（复习篇）专题05 二次根式的概念与运算【思维导图+知识卡片+知识回顾+十三大题型讲练+实战演练 共46题】-2026年苏科版数学八升九年级暑假衔接培优讲义

null2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『复习篇』 专题05 二次根式的概念与运算「暑假衔接复习培优讲义」 【苏科版数学新教材•八年级下册（第11章）】 （思维导图+知识回顾+十三大题型讲练+实战演练 共46题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期复习苏科版新教材八年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，高频考点优选题讲练，真题题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【易错点拨】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【易错点拨】 （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【易错点拨】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点拨】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点二 二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【易错点拨】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2） 被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【易错点拨】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 考点一 求二次根式中的参数 【典例精讲】（25-26八年级下·北京·期中）若是整数，则正整数可能取值（写出一个即可）________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设为正整数，将等式平方整理得到关于的表达式，根据为正整数，即可找出符合条件的的取值． 【详解】解：设，其中为正整数， 等式两边平方得：， 整理得：， 为正整数， 为正整数，且为的倍数， 令，得，是正整数，符合题意， 正整数可能取值为（答案不唯一）． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 考点二 利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用数轴判断和的正负，再进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴， ． 【变式训练】（25-26八年级下·天津·期中）请按要求回答下列问题： (1)判断由下列各组线段a、b、c的长组成的三角形是否是直角三角形，并说明理由． （i）； （ⅱ）． (2)在直角中，，已知，，求． 【答案】(1)（ⅰ）不是，理由见解析；（ⅱ）是，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）根据勾股定理直接求解即可． 【详解】（1）（ⅰ）解：∵，， ∴， 即， ∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形； （ⅱ）解：，， ∴， 即， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形． （2）解：在中，，，， ∴ ． 考点三 二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（25-26八年级下·上海·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·单元复习）计算 【答案】 【分析】先化简二次根式，然后再进行乘除运算即可． 本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 考点四 分母有理化 【典例精讲】（2026·福建漳州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先通分计算括号内的分式的减法，然后把除法转化为乘法，分子、分母因式分解后约分化成最简分式后，把x的值代入再分母有理化即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式训练】（25-26八年级下·湖北十堰·期中）已知，这种化简方法称为分母有理化．请根据以上方法，解决如下问题：若，先化简，再求值． 【答案】化简结果：，值为： 【详解】解：， ∴ ． 考点五 化为最简二次根式 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，是边的中点，，，则______． 【答案】 【分析】由矩形的性质得出，利用含30度角的直角三角形的性质得出，再由勾股定理确定，利用中点的性质得出，求矩形的面积即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴． 【变式训练】（2026·广东肇庆·二模）如图，在边长为4的正方形外有一点P，且是等边三角形，则的面积为（     ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点E， ∵四边形是边长为4的正方形， ，． 是等边三角形，， ， 在中，， ． 考点六 已知最简二次根式求参数 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）若是最简二次根式，则m的最小整数值为_____ ． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，先确定被开方数为非负数，再结合为整数，验证被开方数不含能开得尽方的因数，即可得到满足条件的最小整数. 【详解】解：由题意，， 解得， 因为是整数，因此的最小取值从开始， 当时，，不含能开得尽方的因数， 因此是最简二次根式，满足条件； 故的最小整数值为． 【变式训练】（25-26八年级下·河南许昌·期中）请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的概念，最简二次根式要求被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据概念结合a是正整数解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，且a为正整数， ∴不能含有能开得尽方的因数， 当时，， 是最简二次根式，符合要求，故答案为2（答案不唯一）． 考点七 复合二次根式的化简 【典例精讲】（25-26八年级下·广东惠州·期中）一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如： ．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将被开方数凑成完全平方式，再开方化简即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 又∵， ∴． 【变式训练】（25-26八年级下·四川德阳·期中）化简：____________；____________． 【答案】 【分析】由二次根式性质、分母有理化、完全平方公式求解即可． 【详解】解：； ． 考点八 二次根式的加减运算 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】（25-26八年级下·广西梧州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解∶ 考点九 二次根式的混合运算 【典例精讲】（25-26八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式乘法法则、零指数幂、负整数指数幂的性质计算即可解答； （2）用到平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可； 【详解】（1）解：    ； （2）解：    ； 【变式训练】（25-26八年级下·重庆·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点十 已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（24-25八年级下·广东广州·期中）化简求值：已知，，求的值； 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴. 【变式训练】（25-26八年级下·吉林·期中）人们把这个数称为黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．设，解答下面的问题． (1)直接写出和的值：___________，___________． (2)求的值． 