山东省聊城市2025-2026学年八年级下学期数学期末检测（四）

**基本信息** 山东省聊城市八年级下学期期末检测，涵盖函数、统计、几何等核心知识，通过诗朗诵比赛评分、省运会吉祥物销售等现实情境，考查抽象能力、推理意识与数据意识，题量分布合理，梯度鲜明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|函数自变量取值、统计量、几何图形性质|结合诗朗诵比赛数据考查中位数稳定性（第2题）| |填空题|6题|矩形判定、数据分位数、平移面积计算|设计开放条件补充矩形判定（第11题）| |解答题|7题|函数建模、几何综合证明、统计分析、利润问题|以省运会吉祥物销售为背景的函数与不等式综合应用（第22题）|

山东省聊城市2025-2026学年八年级下学期期末检测（四） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．乐乐同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：8.8，7.0，9.0，10，9.0，7.0，9.4，工作人员根据评委所打的分数对这组数据平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（     ）． A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 3．如图，在平面直角坐标系中，和交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（     ） A．5 B．10 C．15 D．20 5．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（     ） A． B． C．4 D． 6．设是，，，的方差，是，，，的方差，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转90°后得到，则点的坐标是（） A． B． C． D． 8．如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点，若，，则的最小值为（     ） A．4.8 B．2.4 C．10 D．5 10．在“探究水在沸腾前后温度随时间变化的特点”实验中，甲、乙两位同学分别使用自己的实验器材进行测量，甲同学测量的水的质量记为，乙同学测量的水的质量记为．根据记录的数据，绘制出水的温度（单位：）与加热时间（单位：）的关系图象，如图所示．下列说法正确的是（     ） A．两位同学实验所用水的初始温度相同，但水开始沸腾的温度不同 B．两位同学实验所用水的初始温度相同，且水开始沸腾的时刻也相同 C．质量为的水从开始加热到的过程中，与的函数关系式是 D．质量为的水从开始加热到的过程中，与的函数关系式是 二、填空题 11．如图，在四边形中，，，与相交于点，请添加一个条件______________，使四边形是矩形． 12．数据，，，，，，，，，，，中位数是________，下四分位数是________，上四分位数是________． 13．如图，在直角三角形中，，，，将三角形沿向右平移得到三角形，与交于点O，连接．若O是的中点，图中阴影部分的面积，则平移的距离为______． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．已知点F的坐标为，且矩形中，则点E的横坐标为_____． 15．在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为，，，若一次函数的图象将分成面积为的两个部分，则k的值为____________________． 16．已知学校热水器有一个可以储升（L）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．当水加满时，储水装置内水的温度为_____． 三、解答题 17．计算、化简： (1)； (2)． 18．如图，中，，分别为，的中点，于点，点在的延长线上，且 (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求和的长． 19．某银行理财有A和B两个团队，对其年上半年负责经营的项理财产品的收益率（）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）； A：，，，，，，，，，，， B：，，，，，，，，，，， A团队和B团队产品收益率的相关数据（） 团队 A a B b c 请根据以上信息解答下列问题： (1)______，_______，______． (2)如图为团队A，B负责经营的理财产品收益率的箱线图，请在图中“（     ）”内填写相应数据，根据箱线图，从总体经营效益和稳健度两方面对A，B两个团队的经营水平作出评价，并选择合适理财团队． 20．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，小凡测量后得到图中给的数据信息，请你帮他解答下列问题： (1)像这样规格的饭碗整齐地叠放在桌面上时，求一摞饭碗的高度y（）与饭碗数x（个）之间的函数解析式； (2)如果把图中这两摞饭碗整齐地摆放成一摞，这摞饭碗的高度是多少？ (3)如果一摞饭碗的高度超过时容易发生侧翻，请问一摞最多能放多少个碗？ 21．如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 22．2026年，广东省第十七届运动会将在茂名市举办，运动会吉祥物的名字叫“荔荔”．为助力传递省运热情与宣传茂名本土文化，某商家近日购进了一批“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章进行销售． 信息一：每个“好心茂名”徽章的进价比每个“荔荔”玩偶的进价贵15元．该商店用600元购进“荔荔”玩偶的数量，与用750元购进“好心茂名”徽章的数量相同． 