（复习篇）专题02 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定【思维导图+知识卡片+知识回顾+十四大题型讲练+实战演练 共48题】-2026年苏科版数学八升九年级暑假衔接培优讲义

null2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『复习篇』 专题02 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定 「暑假衔接复习培优讲义」 【苏科版数学新教材•八年级下册（第8章）】 （思维导图+知识回顾+十四大题型讲练+实战演练 共48题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期复习苏科版新教材八年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，高频考点优选题讲练，真题题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等； （2） 平行四边形的对角相等 （3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 4、 反证法：反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 知识点二 矩形、菱形、正方形 1、 矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.判定矩形条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3、 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4、 菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、 正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 知识点三 三角形的中位线 1、 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段； 三角形中位线平行且等于第三边的一半。 2、 三角形的中位线与中线的区别 （1） 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2） 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 知识点四 梯形的性质与判定 1.等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 2.等腰梯形判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 3.三角形、梯形的中位线 1、联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 2、联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 考点一 利用平行四边形的判定与性质求解 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，两条宽度为2和6的纸条交叉放置，重叠部分是四边形，若，则四边形的面积是（     ） A．81 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意判定四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式，用面积表示出和，结合已知条件建立方程求解即可 【详解】解：∵ 纸条的对边平行， ∴ ， ∴ 四边形是平行四边形， 设平行四边形的面积为， 边上的高为，边上的高为， 由题意可知，的值分别为2和6， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【变式训练】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，过的对角线上一点M分别作平行四边形两边的平行线与，若图中的的面积 的面积，则 ______． 【答案】300 【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形、，证 ，得出和的面积相等；同理得出和的面积相等，和的面积相等，相减即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，，， 四边形、是平行四边形， 在和中， ， ， 即和的面积相等； 同理和的面积相等，和的面积相等， 故四边形和四边形的面积相等，即． ， ， 考点二 平行四边形性质和判定的应用 【典例精讲】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，、两点分别在边、上，且，，则的值为__________． 【答案】 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，结合平行四边形的性质、勾股定理、面积法解题即可． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点， 则有四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∵， ∴； 由勾股定理可知，， ∴； ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴ ． 【变式训练】（2025·江苏淮安·二模）几何作图 (1)如图1，图2，在中，点D是边上一点，请用无刻度直尺和圆规，在边求作一点E，使；试利用图1，图2用两种不同的作法作出点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图3，在正方形网格中，A、B、C均为网格线的交点，D为与一条水平网格线的交点，仅用无刻度的直尺在上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)方法一：点E即为所求作点； 方法二：点E即为所求作点； (2)点E即为所求作点； 【分析】本题考查的是平行线的判定、作一个角等于已知角及平行四边形的判定与性质； （1）方法一：作，与的交点即为所求作点；方法二：以为圆心为半径作弧，再以为圆心为半径作弧，两弧交于点F，连接，与的交点为点E，根据题意得出四边形是平行四边形，则，故点E即为所求作点； （2）取格点M，连接与格线交于点N，连接交于点E，则四边形是平行四边形，则，故点E即为所求作点； 【详解】（1）解：理由如下：， 四边形是平行四边形， ； 考点三 矩形与折叠问题 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图所示，将矩形沿直线折叠，使点落在处，与相交于点，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)10 【分析】（1）由折叠得，由得，从而，即可证明是等腰三角形； （2）设，则，，在中，用勾股定理列方程求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 由折叠可知，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，， ∴， 所以． 【变式训练】（25-26八年级下·贵州黔南·期中）如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点与原点重合，顶点，分别在轴、轴上，，，为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度为______； (2)如图2，当点与点重合时，沿将折叠得，与轴交于点，求的面积． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，折叠的性质得到，再利用线段的和差关系进行求解即可； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解，再利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质得， ； （2）解：四边形是矩形， ， ， 由折叠得：， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：； ， . 考点四 正方形折叠问题 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，正方形纸片的边上有一点，．若把纸片沿的中垂线折叠，使点与点重合，则纸片的折痕长为________． 【答案】 【分析】设点是折痕与的交点，点是折痕与的交点，过点作交于点，根据正方形的性质，中垂线的性质，等量代换，求出，根据全等三角形的判定和性质，证明得到，推出，即可． 【详解】解：设点是折痕与的交点，点是折痕与的交点，过点作交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵是的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式训练】（2026·海南三亚·模拟预测）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则___________，___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，证得是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长；通过角度计算证明是等腰三角形，得出，再求出正方形对角线的一半作为的高，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， 四边形是正方形 ，， 是等腰直角三角形 在中， 解得 四边形是正方形 又 设与交于点，则 ， 在 中， 考点五 根据正方形的性质与判定证明 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，平行四边形中，点是对角线的中点，点为上一点，连接，且，点为中点，，连接，延长交于点，，，，则________ 【答案】 【分析】连接，作于交的延长线于，先由三线合一、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形性质及矩形的判定与性质得到相关角及线段的相等关系，再由三角形全等的判定与性质得到，，进而通过正方形的判定与性质得到，数形结合得到，从而有，然后证得，得出，代入计算即可． 【详解】解：连接，作于交的延长线于，如图所示： 在中，，点为中点，则由三线合一可知， 在中，，则， ， 在平行四边形中，， ， ，即， ， 四边形是矩形，则， ， ， 在和中， ， ，， 矩形是正方形， 在正方形中，对角线平分对角和，， ， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理可得， ， ，即， ， 在平行四边形中，点是对角线的中点，，则，， 在和中， ， ， ， ． 【变式训练】（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． (1)判断与的位置关系并证明； (2)连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)， 证明：∵四边形正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)①； ②， 证明：取的中点T，连接，过点O作，如图所示： 根据题意得：， ∵的中点为T，的中点为O， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）通过证明，得出，再由各角之间的关系即可求解； （2）①根据题意补全图形即可； ②取的中点，连接，过点作，根据全等三角形的判定和性质得出，再由正方形的判定和性质得出四边形为正方形，确定，再由勾股定理确定，然后结合图形求解即可． 考点六 根据正方形的性质与判定求角度 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段检测）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或甲形的“接近度” (1)设菱形相邻两个内角的度数分别为，，若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②当菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； (2)若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②在这种情况下，菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； (3)甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”． ①甲：设矩形相邻两条边长分别为， ，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ ②乙：设矩形相邻两条边长分别为， ，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ 【答案】(1)①  ② (2)①  ② (3)①×  ②× 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，正确理解“接近度”的意思是解决问题的关键． （1）①②根据菱形的“接近度”定义，越小，菱形就越接近正方形，解答即可； （2）①②根据菱形的“接近度”定义为，解答即可； （3）①不合理，举例进行说明； ②根据矩形的“接近度”定义为，只有矩形的越接近，矩形才越接近正方形，进行说明． 【详解】（1）解：①∵内角为， ∴与它相邻内角的度数为， ∴菱形的“接近度”：， 故答案为：； ②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形， 故答案为：； （2）解：若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①当菱形的一个内角为时，“接近度”； 故答案为：； ②当菱形的“接近度”时，菱形就是正方形， 故答案为：； （3）解：①×， 例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等. 故答案为：×； ②×， 理由如下： 越接近，矩形越接近于正方形； ∴当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形， 故答案为：×. 【变式训练】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在正方形中，为上一点，过作于，延长至点与交于，连接，若． (1)如图1，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，延长、交于点，连接、，若为中点，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，推出，由三角形的外角性质可得，结合，即可求解； （2）过点作于点，结合，可得，证明，得到，，再根据线段的和差即可求解； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，得到，结合，可推出，由推出，进而得到，可推出，结合可得，设，，则，证明得到，，在中，根据勾股定理求出，得到，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，    ， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点， ， ， ，   ， ， ， ， ，   四边形为正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，   ， ， ， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， 设，   为的中点， ， ，    ， ，   ， ， ， ，    ， 在和中， ， ， ，， ，    ，， ，    ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ，， 在中，， ． 考点七 根据正方形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在矩形纸片中，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿，折叠，点落在处，点落在处，点，，恰好在同一直线上，若，，，则________． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得，，可证，可得，，通过证明四边形是正方形，可得，在中，利用勾股定理可求，由等面积法可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作，交于，交于，连接， 将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处， ，，，， 在和中， ， ，， ，， 四边形是矩形， 又，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ∴由三角形的面积可得： ， ∴， ． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在矩形中，，，且，，则的长为（     ） A．5 B．5.5 C．6 D． 【答案】C 【分析】构造正方形，作交于点，连接，证明，求得，，证明，则，设，则，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解；∵矩形，， ∴四边形和都是矩形， ∴，， 如图，延长到点，使，延长到点，使，则， ∵，矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 作交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理得，即， 整理得， 解得，（舍去）， 则的长为6． 考点八 根据正方形的性质与判定求面积 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形，且点均在格点上． (1)在图①中，四边形面积为4； (2)在图②中，四边形面积为6． (3)在图③中，四边形面积为5． 【答案】(1)如图，四边形即为所求： (2)如图②，四边形即为所求： (3)如图③，四边形即为所求： 【分析】（1）根据轴对称的性质和网格特点作图即可，； （2）根据轴对称的性质和网格特点作图即可，； （3）结合网格特点可得四边形是正方形，四边形是轴对称图形，． 【变式训练】（25-26八年级下·广东江门·期中）如图是的方格，每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)请在方格中作一个格点正方形（顶点在格点上），使得正方形的面积为8个平方单位； (2)请在图上建立合适的平面直角坐标系，并写出点F的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）正方形的面积为8，则正方形的边长为，据此根据网格的特点作图即可； （2）以、所在的直线分别为x轴，y轴，二者的交点为原点，建立平面直角坐标系，再写出点F的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：建立如下平面直角坐标系，则即为所求． 考点九 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【典例精讲】（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】6 【分析】设与相交于点．先证明四边形是平行四边形．利用平行四边形的性质可得，即，然后结合菱形的面积为对角线积的一半求解即可． 【详解】解：设与相交于点． ∵四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． ． ． 【变式训练】（23-24七年级上·黑龙江大庆·开学考试）下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】运用平行四边形的面积，三角形的面积公式，先计算出每个阴影部分的面积，比较大小即可． 【详解】解：设平行四边形的面积为S， A选项中阴影部分面积小于，B、C、D三个选项中阴影部分的面积都等于， ∴阴影部分面积与其他三幅不相等的是A选项． 故选：A． 考点十 (特殊)平行四边形的动点问题 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，矩形纸片的每一条边长都是，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，_____； (2)求与的函数关系式； (3)当时，求的值； (4)将四边形纸片沿剪开，当剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)16 (2) (3)或18 (4)的值为4，8，12 【分析】（1）由，可得，然后由，求得答案； （2）分三种情况：当时，当时，当时，根据三角形面积公式，求出函数解析式即可； （3）由已知得只有当点P在边或边上运动时，，然后分别求解即可求得答案； （4）分三种情况：当点P运动到的中点处时，当点P运动到的中点处时，当点P运动到点处时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：当时，点P在上，； 当时，点P在上，； 当时，点P在上，； 综上，与的函数关系式为：； （3）解： 根据解析（2）可得：只有当点P在边或边上运动时，， 当点P在边上运动时，把代入得：， 解得：； 当点P在边上运动时，把代入得： ， 解得：； 综上所述，当时，或18； （4）解：当点P运动到的中点处时，延长，交于点Q，如图所示： ∵矩形中，， ∴， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴此时将放在的位置，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形， 即当时，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形； 当点P运动到的中点处时，延长，交于点Q，如图所示： ∵矩形中，， ∴， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴此时将放在的位置，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形， 即当时，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形； 当点P在点处时，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，， ∴将的顶点P与的顶点D重合， 将的顶点C与的顶点A重合，如图所示： ∵， ∴、、B在同一直线上， ∴此时剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形， 即当时，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形； 综上，将四边形纸片沿剪开，当剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形时，的值为4，8，12． 【变式训练】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过_______，使四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据四边形是矩形时，，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设运动时间为秒，则，， ∴， 当四边形是矩形时，， 即， 解得：． 考点十一 四边形中的线段最值问题 【典例精讲】（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，正方形的边长是a，点E是对角线上一动点（不与点B、D重合），于点F，于点G，连接，则下列结论：①四边形是矩形；②四边形的周长是2a；③；④的最小值是．其中，正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，故①正确；由等腰直角三角形的判定可得，，可求四边形的周长是，故②正确；分别求出，，则不一定等于，故③错误；由矩形的性质可得，当时，有最小值，可求的最小值是，故④正确，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ，，， 四边形是矩形， 故①正确； ，， ，， ，， 四边形的周长， 故②正确； ，， 当时，， 不一定等于， 故③错误； 四边形是矩形，如图，连接， ， 当取最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 此时， 的最小值是， 故④正确， 综上所述，正确的结论是①②④，共3个． 【变式训练】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，是线段的中点，过点作，，垂足分别为，，连接，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，，利用矩形的性质及勾股定理可得，根据矩形的判定可得四边形是矩形，进而得到，当点B、P、D三点共线时，最小，进而可求解． 【详解】解：连接，，如图所示： 四边形是矩形， ∴， ， ，P是线段的中点， ， ∵，， ， ∵， 四边形是矩形， ， 当点B、P、D三点共线时，最小， 此时， 的最小值为：． 考点十二 与三角形中位线有关的求解问题 【典例精讲】（25-26八年级下·广东东莞·阶段检测）如图，在中，，点分别为的中点，则（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：∵点分别为的中点， ∴． 【变式训练】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，那么的周长是________． 【答案】10 【分析】由平行四边形性质可得，，，即是中点，从而可得是中位线，所以，求得，然后求周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴是中点， ∵点是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴的周长是． 考点十三 等腰梯形的性质定理 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）等腰梯形两底之差为12，高为，则等腰梯形的腰长是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图形，然后过点A作，过点D作，确定四边形为矩形，再由全等三角形的判定和性质得出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示：过点A作，过点D作， ∵等腰梯形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵等腰梯形两底之差为12，高为， ∴， ∴， ∴腰长为：． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏常州·期中）在等腰梯形中，，若，则_____． 【答案】 【分析】先根据平行线性质得到与互补，求出的度数，再根据等腰梯形同一底上的两个角相等得到的度数． 【详解】解： 四边形是等腰梯形，， ，， ， ， ． 考点十四 等腰梯形的判定定理 【典例精讲】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，证，推出即可． （2）根据等腰梯形性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：， 理由是：连接, ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】（2024·湖北·模拟预测）如图，在梯形中，，，，、分别在、的延长线上，且，交于点． (1)证明 (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、梯形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是解题的关键． （）先根据梯形的性质得出边和角的关系，再结合已知条件找到全等的条件（）证明． （）求的度数，可利用（）中全等三角形的性质，将角进行转化，再结合梯形中角的关系求解． 【详解】（1）证明：∵在梯形中，，， ∴ ∵在和中，， ， ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 1．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先得到四边形，四边形为平行四边形，然后求出，，，最后由求解． 【详解】解：∵平行四边形 ∴ ∵，， ∴ ∴四边形，四边形为平行四边形， 由条件可知， ∵，， ∴，， ∴． 2．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如果一个平行四边形要成为一个正方形，需要增加的条件是（   ）． A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相垂直且相等 D．对角线相等 【答案】C 【分析】结合平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断，正方形是同时满足矩形和菱形性质的平行四边形． 【详解】解：选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形，故选项不符合题意； 选项：∵平行四边形对角相等，若对角互补，则每个内角为，此时平行四边形是矩形，不一定是正方形，故选项不符合题意； 选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形， ∴对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项符合题意； 选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故选项不符合题意． 3．（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列给出的条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题根据平行四边形的判定定理，逐一分析各选项，找出无法判定四边形是平行四边形的选项即可． 【详解】解：选项：，，满足该条件的四边形可以是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 选项：，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 选项：，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 选项：， ， 又， ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 4．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，的对角线交于点，且，的周长为，则的两条对角线的和是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形对边相等的性质，可求的长度，再根据的周长为，得到，则的两条对角线的和可求. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴. 5．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）小杭在复习几种特殊平行四边形关系时整理了如下的思维导图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（     ） A．（1）两边相互垂直 B．（2）有两条边相等 C．（3）对角线平分内角 D．（4）有三个角相等 【答案】B 【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：A、两边相互垂直可得一个内角为直角，有一个角是直角的平行四边形是矩形， （1）处填两边相互垂直的平行四边形是矩形是正确的，故该选项不符合题意； B、一组邻边相等的矩形是正方形， （2）处填有两条边相等的矩形是正方形是错误的，故该选项符合题意； C、如图， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （3）处填对角线平分内角的平行四边形是菱形是正确的，故该选项不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形， ∴（4）处填三个角相等的菱形是正方形是正确的，故该选项不符合题意． 6．（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则为________． 【答案】2 【分析】根据平行四边形的性质得出及，利用平行线的性质得出内错角相等，结合角平分线的定义得出，从而证得，最后利用线段的和差关系求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得是的中点，结合是的中点，可判定为的中位线，利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵是的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． 8．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图所示，矩形纸片中，，，现将其沿折叠，使得点与点重合，则长为________． 【答案】 【分析】设，根据折叠的性质可得，，则，在中，由勾股定理列方程求解． 【详解】解：设， 根据折叠的性质可得，， ∴， ∵矩形纸片中，， ∴在中，， ∴， 解得， 即长为． 9．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，点是对角线上的一点，，过点，，，则与相等吗？答：________（填“相等”或“不等”）． 【答案】相等 【分析】由四边形是平行四边形，可得，又，，故四边形，四边形是平行四边形，即得，，从而． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴四边形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 10．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，矩形中，E是边上一点，将沿翻折，得到，延长交线段的延长线于点G，交线段于点O，若，，，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】由矩形的性质得到，由平行线的性质可得，再证明，得到；证明，得到，则可证明，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 11．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，四边形是平行四边形，，分别是边，的中点，若的面积为，则________． 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质及三角形中线的性质求解即可. 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形，，分别是边，的中点，的面积为， ∴，， ∴，， ∴. 12．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在四边形中，，连接对角线，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为__________． 【答案】5 【分析】取的中点M，连接，根据三角形中位线的判定与性质求出，推导出是的垂直平分线，得到，求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：取的中点M，连接，如图 ∵点为的中点，点为的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，中，，，，，，则平行四边形的面积 ________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得，， ，从而得到，再结合直角三角形的性质可得，，，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ， ∴． 14．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 【答案】(1)，20 (2) (3)存在，点的坐标为或 (4)或 【分析】（1）由平行四边形的性质可得点D的坐标，平行四边形的面积等于底乘高； （2）平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点，平分其面积的直线必经过对称中心； （3）先求出直线的解析式，分三种情况：为对角线时，为边且点N在x轴的负半轴时，为边且点N在x轴的正半轴时，根据对角线中点重合列方程组，即可求解； （4）先将一次函数解析式变形，求出其图像必经过的点，再分别求出其图像经过点D，B时k的值，结合图像即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，点在轴正半轴上，，， ，，， 点D的纵坐标与点A相同，横坐标为， 点的坐标是， 平行四边形的面积； （2）解： ，， 对角线，的交点坐标为，即， 设经过点且平分平行四边形面积的直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， 所求直线的解析式为； （3）解： ，点在轴正半轴上，， ，即， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设，， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，存在三种情况： 当为对角线时，如图： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的负半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的正半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即， 综上可得，存在，点的坐标为或； （4）解： ， 一次函数的图象一定经过点， 当 的图象经过点时， ， 解得； 当的图象经过点时， ， 解得； 结合上图，可得当或时，的图象与平行四边形的边有2个交点． 