【答案】(1)，1 (2) 【分析】（1）先代入，的值计算得到和的值； （2）将所求分式通分后，代入第一问的结果计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； ； （2）解： ， ∵，， ∴． 考点十一 已知条件式，化简求值 【典例精讲】（25-26八年级下·山东聊城·期中）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． 请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算：； (2)已知是正整数，，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）将 代入 ，求解即可． 【详解】（1）解：    ； （2）解：   ， ， ∴ ， ， 将 代入 ， 可得： 化简可得： 移项可得： 解得： 【变式训练】（25-26八年级下·北京·期中）在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： (1)化简： ； (2)比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） (3)设有理数、满足：，则 ； (4)已知，则__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题干规律直接作答即可； （2）根据题干规律将已知两式进行变形为两个二次根式相加，然后比较大小即可； （3）根据题干规律化简，再根据、为有理数对比未知数的系数，即可得解； （4）根据平方差公式计算，即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ， ，即； （3）解：，， ， ， ， 、为有理数， 与均为有理数， ； （4）解： ， ， ． 考点十二 比较二次根式的大小 【典例精讲】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)阴影部分的长为，宽为，面积为6 (3)不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．理由见解析 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合正方形的面积即可计算正方形纸片A的边长，正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答； （2）先找出图①中阴影部分的长和宽，再结合面积公式列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，裁出的正方形纸片A的边长为； 裁出的正方形纸片B的边长为， 则原长方形纸片的长为，宽为， ∴周长为. （2）解：阴影部分的长正方形纸片A的边长， 即阴影部分的长为， 宽为 ∴阴影部分的宽为， ∴阴影部分的面积． （3）解：不能裁出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 【变式训练】（25-26八年级下·北京·期中）按要求解答下列各题： (1)用、、填空： ______，______ ； (2)由（1）中各式猜想与 的大小，并说明理由． 【答案】(1)＞，＝． (2)， 理由：当时，， 所以 ， 所以， 所以． 【分析】（1）利用二次根式的性质统一形式比较即可； （2）根据当时，，利用完全平方公式变形整理即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴； 考点十三 二次根式的应用 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，将矩形木板裁剪出甲，乙，丙三块正方形板材，已知甲面积是丙面积的倍． (1)若甲，乙面积分别为，，求的长； (2)若阴影部分①的面积为，求阴影部分②的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由正方形甲的面积为，正方形乙的面积为可得正方形边长，进一步求解即可． （2）设正方形丙的边长为．求出正方形甲的边长为，得到，进一步可得，设正方形乙的边长为，得到，进而推导出，则阴影部分②的面积，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，正方形甲的面积为，正方形乙的面积为， ∴正方形甲的边长为，正方形乙的边长为， 由图可知，的长等于正方形乙的边长与正方形甲的边长之和， ． （2）解：如图：设正方形丙的边长为． ∵甲的面积是丙面积的倍， ∴正方形甲的边长为， ， ∵阴影部分①的面积为，且， ， 设正方形乙的边长为， 由图可知，， ， 阴影部分②的面积． 【变式训练】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分． (1)若，求这三个圆的半径、、的长（用含的式子表示）； (2)在（1）中，请判断以、和的长度为边所构成的三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)直角三角形，理由如下： ，，， ∵， 即， 故以、和的长度为边所构成的三角形是直角三角形． 【分析】（1）根据以为半径的圆的面积和三个圆环的面积相等，分别列出方程，即可求解； （2）运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可． 【详解】（1）解：以为半径的圆，面积为， 则以为半径的圆的面积和三个圆环的面积相等，均为． 即， 整理得； ∵， 即， 整理得； ∵， 即， 整理得． 1．（25-26八年级下·全国·暑假作业）当时，的化简结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果. 【详解】解：∵有意义， ∴， 又∵， ∴，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴原式. 2．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原式计算正确，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，符合题意； C、由二次根式有意义的条件可知，则，原式计算正确，不符合题意； D、由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，则，原式计算正确，不符合题意； 3．（25-26八年级下·全国·暑假作业）点在第二象限，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据第二象限内点的坐标特征求出的取值范围，再对原式因式分解后结合二次根式的性质化简为绝对值形式，最后根据的范围去掉绝对值计算结果． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得， ， ∵， ∴，， ∴原式． 4．（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列根式，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将化为最简二次根式，再把各选项化为最简二次根式，根据同类二次根式的定义判断，只有同类二次根式（化简后被开方数相同的二次根式）才能合并； 【详解】解：，化简后被开方数为 A选项 是最简二次根式，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； B选项 ，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并； C选项 ，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； D选项 ，被开方数为，是同类二次根式，可以合并； 5．（25-26八年级下·安徽安庆·阶段检测）将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】利用“若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形”，对每个选项验证即可得到答案． 【详解】解：根据勾股定理的逆定理，逐一验证：A 最长边为， ，，， 不能组成直角三角形； B 最长边为， ，，， 不能组成直角三角形； C 三边都为，三角形为等边三角形 不是直角三角形； D 最长边为， ，， ，能组成直角三角形． 6．（25-26八年级下·辽宁营口·阶段检测）若，则______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性，列不等式组，确定的值，然后代入代数式中计算的值，最后计算． 【详解】解：∵， ∴ 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴， 将代入原式求： ∴． 7．