（复习篇）专题03 提公因式法与公式法因式分解 暑假衔接培优讲义 -2026-2027学年苏科版数学八年级数学下册

2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『复习篇』 专题03 提公因式法与公式法因式分解「暑假衔接复习培优讲义」 【苏科版数学新教材•八年级下册（第9章）】 （思维导图+知识回顾+十一大题型讲练+实战演练 共42题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期复习苏科版新教材八年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，高频考点优选题讲练，真题题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 平方差公式 平方差公式： 知识点二 平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ①位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化 xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化 xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 知识点三 完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差) 的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 知识点四 拓展、补充公式 ；； ；. 知识点五 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 知识点六 公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 知识点七 提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 知识点八 公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 知识点九 提公因式与公式法综合 （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 考点一 已知因式分解的结果求参数 【典例精讲】（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 【答案】 【分析】已知二次三项式的一个一次因式，可设出另一个一次因式，根据多项式乘法法则展开后，利用多项式相等对应项系数相等列方程求解． 【详解】设另一个因式为， 由题意得， 即， ，解得． 【变式训练】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）若将多项式因式分解得，则的值为______． 【答案】 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ． 考点二 公因式 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 【变式训练】多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是_____________． 【答案】2x 【分析】按照公因式的提取方法提取公因式即可． 【详解】解： 多项式的公因式为2x． 故答案为：2x． 考点三 提公因式法分解因式 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】先将原式整理为，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时 原式 ． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）若，则的值为______． 【答案】10 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 考点四 平方差公式分解因式 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式训练】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知为正整数，用因式分解的方法证明能被整除． 【答案】证明： ， 为正整数， 和是两个连续正整数，其中必有一个能被整除，即是的倍数， 可设（为正整数）， ， 是的倍数，为正整数， 能被整除． 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，再根据为正整数得到和是连续正整数，必有一个是偶数，由此证明分解后的式子含有因数，即可说明原式能被整除． 考点五 完全平方公式分解因式 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）先阅读材料，再解答问题： 已知，求的值． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式可变形为． 将代入，得， 则，所以． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原式可变形为，据此可得答案； （2）设，则可推出，得出，可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原式可变形为， 将代入，得原式； （2） ， 设， ， 解得： ，即， 该长方形的周长为． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏镇江·阶段检测）【项目准备】利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即…． (1)题干中，因式分解的最后结果是：______； (2)【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法构造平方差形式后，再用平方差公式分解即可得到最终结果； （2）先对二次三项式配方分解，再整体代入已知条件计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴． 考点六 综合运用公式法分解因式 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）观察下列各等式，你发现了什么规律？请用代数式表示，并说明其正确性． ， ， ， ， …… 【答案】 规律为（为不小于的正整数） 理由如下： 设为不小于的正整数，观察等式得到规律猜想： ∵左边 ∴左边右边 ∴规律 【分析】先观察已知等式中各数字的变化，发现两个底数相差，等式右侧是乘以两个底数的平均数，用字母表示出规律后，通过整式运算化简左侧，对比右侧即可验证规律的正确性， 【变式训练】（25-26八年级下·河北张家口·期中）一次课堂练习，琪琪同学做了如下3道因式分解的题目． ①； ②； ③． (1)琪琪做错的或过程不完整的题目是_____（填序号）； (2)把你选出的（1）中题目的正确答案写在下面． 【答案】(1)②③ (2)； 【详解】（1）解：①； ②； ③， 故做错的或过程不完整的题目是②③． （2）解：； ． 考点七 综合提公因式和公式法分解因式 【典例精讲】（25-26八年级下·贵州·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】先提取公因式，然后再利用完全平方公式分解因式即可； 【详解】解： ． 【变式训练】（2026·云南丽江·二模）分解因式： ________． 【答案】 【详解】解：． 考点八 因式分解在有理数简算中的应用 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解简化计算：． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握识别完全平方公式的结构特征，用公式因式分解简化计算是解题的关键． 观察式子结构，发现其符合完全平方和公式的形式，用公式因式分解后简化计算． 【详解】解：原式 ． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解计算：_____． 【答案】36 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算，正确计算是解题的关键． 观察表达式，发现其符合完全平方公式的形式，通过完全平方公式进行因式分解简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 考点九 十字相乘法 【典例精讲】（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的综合运用，涉及十字相乘法分解因式．先将看作一个整体，把原式转化为关于该整体的二次三项式，用十字相乘法分解；再对分解后得到的因式中可继续分解的部分，再次用十字相乘法分解，直至所有因式在有理数范围内均不能再分解． 【详解】解：原式， ． 【变式训练】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，准确的计算是解决本题的关键． 运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 考点十 分组分解法 【典例精讲】（25-26八年级下·山东济南·期中）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2)应用：若，求a、b、c的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】 （1）①先将原式变形为，前3项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； ②将常数项变为，前三项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （2）将原式变形为 ，分组分解为，再利用非负数的性质即可求出，，． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由得： ， 即， ∴ ， ∴． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】（1）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把整体提公因式； （2）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把看作整体，运用完全平方公式分解因式； （3）把方程左边分解因式，可得：，因为，，是的三边，不可能是，可得：，所以是等腰三角形． 【详解】（1）解： ；    （2）解： ；   （3）解：， ， ， ，     ，，是的三边， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 考点十一 因式分解的应用 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形（）． (1)观察图形，根据面积相等，可以发现代数式可因式分解为________； (2)将图中阴影部分的面积记作，非阴影部分的面积记作，若，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）观察图形得到，，根据得到，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图形可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∵大长方形中，有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形， ∴大长方形的面积为， ∴代数式可因式分解为． （2）解：由图形可知，，， ∵， ∴， 整理得，，即， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)若分解，则需应用上述方法______次，结果是______； (3)分解因式：（n为正整数），结果是______． (4)请利用以上规律计算：． 【答案】(1)提公因式法，2； (2)，； (3) (4) 【分析】（1）根据阅读因式分解的过程即可得结论； （2）结合（1）和阅读材料即可得结论； （3）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； （4）利用规律进而得出答案即可． 【详解】（1）阅读因式分解的过程可知： 上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， （2）原式，则需应用上述方法次，结果是， 故答案为：，； （3） ． （4） 1．（25-26八年级下·甘肃兰州·阶段检测）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：州，爱，我，数，学，兰．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱兰州 B．爱兰州 C．我爱数学 D．兰州数学 【答案】A 【分析】先对多项式提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解，根据各因式对应密码得到最终信息，选出正确选项，正确分解因式是解题关键. 【详解】解：∵， 又∵ ∴ 根据题意，对应关系为：我，爱，州，兰， 因此结果呈现的密码信息可能为我爱兰州. 2．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据因式分解的定义排除不符合选项，再验证剩余选项分解是否正确即可 【详解】解：因式分解要求将多项式化为几个整式的乘积，且结果必须分解彻底，据此逐项判断： A、结果为，不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； B、对左边变形：，结果是整式乘积，且分解正确，故该选项符合题意； C、，还可以继续分解，分解不彻底，故该选项不符合题意； D、展开等式右边得 ，和左边不相等，分解错误，故该选项不符合题意 3．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）已知长方形的长为，宽为，若该长方形的周长为14，面积为12，则的值为（     ） A．70 B．84 C．96 D．168 【答案】B 【分析】先根据长方形周长和面积公式得到和的值，再对所求多项式进行因式分解，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵长方形周长为14，长为，宽为， 则，即； ∵长方形面积为12， ∴， ∵， 将，代入得： 原式． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式的右边不是积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意. 5．（25-26八年级下·全国·期末）小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：州、爱、我、郑、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱美 B．郑州游 C．我爱郑州 D．美我郑州 【答案】C 【分析】将式子通过提公因式和平方差公式进行因式分解，根据分解后每个因式对应的字可得密码信息。 【详解】解：， ∵，，，分别对应下列：州、爱、我、郑， ∴结果呈现的密码信息可能是：我爱郑州． 6．（25-26八年级下·四川成都·期末）因式分解：=___________ 【答案】 【分析】将看成一个整体，利用十字相乘法进行分解，再对各因式进行分解． 【详解】解：原式 ． 7．（25-26八年级下·四川成都·期末）因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果______． 【答案】 【分析】根据看错的分解结果，分别提取出正确的的值代入，再分解即可． 【详解】解：甲分解结果，甲看错，故； 乙分解结果，乙看错，故． 则原式为，分解为． 8．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知，，则______． 【答案】 【分析】先将因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：，， ． 9．（25-26八年级下·全国·暑假作业）若，则________． 【答案】 【分析】先将移项为，再运用提公因式的方法求代数式的值即可． 【详解】∵， ∴，， ∴ ． 10．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先利用平方差公式将因式分解，再将代入求值即可． 【详解】解：． 11．（25-26八年级下·河南平顶山·阶段检测）因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：． 12．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）对任意整数，都能被_____整除． 【答案】 【分析】先利用平方差公式对原式因式分解，再结合的奇偶性进行分类讨论，判断分解后式子的倍数特征，即可得到结果． 【详解】解：， ①当为偶数时， ∴是偶数，是奇数， ∴是8的倍数； ②当为奇数时， ∴是奇数，是偶数， ∴是8的倍数； 综上所述，对任意整数，都能被整除． 13．（25-26八年级下·四川成都·期中），则的值为______． 【答案】 【分析】对所求多项式因式分解后，将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 14．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）因式分解 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式计算即可得出结果； （2）先提取公因式，再利用平方差公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：      ． 15．（25-26八年级下·广东梅州·阶段检测）因式分解：． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解，直到不能分解为止． 【详解】解： ． 16．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）计算： (1)因式分解：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据提公因式法和平方差公式因式分解即可． （2）先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再得出两个解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：解不等式组：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集是． 17．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将拆分为 “”）． 【解决问题】 (1)根据上述方法对多项式进行因式分解； (2)已知、为等腰三角形的边，且满足，求该等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法将原式凑成完全平方式，再用平方差公式分解因式； （2）先对等式配方，根据平方的非负性求出的值，再分情况结合三角形三边关系判断，计算出符合条件的周长． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 即 若等腰三角形腰长为，底边长为，三边长为 ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去 若等腰三角形腰长为，底边长为，三边长为 ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形此时周长为 答：该等腰三角形的周长为． 18．（25-26八年级下·四川雅安·期中）计算 (1)解不等式组：，把解集在数轴上表示出来． (2)因式分解： ①          ② 【答案】(1)，解集在数轴上表示为： (2)①；② 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示略 （2）解：①          ② . 19．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，有①②③三种不同型号的卡片若干，其中型号①②分别是边长为a和b的正方形卡片，型号③是长为a、宽为b的长方形卡片． (1)请用这些卡片分别拼出面积为的长方形，并画出图形． (2)你能拼出面积为的长方形吗？如果能，请画出图形；如果不能，请说明理由． (3)请再提出一个问题，并加以解答． 【答案】(1)面积为, ∴长方形的长为，宽为a，如图所示； 面积为， ∴长方形的长和宽均是，如图所示： (2)能，， 长方形的长为，宽为，如图所示： (3)解：你能拼成一个面积为的长方形吗？画出图形，并计算出这个长方形的长和宽． ． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步．问：为田几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有一块圆环形田（如图），内圆周长92步，外圆周长122步，两圆半径的差为5步，圆环形田的面积是多少（取3）？ 《九章算术》的算法是：两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积，即圆环形田的面积．请说明这种算法的道理． 【答案】圆环形田的面积是535 《九章算术》中算法的道理：设圆环形的面积为S，外圆的半径为R，外圆的周长为p，内圆的半径为r，内圆的周长为q， ∴圆环形面积，且， ∴ ， 即圆环形田的面积等于两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积． 【分析】代入周长表示半径：由得，由得．写出圆环面积公式：，代入半径表达式：，化简并因式分解：利用平方差公式，得，代入周长公式：，化简得，即可证明．再代入题中所给数据即可求出圆环形田的面积． 【详解】解：《九章算术》中算法的证明，略． ∵内圆周长92步，外圆周长122步，两圆半径的差为5步，取3， 即， ∴， 即圆环形田的面积是535． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『复习篇』 专题03 提公因式法与公式法因式分解「暑假衔接复习培优讲义」 【苏科版数学新教材•八年级下册（第9章）】 （思维导图+知识回顾+十一大题型讲练+实战演练 共42题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期复习苏科版新教材八年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，高频考点优选题讲练，真题题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 平方差公式 平方差公式： 知识点二 平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ①位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化 xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化 xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 知识点三 完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差) 的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 知识点四 拓展、补充公式 ；； ；. 知识点五 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 知识点六 公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 知识点七 提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 知识点八 公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 知识点九 提公因式与公式法综合 （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 考点一 已知因式分解的结果求参数 【典例精讲】（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 【变式训练】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）若将多项式因式分解得，则的值为______． 考点二 公因式 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【变式训练】多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是_____________． 考点三 提公因式法分解因式 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）已知，，求代数式的值． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）若，则的值为______． 考点四 平方差公式分解因式 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因式分解： (1) (2) 【变式训练】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知为正整数，用因式分解的方法证明能被整除． 考点五 完全平方公式分解因式 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）先阅读材料，再解答问题： 已知，求的值． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式可变形为． 将代入，得， 则，所以． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏镇江·阶段检测）【项目准备】利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即…． (1)题干中，因式分解的最后结果是：______； (2)【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值． 考点六 综合运用公式法分解因式 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）观察下列各等式，你发现了什么规律？请用代数式表示，并说明其正确性． ， ， ， ， …… 【变式训练】（25-26八年级下·河北张家口·期中）一次课堂练习，琪琪同学做了如下3道因式分解的题目． ①； ②； ③． (1)琪琪做错的或过程不完整的题目是_____（填序号）； (2)把你选出的（1）中题目的正确答案写在下面． 考点七 综合提公因式和公式法分解因式 【典例精讲】（25-26八年级下·贵州·期末）分解因式：． 【变式训练】（2026·云南丽江·二模）分解因式： ________． 考点八 因式分解在有理数简算中的应用 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解简化计算：． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解计算：_____． 考点九 十字相乘法 【典例精讲】（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 【变式训练】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）因式分解：__________． 考点十 分组分解法 【典例精讲】（25-26八年级下·山东济南·期中）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2)应用：若，求a、b、c的值． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 考点十一 因式分解的应用 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形（）． (1)观察图形，根据面积相等，可以发现代数式可因式分解为________； (2)将图中阴影部分的面积记作，非阴影部分的面积记作，若，求的值． 【变式训练】（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)若分解，则需应用上述方法______次，结果是______； (3)分解因式：（n为正整数），结果是______． (4)请利用以上规律计算：． 1．（25-26八年级下·甘肃兰州·阶段检测）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：州，爱，我，数，学，兰．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱兰州 B．爱兰州 C．我爱数学 D．兰州数学 2．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）下列从左到右的运算是因式分解，并且分解正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）已知长方形的长为，宽为，若该长方形的周长为14，面积为12，则的值为（     ） A．70 B．84 C．96 D．168 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·阶段检测）下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·期末）小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：州、爱、我、郑、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱美 B．郑州游 C．我爱郑州 D．美我郑州 6．（25-26八年级下·四川成都·期末）因式分解：=___________ 7．（25-26八年级下·四川成都·期末）因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．则分解因式的正确结果______． 8．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知，，则______． 9．（25-26八年级下·全国·暑假作业）若，则________． 10．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）已知，则代数式的值为________． 11．（25-26八年级下·河南平顶山·阶段检测）因式分解：________． 12．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）对任意整数，都能被_____整除． 13．（25-26八年级下·四川成都·期中），则的值为______． 14．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）因式分解 (1) (2)． 15．（25-26八年级下·广东梅州·阶段检测）因式分解：． 16．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）计算： (1)因式分解：； (2)解不等式组：． 17．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将拆分为 “”）． 【解决问题】 (1)根据上述方法对多项式进行因式分解； (2)已知、为等腰三角形的边，且满足，求该等腰三角形的周长． 18．（25-26八年级下·四川雅安·期中）计算 (1)解不等式组：，把解集在数轴上表示出来． (2)因式分解： ①          ② 19．（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，有①②③三种不同型号的卡片若干，其中型号①②分别是边长为a和b的正方形卡片，型号③是长为a、宽为b的长方形卡片． (1)请用这些卡片分别拼出面积为的长方形，并画出图形． (2)你能拼出面积为的长方形吗？如果能，请画出图形；如果不能，请说明理由． (3)请再提出一个问题，并加以解答． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）今有环田，中周九十二步，外周一百二十二步，径五步．问：为田几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有一块圆环形田（如图），内圆周长92步，外圆周长122步，两圆半径的差为5步，圆环形田的面积是多少（取3）？ 《九章算术》的算法是：两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积，即圆环形田的面积．请说明这种算法的道理． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null