程求横坐标。 【变式5-1】若二次函数y=mx2+x+m2-2m的图象经过原点，则m的值为() A.0 B.2 C.2或0 D.无法确定 【变式5-2】己知二次函数y=x2-mx+m-1,当m=」 时，图象经过原点. 题型6建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用） 【例11】参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了y次手，那么y与到会人数x之间的函数关系式是 () d.y--x B.y C.y=x2-x D.y=x2+x 【例12】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为x,如果第三季度共生产零 件y万个，那么)与x满足的函数关系式是() A.y=50(1+x) B.y=50+501+x C.y=50(1+x)+50(1+x)2 D.y=50+50(1+x)+50(1+x)2 【技巧归纳】 1.找等量关系：根据几何（面积）、利润（单利×销量）等列式。 2.设自变量：选择影响结果的关键量，表示函数关系。 3. 定定义域：考虑实际限制（如边长0、销量≥0），写出取值范围。 【变式6-1】中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程约为0.8万公里.若2024 年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长率为x,则y关于x的函数表达式为 【变式6-2】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元.调查发现，当销售价为120元时， 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个.设每个宁萌公仔降价x元时， 每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为 (化为一般式) 题型7建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 【例13】用一段44米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关 于x的函数关系式为() A.y=x2-44xB.y=-x2+44x C.y=x2-22x D.y=-x2+22x 【例14】如图，点E,F,G,H分别在正方形ABCD边AB,BC,CD,AD上，且AE=BF=CG=DH,AB=8; 设线段AE的长为x,四边形EFGH的面积为y,则y与x的函数表达式为() D G A.y=x2+64B.y=2x2+64 C.y=x2-16x+64D.y=2x2-16.x+64 【技支巧归纳】 1.设关键线段：用未知数x表示边长、高或距离。 2.用面积公式：三角形、矩形、梯形面积公式列S关于x的表达式。 3.化简整理：化伪S=ax2+bx+c形式，注意自变量范围由几何的束确定。 【变式7-1】如果圆的半径是4cm,当半径增加x(cm),圆的面积增加ycm),则y关于x的函数关系式是」 【变式7-2】相框边的宽窄影响可放入相片的大小.如图，相框长26cm,宽22cm，相框边的宽为xcm，相 框内的面积是ycm2,则y与x之间的函数关系式为 04 过关检测 一、单选题 1.下列各式中，y是x的二次函数的是() 6/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.y=2x-3 B.y=x2-5x+13 C.y=ax2+bx+c D.y=x2-1+2 2.函数解析式y=x2+2x-1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是() A.1,2,1B.1,2,-1 C.0,2,-1 D.0,-2,-1 3.公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守一盔一带”的规定.经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500 个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率x,请问9月份的销售量y关于每月增加的百分率x的函 数解析式是() A.y=1500(1+x)2 B.y=1500+(1-x)2 C.y=(1+x)2+1500 D.y=x2+1500 4.若y=(a-4)x2+7x-5是二次函数，则a的值为() A.-4 B.4 C.±4 D.±2 5.如图，矩形绿地的长、宽分别为30m,20m,现将矩形绿地的长、宽各增加x.设新绿地的周长为m,面积 为S,当x在一定范围内变化时，)和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满足的函数关系分别是() xm 20m 30m m A.一次函数关系，二次函数关系 B.正比例函数关系，二次函数关系 C.二次函数关系，一次函数关系 D.正比例函数关系，一次函数关系 二、填空题 6.二次函数y=(2x-1)(1-x的二次项系数是 ,常数项是 7.若y=(a-3)xa-2a-2是二次函数，则a= 8.若二次函数y=2x2-ax+2a-1的图象经过点(-1,4)，则a的值为 9.用一根长为100cm的铁丝，把它折成一个长方形框.设长方形的宽为xcm,面积为ycm2,则y关于x 的函数关系式是 一·（化成一般式，不需写出取值范围） 10.二次函数y=ax2+bx+2与x轴的一个交点是(1,0)，则2023-a-b的值是 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三、解答题 11.将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)y=(1-2x)+4x; (2)y=(x+1(3-2x-6. 12.若函数y=(k-3)x1+2x-1是二次函数. (1)求k的值： (2)当x=1时，求y的值. 13.已知函数y=(m+2)xm-2(m为常数)，求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2少是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标. 14.某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件， 并且两次降价的百分率相同. (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用 100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间 的函数关系式. 15.如图，要建一个矩形养殖场ABCD,养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1 米宽的门方便出入.已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽AD为x米，面积为y平方米， D 门 B (1)求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围： (2)若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽AD为多少米？ 16.【定义】对于函数，若存在自变量x。=t时，函数值y。=2t,则称该函数为“倍动点函数”，点(1,2为 该函数的一个倍动点。 探究1（一次函数） (1)判断下列结论正误，正确的是（填序号）； ①y=3x+2是“倍动点函数”，倍动点为-1，-2)； ②y=2x是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③y=-x+6是“倍动点函数”，倍动点为2,4). 探究2（二次函数） (2)若二次函数y=x2-4x+c有一个倍动点为3,6)，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有， 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 求出这个点。 9/9 第07讲 二次函数的概念 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数的识别 题型2 根据二次函数的定义求参数 题型3 二次函数的一般形式 题型4 二次函数的各项系数 题型5 二次函数图象上点的坐标特征 题型6 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用） 题型7 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数、一般形式、a≠0、二次项系数、函数模型。 1. 理解二次函数的概念，掌握其定义的三要素（整式、自变量的二次式、a≠0）。 2. 能识别二次函数的二次项、一次项、常数项及各项系数。 3. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并确定自变量的取值范围。 4. 体会二次函数与一次函数、反比例函数的区别，感悟函数模型的多样性。 学习重点：二次函数的概念及一般形式y = ax2 + bx + c（a≠0），能准确识别各项系数。 学习难点：从实际问题中抽象出二次函数模型，以及理解a≠0的必要性（区分二次函数与一次函数）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 【易错提醒】 形如y=ax2+bx+c，必须满足a ≠ 0。若a=0则为一次函数。同时x的最高次数必须为2，且是整式，分母中不能有自变量。 即时即练1．下列函数属于关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（、、是常数，）是二次函数．直接利用二次函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、中是分式，不是二次函数，选项错误； B、，是一次函数，不是二次函数，选项错误； C、是二次函数，选项正确； D、当时，不是二次函数，选项错误； 故选：C． 2．若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， ， 故答案为：． 知识点02 二次函数的一般形式 一般式：（，，为常数，）； 【易错提醒】 一般式为y=ax2+bx+c（a≠0）。注意各项系数a,b,c要带前面的符号。化为一般式时需去括号、合并同类项，并按x降幂排列，右边为0。 即时即练1．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，， 答案：A． 2．已知二次函数，则 ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可． 【详解】解：，则， 故答案为：，，． 题型1 二次函数的识别 【例1】下列各式中，是的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数，形如的函数是二次函数，据此判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是二次函数，该选项不合题意； 、是一次函数，该选项不合题意； 、是二次函数，该选项符合题意； 、不是二次函数，该选项不合题意； 故选：． 【例2】在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的定义，“一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数”，据此进行分析即可． 【详解】解：A、是二次函数，故选项A符合题意； B、不是整式，不是二次函数，故选项B不符合题意； C、不是整式，不是二次函数，故选项C不符合题意； D、当时，不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：A． 【技巧归纳】 1. 看形式：y = ax2 + bx + c（a≠ 0），最高次为2，整式方程。 2. 判非零：确保二次项系数不为0。 3. 排除法：若可化为上述形式即为二次函数。 【变式1-1】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次函数定义，形如的函数．选项A和D含有分式，不是整式；选项B简化后为一次函数；选项C符合定义． 【详解】∵ 二次函数形式为， 对于A：，在分母，不是整式； 对于B：，展开得，为一次函数； 对于C：，满足，是二次函数； 对于D：，x在分母，不是整式； 故选C． 【变式1-2】下列函数是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如 ），只有选项C符合条件；选项A和D不是整式，选项B是一次函数 【详解】∵ 二次函数的标准形式为， 选项A：含有分式，不是整式函数； 选项B：最高次数为1，是一次函数； 选项C：满足 ，符合二次函数定义，是二次函数； 选项D：是根式函数，不是整式函数 ∴ 只有C是二次函数 故选C 题型2 根据二次函数的定义求参数 【例3】已知是关于的二次函数，那么 ． 【答案】2 【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解出的值即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【例4】若是关于x的二次函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据二次函数的定义解题即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：． 故答案为： ． 【技巧归纳】 1. 化为标准式：整理成y = ax2 + bx + c。 2. 列条件：二次项系数a≠0，且x最高次数为2。 3. 解参数：列方程或不等式求解，注意排除使a=0的值。 【变式2-1】若函数是关于的二次函数，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，函数需满足x的指数为2且二次项系数不为0．据此进行解答即可． 【详解】解：由题意，得且． 解方程得 ， 即 ， 解得 或 又，故， 所以 ． 故答案为：2 【变式2-2】若是关于x的二次函数，则m 的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，且）的函数是二次函数．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：2． 题型3 二次函数的一般形式 【例5】将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 【例6】把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 故选：D 【技巧归纳】 1. 标准形式：y = ax2 + bx + c（a≠0），按降幂排列。 2. 识别系数：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 3. 注意缺项：缺项时系数为0，如y=ax2+c 则b=0。 【变式3-1】将二次函数整理为一般式得 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数的顶点式化为一般式，注意打开括号变号即可； 【详解】解：， 故答案为： 【变式3-2】将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【详解】（1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 题型4 二次函数的各项系数 【例7】二次函数的一次项系数是（   ） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数中某项的系数．先找出二次函数中的一次项，根据系数的定义即可解答． 【详解】解：二次函数的一次项为，其系数为5． 故选：B． 【例8】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可. 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 故选：B. 【技巧归纳】 1. 化标准式：整理为y=ax2+bx+c。 2. 对应找系数：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 3. 注意符号：带符号移项，缺项系数为0。 【变式4-1】把变成一般式，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，熟练运用多项式乘法将表达式展开并整理成一般形式是解题的关键． 根据多项式的乘法法则化简为一般式，再根据二次函数的一般式求出相应系数即可． 【详解】 所以二次项系数：， 一次项系数：， 常数项：． 故答案为：；；． 【变式4-2】二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数（a、b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，． 题型5 二次函数图象上点的坐标特征 【例9】已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 【例10】已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，根据定义得出，然后将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，，， 解得：， 故选：C． 【技巧归纳】 1. 代入验证：将点坐标代入解析式，满足则在图象上。 2. 利用对称轴：若两点纵坐标相等，则它们关于对称轴对称。 3. 求点坐标：已知横坐标代入求纵坐标，或设纵坐标列方程求横坐标。 【变式5-1】若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 【变式5-2】已知二次函数，当 时，图象经过原点． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟悉待定系数法． 根据函数过原点，代入求解即可． 【详解】由题知函数过原点， ，解得． 故答案为：1． 题型6 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用） 【例11】参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 【例12】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 【技巧归纳】 1. 找等量关系：根据几何（面积）、利润（单利×销量）等列式。 2. 设自变量：选择影响结果的关键量，表示函数关系。 3. 定定义域：考虑实际限制（如边长>0、销量≥0），写出取值范围。 【变式6-1】中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程约为0.8万公里．若2024年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长率为x，则y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，解题的关键是要读懂题目的意思，找到等量关系．先用x表示出2023年我国高铁的运营总里程，再表示出2024年我国高铁的运营总里程，然后根据已知条件列函数解析式即可． 【详解】解：2023年我国高铁的运营总里程：， 2024年我国高铁的运营总里程：， 根据题意，可列函数解析式为：．故选． 【变式6-2】西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为 (化为一般式) 【答案】 【分析】本题考查根据题意列二次函数解析式． 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，再化为一般式即可． 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故答案为：． 题型7 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 【例13】用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米，根据矩形的面积列函数关系式即可． 【详解】解：由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米， ． 故选：D． 【例14】如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先证明，可说明四边形是正方形，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形. ∵， ∴. 在中，， ∴， 即. 故选：D. 【技巧归纳】 1. 设关键线段：用未知数x表示边长、高或距离。 2. 用面积公式：三角形、矩形、梯形面积公式列S关于x的表达式。 3. 化简整理：化为S = ax2+bx+c 形式，注意自变量范围由几何约束确定。 【变式7-1】如果圆的半径是，当半径增加，圆的面积增加，则关于的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，解决本题的关键是找到增加的圆的面积的等量关系，注意半径增加后圆的面积的求法．圆增加的面积=新圆的面积半径为1的圆的面积，把相关数值代入即可． 【详解】解：新圆的面积为， ∴． 故答案为． 【变式7-2】相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为： 一、单选题 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2．函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 3．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 4．若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 5．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 二、填空题 6．二次函数的二次项系数是______，常数项是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式．通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，即可求解． 【详解】解：∵变形为， 二次项系数为，常数项是． 故答案为：，． 7．若是二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 8．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 9．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式．根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 10．二次函数与x轴的一个交点是，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值． 将交点坐标代入函数解析式，得到关于和的方程，进而求出的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：二次函数与轴的一个交点是 ∴将，代入解析式，得 即 ∴ 则 故答案为：． 三、解答题 11．将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【详解】（1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 12．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的定义及求函数值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）把代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为； （2）解：把代入函数解析式中得：， 当时，． ∴y的值为． 13．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 14．某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果将售价定为x元，每天盈利y元，请写出y与x之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列函数关系式等知识点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解题的关键． （1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解并取符合题意的x的值即可； （2）根据每件商品的盈利原来的销售量增加的销售量列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴该种商品每次降价的百分率为； （2）解：如果将售价定为x元，每天盈利y元， ， ， ∵该种商品进价为80元/件，售价128元/件，然后降价， ∴， ∴． 15．如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)23米 【分析】本题考查列二次函数关系式、一元一次不等式组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）先用x表示出矩形养殖场的长为米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式； （2）由列方程求解即可． 【详解】（1）解：设养殖场的宽为x米，则养殖场的长为米， 根据题意，养殖场的面积， ∵墙长45米，宽长， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时，由得， 解得，（舍去）， 答：养殖场的宽为23米． 16．【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 【答案】（1）②③，（2），没有其他倍动点 【分析】本题考查了倍动点函数的定义． （1）根据倍动点的定义，检查每个一次函数是否存在自变量t使得函数值等于，从而判断结论正误； （2）将给定的倍动点代入二次函数求出c，再解方程判断是否有其他倍动点即可． 【详解】解：（1）对于①：设存在t使得，解得，此时，， ∴倍动点为，但结论中给出的倍动点为，故①错误； 对于②：，对于任意t，当时，， ∴有无数个倍动点，故②正确； 对于③：当时，，， ∴是倍动点，故③正确， 故答案为：②③． （2）将代入，得，解得， 将代入，得， 令，则， 即，解得， ∴该函数没有其他倍动点． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $