26.4实际问题与二次函数（第3课时实物抛物线问题）（培优教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的实物抛物线模型，通过回顾上节课最大利润问题的解决步骤，结合拱桥、投篮等生活实例引入，搭建从实际问题到数学模型的学习支架，帮助学生建立新旧知识联系。 其亮点在于以情境化问题（如拱桥水面宽度计算）引导学生经历实物抽象、建系优化、求解解析式的建模过程，发展数学眼光中的抽象能力与几何直观，数学思维中的推理能力。采用小组讨论、动态演示建系方案，结合多类型巩固训练，助力学生掌握用二次函数解决实际问题的方法，也为教师提供清晰教学流程和丰富实例。

第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第3课时 实物抛物线模型 学 习 目 标 1 2 3 理解实物抛物线与二次函数图象的对应关系，掌握建立适当平面直角坐标系解决实物抛物线问题的核心方法； 能准确将实际问题中的长度、高度转化为坐标系中点的坐标，并解决拱桥、投篮等实际问题； 经历 实物观察→抽象建模→坐标系优化→求解解析式→解决实际问题的完整过程，进一步发展数学建模能力。 新课引入 1.上节课我们学习了用二次函数解决最大利润问题，解决这类实际最值问题的一般步骤是什么呢？ 回顾 1.分析题意，确定变量 2.分类讨论，建立模型 3.确定范围，求解最值 4.比较结果，得出方案 ①拱桥的轮廓 ②篮球投篮的轨迹 ③喷泉水柱等 我们知道二次函数的图象是抛物线，本身就是生活中许多物体的形状，比如： 今天我们就来学习如何把这些实物抛物线转化为数学模型. 3 新知探究 抛物线形拱桥问题 情境 一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面 4 m 时，水面宽 10m。突降暴雨后水面上升 1m，此时水面宽为多少？ 可以看成抛物线，用二次函数来描述。 解决实物抛物线问题的核心，是将实际的几何图形转化为坐标系中的函数图象，通过求解析式来解决长度、高度等问题。 想一想 这座拱桥的轮廓可以近似看成什么曲线？ 因此第一步是建立平面直角坐标系. 4 新知探究 讨论 小组讨论，如何建立坐标系才能使计算最简单？ 小组任务 请同学们尝试画出拱桥的示意图，建立不同的平面直角坐标系，并标注出已知条件对应的点坐标。 动态演示不同建系方式 放映状态下点击图片 方案 1 中顶点在原点，没有一次项和常数项，计算量最小，是最适当的坐标系。 建立坐标系通常优先选择 顶点为原点 + 对称轴为坐标轴的方案 5 新知探究 探究2 在建立好坐标系之后，请同学们规范求解. 解：以拱顶为原点，对称轴为 轴，水平向右为 轴正方向，建立平面直角坐标系。 设抛物线解析式为 () 将点 代入解析式，得 ，解得 得出解析式： 想一想 水面上升 后，水面的位置发生了什么变化？对应的纵坐标是多少？ 6 新知探究  原来水面在 的位置，上升 后，水面的纵坐标为 令 ，代入解析式得： 解得 ， 水面宽度为 ①水面在拱顶下方，纵坐标为负数 ②水面宽度是左右两个交点横坐标的绝对值之和，不要忘记乘以 易错提醒： 7 知识小结 思考 解决实物抛物线问题的一般步骤是什么？ 建立平面直角坐标系的原则是什么？最简便的方法是什么？ ①实物抽象为抛物线 ②建立适当的平面直角坐标系（优先顶点为原点） ③设出对应的二次函数解析式 ④用待定系数法求解析式 ⑤代入求解，结合实际意义得出结论 8 新知巩固 拱桥模型 如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高是多少？ 【分析】本题考查了二次函数的应用的拱桥模型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴点，， ∵， ∴， 设抛物线的解析式为： ， 9 新知巩固 拱桥模型 ∵， ∴点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴门高为， 10 巩固训练1 投球问题 在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为，则第5秒时炮弹的飞行高度为（   ） A．25米 B．30米 C．40米 D．45米 【分析】本题考查了二次函数的运用，掌握函数值的计算是解题的关键．根据题意，把代入计算即可求解． 故选：D ． ∴第5秒时炮弹的飞行高度为 （米）， 解：炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为 ， 11 巩固训练1 投球问题 变式题 某同学在实心球训练时，某一次实心球飞行轨迹呈抛物线型，其实心球飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则此次该同学实心球训练的成绩为（    ） A． B． C． D． 解：令，则， 解得：，（不符合题意，故舍去）， ∴抛物线与x轴正半轴的交点为，即此次该同学实心球训练的成绩为， 故选：C． 12 巩固训练2问题 如图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．喷灌器与围墙的距离为多少？ 【分析】先建立平面直角坐标，再求出相应的函数解析式，再令求出的值，即可得到的值． 解：设抛物线的解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去） ∴ 13 巩固训练2问题 变式题 如图，是惠东县南湖公园喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为，则水柱的最大高度是（    ）   A．2 B．4 C．6 D． 当时，水柱的最大高度是， 故选：B． 解：∵抛物线形水柱，其解析式为 ， 14 巩固训练3 的最值 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为_． 【分析】求出当时的值即可得出答案． 解：由题意，当时，， 解得， ∴点A、B的分别为， ∴， 故答案为：16． 16 15 巩固训练3 的最值 变式题 如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； （1）解：依题意，该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得： ∴该抛物线的函数解析式为 16 巩固训练3 的最值 变式题 (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． （2）解：依题意，当时 答：摄像头到地面的竖直距离为 17 课堂总结 本节课你学到了什么？ 18 感谢聆听! 19 $