15．（24-25八年级下·吉林白山·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中，以为对角线画一个平行四边形； (2)在图②中，以为对角线画一个菱形（正方形除外）； (3)在图③中，以为边画一个矩形（正方形除外）． 【答案】(1)解：如图所示为所求（答案不唯一）： (2)解：如图所示为所求（答案不唯一）： (3)解：如图所示为所求： 【分析】（1）取格点，使得，连接即可； （2）取格点，连接，使得即可； （3）取格点，连接，利用网格的特征使得即可． 16．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，，即， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形； (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，结合题意可推出，得到四边形为平行四边形，根据，即可得证； （2）根据菱形的性质可得，，，根据题意推出是等边三角形，得到，，进而求出，根据矩形的性质得到，，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ． 17．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）如图，在中，，是的角平分线，点O为的中点，过点A作直线交并延长到点E，使，连接． (1)求证：． (2)求证：四边形是矩形； (3)当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， ∵， ， ． (2)证明：∵点O为AB的中点 ， 在和中， ， ， ，即． ∴四边形是平行四边形； ∵，是的角平分线， ， ∴， ∴是矩形． (3)当满足时，四边形是正方形． 理由如下： ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ， ∴， ， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）根据“等边对等角”得到，即可推出，根据平行线的判定即可证明； （2）先证明得到，结合得到，再根据“三线合一”得到，即可证明是矩形； （3）当时，，得到，即可得到四边形是正方形． 18．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，，过点作于． (1)求证四边形是菱形； (2)线段_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分结合勾股定理逆定理，得到，即可证明四边形为菱形； （2）利用等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴菱形的面积，即， ∴． 19．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 【答案】(1)证明：∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； (2)16 【分析】（1）由平行四边形性质，，再结合中点条件，利用“”即可证明． （2）根据题意得出为等腰三角形，由F是的中点，可得，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为等腰三角形， ∵点F是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得． 20．（25-26八年级下·浙江温州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上，点为线段上的一点．（仅用无刻度的直尺作图．） (1)在图中，画出一个以为边的正方形（保留作图痕迹）． (2)在（1）的基础上，在边上画点，使得平分正方形的面积（保留作图痕迹）． 【答案】(1)正方形如图所示； (2)如图，点即为所求； 【分析】（1）取格点、，连接、、，利用勾股定理可证四边相等，由勾股定理的逆定理可证明，则四边形即为所求； （2）连接、，交于点，作直线交于点，利用正方形性质可证明，结合正方形性质可得平分正方形的面积． 【详解】（1）解：连接，设小正方形的边长为， 由勾股定理可得，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∴菱形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，，， ∴（）， ∴， ∴， ∴， ∴平分正方形的面积． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『复习篇』 专题02 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定 「暑假衔接复习培优讲义」 【苏科版数学新教材•八年级下册（第8章）】 （思维导图+知识回顾+十四大题型讲练+实战演练 共48题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期复习苏科版新教材八年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，高频考点优选题讲练，真题题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 平行四边形 1、 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、 平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等； （2） 平行四边形的对角相等 （3）平行四边形的对角线互相平分。 3、 判定条件 （1） 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（概念） （2） 一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形 （3） 对角线互相平分的四边形叫做平行四边形 （4） 两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形 4、 反证法：反证法是一种间接证明的方法，不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾，说明假设是不成立的，因而命题的结论是成立的。 知识点二 矩形、菱形、正方形 1、 矩形的概念和性质 有一角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫做长方形。矩形是特殊的平时行不行，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有的性质：矩形的对角线相等，四个角都是直角。 2.判定矩形条件 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2） 三个角是直角的四边形是矩形 （3） 对角线相等的平行四边形是矩形 3、 平行线之间的距离及其性质 性质：两条平行线之间的距离处处相等 4、 菱形的概念与性质 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有一些特殊的性质：菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直。 5、判定菱形条件 （1） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（概念） （2） 四边相等的四边形是菱形 （3） 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 6、 正方形的概念、性质和判定条件 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有矩形和菱形的一切性质。 判定正方形条件： （1） 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（概念） （2） 有一组邻边相等的矩形是正方形 （3） 有一个角是直角的菱形是正方形 知识点三 三角形的中位线 1、 三角形中线的概念和性质 连接三角形两边重点的线段； 三角形中位线平行且等于第三边的一半。 2、 三角形的中位线与中线的区别 （1） 区别：三角形的中位线平分这个三角形的两条边，平行于第三边，且等于第三边的一半，但不经过这个三角形的任何顶点；而三角形的中线只平分这个三角形的一条边，不平行于这个三角形的任何边，但经过它所平分的边相对的顶点。 （2） 联系：三角形的一边上的中线与这边对应的中位线能够互相平分。 知识点四 梯形的性质与判定 1.等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 2.等腰梯形判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 3.三角形、梯形的中位线 1、联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 2、联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 考点一 利用平行四边形的判定与性质求解 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，两条宽度为2和6的纸条交叉放置，重叠部分是四边形，若，则四边形的面积是（     ） A．81 B．12 C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）如图，过的对角线上一点M分别作平行四边形两边的平行线与，若图中的的面积 的面积，则 ______． 考点二 平行四边形性质和判定的应用 【典例精讲】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，，，、两点分别在边、上，且，，则的值为__________． 【变式训练】（2025·江苏淮安·二模）几何作图 (1)如图1，图2，在中，点D是边上一点，请用无刻度直尺和圆规，在边求作一点E，使；试利用图1，图2用两种不同的作法作出点E；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图3，在正方形网格中，A、B、C均为网格线的交点，D为与一条水平网格线的交点，仅用无刻度的直尺在上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） 考点三 矩形与折叠问题 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图所示，将矩形沿直线折叠，使点落在处，与相交于点，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【变式训练】（25-26八年级下·贵州黔南·期中）如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点与原点重合，顶点，分别在轴、轴上，，，为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度为______； (2)如图2，当点与点重合时，沿将折叠得，与轴交于点，求的面积． 考点四 正方形折叠问题 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，正方形纸片的边上有一点，．若把纸片沿的中垂线折叠，使点与点重合，则纸片的折痕长为________． 【变式训练】（2026·海南三亚·模拟预测）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则___________，___________． 考点五 根据正方形的性质与判定证明 【典例精讲】（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，平行四边形中，点是对角线的中点，点为上一点，连接，且，点为中点，，连接，延长交于点，，，，则________ 【变式训练】（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在和上，，与交于点G． (1)判断与的位置关系并证明； (2)连接，取中点O，连接．过点C作，交的延长线于点H． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 考点六 根据正方形的性质与判定求角度 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段检测）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或甲形的“接近度” (1)设菱形相邻两个内角的度数分别为，，若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②当菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； (2)若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②在这种情况下，菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； (3)甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”． ①甲：设矩形相邻两条边长分别为， ，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ ②乙：设矩形相邻两条边长分别为， ，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ 【变式训练】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在正方形中，为上一点，过作于，延长至点与交于，连接，若． (1)如图1，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，延长、交于点，连接、，若为中点，，求的长． 考点七 根据正方形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在矩形纸片中，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿，折叠，点落在处，点落在处，点，，恰好在同一直线上，若，，，则________． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在矩形中，，，且，，则的长为（     ） A．5 B．5.5 C．6 D． 考点八 根据正方形的性质与判定求面积 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形，且点均在格点上． (1)在图①中，四边形面积为4； (2)在图②中，四边形面积为6． (3)在图③中，四边形面积为5． 【变式训练】（25-26八年级下·广东江门·期中）如图是的方格，每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)请在方格中作一个格点正方形（顶点在格点上），使得正方形的面积为8个平方单位； (2)请在图上建立合适的平面直角坐标系，并写出点F的坐标． 考点九 利用(特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 【典例精讲】（25-26八年级下·河北廊坊·期末）如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 【变式训练】（23-24七年级上·黑龙江大庆·开学考试）下图中，阴影部分面积与其他三幅不相等的是（    ） A．   B．   C．   D．   考点十 (特殊)平行四边形的动点问题 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，矩形纸片的每一条边长都是，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，_____； (2)求与的函数关系式； (3)当时，求的值； (4)将四边形纸片沿剪开，当剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形时，直接写出的值． 【变式训练】（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过_______，使四边形是矩形． 考点十一 四边形中的线段最值问题 【典例精讲】（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，正方形的边长是a，点E是对角线上一动点（不与点B、D重合），于点F，于点G，连接，则下列结论：①四边形是矩形；②四边形的周长是2a；③；④的最小值是．其中，正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，是线段的中点，过点作，，垂足分别为，，连接，则的最小值为_____________． 考点十二 与三角形中位线有关的求解问题 【典例精讲】（25-26八年级下·广东东莞·阶段检测）如图，在中，，点分别为的中点，则（     ） A． B． C．4 D．2 【变式训练】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，那么的周长是________． 考点十三 等腰梯形的性质定理 【典例精讲】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）等腰梯形两底之差为12，高为，则等腰梯形的腰长是（     ） A．12 B．6 C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏常州·期中）在等腰梯形中，，若，则_____． 考点十四 等腰梯形的判定定理 【典例精讲】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【变式训练】（2024·湖北·模拟预测）如图，在梯形中，，，，、分别在、的延长线上，且，交于点． (1)证明 (2)求的度数． 1．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如果一个平行四边形要成为一个正方形，需要增加的条件是（   ）． A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相垂直且相等 D．对角线相等 3．（25-26八年级下·全国·暑假作业）下列给出的条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（     ）． A．， B．， C．， D．， 4．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，的对角线交于点，且，的周长为，则的两条对角线的和是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）小杭在复习几种特殊平行四边形关系时整理了如下的思维导图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（     ） A．（1）两边相互垂直 B．（2）有两条边相等 C．（3）对角线平分内角 D．（4）有三个角相等 6．（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则为________． 7．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为_____． 8．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图所示，矩形纸片中，，，现将其沿折叠，使得点与点重合，则长为________． 9．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，点是对角线上的一点，，过点，，，则与相等吗？答：________（填“相等”或“不等”）． 10．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，矩形中，E是边上一点，将沿翻折，得到，延长交线段的延长线于点G，交线段于点O，若，，，则线段的长为_______． 11．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，四边形是平行四边形，，分别是边，的中点，若的面积为，则________． 12．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在四边形中，，连接对角线，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为__________． 13．（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，中，，，，，，则平行四边形的面积 ________． 14．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 15．（24-25八年级下·吉林白山·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中，以为对角线画一个平行四边形； (2)在图②中，以为对角线画一个菱形（正方形除外）； (3)在图③中，以为边画一个矩形（正方形除外）． 16．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 17．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）如图，在中，，是的角平分线，点O为的中点，过点A作直线交并延长到点E，使，连接． (1)求证：． (2)求证：四边形是矩形； (3)当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由． 18．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，，过点作于． (1)求证四边形是菱形； (2)线段_________． 19．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 20．（25-26八年级下·浙江温州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上，点为线段上的一点．（仅用无刻度的直尺作图．） (1)在图中，画出一个以为边的正方形（保留作图痕迹）． (2)在（1）的基础上，在边上画点，使得平分正方形的面积（保留作图痕迹）． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null