信息二：该商店计划购进“荔荔”和“好心茂名”徽章共180个，总进价费用不超过12000元，每个“荔荔”玩偶售价为65元，每个“好心茂名”徽章售价为85元，全部售完． 问题： (1)求每个“荔荔”玩偶和“好心茂名”徽章的进价各是多少元． (2)设该商店购进“荔荔”玩偶个，总获利为元．写出与的函数关系式； (3)在进货数量符合要求的条件下，求的最大值． 23．已知，与都是等腰直角三角形，，，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点D在内，B，D，E三点在同一直线上，过点A作的高，证明：； (3)如图3，点D在内，平分的延长线与交于点F，点F恰好为中点，若，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省聊城市2025-2026学年八年级下学期期末检测（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B B A B B A C 1．A 【分析】本题考查了函数自变量取值范围，二次根式有意义条件，根据被开方数大于等于零得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意：， 解得， 则自变量x的取值范围是． 故选：A． 2．C 【分析】根据平均数、方差、众数、中位数的定义，分别判断去掉一个最高分和一个最低分后各统计量的变化即可求解． 【详解】解：先将原7个数据从小到大排列为：， 判断中位数：原数据共7个，中位数为第4个数据，原中位数是；去掉一个最高分和一个最低分后，剩余5个数据从小到大排列为，中位数为第3个数据，仍为，中位数不变，C正确； 判断平均数：原数据总和为 ，原平均数为 ，去掉极端值后平均数为 ，平均数发生变化，B错误； 判断方差：方差反映数据波动程度，平均数改变，数据个数改变，方差一定发生变化，A错误； 判断众数：原数据中和都出现2次，众数为和，去掉一个后，只有出现2次，众数发生变化，D错误． 3．B 【详解】解：∵直线和交于点， ∴当时，两函数值相等， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象下方或重合， ∴不等式的解集为． 4．B 【分析】由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴是直角三角形， ∵点E是的中点， ∴． 5．B 【分析】根据矩形的性质得出相等的边以及直角，根据线段垂直平分线的性质得出相等的边，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵垂直平分于点E， ∴， ∴， 由勾股定理得． 6．A 【分析】先根据平均数和方差的定义表示出数据，，，的平均数和方差，进而表示出数据，，，的平均数和方差，即可推导出两组数据方差的数量关系． 【详解】设数据，，，的平均数为，数据，，，的平均数为， ， ； ， 即． 7．B 【分析】求得A、B两点坐标，得到、，根据旋转的性质求得的坐标，即可求解． 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 将代入得，，将代入得， 则，，即，， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴ 8．B 【分析】根据三角形中位线定理求出，进而得到，根据直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵D、E分别为，的中点，， ∴， ， ， ∵， ∵D为的中点， ∴． 9．A 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理，求出的长，证明四边形为矩形，得到，根据垂线段最短和等积法进行求解即可. 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点， ∴， ∴， 连接， ∵于点，于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点为边上一动点， ∴当时，的值最小，即的值最小， 此时：， ∴， 解得， ∴的最小值为. 10．C 【分析】根据水沸腾温度判断A的对错，观察图象即可判断B的对错，根据一次函数所经过的点，通过待定系数法即可求出正确的函数解析式，判断C和D的正确性． 【详解】解：A、由图象可知，水沸腾的温度都是，错误； B、甲同学水开始沸腾的时间是，乙同学水开始沸腾的时间是，二者时间并不相同，错误； C、观察图可知，质量为的水从开始加热到的过程中，与的关系式是一次函数，设，将和代入可得，正确； D、观察图可知，质量为的水从开始加热到的过程中，与的函数关系式是一次函数，设，将和代入可得，错误． 11．（答案不唯一）． 【分析】先利用两组对边相等判断，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形即可以求出添加的条件． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形． 使成为矩形， 添加的条件是（答案不唯一）． 12． 【分析】先根据中位数的定义计算中位数，再将数据分为前半组和后半组，根据下四分位数和上四分位数的定义分别计算下四分位数与上四分位数即可． 【详解】由题意，可知数据共个，且已从小到大排序，位于第位和第位的数据为，， 中位数为； 取前个数据组成前半组，前半组为，，，，，， 下四分位数为； 取后个数据组成后半组，后半组为，，，，，， 上四分位数为． 13． 【分析】由平移的性质可得，，结合题意可得，再由计算即可得解． 【详解】解：由平移的性质可得：，， ∵O是的中点， ∴， ∵图中阴影部分的面积，， ∴，解得， ∴， ∴平移的距离为． 14．3 【分析】首先由点A坐标和长度求出长，然后根据折叠性质可知，，在中求出，再根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意四边形，四边形都是矩形， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴， ∴． 在中，， ∴, ∴D点坐标为，E点纵坐标为10， 由折叠性质可知． 则， 设，则，． 在中，根据勾股定理得：， 即． 解得． ∵， ∴点E的横坐标为3． 15．或 【分析】先找出一次函数经过点，再根据题意将分成面积为的两个部分，求出E、F两点的坐标，用待定系数法代入一次函数解析式即可． 【详解】解：∵一次函数，当时，， ∴一次函数过定点，即过点A． 如图，直线或将分成面积为的两个部分， ∵B、C两点的坐标分别为，， ∴， ∴此时两三角形的高相等，面积之比等于底之比， 即或， ∴或， ∴，， 将代入得，，解得； 将代入得，，解得； 综上所述，或． 16． 【分析】利用待定系数法求出对应的函数解析式，代入，即可求解． 【详解】解：设关于的函数解析式为， 把代入中得， ∴， ∴关于的函数解析式为， 当时，， ∴加满水时，， ∴ 17．(1) (2) 【分析】（1）先负整数指数幂和零指数幂运算、二次根式的运算，再加减运算即可解答； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．(1)证明：∵、分别是、的中点， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． (2)， 【分析】（1）由三角形的中位线定理，可得，结合已知可得四边形是平行四边形，结合，即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，结合等角对等边，可得，由矩形的性质，可得，由勾股定理可得，即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．(1)，， (2)，，，，通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动性大，团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适． 【分析】（1）根据四分位数的公式分别列式计算下四分位数、中位数、上四分位数，即可求解； （2）根据箱线图即可得出结论． 【详解】（1）解： ， ， （2）解：由（1）及题意可知 如图，通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动性大，团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适． 20．(1) (2) (3)10个 【分析】（1）设直线的解析式为，把时，；时，分别代入解析式求解即可； （2）计算时的函数值即可； （3）计算，建立不等式，求x的最大整数解即可； 【详解】（1）解：设，把时，；时，分别代入解析式，得， 解得， 故． （2）解：当时，． 答：摞饭碗的高度是． （3）解：根据题意，得，解得． 为整数， 最大整数解为10， 答：一摞最多能放10个碗． 21．(1)证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； (2)6 【分析】（1）由中点的定义得，，再由可得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）由中位线的性质得，证明四边形是平行四边形，则，，再根据菱形的性质得，，则，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 22．(1)每个“荔荔”玩偶的进价为60元，每个“好心茂名”徽章的进价为75元 (2) (3)的最大值为1300元 【分析】（1）设每个“荔荔”玩偶的进价是元，则每个“好心茂名”徽章的进价是元，根据题意列出分式方程并求解，即可获得答案； （2）设购进“荔荔”玩偶a个，则购进“好心茂名”徽章个，结合（1）可知每个“荔荔”玩偶的利润为5元，每个“好心茂名”徽章的利润为10元，然后列出与的函数关系式即可； （3）首先根据题意确定的取值范围，然后结合一次函数的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：设每个“荔荔”玩偶的进价是元，则每个“好心茂名”徽章的进价是元， 根据题意，可得， 解得（元），经检验，是该分式方程的解， ∴（元）， 答：每个“荔荔”玩偶的进价为60元，每个“好心茂名”徽章的进价为75元； （2）设购进“荔荔”玩偶a个，则购进“好心茂名”徽章个， 每个“荔荔”玩偶的利润为（元）， 每个“好心茂名”徽章的利润为（元）， 总利润，化简得； （3）根据总进价费用不超过12000元，得， 解得， 又∵a为非负整数，且， ∴，且a为整数， 由， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∵，且a为整数， ∴当时，w取得最大值， 将代入，得（元）， 答：w的最大值为1300元． 23．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，得出相等的边和角，证明，即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得出，借助（1）的结论可得出结论； （3）连接，根据角的度数得出，设，表示出相关线段的长度，证明，得出，利用勾股定理得出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵与都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∵点D在内，B，D，E三点在同一直线上， ∴； （3）解：如图3，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，由勾股定理得， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $