期末高频考点分类训练2025-2026学年北师大版数学七年级下册（49考点）

**基本信息** 聚焦七年级下册49个期末高频考点，以分类训练构建知识网络，通过基础与综合题结合，培养抽象能力、推理意识与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式运算|7考点|选择/计算|从幂的运算到公式应用，形成“定义-法则-变形”递进链| |相交线与平行线|10考点|识别/推理/应用|角的关系到平行判定与性质，体现“观察-推理-建模”逻辑| |概率|9考点|判断/计算|事件类型到概率求解，构建“概念-计算-应用”体系| |三角形|11考点|选择/证明/计算|从边与角到全等判定，形成“性质-判定-综合应用”脉络| |轴对称|4考点|识别/性质|定义到线段垂直平分线，体现“概念-性质-应用”逻辑| |函数|8考点|图像/应用|从常量变量到函数图像，培养“抽象-建模-分析”能力|

期末高频考点分类训练2025-2026学年北师大版 七年级下册（49考点） 考点1：同底数幂的乘法 1．下列计算正确的是( )． A. B. C. D. 2.已知，，则的值是（  ） A．7 B．12 C．64 D．81 3.计算： (1)；(2)；(3)． 考点2：幂的乘方与积的乘方 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2.计算：（　　） A． B．1 C． D． 3．计算： (1)； (2)； 考点3：同底数幂的除法 1．计算：（   ） A．b B． C． D． 2．已知，，则 ． 3．计算： (1)；(2)； (3)；(4)． 考点4：整式的乘法 1.下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，那么的值为( )． A.－2 B.2 C.－5 D.5 3．计算：（5xy）（25x2xyy2）． 考点5：平方差公式 1．下列各式，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b﹣1）（a﹣b+1） B．（﹣a﹣b）（﹣a+b） C．（a+b2）（b2﹣a） D．（2x+y）（x﹣y） 2．如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法：其中能够验证平方差公式有（       ） A．①②③④ B．①③ C．①④ D．①③④ 3．计算： (1) (2) 考点6：完全平方公式 1．如果，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 3.已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 4．先化简，再求值：，其中，. 考点7：整式的除法 1. 的结果是 ( ) A. B. C. D. 2.已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（   ） A． B． C． D． 3．计算：． 考点8：对顶角、邻补角的识别 1.如图，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 2.下列图形中，与互为邻补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   3.如图，直线，，相交于一点，则的对顶角是（    ） A． B． C． D． 考点9：对顶角、邻补角的相关计算 1.如图，直线与相交于点，若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 2.如图，直线a、b相交于点O，， 度． 3．如图，直线、相交于点，平分，，， ， ． 考点10：垂直的定义与性质 1．如图，，垂足为D，则下面说法中不正确的是（    ） A．点B到的垂线段是线段 B．与互相垂直 C．与互相垂直 D．线段的长度是点A到的距离 2．如图，于点，于点，，，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 3.如图所示，点A到直线的距离是线段　　　　的长度（  ） A． B． C． D． 考点11：同位角、内错角、同旁内角的识别 1.如图，直线a、b被直线c所截，∠1的同位角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．以上都不是 2.如图，直线a，b被直线c所截，∠1的内错角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 3.如图所示，将木条a，b的一端钉在一起，再将木条a，b与木条c钉在一起，则图中∠2的同旁内角是（　　） A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 考点11：对平行公理及其推论的理解与应用 1.下列语句正确的有（　　）个 ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行 ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行 ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a． A．4 B．3 C．2 D．1 2.在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 3．下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 考点12：探究两直线平行的条件 1．下列图形中，已知，则能判定的是（     ） A． B． C． D． 2.如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 3.如图，，平分，请说明：． 考点13：利用平行的性质求角的度数 1.如图，，，则的度数为（    ） A．160 B．140 C．50 D．40 2．如图所示，已知，，，则 °．    3．如图，已知，点E是上方一点，点M、N分别在直线上，连结平分交的反向延长线于点G，若，且，则度数为 ． 考点14：通过阅读推理过程填空 1.在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠1+∠2＝180°（ 　 　）， ∠2+∠3＝180°（平角的定义）， ∴　 ＝∠3（ 　 　）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4（ 　 　）， ∴c∥d（ 　　 ）． 2.把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（         ）． 又∵（已知）， ∴， ∴（    ）（____________）． 又∵（已知）， ∴， ∴（____________）． 3.完成下面的证明：已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD． 证明：∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC＝2∠1（ 　 ）． ∵BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD＝　 （角的平分线的定义）． ∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ 　）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 　 　）． ∴AB∥CD（ 　 　）． 考点15：利用平行线的性质解决实际问题 1．一大门的栏杆如图所示，垂直于地面，垂足为A，平行于地面，若，则的度数为 ． 2．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 3．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且．，则 ． 考点16：平行线的判定与性质综合 1.如图，，的平分线交于点B，G是上的一点，的平分线交于点D，且．下列结论：①；②与互余的角有2个；③平分；④若，则．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB． 3．已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分 (1)如图1，当时， °； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 考点17：判断事件的类型 1.下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．任意画一个三角形，其外角和是360° B．打开电视，正在播放跳水比赛 C．经过有交通信号的路口时遇见绿灯 D．若a＞b，则ac＞bc 2.下列事件中，是不可能事件的是（　　） A．明天会下雨 B．淋雨会感冒 C．明天太阳从西方升起 D．注射青霉素会过敏 3.下列事件不属于随机事件的是（　　） A．打开电视正在播放新闻联播 B．某人骑车经过十字路口时遇到红灯 C．抛掷一枚硬币，出现正面朝上 D．若今天星期一，则明天是星期二 考点18：判断可能性的大小 1.任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性最小的是　　 A．面朝上的点数是偶数 B．面朝上的点数是奇数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数大于2 2.一枚质地均匀的正六面体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷骰子一次，骰子停止后，在骰子朝上的一面上；下列事件出现可能性最大的是　　 A．大于3的点数 B．小于5的点数 C．大于5的点数 D．小于3的点数 3.在一个不透明的口袋中，装有10个黄球和5个红球，这些球除颜色外没有其他区别，小李从中随机摸出一个球，则摸到 球的机会大． 考点19：由可能性的大小求值 1.在一个盒子中有形状大小完全相同的10个红球，8个绿球，和一些黑球，每次从中拿出一个球，结果拿出绿球的可能性小于，那至少有（　　）个黑球． A．6 B．7 C．8 D．无法确定 2.在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中红球4个，黄球3个，其余的为绿球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的可能性为，则袋中绿球的个数是（　　） A．12 B．5 C．4 D．2 3.一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意掷一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 　 个面涂了黄色． 考点20：求可能性的大小 1.不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（　　） A． B． C． D． 2.投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 3.在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有 　 　个黑球． 考点21：用频率估计概率 1.某林业局将一种树苗移植成活情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计移植这种树苗，成活的概率约为（　　） A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85 2.数学兴趣小组做抛掷瓶盖的试验，将获得的试验数据整理如下表： 累计抛掷次数 100 200 500 1 000 2 000 3 000 5 000 盖面朝上次数 61 123 309 617 1 238 1 854 3 090 盖面朝上频率 0.610 0.615 0.618 0.617 0.619 0.618 0.618 根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到0.01）． 3.某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 考点22：利用公式求概率 1.如图，这是某小区地下车库示意图．，为入口，，，为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从出口驶出的概率为（   ）    A． B． C． D． 2.从，0，，1，，中随机选择一个数，则选到非负数的概率为 ． 3.不透明的袋子中装有8个小球，其中有6个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个小球，则它是红球的概率为 ． 考点23：利用概率公式求值 1.学校招募“弦外之音”项目组成员参加实践活动，项目组共10人，分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了1名男生，2名女生．现从项目组全体成员中随机抽取1人承担宣传联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中女生的人数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2.现有若干件产品，其中3件是次品，从中任选一件，它为次品的概率是0.1，求该产品共有 　 　件． 3.一个不透明的袋中装有若干个红球和白球，它们除颜色外其他均相同．已知袋中共有30个球，将袋中的球摇匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是． (1)求袋中共有多少个白球； (2)从袋中取走10个球（其中没有白球），并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率． 考点24：转盘中的概率问题 1.如图，将转盘八等分，分别涂上红、绿、蓝三种颜色，则转动的转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（　　） A． B． C． D． 2.如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为150°，90°，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 3.某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费300元（含300元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘． (1)某顾客正好消费280元，他可以转动转盘吗？ (2)某顾客正好消费450元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？ (3)某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费252元，请问他消费所购物品的原价应为多少元． 考点25：几何概率问题 1.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在白色区域的概率是　　 A． B． C． D． 2.如图，在边长为3的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 ． 3.七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，现随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 ． 考点26：三角形的定义与分类 1.如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 2.如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 考点27：三角形的边 1.以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（    ） A．2，3，6 B．4，4，8 C．5，6，10 D．7，8，16 2.有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．若a，b，c是△ABC的三边，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 考点28：三角形的中线 1能将任意一个三角形分成面积相等的两部分的是（   ） A．三角形的一条高 B．三角形的一条中线 C．三角形的一条角平分线 D．三角形一边的垂直平分线 2．如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3.如图，是的中线， E和F分别是和的中点，若的面积为，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 考点29：三角形的高 1.如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 2．如图，在中，边上的高线是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 考点30：三角形的中线、高、角平分线的综合 1.下列说法正确的有（   ） ①三角形的三条高在三角形内部； ②以三角形的顶点为端点，且平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线； ③三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形； ④三角形的三条角平分线和三条中线在三角形内部或外部． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.在直角三角形ABC中，，，则的三条高之和为（ ） A．8.4 B．9.4 C．10.4 D．11. 3.如图，已知、分别是的高和中线，，．试求： (1)的面积； (2)的长度； (3)与的周长的差． 考点31：三角形的内角与外角的相关计算 1.如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于（　　） A．95° B．120° C．135° D．无法确定 2.小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，则等于（　　）    A． B． C． D． 3.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数； （2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E． 考点32：全等图形 1.下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 2.有下列说法，其中正确的有（　　） ①两个等边三角形一定能完全重合； ②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同； ③两个等腰三角形一定是全等图形； ④面积相等的两个图形一定是全等图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度． 考点33：全等三角形的相关概念 1.下列说法正确的是（　　） A．全等三角形是指形状相同的三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．全等三角形的周长和面积相等 D．所有等边三角形是全等三角形 2.如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，则∠BAC的对应角是（　　） A．∠CAD B．∠DCA C．∠D D．∠ACB 3.如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，其它对应边及对应角正确的是（　　） A．∠ANB和∠AMC是对应角 B．∠BAN和∠CAB是对应角 C．AM和BM是对应边 D．BN和CN是对应边 考点34：全等三角形的性质 1.如图，△ABC≌△BDE，AB⊥BD，AB＝BD，AC＝4，DE＝3，CE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，△ABC≌△A′B′C′，边B′C′过点A且平分∠BAC交BC于点D，∠B＝27°，∠CDB′＝98°，则∠C′的度数为（　　） A．60° B．45° C．43° D．34° 3.如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE． （1）求证：BC＝DE+CE； （2）当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？ 考点35：全等三角形的判定条件 1.根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（  ） A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45° C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45° 2.如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（    ） A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD 3.如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，，请你添加一个条件： ，使． 考点36：证明两个三角形全等的判定方法判断 1.如图，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝DB，据此可以证明△ABC≌△DBC，依据是（　　） A．SSS B．AAS C．ASA D．HL 2.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，∠C＝∠F，则△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SSA B．SAS C．SSS D．ASA 3．如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，可得△ABC≌△EDC，从而DE＝AB．判定△ABC≌△EDC的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 考点37：证明两个三角形全等 1.已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 2．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC． 3.已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：△ABC≌△EAD． 考点38：全等三角形的性质与判定综合 1.如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2.如图，AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，AF⊥BD，垂足为点F，AG⊥CE，垂足为点G，试判断AF与AG的数量关系，并说明理由． 3.已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE； （2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）． 考点39：轴对称的定义 1.下列图案中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2.王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3.下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A．B．C． D． 考点40：轴对称的性质 1.如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、，根据图中标示的角度，的度数为（    ） A． B． C． D． 2.如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 考点41：线段垂直平分线的性质 1．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．13 2．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为　 　． 3.如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 考点42：等腰三角形、等边三角形 1.已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于 ． 2.如图，，，若，则 ． 3.如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 4.如图，点D在等边的外部，连接、，，过点D作交于点F，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)连接，若，，求的长． 考点43：常量与变量的确定 1.已知一个长方形的面积为15cm2，它的长为a cm，宽为b cm，下列说法正确的是（　　） A．常量为15，变量为a，b B．常量为15，a，变量为b C．常量为15，b，变量为a D．常量为a，b，变量为15 2.球的体积是M，球的半径为R，则M＝πR3，其中变量和常量分别是（　　） A．变量是M，R；常量是π B．变量是R，π；常量是 C．变量是M，π；常量是3，4 D．变量是R；常量是M 3．按如图方式摆放餐桌和椅子，用x来表示餐桌的张数，用y来表示座位数，则y与x之间的关系式是 ，其中常量是 ，变量是 ． 考点44：函数的概念 1.下列变量间的关系不是函数关系的是（　　） A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积 C．圆柱的底面半径与体积 D．圆的周长与半径 2．如图所示的图象分别给出了x与y的对应关系，其中表示y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 3.下列关于变量x和y的关系式： x﹣y＝0，y2＝x，|y|＝2x，y2＝x2，y＝3﹣x，y＝2x2﹣1，y＝， 其中y是x的函数的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 考点45： 自变量取值范围的确定 1．函数y＝+中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≥2且x≠9 C．x≠9 D．2≤x＜9 2．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≠3 D．x＞﹣3且x≠3 3．函数的自变量x的取值范围是 　 　． 考点46： 求函数值 1.在关系式中，当因变量y＝﹣2时，自变量x的值为（　　） A． B．﹣4 C．﹣12 D．12 2．用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为﹣1和7时，输出y的值相等，则b的值是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2 3．当x＝﹣2时，函数的函数值为 　 　． 考点47：函数的解析式的确定 1．油箱中存油40升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　） A．Q＝0.2t B．Q＝40﹣0.2t C．Q＝0.2t+40 D．Q＝0.2t﹣40 2．某市的出租车收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费8元，超过3千米后，每超1千米就加收2元．若某人乘出租车行驶的距离为x（x＞3）千米，则需付费用y元与x（千米）之间的关系式是（　　） A．y＝8+2x B．y＝2+2x C．y＝2x﹣8 D．y＝2x﹣3 3．一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是S cm2．设矩形的宽为x cm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是 　 　． 考点47： 函数图像的识别 1.周日上午，小张跑步去公园锻炼身体，到达公园后原地锻炼了一会之后散步回家，下面能反映小张离公园的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2.苹果熟了，从树上落下来．下面可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况的图象是（　　） A． B． C． D． 3.某景区有一根长60cm的特大蜡烛，若每小时燃烧4cm，那么蜡烛剩余长度y（cm）与燃烧时间x（小时）之间的函数关系式用图象表示为（　　） A． B． C． D． 考点48：从函数的图像获取信息 1.如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．下列从图象中得到的信息错误的是（　　） A．4点时气温达最低 B．14点到24点之间气温持续下降 C．0点到14点之间气温持续上升 D．14点时气温达最高是8℃ 2．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论： ①火车的长度为150米； ②火车的速度为30米/秒； ③火车整体都在隧道内的时间为25秒； ④隧道长度为750米． 其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．②④ 3.在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A．小汽车共行驶240km B．小汽车中途停留0.5h C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 考点49：动点问题的函数图象 1．如图1，为矩形边上的一点，点从点沿折线运动到点时停止，点从点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是．若，同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与的函数关系图象如图2，则的面积为（    ）      A．30 B．25 C．24 D．20 2.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D方向运动至点D处停止．设点P运动的路程为x，△APD的面积为S，如果S关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7时，点P应运动到（　　） A．点C处 B．点D处 C．点A处 D．点B处 3．如图1，已知长方形ABCD，动点P沿长方形ABCD的边以B→C→D的路径运动，记△ABP的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 　 　． 【答案】 期末高频考点分类训练2025-2026学年北师大版 七年级下册（49考点） 考点1：同底数幂的乘法 1．下列计算正确的是( )． A. B. C. D. 【答案】D 2.已知，，则的值是（  ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】B 3.计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【知识点】同底数幂相乘 【详解】（1）解： （2） （3） 考点2：幂的乘方与积的乘方 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2.计算：（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 3．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点3：同底数幂的除法 1．计算：（   ） A．b B． C． D． 【答案】C 2．已知，，则 ． 【答案】 3．计算： (1)；(2)； (3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 考点4：整式的乘法 1.下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2．已知，那么的值为( )． A.－2 B.2 C.－5 D.5 【答案】D 3．计算：（5xy）（25x2xyy2）． 【答案】解：原式＝125x3x2yxy2x2yxy2y3 ＝125x3y3． 考点5：平方差公式 1．下列各式，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b﹣1）（a﹣b+1） B．（﹣a﹣b）（﹣a+b） C．（a+b2）（b2﹣a） D．（2x+y）（x﹣y） 【答案】D 2．如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法：其中能够验证平方差公式有（       ） A．①②③④ B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】A。 3．计算： (1) (2) 【答案】解：(1) =（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）-38 =（32-1）（32+1）（34+1）-38 =（34-1）（34+1）-38 =38-1-38 =-1； (2) 考点6：完全平方公式 1．如果，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2．已知，则的值为（   ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 3.已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ． 4．先化简，再求值：，其中，. 【答案】原式 将代入得：原式. 考点7：整式的除法 1. 的结果是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 2.已知与一个多项式之积是，则这个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3．计算：． 【答案】解：原式＝（a2b2﹣2ab+ab﹣2﹣2a2b2+2）÷（ab） ＝（﹣a2b2﹣ab）÷（ab） ＝（﹣a2b2﹣ab）×（） ＝2ab+2． 考点8：对顶角、邻补角的识别 1.如图，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 2.下列图形中，与互为邻补角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 3.如图，直线，，相交于一点，则的对顶角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 考点9：对顶角、邻补角的相关计算 1.如图，直线与相交于点，若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，直线a、b相交于点O，， 度． 【答案】50 3．如图，直线、相交于点，平分，，， ， ． 【答案】 考点10：垂直的定义与性质 1．如图，，垂足为D，则下面说法中不正确的是（    ） A．点B到的垂线段是线段 B．与互相垂直 C．与互相垂直 D．线段的长度是点A到的距离 【答案】A 2．如图，于点，于点，，，则的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图所示，点A到直线的距离是线段　　　　的长度（  ） A． B． C． D． 【答案】D 考点11：同位角、内错角、同旁内角的识别 1.如图，直线a、b被直线c所截，∠1的同位角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．以上都不是 【答案】B． 2.如图，直线a，b被直线c所截，∠1的内错角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】B． 3.如图所示，将木条a，b的一端钉在一起，再将木条a，b与木条c钉在一起，则图中∠2的同旁内角是（　　） A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】B． 考点11：对平行公理及其推论的理解与应用 1.下列语句正确的有（　　）个 ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行 ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行 ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D． 2.在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】A 3．下列说法中，正确的是 （填序号）． ①过一点有无数条直线与已知直线平行； ②如果，，那么； ③相等的角是对顶角； ④如果两直线不相交，那么它们就平行． 【答案】② 考点12：探究两直线平行的条件 1．下列图形中，已知，则能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 2.如图，①∠1＝∠3，②∠2＝∠3，③∠1＝∠4，④∠2+∠5＝180°可以判定b∥c的条件有（　　） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A． 3.如图，，平分，请说明：． 【答案】见解析 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 考点13：利用平行的性质求角的度数 1.如图，，，则的度数为（    ） A．160 B．140 C．50 D．40 【答案】B 2．如图所示，已知，，，则 °．    【答案】 3．如图，已知，点E是上方一点，点M、N分别在直线上，连结平分交的反向延长线于点G，若，且，则度数为 ． 【答案】/度 考点14：通过阅读推理过程填空 1.在横线上填上适当的内容，完成下面的证明． 已知，直线a，b，c，d的位置如图所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求证：c∥d． 证明：如图， ∵∠1+∠2＝180°（ 　 　）， ∠2+∠3＝180°（平角的定义）， ∴　 ＝∠3（ 　 　）， 又∵∠3＝∠4（已知）， ∴∠1＝∠4（ 　 　）， ∴c∥d（ 　　 ）． 【答案】已知；同角的补角相等；∠1；等量代换；内错角相等，两直线平行． 2.把下面的证明过程补充完整： 如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（         ）． 又∵（已知）， ∴， ∴（    ）（____________）． 又∵（已知）， ∴， ∴（____________）． 【答案】垂直的定义；，对顶角相等；同位角相等，两直线平行． 3.完成下面的证明：已知：如图．BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD． 证明：∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC＝2∠1（ 　 ）． ∵BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD＝　 （角的平分线的定义）． ∴∠BDC+∠ABD＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）（ 　）． ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC＝180°（ 　 　）． ∴AB∥CD（ 　 　）． 【答案】角平分线的定义；2∠2；等式的性质；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 考点15：利用平行线的性质解决实际问题 1．一大门的栏杆如图所示，垂直于地面，垂足为A，平行于地面，若，则的度数为 ． 【答案】 2．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【答案】． 3．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且．，则 ． 【答案】/55度 考点16：平行线的判定与性质综合 1.如图，，的平分线交于点B，G是上的一点，的平分线交于点D，且．下列结论：①；②与互余的角有2个；③平分；④若，则．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 2.已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB． 【答案】证明：FH⊥AB（已知）， ∴∠BHF＝90°． ∵∠1＝∠ACB（已知）， ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）． ∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠3＝∠BCD（等量代换）， ∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行）， ∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等） ∴CD⊥AB． 3．已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分 (1)如图1，当时， °； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1)55 (2)①，②或 【详解】（1）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：55； （2）①过点P作，如图， 则 ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴， ∴， ②当时，如图， ∵， ∴ ∴， ∵平分 ∴ ∵， ∴， 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ． 故∠PNF的度数为或． 考点17：判断事件的类型 1.下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．任意画一个三角形，其外角和是360° B．打开电视，正在播放跳水比赛 C．经过有交通信号的路口时遇见绿灯 D．若a＞b，则ac＞bc 【答案】A． 2.下列事件中，是不可能事件的是（　　） A．明天会下雨 B．淋雨会感冒 C．明天太阳从西方升起 D．注射青霉素会过敏 【答案】C． 3.下列事件不属于随机事件的是（　　） A．打开电视正在播放新闻联播 B．某人骑车经过十字路口时遇到红灯 C．抛掷一枚硬币，出现正面朝上 D．若今天星期一，则明天是星期二 【答案】D． 考点18：判断可能性的大小 1.任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性最小的是　　 A．面朝上的点数是偶数 B．面朝上的点数是奇数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数大于2 【答案】． 2.一枚质地均匀的正六面体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷骰子一次，骰子停止后，在骰子朝上的一面上；下列事件出现可能性最大的是　　 A．大于3的点数 B．小于5的点数 C．大于5的点数 D．小于3的点数 【答案】． 3.在一个不透明的口袋中，装有10个黄球和5个红球，这些球除颜色外没有其他区别，小李从中随机摸出一个球，则摸到 球的机会大． 【答案】黄 考点19：由可能性的大小求值 1.在一个盒子中有形状大小完全相同的10个红球，8个绿球，和一些黑球，每次从中拿出一个球，结果拿出绿球的可能性小于，那至少有（　　）个黑球． A．6 B．7 C．8 D．无法确定 【答案】B． 2.在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中红球4个，黄球3个，其余的为绿球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的可能性为，则袋中绿球的个数是（　　） A．12 B．5 C．4 D．2 【答案】B． 3.一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意掷一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 　 个面涂了黄色． 【答案】4． 考点20：求可能性的大小 1.不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 2.投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 3.在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于，那么至少有 　 　个黑球． 【答案】7． 考点21：用频率估计概率 1.某林业局将一种树苗移植成活情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计移植这种树苗，成活的概率约为（　　） A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85 【答案】C． 2.数学兴趣小组做抛掷瓶盖的试验，将获得的试验数据整理如下表： 累计抛掷次数 100 200 500 1 000 2 000 3 000 5 000 盖面朝上次数 61 123 309 617 1 238 1 854 3 090 盖面朝上频率 0.610 0.615 0.618 0.617 0.619 0.618 0.618 根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 （精确到0.01）． 【答案】0.62 3.某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 【答案】(1)，50 (2) (3)这片鱼塘的价值大约是80000元． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，50； （2）解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为； 故答案为：； （3）解：这个鱼塘中鱼约有（条）， （元）， 答：这片鱼塘的价值大约是80000元． 考点22：利用公式求概率 1.如图，这是某小区地下车库示意图．，为入口，，，为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从出口驶出的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 2.从，0，，1，，中随机选择一个数，则选到非负数的概率为 ． 【答案】 3.不透明的袋子中装有8个小球，其中有6个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个小球，则它是红球的概率为 ． 【答案】 考点23：利用概率公式求值 1.学校招募“弦外之音”项目组成员参加实践活动，项目组共10人，分两批确定：第一批确定了7人，第二批确定了1名男生，2名女生．现从项目组全体成员中随机抽取1人承担宣传联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中女生的人数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A． 2.现有若干件产品，其中3件是次品，从中任选一件，它为次品的概率是0.1，求该产品共有 　 　件． 【答案】30． 3.一个不透明的袋中装有若干个红球和白球，它们除颜色外其他均相同．已知袋中共有30个球，将袋中的球摇匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是． (1)求袋中共有多少个白球； (2)从袋中取走10个球（其中没有白球），并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率． 【答案】(1)12个(2) 【详解】（1）解：设袋中共有x个红球， 因为袋中共有30个球，从中任意摸出一个球是红球的概率是， 所以解得． 因为（个）， 所以袋中共有12个白球． （2）从袋中取走10个球（其中没有白球），袋中还剩个球，袋中共有12个白球． 则从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率为． 考点24：转盘中的概率问题 1.如图，将转盘八等分，分别涂上红、绿、蓝三种颜色，则转动的转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】． 2.如图，一个圆形转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、蓝扇形的圆心角度数分别为150°，90°，转动转盘，停止后指针落在黄色区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 3.某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费300元（含300元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘． (1)某顾客正好消费280元，他可以转动转盘吗？ (2)某顾客正好消费450元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？ (3)某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费252元，请问他消费所购物品的原价应为多少元． 【答案】(1)不可以 (2)获得九折的概率为；获得八折的概率为；获得七折的概率为 (3)他消费所购物品的原价应为315元或360元 【详解】（1）解：因为消费280元低于300元， 所以他不可以转动转盘． （2）解：根据题意得：获得九折的概率为， 获得八折的概率为， ∴获得七折的概率为； （3）解：若是获得九折优惠，则原价应为 252÷0.9=280元＜300元， 所以不成立； 若是获得八折优惠，则原价应为 252÷0.8=315元＞300元， 若是获得七折优惠，则原价应为 252÷0.7=360元＞300元； 综上，他消费所购物品的原价应为315元或360元． 考点25：几何概率问题 1.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，每块方砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在白色区域的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】． 2.如图，在边长为3的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 ． 【答案】 3.七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，现随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 考点26：三角形的定义与分类 1.如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 【答案】B 2.如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 3．△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 考点27：三角形的边 1.以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（    ） A．2，3，6 B．4，4，8 C．5，6，10 D．7，8，16 【答案】C 2.有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 3．若a，b，c是△ABC的三边，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 考点28：三角形的中线 1能将任意一个三角形分成面积相等的两部分的是（   ） A．三角形的一条高 B．三角形的一条中线 C．三角形的一条角平分线 D．三角形一边的垂直平分线 【答案】B 2．如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 3.如图，是的中线， E和F分别是和的中点，若的面积为，则的面积为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 考点29：三角形的高 1.如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 2．如图，在中，边上的高线是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 3．已知中，为边上的高，若，，，则的面积为 . 【答案】28或8 考点30：三角形的中线、高、角平分线的综合 1.下列说法正确的有（   ） ①三角形的三条高在三角形内部； ②以三角形的顶点为端点，且平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线； ③三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形； ④三角形的三条角平分线和三条中线在三角形内部或外部． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 2.在直角三角形ABC中，，，则的三条高之和为（ ） A．8.4 B．9.4 C．10.4 D．11. 【答案】B 3.如图，已知、分别是的高和中线，，．试求： (1)的面积； (2)的长度； (3)与的周长的差． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：是直角三角形，，， ， 是上的中线， ， ， ； （2）解：，是上的高， ， ； （3）解：是边上的中线， ， 的周长－的周长= ， 即和的周长差是． 考点31：三角形的内角与外角的相关计算 1.如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于（　　） A．95° B．120° C．135° D．无法确定 【答案】C。 2.小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数； （2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E． 【答案】 （1）解：∵∠B＝35°，∠E＝25°， ∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ECD＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°； （2）证明：∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD＝∠ACE， ∵∠BAC＝∠E+∠ACE， ∴∠BAC＝∠E+∠ECD， ∵∠ECD＝∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E， ∴∠BAC＝2∠E+∠B． 考点32：全等图形 1.下列各选项中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2.有下列说法，其中正确的有（　　） ①两个等边三角形一定能完全重合； ②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同； ③两个等腰三角形一定是全等图形； ④面积相等的两个图形一定是全等图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A． 3.如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度． 【答案】135 考点33：全等三角形的相关概念 1.下列说法正确的是（　　） A．全等三角形是指形状相同的三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．全等三角形的周长和面积相等 D．所有等边三角形是全等三角形 【答案】C 2.如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，则∠BAC的对应角是（　　） A．∠CAD B．∠DCA C．∠D D．∠ACB 【答案】B 3.如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，其它对应边及对应角正确的是（　　） A．∠ANB和∠AMC是对应角 B．∠BAN和∠CAB是对应角 C．AM和BM是对应边 D．BN和CN是对应边 【答案】A． 考点34：全等三角形的性质 1.如图，△ABC≌△BDE，AB⊥BD，AB＝BD，AC＝4，DE＝3，CE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A． 2.如图，△ABC≌△A′B′C′，边B′C′过点A且平分∠BAC交BC于点D，∠B＝27°，∠CDB′＝98°，则∠C′的度数为（　　） A．60° B．45° C．43° D．34° 【答案】C． 3.如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE． （1）求证：BC＝DE+CE； （2）当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？ 【答案】（1）证明：∵△ABC≌△DAE， ∴AE＝BC，AC＝DE， 又∵AE＝AC+CE， ∴BC＝DE+CE； （2）解：∵BC∥DE， ∴∠BCE＝∠E， 又∵△ABC≌△DAE， ∴∠ACB＝∠E， ∴∠ACB＝∠BCE， 又∵∠ACB+∠BCE＝180°， ∴∠ACB＝90°， 即当△ABC满足∠ACB为直角时，BC∥DE． 考点35：全等三角形的判定条件 1.根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（  ） A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45° C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45° 【答案】D 2.如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（    ） A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD 【答案】C 3.如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件之一：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 4．如图，，请你添加一个条件： ，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 考点36：证明两个三角形全等的判定方法判断 1.如图，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝DB，据此可以证明△ABC≌△DBC，依据是（　　） A．SSS B．AAS C．ASA D．HL 【答案】D 2.如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，∠C＝∠F，则△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SSA B．SAS C．SSS D．ASA 【答案】D 3．如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，可得△ABC≌△EDC，从而DE＝AB．判定△ABC≌△EDC的依据是（　　） A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS 【答案】A 考点37：证明两个三角形全等 1.已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ． 2．已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．求证：OB＝OC． 【解答】证明：∵∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝BC， ∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL） ∴∠ACB＝∠DBC． ∴∠OCB＝∠OBC． ∴OB＝OC（等角对等边）． 3.已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝65°，∠D＝115°，求证：△ABC≌△EAD． 【答案】证明：∵∠ECB＝65°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ECB＝115°． 又∵∠D＝115°， ∴∠ACB＝∠D． ∵AB∥DE， ∴∠CAB＝∠E． 在△ABC和△EAD中， ， ∴△ABC≌△EAD（AAS）． 考点38：全等三角形的性质与判定综合 1.如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C． 2.如图，AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点，AF⊥BD，垂足为点F，AG⊥CE，垂足为点G，试判断AF与AG的数量关系，并说明理由． 【答案】解：结论：AF＝AG． 理由：∵AB＝AC，E、D分别是AB、AC的中点， ∴ADACAB＝AE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AF⊥BD，AG⊥CE， ∴∠AFB＝∠AGC＝90°． 在△ABF和△ACG中， ， ∴△ABF≌△ACG（AAS）， ∴AF＝AG． 3.已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE． （1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE； （2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）． 【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α， ∴∠ABC＝∠ACB90°α＝∠ADE＝∠AED， 由（1）得△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠AED＝90°α， ∴∠DBC＝360°﹣∠BCA﹣∠CAD﹣∠ADB ＝360°﹣（90°α）﹣（2α﹣β）﹣（90°α） ＝180°﹣2α+β． 考点39：轴对称的定义 1.下列图案中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 2.王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 3.下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 考点40：轴对称的性质 1.如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、，根据图中标示的角度，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点． 【答案】D 考点41：线段垂直平分线的性质 1．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】D 2．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为　 　． 【答案】15 3.如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】（1）证明：连接、， 垂直平分，垂直平分， ，， 点P在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，，， ，， 在中，，， ， 即，， 在四边形中，， 考点42：等腰三角形、等边三角形 1.已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于 ． 【答案】22 2.如图，，，若，则 ． 【答案】/14度 3.如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 【答案】4 4.如图，点D在等边的外部，连接、，，过点D作交于点F，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见详解 (2)6 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 考点43：常量与变量的确定 1.已知一个长方形的面积为15cm2，它的长为a cm，宽为b cm，下列说法正确的是（　　） A．常量为15，变量为a，b B．常量为15，a，变量为b C．常量为15，b，变量为a D．常量为a，b，变量为15 【答案】A． 2.球的体积是M，球的半径为R，则M＝πR3，其中变量和常量分别是（　　） A．变量是M，R；常量是π B．变量是R，π；常量是 C．变量是M，π；常量是3，4 D．变量是R；常量是M 【答案】A． 3．按如图方式摆放餐桌和椅子，用x来表示餐桌的张数，用y来表示座位数，则y与x之间的关系式是 ，其中常量是 ，变量是 ． 【答案】y＝4x＋2 4，2 x，y 考点44：函数的概念 1.下列变量间的关系不是函数关系的是（　　） A．长方形的宽一定，其长与面积 B．正方形的周长与面积 C．圆柱的底面半径与体积 D．圆的周长与半径 【答案】C． 2．如图所示的图象分别给出了x与y的对应关系，其中表示y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A． 3.下列关于变量x和y的关系式： x﹣y＝0，y2＝x，|y|＝2x，y2＝x2，y＝3﹣x，y＝2x2﹣1，y＝， 其中y是x的函数的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B． 考点45： 自变量取值范围的确定 1．函数y＝+中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≥2且x≠9 C．x≠9 D．2≤x＜9 【答案】B． 2．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≠3 D．x＞﹣3且x≠3 【答案】D． 3．函数的自变量x的取值范围是 　 　． 【答案】x≥﹣5且x≠﹣2． 考点46： 求函数值 1.在关系式中，当因变量y＝﹣2时，自变量x的值为（　　） A． B．﹣4 C．﹣12 D．12 【答案】D． 2．用如图所示的程序框图来计算函数y的值，当输入x为﹣1和7时，输出y的值相等，则b的值是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2 【答案】D． 3．当x＝﹣2时，函数的函数值为 　 　． 【答案】1． 考点47：函数的解析式的确定 1．油箱中存油40升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（　　） A．Q＝0.2t B．Q＝40﹣0.2t C．Q＝0.2t+40 D．Q＝0.2t﹣40 【答案】B． 2．某市的出租车收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费8元，超过3千米后，每超1千米就加收2元．若某人乘出租车行驶的距离为x（x＞3）千米，则需付费用y元与x（千米）之间的关系式是（　　） A．y＝8+2x B．y＝2+2x C．y＝2x﹣8 D．y＝2x﹣3 【答案】B． 3．一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是S cm2．设矩形的宽为x cm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是 　 　． 【答案】S＝x2+3x． 考点47： 函数图像的识别 1.周日上午，小张跑步去公园锻炼身体，到达公园后原地锻炼了一会之后散步回家，下面能反映小张离公园的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 2.苹果熟了，从树上落下来．下面可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 3.某景区有一根长60cm的特大蜡烛，若每小时燃烧4cm，那么蜡烛剩余长度y（cm）与燃烧时间x（小时）之间的函数关系式用图象表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 考点48：从函数的图像获取信息 1.如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．下列从图象中得到的信息错误的是（　　） A．4点时气温达最低 B．14点到24点之间气温持续下降 C．0点到14点之间气温持续上升 D．14点时气温达最高是8℃ 【答案】C． 2．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论： ①火车的长度为150米； ②火车的速度为30米/秒； ③火车整体都在隧道内的时间为25秒； ④隧道长度为750米． 其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．②④ 【答案】A． 3.在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A．小汽车共行驶240km B．小汽车中途停留0.5h C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小 【答案】D． 考点49：动点问题的函数图象 1．如图1，为矩形边上的一点，点从点沿折线运动到点时停止，点从点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是．若，同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与的函数关系图象如图2，则的面积为（    ）      A．30 B．25 C．24 D．20 【答案】C 2.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D方向运动至点D处停止．设点P运动的路程为x，△APD的面积为S，如果S关于x的函数图象如图2所示，则当x＝7时，点P应运动到（　　） A．点C处 B．点D处 C．点A处 D．点B处 【答案】A． 3．如图1，已知长方形ABCD，动点P沿长方形ABCD的边以B→C→D的路径运动，记△ABP的面积为y，动点P运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为 　 　． 【答案】12． 学科网（北京）股份有限公司 $