专题9.2 提公因式法（3大知识点+6大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版八年级数学下学期培优讲义

专题9.2 提公因式法 知识点1：公因式的定义与确定方法 1.公因式定义：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。 2.公因式的确定三步法 ①定系数：取各项系数的最大公因数（若多项式首项为负，公因式通常取负，使括号内首项为正）； ②定字母：取各项中都含有的相同字母； ③定指数：取相同字母的最低次幂。 3.多项式型公因式确定：把多项式整体看成一个字母（整体思想），如与可通过变形转化为相同因式，其中、。 知识点2：提公因式法因式分解 1.提公因式法定义：如果一个多项式的各项含有公因式，就把这个公因式提取出来，将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2.理论依据：乘法分配律的逆用，即。 3.提公因式法的基本步骤 ①找：找出多项式各项的公因式； ②提：将公因式提取出来，把多项式写成“公因式×另一个因式”的形式； ③验：用乘法分配律验证，确保分解后括号内的多项式不能再提取公因式，且项数与原多项式一致。 4.符号变形技巧：提取负号时，括号内的每一项都要变号；若某一项与公因式完全相同，提取后该项保留1（而非0），如。 知识点3：变形后提公因式的常见类型 变形类型 变形公式 举例 符号变形 指数变形 整体变形 将多项式整体看作公因式 恒等变形 通过添/去括号构造公因式 【基础必考题型】 【题型1】确定单项式型公因式 1.核心知识点 公因式的定义；单项式型公因式的三步确定法（系数、字母、指数）。 2.解题方法技巧 严格遵循“系数取最大公因数、字母取相同、指数取最低”的原则，分步确定； 若多项式首项为负，公因式系数取负，保证后续分解后括号内首项为正； 无相同字母时，公因式为各项系数的最大公因数（如的公因式为3）。 【例题1】.（25-26八年级上·湖北随州·期末）与的公因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式由系数最大公因数和字母公因式组成，字母取指数最小值，由此求解即可，熟练掌握公因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：与的系数最大公因数为，字母的指数最小值为，字母的指数最小值为， 故公因式为， 故选：A． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的公因式是___________． 【答案】3xy/ 【分析】本题考查了公因式，解题关键是能利用公因式的概念确定公因式．本题可以找出多项式各项系数的最大公约数和字母部分的最低次幂，取它们的积即可求解． 【详解】解：多项式中，各项系数分别为9、3、，其最大公约数为3； 各项均含有和，且的最低指数为1，的最低指数为1， 因此公因式为， 故答案为： 【变式题1-2】.（25-26八年级上·湖南常德·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键．一个多项式的各项都含有的相同的因式叫做这个多项式各项的公因式．公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：的公因式为． 故答案为：． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；据此即可求得答案． 【详解】解：A、、的公因式为，不符合题意； B、、的公因式为，符合题意； C、、的公因式为，不符合题意； D、、的公因式为，不符合题意； 故选：B． 【题型2】直接提公因式法分解因式 1.核心知识点 提公因式法的定义与步骤；乘法分配律的逆用。 2.解题方法技巧 先确定公因式，再用原多项式的每一项除以公因式，得到括号内的另一个因式； 注意提取公因式后，括号内的项数与原多项式一致，缺项补1（如）； 首项为负时，先提取负号，再提取公因式，如。 【例题2】.（25-26九年级下·福建厦门·月考）因式分解____． 【答案】 【分析】直接提取公因式分解因式即可. 【详解】解： ． 【变式题2-1】.（2026·河南周口·二模）因式分解：______． 【答案】 【详解】解：． 【变式题2-2】.（24-25八年级上·重庆长寿·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据题意，运用提公因式法即可分解因式得解； （2）依据题意，根据提公因式法进行分解可以得解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提取公因式法因式分解，掌握通过变形统一公因式，以及多次提取公因式的技巧是解题的关键． （1）先变形，将转化为，再提取公因式； （2）直接提取公因式，再合并剩余部分的同类项； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【培优高频题型】 【题型3】变形后提公因式法分解因式 1.核心知识点 提公因式法的灵活应用；符号、整体、恒等变形技巧；因式分解的恒等性。 2.解题方法技巧 观察多项式结构，若出现相反因式（如与），先做符号变形再提取； 若出现“加减混合”可构造公因式的形式，先添括号变形，如； 变形后确保公因式统一，再按照提公因式法的步骤分解，分解后验证恒等性。 【例题3】.（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】． 【分析】先对原式变形得到公因式，再提取公因式化简整理即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）将化为，然后利用提公因式法因式分解即可； （2）将化为，然后利用提公因式法因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河南濮阳·月考）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，合并同类项，解题的关键是掌握提公因式法． （1）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； （2）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； （3）先提取公因式，然后合并同类项，再提取公因式即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式题3-3】.（25-26八年级上·天津宝坻·月考）分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）直接提出公因式即可； （2）原式先变形为，然后提出公因式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【题型4】提公因式法的简便计算应用 1.核心知识点 提公因式法；乘法分配律逆用；有理数的混合运算。 2.解题方法技巧 观察算式结构，找出各项的“公因数”（数字、字母或多项式），提取后简化运算； 对于指数型算式，提取最低次幂作为公因式，如； 分数型算式可分别对分子、分母提取公因式，再约分化简，如。 【例题4】.（25-26八年级上·福建福州·期末）计算的结果是_______． 【答案】2026 【分析】先提取公因数2026，再利用乘法分配律简化计算． 本题主要考查利用因式分解进行简便运算,熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：2026． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·山东德州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的混合运算，利用负数的奇偶次幂的性质化简表达式，再提取公因式计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·全国·期末）利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了提公因式法进行分解因式，整理原式为，即可求解． 提取公因式2025进行因式分解，简化计算即可． 【详解】解：， 故选：C 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用提公因式进行因式分解，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）先利用提公因式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可； （2）先利用提公因式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【题型5】提公因式法求代数式的值（整体代入） 1.核心知识点 提公因式法；整体代入思想；代数式的恒等变形。 2.解题方法技巧 先对待求代数式提取公因式，将其转化为“已知条件的代数式×另一个因式”的形式； 若已知条件为代数式的和/差/积，直接整体代入计算，无需求解单个字母的值； 如已知，求，先分解为，再代入。 【例题5】.（25-26八年级下·四川成都·开学考试）已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了用整体代入法求代数式的值、提公因式法分解因式，先对所求代数式用提取公因式法因式分解，再将已知条件整体代入计算即可. 【详解】解： ，， 可得：原式． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）若，，则_________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了代数式求值以及提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 先对所求代数式利用提公因式法进行因式分解，将其转化为含已知条件与的形式，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：， 当，时，原式， 故答案为：20． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知，则___________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了因式分解，代数求值，解题的关键是掌握因式分解的法则． 将所求代数式因式分解后，利用已知条件代入计算． 【详解】解：， 故答案为：10． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若实数，满足，，则的值是__________． 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； 将题干给出的式子进行变形，将的值代入即可求得的值． 【详解】解：， ． 又， ． 故答案为：2． 【压轴素养题型】 【题型6】提公因式法的规律探究题 1.核心知识点 提公因式法；规律探究；数学归纳法；整体思想。 2.解题方法技巧 观察已知的因式分解过程，找出提取次数与结果指数的规律（如提取次，结果为）； 利用归纳法推导一般形式，对反复提取公因式； 结合规律解决高次、多项的因式分解问题，如分解。 【例题6】.（25-26八年级上·四川凉山·期末）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是 ； (2)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ； (3)分解因式：． 【答案】(1)提公因式法 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）通过观察每一步提取公因式的操作，判断使用的方法即可； （2）列举第一次、第二次的提取公因式结果，根据规律写出第n次提取公因式的结果即可； （3）先提取公因式，再根据（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）解： ， ∴需应用提公因式法n次； （3）解： ． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列因式分解的结果： ①；②；③；……； 按照此规律，（n为大于1的整数）因式分解的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，整式的变化规律； 观察已知等式可知：因式分解的结果第一个因式为，第二个因式中x的次数从依次递减到0． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【变式题6-2】.（24-25九年级下·安徽六安·月考）观察下列等式，解答下列问题： ①；②；③；④… (1)第⑤个等式为_____； (2)猜想第个等式为_____（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字变化规律、因式分解的应用，利用代数式正确表示规律是解题的关键． （1）观察前4个等式的规律，即可写出第⑤个等式； （2）观察前4个等式的规律，猜想得到第个等式为，再利用提公因式法分解因式即可证明． 【详解】（1）解：由题意得，第⑤个等式为． 故答案为：． （2）解：猜想第个等式为，证明如下： ． 故答案为：． 【变式题6-3】.（23-24八年级上·山东泰安·月考）阅读下列因式分解过程，再回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是 ，共应用了 次； (2)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ． (3)观察规律直接写出结果：（n为正整数）． 【答案】(1)提公因式法；两 (2)2017； (3) 【分析】本题考查了提公因式分解因式，要连续多次用到提公因式的方法，找到规律是解题的关键． （1）由解答过程即可完成解答； （2）通过例子找到规律即可作出解答； （3）连续多次提公因式即可． 【详解】（1）解：由例子解答过程知，运用了提公因式的方法分解因式，共应用了两次； 故答案为：提公因式；两； （2）解：观察解答过程知，中的最高次数为2次，则进行了两次提公因式方法，一般地，的最高次数为n次，则进行了n次提公因式；分解，则需应用提公因式方法2017次； ； 故答案为：2017；； （3）解： ． 易错点 确定公因式时，漏取系数的最大公因数或取相同字母的最高次幂，如将的公因式误定为； 提取公因式后，漏项补0而非补1，如将错误分解为，正确应为； 首项为负时，提取负号后括号内项未全部变号，如将错误分解为，正确应为； 对相反多项式因式，未做符号变形直接分解，如无法识别与的公因式，导致分解失败； 因式分解不彻底，未进行多次提公因式，如将分解为后，未检查是否可继续分解； 6.应用整体代入时，未对待求式先分解，直接代入单个字母，增加计算难度甚至无法求解。 重点 1.掌握公因式的确定方法，能准确确定单项式型和多项式型公因式，熟练运用符号变形技巧统一相反因式； 2.熟记提公因式法的步骤和理论依据，能对单项式公因式、多项式公因式的多项式进行直接分解； 3.掌握变形后提公因式的常见类型，能通过符号、整体、恒等变形构造公因式并完成分解； 4.会用提公因式法进行简便计算和代数式求值，熟练运用整体代入思想解决求值问题； 5.理解因式分解的彻底性要求，确保分解后的每个因式都不能再提取公因式。 难点 1.多项式型公因式的提取，尤其是含相反因式、多项式幂次的情况，需熟练运用整体思想和符号变形； 2.多次提公因式法的应用，能观察到第一次分解后括号内的多项式仍有公因式，并完成彻底分解； 3.提公因式法与整体思想的结合，能将多项式整体看作一个因式，解决复杂的因式分解和求值问题； 4.规律探究型因式分解问题，能通过观察已知过程，归纳出一般规律，并应用规律解决高次、多项分解； 5.提公因式法的综合应用，如与分组分解、三角形形状判定、跨学科情境的结合，能将实际问题转化为多项式分解问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．多项式因式分解的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用提公因式法进行因式分解，关键是将多项式中互为相反数的因式转化为相同的形式，从而提取公因式；多项式变形后提取公因式即可． 【详解】解：对多项式因式分解， 原式=； 故选：B． 2．用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键． 先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】∵多项式中，系数3和9的最大公因数是3，字母部分和的最低次幂是x． ∴该多项式的公因式为． 故选：C 3．已知多项式在有理数范围可以分解因式，则k可取的单项式为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分解因式，令分别取四个选项中的单项式，再看多项式能否在有理数的范围内分解因式即可得到答案． 【详解】解：当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故A不符合题意； 当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故B不符合题意； 当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故C不符合题意； 当时，，能在有理数范围分解因式，故D符合题意； 故选：D． 二、填空题 4．因式分解：____． 【答案】 【详解】解：. 5．把多项式提取公因式后，另一个因式为_____． 【答案】 【分析】先将多项式中的变形为，使两项都含有公因式，再提取公因式，即可得到另一个因式． 【详解】解： 提取公因式后，另一个因式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过符号变形统一公因式，再完成提取，从而确定另一个因式． 6．已知，，则的值为_____． 【答案】 【分析】先提取公因式 ，再化简代数式，最后代入已知条件求值． 【详解】解：原式 = = = 代入 ，，得 ， 故答案为： -60． 【点睛】本题的核心是整体代换思想：当已知 和 的值时，无需单独求解、，只需将代数式因式分解为含 和 的形式，即可快速求值． 三、解答题 7．用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法是解决本题的关键． （1）根据提公因式法求解即可； （2）根据提公因式法求解即可； （3）根据提公因式法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．先因式分解，再求值． (1)，其中，． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）提取公因式，将多项式因式分解后，代入和的值计算； （2）先将变形为，再提取公因式，因式分解后代入的值计算． 【详解】（1）解： 代入，： ． （2）解： 代入： ． 【点睛】本题考查了因式分解的提取公因式法及代数式求值，解题关键是通过提取公因式简化代数式，再代入已知值计算，避免复杂的直接运算． 9．长方形的长为，宽为，在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积（用含的代数式表示，并因式分解）． 【答案】 【分析】本题考查因式分解：用长方形面积减去正方形面积，利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：长方形面积：， 挖去的正方形面积：， 剩余面积： ． 10．已知实数，满足是17的算术平方根，是的立方根． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，完全平方公式，因式分解，正确计算是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出，根据立方根的定义求出，然后将要求的式子变形为，代入计算即可； （2）根据求出的值，然后将要求的式子变形为，代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，， ， ， ． （2）由题意可知：，， 由（1）知，， ． ． 当时， 原式． 当时， 原式． 即原式的值为. 11．阅读材料：若 则 利用整体代入的方法可对类似代数式进行求值． 例如：． 请你根据材料，解决下列问题： 已知，求代数式 的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解以及代数式求值，仿照例题将，整体代入代数式求值，即可． 【详解】解： +1 12．我们在课堂上曾利用数形结合思想探索了整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的正方体进行以下探索： (1)在其一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为_____； (2)将图1中的几何体分割成三个长方体①，②，③，如图2所示。因为，，，所以长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为___，长方体③的体积为_____．（结果不用化简） (3)用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为______． (4)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查的是完全平方公式的变形，提公因式分解因式，代数恒等式的几何意义，掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式，以及应用得到的恒等式解决问题是解题的关键． （1）由大的正方体的体积为截去的小正方体的体积为从而可得答案； （2）由，，，利用长方体的体积公式直接可得答案； （3）由（1）（2）的结论结合等体积的方法可得答案； （4）利用先求解再利用，再整体代入求值即可得到答案． 【详解】（1）解：由大的正方体的体积为，截去的小正方体的体积为， 所以截去后得到的几何体的体积为： 故答案为： （2）∵，， 由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为， ∵，，所以长方体③的体积为 故答案为：， （3）由题意得： 由（1）（2）的结论，可以得到的等式为： 故答案为： （4）∵，， ∴ ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.2 提公因式法 知识点1：公因式的定义与确定方法 1.