（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）在矩形中，，，E在上，，将沿直线折叠，得到，P为线段上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】求出，取中点，连接，易证是等边三角形，得到，进而求出，过点P作，得出，当F、、M三点共线时，且时，取得最小值，过点E作，然后利用折叠的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 取中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 过点P作，如图所示： ∴， ∴， 如图，当F、、M三点共线时，且时，取得最小值， 过点E作， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 8．（25-26八年级下·重庆丰都·期中）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式有意义，则符合条件的所有整数a的和为___________． 【答案】1 【分析】先表示出不等式组的解集，根据不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和即可． 【详解】解：， 不等式组的解集是：， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得：，即整数，0，1，2，3， ∵关于a的代数式有意义， ∴且， ∴且， ∴符合条件的所有整数a的值是，0，2， ∴符合条件的所有整数a的和为：． 9．（25-26八年级下·全国·暑假作业）化简：________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 10．（25-26八年级下·天津·期中）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，作等腰直角三角形． （1）的长_______． （2）若为的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）在上取一点，使，连接，延长交延长线于点，证明，求出，，可得等腰直角，为的中位线，求出的长，进而求出的长即可解题． 【详解】解：（1）在正方形的边长为4， ∴，， ∵， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴； （2）在上取一点，使，连接，延长交延长线于点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即点为的中点，且点为的中点， ∴为的中位线， ∴． 11．（25-26八年级下·全国·暑假作业）已知，，是三边的长，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据三角形的三边关系得到，再利用二次根式和绝对值的性质进行化简，然后再进行加减运算即可． 【详解】解：∵a，b，c分别是的三边， ∴， ∴ ． 12．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，，点P为中点，点E为线段上一点，连接，将线段绕E顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作，交于点，过点作，由题意易得，，则有，，由旋转的性质可知：，，然后可得，，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：过点作，交于点，过点作，如图所示： ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，， 由旋转的性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P为中点， ∴， 设，当点在点的左侧时，则有，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 当点在点的右侧时，如图所示： 同理可得：， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由上可知：， ∵， ∴， ∴当时，有最小值， ∴有最小值． 13．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，菱形对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理等知识． 根据菱形的性质、勾股定理，先求出、，再结合，即可作答． 【详解】解：在菱形对角线，相交于点O，，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行． 【答案】(1) (2)解：∵要裁的长方形面积为，宽为， ∴它的长为 ， ∵原长方形的长为、宽为， ∴， 即要裁出的长方形的长大于原长方形的任意一边， ∴小牛的想法不可行． 【分析】（1）因为正方形是面积为的正方形，所以先根据正方形面积公式求其边长。因为正方形边长等于，也等于，所以代入和的长度，可分别求出长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算其面积． （2）先根据裁出长方形的面积和宽，用长方形面积公式求出其长，再将裁出长方形的长和宽分别与长方形的长和宽比较大小，判断是否可行． 【详解】（1）解：∵正方形面积为， ∴正方形边长为． ∵，： ∴， ． ∴长方形的面积为 ． （2）略 15．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）计算、解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴分式方程的解为． 16．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）先化简，再求值：，． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 17．（25-26八年级下·贵州·期末）已知代数式，，．请从①；②；③中选择一个进行化简，并求当时的值． 【答案】 ①结果为，值为； ②结果为，值为； ③结果为，值为 【详解】解：①， 当时，原式； ②， 当时，原式； ③， 当时，原式． 18．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中液面与图中点的距离是多少？ 【答案】乙杯中液面与图中点的距离是． 【分析】先根据直角三角形的性质求出，即可由勾股定理求解，设乙杯中液体深为，根据两杯的高度相等，并且杯中的液体体积相等建立方程求解，设中上的高为，再由面积法求解即可． 【详解】解：设乙杯中液体深为． ，， ． 根据两杯的高度相等，并且杯中的液体体积相等，可得， 解得，即乙杯中液体的深度为． 在中，由勾股定理，得． 设中上的高为， ， ， 故点与液面的距离是． 19．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）阅读下列材料，解答后面的问题： ； ； ；… (1)写出下一个等式； (2)计算的值； (3)请求出的运算结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知个等式的，即可求解； （2）观察已知个等式的，即可求解； （3）式子化为 ，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 20．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）秦九韶（1208~1268年），字道古，南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，那么．如图，在中，，，，，垂足为D，请利用上面的公式求的长． 【答案】 【分析】根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可． 【详解】解：由题意，， ∴． 即的面积为， 由得． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『复习篇』 专题05 二次根式的概念与运算「暑假衔接复习培优讲义」 【苏科版数学新教材•八年级下册（第11章）】 （思维导图+知识回顾+十三大题型讲练+实战演练 共46题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期复习苏科版新教材八年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，高频考点优选题讲练，真题题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【易错点拨】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【易错点拨】 （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【易错点拨】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点拨】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点二 二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【易错点拨】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2） 被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【易错点拨】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 考点一 求二次根式中的参数 【典例精讲】（25-26八年级下·北京·期中）若是整数，则正整数可能取值（写出一个即可）________． 【变式训练】（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 考点二 利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·天津·期中）请按要求回答下列问题： (1)判断由下列各组线段a、b、c的长组成的三角形是否是直角三角形，并说明理由． （i）； （ⅱ）． (2)在直角中，，已知，，求． 考点三 二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（25-26八年级下·上海·期中）计算： 【变式训练】（25-26八年级下·全国·单元复习）计算 考点四 分母有理化 【典例精讲】（2026·福建漳州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式训练】（25-26八年级下·湖北十堰·期中）已知，这种化简方法称为分母有理化．请根据以上方法，解决如下问题：若，先化简，再求值． 考点五 化为最简二次根式 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，是边的中点，，，则______． 【变式训练】（2026·广东肇庆·二模）如图，在边长为4的正方形外有一点P，且是等边三角形，则的面积为（     ） A．4 B． C．8 D． 考点六 已知最简二次根式求参数 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）若是最简二次根式，则m的最小整数值为_____ ． 【变式训练】（25-26八年级下·河南许昌·期中）请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 考点七 复合二次根式的化简 【典例精讲】（25-26八年级下·广东惠州·期中）一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如： ．请你利用上述方法化简复合二次根式：（） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·四川德阳·期中）化简：____________；____________． 考点八 二次根式的加减运算 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26八年级下·广西梧州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 考点九 二次根式的混合运算 【典例精讲】（25-26八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)． (2)． 【变式训练】（25-26八年级下·重庆·期末）计算： (1) (2) 考点十 已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（24-25八年级下·广东广州·期中）化简求值：已知，，求的值. 【变式训练】（25-26八年级下·吉林·期中）人们把这个数称为黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．设，解答下面的问题． (1)直接写出和的值：___________，___________． (2)求的值． 考点十一 已知条件式，化简求值 【典例精讲】（25-26八年级下·山东聊城·期中）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． 请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算：； (2)已知是正整数，，，，求． 【变式训练】（25-26八年级下·北京·期中）在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： (1)化简： ； (2)比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） (3)设有理数、满足：，则 ； (4)已知，则__________． 考点十二 比较二次根式的大小 【典例精讲】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 【变式训练】（25-26八年级下·北京·期中）按要求解答下列各题： (1)用、、填空： ______，______ ； (2)由（1）中各式猜想与 的大小，并说明理由． 考点十三 二次根式的应用 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，将矩形木板裁剪出甲，乙，丙三块正方形板材，已知甲面积是丙面积的倍． (1)若甲，乙面积分别为，，求的长； (2)若阴影部分①的面积为，求阴影部分②的面积． 【变式训练】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分． (1)若，求这三个圆的半径、、的长（用含的式子表示）； (2)在（1）中，请判断以、和的长度为边所构成的三角形的形状，并说明理由． 1．（25-26八年级下·全国·暑假作业）当时，的化简结果是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·暑假作业）点在第二象限，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列根式，不能与合并的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·安徽安庆·阶段检测）将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（25-26八年级下·辽宁营口·阶段检测）若，则______． 7．（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）在矩形中，，，E在上，，将沿直线折叠，得到，P为线段上一动点，则的最小值为______． 8．（25-26八年级下·重庆丰都·期中）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式有意义，则符合条件的所有整数a的和为___________． 9．（25-26八年级下·全国·暑假作业）化简：________． 10．（25-26八年级下·天津·期中）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，作等腰直角三角形． （1）的长_______． （2）若为的中点，连接，则的长为______． 11．（25-26八年级下·全国·暑假作业）已知，，是三边的长，则的值为________． 12．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，，点P为中点，点E为线段上一点，连接，将线段绕E顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为______． 13．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，菱形对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 14．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行． 15．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）计算、解方程： (1)； (2)． 16．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）先化简，再求值：，． 17．（25-26八年级下·贵州·期末）已知代数式，，．请从①；②；③中选择一个进行化简，并求当时的值． 18．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯，若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中液面与图中点的距离是多少？ 19．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）阅读下列材料，解答后面的问题： ； ； ；… (1)写出下一个等式； (2)计算的值； (3)请求出的运算结果． 20．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）秦九韶（1208~1268年），字道古，南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，那么．如图，在中，，，，，垂足为D，请利用上面的公式求的长． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null