公因式定义：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。 2.公因式的确定三步法 ①定系数：取各项系数的最大公因数（若多项式首项为负，公因式通常取负，使括号内首项为正）； ②定字母：取各项中都含有的相同字母； ③定指数：取相同字母的最低次幂。 3.多项式型公因式确定：把多项式整体看成一个字母（整体思想），如与可通过变形转化为相同因式，其中、。 知识点2：提公因式法因式分解 1.提公因式法定义：如果一个多项式的各项含有公因式，就把这个公因式提取出来，将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 2.理论依据：乘法分配律的逆用，即。 3.提公因式法的基本步骤 ①找：找出多项式各项的公因式； ②提：将公因式提取出来，把多项式写成“公因式×另一个因式”的形式； ③验：用乘法分配律验证，确保分解后括号内的多项式不能再提取公因式，且项数与原多项式一致。 4.符号变形技巧：提取负号时，括号内的每一项都要变号；若某一项与公因式完全相同，提取后该项保留1（而非0），如。 知识点3：变形后提公因式的常见类型 变形类型 变形公式 举例 符号变形 指数变形 整体变形 将多项式整体看作公因式 恒等变形 通过添/去括号构造公因式 【基础必考题型】 【题型1】确定单项式型公因式 1.核心知识点 公因式的定义；单项式型公因式的三步确定法（系数、字母、指数）。 2.解题方法技巧 严格遵循“系数取最大公因数、字母取相同、指数取最低”的原则，分步确定； 若多项式首项为负，公因式系数取负，保证后续分解后括号内首项为正； 无相同字母时，公因式为各项系数的最大公因数（如的公因式为3）。 【例题1】.（25-26八年级上·湖北随州·期末）与的公因式为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）多项式中，各项的公因式是___________． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·湖南常德·期末）把多项式分解因式时，应提取的公因式是_________． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列多项式中，各项的公因式为的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】直接提公因式法分解因式 1.核心知识点 提公因式法的定义与步骤；乘法分配律的逆用。 2.解题方法技巧 先确定公因式，再用原多项式的每一项除以公因式，得到括号内的另一个因式； 注意提取公因式后，括号内的项数与原多项式一致，缺项补1（如）； 首项为负时，先提取负号，再提取公因式，如。 【例题2】.（25-26九年级下·福建厦门·月考）因式分解____． 【变式题2-1】.（2026·河南周口·二模）因式分解：______． 【变式题2-2】.（24-25八年级上·重庆长寿·月考）因式分解： (1)； (2)． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【培优高频题型】 【题型3】变形后提公因式法分解因式 1.核心知识点 提公因式法的灵活应用；符号、整体、恒等变形技巧；因式分解的恒等性。 2.解题方法技巧 观察多项式结构，若出现相反因式（如与），先做符号变形再提取； 若出现“加减混合”可构造公因式的形式，先添括号变形，如； 变形后确保公因式统一，再按照提公因式法的步骤分解，分解后验证恒等性。 【例题3】.（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)． (2)． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河南濮阳·月考）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． (3)． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·天津宝坻·月考）分解因式： (1)； (2) 【题型4】提公因式法的简便计算应用 1.核心知识点 提公因式法；乘法分配律逆用；有理数的混合运算。 2.解题方法技巧 观察算式结构，找出各项的“公因数”（数字、字母或多项式），提取后简化运算； 对于指数型算式，提取最低次幂作为公因式，如； 分数型算式可分别对分子、分母提取公因式，再约分化简，如。 【例题4】.（25-26八年级上·福建福州·期末）计算的结果是_______． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·山东德州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·全国·期末）利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．2025 D．2026 【变式题4-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【题型5】提公因式法求代数式的值（整体代入） 1.核心知识点 提公因式法；整体代入思想；代数式的恒等变形。 2.解题方法技巧 先对待求代数式提取公因式，将其转化为“已知条件的代数式×另一个因式”的形式； 若已知条件为代数式的和/差/积，直接整体代入计算，无需求解单个字母的值； 如已知，求，先分解为，再代入。 【例题5】.（25-26八年级下·四川成都·开学考试）已知，，则的值为___________． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）若，，则_________． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知，则___________． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）若实数，满足，，则的值是__________． 【压轴素养题型】 【题型6】提公因式法的规律探究题 1.核心知识点 提公因式法；规律探究；数学归纳法；整体思想。 2.解题方法技巧 观察已知的因式分解过程，找出提取次数与结果指数的规律（如提取次，结果为）； 利用归纳法推导一般形式，对反复提取公因式； 结合规律解决高次、多项的因式分解问题，如分解。 【例题6】.（25-26八年级上·四川凉山·期末）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是 ； (2)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ； (3)分解因式：． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列因式分解的结果： ①；②；③；……； 按照此规律，（n为大于1的整数）因式分解的结果为__________． 【变式题6-2】.（24-25九年级下·安徽六安·月考）观察下列等式，解答下列问题： ①；②；③；④… (1)第⑤个等式为_____； (2)猜想第个等式为_____（用含的式子表示），并证明． 【变式题6-3】.（23-24八年级上·山东泰安·月考）阅读下列因式分解过程，再回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是 ，共应用了 次； (2)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ． (3)观察规律直接写出结果：（n为正整数）． 易错点 确定公因式时，漏取系数的最大公因数或取相同字母的最高次幂，如将的公因式误定为； 提取公因式后，漏项补0而非补1，如将错误分解为，正确应为； 首项为负时，提取负号后括号内项未全部变号，如将错误分解为，正确应为； 对相反多项式因式，未做符号变形直接分解，如无法识别与的公因式，导致分解失败； 因式分解不彻底，未进行多次提公因式，如将分解为后，未检查是否可继续分解； 6.应用整体代入时，未对待求式先分解，直接代入单个字母，增加计算难度甚至无法求解。 重点 1.掌握公因式的确定方法，能准确确定单项式型和多项式型公因式，熟练运用符号变形技巧统一相反因式； 2.熟记提公因式法的步骤和理论依据，能对单项式公因式、多项式公因式的多项式进行直接分解； 3.掌握变形后提公因式的常见类型，能通过符号、整体、恒等变形构造公因式并完成分解； 4.会用提公因式法进行简便计算和代数式求值，熟练运用整体代入思想解决求值问题； 5.理解因式分解的彻底性要求，确保分解后的每个因式都不能再提取公因式。 难点 1.多项式型公因式的提取，尤其是含相反因式、多项式幂次的情况，需熟练运用整体思想和符号变形； 2.多次提公因式法的应用，能观察到第一次分解后括号内的多项式仍有公因式，并完成彻底分解； 3.提公因式法与整体思想的结合，能将多项式整体看作一个因式，解决复杂的因式分解和求值问题； 4.规律探究型因式分解问题，能通过观察已知过程，归纳出一般规律，并应用规律解决高次、多项分解； 5.提公因式法的综合应用，如与分组分解、三角形形状判定、跨学科情境的结合，能将实际问题转化为多项式分解问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．多项式因式分解的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 2．用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（    ） A．3 B． C． D． 3．已知多项式在有理数范围可以分解因式，则k可取的单项式为（   ） A．9 B． C． D． 二、填空题 4．因式分解：____． 5．把多项式提取公因式后，另一个因式为_____． 6．已知，，则的值为_____． 三、解答题 7．用提公因式法将下列各式分解因式． (1)； (2)； (3)． 8．先因式分解，再求值． (1)，其中，． (2)，其中． 9．长方形的长为，宽为，在长方形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积（用含的代数式表示，并因式分解）． 10．已知实数，满足是17的算术平方根，是的立方根． (1)求的值； (2)求的值． 11．阅读材料：若 则 利用整体代入的方法可对类似代数式进行求值． 例如：． 请你根据材料，解决下列问题： 已知，求代数式 的值． 12．我们在课堂上曾利用数形结合思想探索了整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的正方体进行以下探索： (1)在其一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为_____； (2)将图1中的几何体分割成三个长方体①，②，③，如图2所示。因为，，，所以长方体①的体积为．类似地，长方体②的体积为___，长方体③的体积为_____．（结果不用化简） (3)用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为______． (4)已知，，求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $