（复习篇）专题01 统计与概率【思维导图+知识卡片+知识回顾+十五大题型讲练+实战演练 共50题】-2026年苏科版数学八升九年级暑假衔接培优讲义

null2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『复习篇』 专题01 统计与概率「暑假衔接复习培优讲义」 【苏科版数学新教材•八年级下册（第6章、第7章）】 （思维导图+知识回顾+十五大题型讲练+实战演练 共50题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期复习苏科版新教材八年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，高频考点优选题讲练，真题题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 普查与抽样调查 1.普查：考察全体对象的调查，就是全面调查。 2.抽样调查：采用调查部分对象的方式来收集数据, 根据部分来估计整体的情况, 叫做抽样调查。统计中常用样本特性来估计总体特性。在抽样调查要求抽取的样本要具有代表性。 3.总体、个体、样本、样本容量 ⑴总体：所要考察对象的全体叫做总体。 ⑵个体：总体中每一个考察对象叫做个体。 ⑶样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 ⑷样本容量：样本中个体的数目（不含单位）。 知识点二 统计图的选择 1.扇形统计图：扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．  2.条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．  3折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．  4.统计图的选择：即根据常用的几种统计图反映数据的不同特征结合实际来选择．  （1）扇形统计图的特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；②易于显示每组数据相对于总数的大小．  （2）条形统计图的特点：①条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目；②易于比较数据之间的差别．  （3）折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势．  知识点三 频数和频率 1. 频数与频率： （1） 频数是指每个对象出现的次数. （2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）.即频率=频数/数据总数. 一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量．  知识点四 频数分布表  组数和组距：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表． 列频数分布表的步骤： （1） 计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2） 决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组） （3） 将数据分组． (4)列频数分布表．  知识点五 事件类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 知识点六 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1， 事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 知识点七 频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 考点一 根据数据描述求频数 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）王老师对两个班名学生报名参与课外兴趣小组的情况进行了统计（每位学生必须且只能报一个项目），列出如下统计表，则这两个班报名参加科技小组的人数是____． 组别 数学小组 写作小组 体育小组 音乐小组 科技小组 频率 0.1 0.2 0.25 0.25 0.2 【变式训练】（25-26六年级下·上海浦东新·期中）一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组分别有10个、5个、7个、6个，第5组所占的百分比为，则第6组数据有___________个． 考点二 根据数据描述求频率 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏常州·期中）“动脑思考”四字的汉语拼音中，字母“”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏南京·期中）有50个数据，共分成6组，前4个小组的频数分别为5，9，10，6，第5组的频率为0.2，若将这50个数据绘制成扇形统计图，则第6组数据所对应的扇形的圆心角度数为______． 考点三 根据数据填写频数、频率统计表 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期末）为配合新课程的实施，某市举行了“应用与创新”知识竞赛，共有1万名学生参加了这次竞赛(满分100分，得分全为整数)．为了解本次竞赛成绩的情况，从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩，进行统计，整理见下表： 组别 分组 频数 频率 1 2 3 4 5 合计 (1)表中 ， ， ； (2)若成绩在分以上含分的学生获一等奖，估计全市获一等奖的人数． 【变式训练】（24-25七年级下·山东青岛·期中）周末，某商场进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 414 落在“矿泉水”的频率 (1)补全表格； (2)估计转动该转盘一次，获得矿泉水的概率．（结果保留一位小数） 考点四 频数分布表 【典例精讲】（2026·江苏苏州·二模）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了如下的频数分布表和统计图． 分组 频数 频率 第一组 第二组 第三组 第四组 请你根据图表中的信息完成下列问题： (1)频数分布表中________，________，并将统计图补充完整； (2)如果该校七年级共有女生人，估计仰卧起坐能够一分钟完成或次以上的女学生有多少人？ 【变式训练】（25-26八年级下·河北沧州·期末）嘉嘉统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了如下频数分布表： 通话时间 频数（通话次数） 20 16 9 5 则通话时间超过的通话次数占5月份总通话次数的百分比为（     ） A． B． C． D． 考点五 频数分布直方图 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）某研究学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校八年级学生上周末家庭劳动时间（单位：，按整数分钟计）进行了抽样调查．将调查的结果，绘制成如下不完整的统计图表． 时间x/min 频数 频率（精确到0.01） 3 0.10 6 0.20 9 0.30 a 0.27 4 b 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)在统计表中， ， ； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)如果该校八年级学生有360名，请你估计该校八年级学生中周末家庭劳动时间超过 的人数． 【变式训练】（2026·浙江台州·二模）为了解校数学节数学知识竞赛笔试情况，调查小组随机抽查了部分参赛同学的成绩，频数表和频数直方图尚未完工，正在整理与制作中． 组别（分） 频数 频率 30 10% 90 30% 60 a b c 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)小明发现表中剩余三个数据无需统计，可直接计算得出，请你填出这三个数据：__________，__________，__________． (2)请继续完成频数直方图． (3)如果全校有3000人，请估计分数不低于80分的人数． 考点六 由样本所在的频率区间估计总体的数量 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段检测）广州市某中学开展主题为“我爱阅读”的专题调查活动，了解学校1200名学生一年内阅读书籍的数量，随机抽取部分学生进行统计，绘制成如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图．请根据图表，解答下面的问题： 分组 频数 频率 4 14 16 a b c 10 合计 d (1) ， ， ， ． (2)补全频数分布直方图． (3)根据该样本，估计该校学生阅读书籍数量在15本或以上的人数． (4)如果阅读书籍数量在10本或以上的人数占总人数的以上，那么该校能评为“书香校园”，请根据上述数据分析该校是否能获得此荣誉，并说明理由． 【变式训练】（23-24九年级上·河北张家口·期中）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表所示，一般地，在相同条件下，2000粒油菜籽中不能发芽的约有（    ） 油菜籽粒数n 100 200 400 600 800 1000 发芽的粒数m 95 193 382 582 768 961 发芽的频率 0.95 0.965 0.955 0.97 0.96 0.961 A．1920粒 B．960粒 C．80粒 D．40粒 考点七 用样本的频数估计总体的频数 【典例精讲】（2026·湖北武汉·模拟预测）为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 频率 10 0.05 20 0.10 30 b a 0.30 80 0.40 请根据所给信息，解答下列问题： (1)________，________； (2)请补全频数分布直方图； (3)若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的约有多少人？ 【变式训练】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下： 课外阅读时间（单位：小时） 频数（人数） 百分比 2 3 15 5 请根据图表信息回答下列问题： (1)求出频数分布表中的________，________； (2)该频数分布直方图的组距是_________；并将频数分布直方图补充完整； (3)学校将每周课外阅读时间在6小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有多少人？ 考点八 判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域的颜色为______色的可能性最大（填“红”“黄”或“蓝”）． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列语句所描述的事件，可能性最小的是（   ） A．旭日东升 B．小暑热得透，大暑凉飕飕 C．水中捞月 D．种瓜得瓜，种豆得豆 考点九 判断实验所得结果是否是等可能的 【典例精讲】（25-26九年级上·山东德州·期中）下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【变式训练】下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 考点十 概率的意义理解 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）根据天气预报，某市明天下大雨的概率是．下列说法正确的是（     ） A．该市明天将有的地区下大雨 B．该市明天将有的时间下大雨 C．该市明天下大雨的可能性较大 D．该市明天肯定会下大雨 【变式训练】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（　  　） A．抽101次不可能没有抽到一等奖 B．抽100次奖必有一次抽到一等奖 C．抽一次也可能抽到一等奖 D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 考点十一 判断几个事件概率的大小关系 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形由9个全等的小等边三角形组成，随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率__________落在非阴影区域的概率．（填“大于”“小于”或“等于”） 【变式训练】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）有如下两个事件：①明天会下雨；②13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月，把这两个事件的序号按发生的可能性从小到大排列____． 考点十二 求某事件的频率 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）今天的日期是：20260423，在这串数字中，0出现的频率是________． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）假期将至，学校向全校师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“河”字出现的频率为________． 考点十三 关于频率与概率关系说法的正误 【典例精讲】（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【变式训练】（24-25八年级下·全国·课后作业）你同意下列说法吗？请说明理由． (1)“从袋中任意摸出1个球是红球的概率是”，这句话的意思就是从袋中取出1个球肯定是红球，因为概率已经很大了． (2)“从袋中任意摸出1个球是红球的概率是”，这句话的意思就是从袋中一定取不出红球． (3)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，小明说：“我做了50次试验，正面朝上的频率是，所以抛掷该硬币正面朝上的频率在这个常数附近摆动．” 考点十四 由频率估计概率 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）某球员在相同条件下进行投篮训练，结果如下： 投篮次数n 50 100 200 500 1000 2000 5000 投中次数m 28 60 104 252 505 a 2502 投中频率 0.56 0.6 0.52 0.504 0.505 0.499 b 根据表中数据，回答问题： (1)______，______； (2)估计该球员投篮一次投中的概率是______．（结果精确到0.1） 【变式训练】（2026·山东德州·一模）某射击运动员在相同条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 200 400 1000 2000 4000 10000 射中9环以上次数 150 330 780 1580 3210 8010 估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是________（精确到） 考点十五 用频率估计概率的综合应用 【典例精讲】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 【变式训练】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 1．（2025·贵州安顺·三模）“低空经济”作为新质生产力的代表，已被写入《政府工作报告》．如图，这是某研究院经调查、研究得出的关于低空经济市场规模的统计图．根据统计图中的信息，下列推断错误的是（   ） A．2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升 B．2026年中国低空经济市场规模将突破万亿元 C．从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小 D．2023年中国低空经济市场规模增量最多 2．（2026·河南三门峡·二模）某校为了解九年级1000名男生1分钟跳绳次数达标情况，从九年级男生中随机抽取50名，统计他们1分钟跳绳次数，并绘制了如图所示的频数分布直方图．若1分钟跳绳次数不小于158次为满分，估计该校九年级男生1分钟跳绳为满分的有（     ） A．340名 B．520名 C．680名 D．720名 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）“数学课本共196页，某同学随手翻开，恰好翻到第98页”，这个事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 4．（2025·江苏无锡·二模）下列说法：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件；“物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件；“没有水分，种子发芽”是随机事件；“买一张电影票，座位号是奇数号”是不可能事件．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下列事件，是必然事件的是（   ） A．投掷一枚硬币，向上一面是正面 B．同位角相等 C．打开电视，正播放电影《哪吒》 D．任意画一个多边形，其外角和是 6．（23-24七年级上·河南信阳·开学考试）有4根小棒，长度分别是1，6，7，8，从中任取3根，能围成三角形的可能性比不能围成三角形的可能性( )．（填“大”或“小”） 7．（25-26九年级上·福建泉州·期末）小东收集抛掷两枚普通硬币结果分别为“两正”、“两反”、“一正一反”的数据，并将其中一种数据绘制成如图所示的折线统计图，可推断该图象是结果出现________的折线统计图． 8．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有_________个． 9．（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是________（填序号）． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）为了解全校1000名初中毕业生的体重情况，从中随机抽取部分学生的体重作为样本，制作成如图所示的频率分布直方图（每小组包括最小值，不包括最大值），那么这所学校体重小于80千克且不小于70千克的初中毕业生约有______人． 11．（2026·山西临汾·模拟预测）如图，是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在次的频率是_____________． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知一组数据，其中最大值为，最小值为，取组距为，则可以分成_______组． 13．（25-26八年级下·河北保定·期末）在2025年中学生运动会跳高比赛中，各年龄组的参赛人数情况如表所示： 年龄组 13岁 14岁 15岁 16岁 参赛人数 5 19 12 14 若小明所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的，则小明所在的年龄组是______________． 14．（2026·湖北·二模）为弘扬中华优秀传统文化，某市博物馆开通了“云游博物馆”线上平台．为全面了解本市九年级学生利用该平台进行线上参观的实际情况，市教育部门随机抽取了若干名九年级学生，统计了他们上个月在“云游博物馆”平台上的累计参观时长（单位：分钟），将参观时长分成五组：A．，B．，C．，D．，E．，并根据数据绘制成如下不完整统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求参观时长分组在所对应的人数，并补全直方图； (2)该市九年级共有学生50000人，若将累计参观时长超过30分钟的学生视为“云游博物馆”的活跃参与者，请估计该市九年级学生中“云游博物馆”活跃参与者的总人数； (3)市博物馆计划根据此次调查结果，针对不同参观时长的人群推出个性化的线上文化活动推送，你认为博物馆还可以收集哪些方面的数据来使推送更精准？请提出一条建议，并简要说明理由． 15．（2026·云南楚雄·一模）电视剧《山花烂漫时》以“七一勋章”“时代楷模”的获得者张桂梅老师为原型，描绘了她在云南华坪女子高级中学辛勤耕耘的画面，展现了英模人物的非凡力量．某校为了解初中部学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度，随机抽取了部分初中学生进行调查，并将调查结果分为了五类：A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解．根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次被抽查的学生共有 名；在扇形统计图中，A类所对应的圆心角度数为 ． (2)请补全条形统计图； (3)若该校共有3000名初中学生，请估计该校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“D．不太了解”的人数． 16．（2026·安徽宿州·三模）某市为了解中学生使用辅助学习工具的情况，从全市随机抽取100名中学生进行抽样调查，统计他们每周使用工具的时长（单位：小时），得到如下频数分布表和扇形统计图： 组别 A B C D E 使用时长（小时） 频数（人） 18 28 15 7 请根据以上信息，完成下列问题： (1)_________； (2)在扇形统计图中，求D组对应的扇形圆心角的度数； (3)如果全市有15000名中学生，估计每周使用工具3小时及以上的学生有多少人？ 17．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）为响应国家关于加强劳动教育的号召，某校随机抽取了部分七年级学生对他们的一周家务劳动时长（单位：小时）进行了调查，根据调查数据得到以下不完整的统计图表： 分组 A B C D 劳动时长/小时 频数/人 12 40 8 请根据信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若该校七年级共有600名学生，请估计每周家务劳动时长不少于2小时的学生总人数． 18．（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了_______名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是_______； (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是______； (4)若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 19．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）某人工智能公司研发了一款自动驾驶汽车的障碍物识别系统．为了测试系统的识别准确率，测试人员从真实道路场景中随机抽取图片，让系统识别其中是否存在障碍物；并记录正确识别的次数．每次识别后放回，重复上述过程．下表是试验中的一组统计数据： 测试图片数量 100 200 500 1000 2000 3000 正确识别次数 87 175 438 1780 2670 正确识别频率 0.87 0.875 0.876 0.88 0.89 (1) ， ； (2)估计该系统正确识别障碍物的概率约为 ；（结果精确到0.1） (3)下列说法错误的是 ．（填序号） ①识别障碍物4次，都识别成功了，所以第5次识别一定也成功； ②识别障碍物10次，识别成功的次数不一定是9次； ③识别障碍物30次，识别成功的次数一定是27次． 20．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 (1)填空：__________，__________． (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） (3)在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年苏科版数学八升九年级衔接金牌培优讲义『复习篇』 专题01 统计与概率「暑假衔接复习培优讲义」 【苏科版数学新教材•八年级下册（第6章、第7章）】 （思维导图+知识回顾+十五大题型讲练+实战演练 共50题） 同学，你好！该份讲义主要以暑期复习苏科版新教材八年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，高频考点优选题讲练，真题题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 普查与抽样调查 1.普查：考察全体对象的调查，就是全面调查。 2.抽样调查：采用调查部分对象的方式来收集数据, 根据部分来估计整体的情况, 叫做抽样调查。统计中常用样本特性来估计总体特性。在抽样调查要求抽取的样本要具有代表性。 3.总体、个体、样本、样本容量 ⑴总体：所要考察对象的全体叫做总体。 ⑵个体：总体中每一个考察对象叫做个体。 ⑶样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 ⑷样本容量：样本中个体的数目（不含单位）。 知识点二 统计图的选择 1.扇形统计图：扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．  2.条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．  3折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．  4.统计图的选择：即根据常用的几种统计图反映数据的不同特征结合实际来选择．  （1）扇形统计图的特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；②易于显示每组数据相对于总数的大小．  （2）条形统计图的特点：①条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目；②易于比较数据之间的差别．  （3）折线统计图的特点：①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势．  知识点三 频数和频率 1. 频数与频率： （1） 频数是指每个对象出现的次数. （2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）.即频率=频数/数据总数. 一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量．  知识点四 频数分布表  组数和组距：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表． 列频数分布表的步骤： （1） 计算极差，即计算最大值与最小值的差． （2） 决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组） （3） 将数据分组． (4)列频数分布表．  知识点五 事件类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 知识点六 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1， 事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 知识点七 频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 考点一 根据数据描述求频数 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）王老师对两个班名学生报名参与课外兴趣小组的情况进行了统计（每位学生必须且只能报一个项目），列出如下统计表，则这两个班报名参加科技小组的人数是____． 组别 数学小组 写作小组 体育小组 音乐小组 科技小组 频率 0.1 0.2 0.25 0.25 0.2 【答案】16 【详解】解：这两个班报名参加科技小组的人数为（人）． 【变式训练】（25-26六年级下·上海浦东新·期中）一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组分别有10个、5个、7个、6个，第5组所占的百分比为，则第6组数据有___________个． 【答案】8 【分析】根据第5组的百分比和数据总数可求出第5组的频数，再利用总频数减去第1、2、3、4、5组的频数之和即可求出答案． 【详解】解：∵这组数据共个，第5组所占的百分比为， ∴第5组的频数为：（个） 则第6组数据有：（个）． 考点二 根据数据描述求频率 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏常州·期中）“动脑思考”四字的汉语拼音中，字母“”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“动脑思考”四字的汉语拼音为， 所有字母的总个数为，字母出现的频数为3， 则字母o出现的频率为． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏南京·期中）有50个数据，共分成6组，前4个小组的频数分别为5，9，10，6，第5组的频率为0.2，若将这50个数据绘制成扇形统计图，则第6组数据所对应的扇形的圆心角度数为______． 【答案】72 【分析】先根据频率公式求出第5组的频数，再求出第6组的频数，进而得到第6组的频率，最后用乘以第6组的频率得到对应扇形圆心角的度数． 【详解】解：由题意得，数据总数为， 第组的频数为：， 第组的频数为： ， 第组的频率为：， 第组对应扇形圆心角度数为：． 考点三 根据数据填写频数、频率统计表 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·期末）为配合新课程的实施，某市举行了“应用与创新”知识竞赛，共有1万名学生参加了这次竞赛(满分100分，得分全为整数)．为了解本次竞赛成绩的情况，从中随机抽取了部分学生的竞赛成绩，进行统计，整理见下表： 组别 分组 频数 频率 1 2 3 4 5 合计 (1)表中 ， ， ； (2)若成绩在分以上含分的学生获一等奖，估计全市获一等奖的人数． 【答案】(1)，， (2)人 【分析】本题考查了利用样本估计总体，频数、频率分布表； （1）样本容量．用减去各组的频率即可求得．样本容量； （2）求出样本中获一等奖的比例，根据样本估计总体，即可求解． 【详解】（1）解：总体是万名学生的竞赛成绩；由第一组人数为人，频率为，； ， 由频率和为，得第四小组的频率； 故答案为：；；． （2）成绩在分以上(含分)的学生的频率为，所以成绩在分以上的学生数人． 即有人获一等奖 【变式训练】（24-25七年级下·山东青岛·期中）周末，某商场进行促销活动，有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的统计数据： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 414 落在“矿泉水”的频率 (1)补全表格； (2)估计转动该转盘一次，获得矿泉水的概率．（结果保留一位小数） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了频数、频率统计表、用频率估计概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据频数与频率之间的关系即可完成表格； （2）利用频率的稳定值估计概率即可． 【详解】（1）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 完成表格如下： 转动转盘的次数 100 200 300 400 500 600 落在“矿泉水”的次数 68 144 207 284 350 414 落在“矿泉水”的频率 （2）解：由表格得，落在“矿泉水”的频率稳定在附近， 转动该转盘一次，获得矿泉水的概率约是． 考点四 频数分布表 【典例精讲】（2026·江苏苏州·二模）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了如下的频数分布表和统计图． 分组 频数 频率 第一组 第二组 第三组 第四组 请你根据图表中的信息完成下列问题： (1)频数分布表中________，________，并将统计图补充完整； (2)如果该校七年级共有女生人，估计仰卧起坐能够一分钟完成或次以上的女学生有多少人？ 【答案】(1)4，， (2)人 【分析】（1）根据统计图可知a的值，根据第一组的频数和频率求出总数，进而可知b的值，根据第二组的频数补全统计图即可； （2）用乘以能够一分钟完成或次以上的女学生的比例即可． 【详解】（1）解：由统计图可知， 总人数为， 则， 统计图补充见答案； （2）解：（人） 答：估计仰卧起坐能够一分钟完成或次以上的女学生有121人． 【变式训练】（25-26八年级下·河北沧州·期末）嘉嘉统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了如下频数分布表： 通话时间 频数（通话次数） 20 16 9 5 则通话时间超过的通话次数占5月份总通话次数的百分比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 考点五 频数分布直方图 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）某研究学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校八年级学生上周末家庭劳动时间（单位：，按整数分钟计）进行了抽样调查．将调查的结果，绘制成如下不完整的统计图表． 时间x/min 频数 频率（精确到0.01） 3 0.10 6 0.20 9 0.30 a 0.27 4 b 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)在统计表中， ， ； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)如果该校八年级学生有360名，请你估计该校八年级学生中周末家庭劳动时间超过 的人数． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)估计该校八年级学生中周末家庭劳动时间超过 的约有人． 【分析】（1）利用 的频数和频率求出调查总人数，即可求出的值，用 的频数除以调查总人数即可得到的值； （2）由（1）知的值，即可补全频数分布直方图； （3）用乘以调查人数中周末家庭劳动时间超过 占比即可求解． 【详解】（1）解：调查总人数为 （人）， ， ； （2）解：由（1）知， 补全频数分布直方图如下： （3）解： （人） 答：估计该校八年级学生中周末家庭劳动时间超过 的约有人． 【变式训练】（2026·浙江台州·二模）为了解校数学节数学知识竞赛笔试情况，调查小组随机抽查了部分参赛同学的成绩，频数表和频数直方图尚未完工，正在整理与制作中． 组别（分） 频数 频率 30 10% 90 30% 60 a b c 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)小明发现表中剩余三个数据无需统计，可直接计算得出，请你填出这三个数据：__________，__________，__________． (2)请继续完成频数直方图． (3)如果全校有3000人，请估计分数不低于80分的人数． 【答案】(1)，120， (2)见解析 (3)估计分数不低于80分的人数为1800人 【分析】（1）先由的频数和频率计算出抽查的总人数，即可求解； （2）根据（1）的结论即可完成直方图； （3）根据分数不低于80分的人数占比即可求解． 【详解】（1）解：（人）， ∴，（人），． （2）解：完成的频数直方图如图． （3）解：（人）． ∴估计分数不低于80分的人数为1800人． 考点六 由样本所在的频率区间估计总体的数量 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段检测）广州市某中学开展主题为“我爱阅读”的专题调查活动，了解学校1200名学生一年内阅读书籍的数量，随机抽取部分学生进行统计，绘制成如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图．请根据图表，解答下面的问题： 分组 频数 频率 4 14 16 a b c 10 合计 d (1) ， ， ， ． (2)补全频数分布直方图． (3)根据该样本，估计该校学生阅读书籍数量在15本或以上的人数． (4)如果阅读书籍数量在10本或以上的人数占总人数的以上，那么该校能评为“书香校园”，请根据上述数据分析该校是否能获得此荣誉，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)384 (4)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了频数分布表和频数分布直方图，熟练掌握频数分布表和频数分布直方图的互补性，补全频数分布直方图，用样本估计总体，是解决问题的关键 （1）根据直方图中的数据可以得到b，根据组中的数据可以分别求得a、c、d的值； （2）根据（1）中的答案和表格中的数据可以将直方图补充完整； （3）根据组和组中的频率和，可以计算出该校学生阅读书籍数量在15本或以上的人数； （4）先判断，再计算组、组和组中的频率和，即可解答本题． 【详解】（1）根据题意可得， ， 根据频数分布直方图可得，， ， ， 故答案为：0.32，6，0.12，50； （2）补全的频数分布直方图，如右图所示； （3）由题意可得，该校学生阅读书籍数量在15本或以上的有： （人）， 答：该校学生阅读书籍数量在15本或以上的有264人； （4）该校不能获得“书香校园”此荣誉，理由： ∵， ∴该校不能获得“书香校园”此荣誉． 【变式训练】（23-24九年级上·河北张家口·期中）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表所示，一般地，在相同条件下，2000粒油菜籽中不能发芽的约有（    ） 油菜籽粒数n 100 200 400 600 800 1000 发芽的粒数m 95 193 382 582 768 961 发芽的频率 0.95 0.965 0.955 0.97 0.96 0.961 A．1920粒 B．960粒 C．80粒 D．40粒 【答案】C 【分析】本题考查了频数与频率，用样本估计总体，根据题意可得：2000粒油某籽中发芽的频率约为0.96，从而可得2000粒油某籽中不能发芽的频率为0.04，然后根据频数=频率×总次数，进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：2000粒油某籽中发芽的频率约为0.96， ∴2000粒油某籽中不能发芽的频率， ∴2000粒油某籽中不能发芽的约（粒）， 故选：C． 考点七 用样本的频数估计总体的频数 【典例精讲】（2026·湖北武汉·模拟预测）为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x/分 频数 频率 10 0.05 20 0.10 30 b a 0.30 80 0.40 请根据所给信息，解答下列问题： (1)________，________； (2)请补全频数分布直方图； (3)若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的约有多少人？ 【答案】(1)60，0.15； (2)见解析 (3)约有1200人． 【分析】（1）根据频率频数总数求解即可； （2）根据（1）所求值补全频数分布直方图即可； （3）用学生总人数乘以成绩“优”等的频率求解即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：（人）， 答：该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的约有1200人． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下： 课外阅读时间（单位：小时） 频数（人数） 百分比 2 3 15 5 请根据图表信息回答下列问题： (1)求出频数分布表中的________，________； (2)该频数分布直方图的组距是_________；并将频数分布直方图补充完整； (3)学校将每周课外阅读时间在6小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有多少人？ 【答案】(1)25， (2)2，见解析 (3)1080人 【分析】（1）根据频数分布表，先求出抽取总人数，计算即可； （2）根据组数和组距的定义，即可求组距；根据a的值，补全频数分布直方图即可； （3）根据样本估计总体，用1800乘以每周课外阅读时间在6小时以上的学生所占百分比，再计算即可． 【详解】（1）解：抽取总人数为：（人）， （人）， ； （2）解：由频数分布表和频数分布直方图可知，组数是5，组距是， 频数分布直方图补充如下： （3）解：（人）， 答：估计该校1800名学生中评为“阅读之星”的有1080人． 考点八 判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域的颜色为______色的可能性最大（填“红”“黄”或“蓝”）． 【答案】黄 【分析】根据转盘被分为面积相等的4个扇形，对三种颜色的扇形数量进行比较即可判断． 【详解】解：∵转盘被分为面积相等的4个扇形， ∴转盘停止后指针指向4个扇形区域的可能性相等， ∵其中红色的扇形有1个、黄色的扇形有2个、蓝色的扇形有1个，即黄色的扇形数量最多， ∴停止后指针所指区域的颜色为黄色的可能性最大． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列语句所描述的事件，可能性最小的是（   ） A．旭日东升 B．小暑热得透，大暑凉飕飕 C．水中捞月 D．种瓜得瓜，种豆得豆 【答案】C 【分析】先判断每个选项对应事件的类型，得到各事件发生的概率大小，再比较即可得到可能性最小的事件． 【详解】A选项“旭日东升”是必然事件，发生的概率为； B选项“小暑热得透，大暑凉飕飕”是随机事件，发生的概率小于； C选项“水中捞月”是不可能事件，发生的概率为； D选项“种瓜得瓜，种豆得豆”受种子不发芽、植株死亡等因素影响，属于随机事件，发生的概率小于， 因此C选项描述的事件发生的可能性最小． 故选：C． 考点九 判断实验所得结果是否是等可能的 【典例精讲】（25-26九年级上·山东德州·期中）下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 【变式训练】下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【答案】A 【详解】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确； B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误； C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误； D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误； 故选A． 考点十 概率的意义理解 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）根据天气预报，某市明天下大雨的概率是．下列说法正确的是（     ） A．该市明天将有的地区下大雨 B．该市明天将有的时间下大雨 C．该市明天下大雨的可能性较大 D．该市明天肯定会下大雨 【答案】C 【详解】解：根据概率的定义，概率是衡量随机事件发生可能性大小的量，不代表地区、时间的占比，也不代表事件一定发生， ∵该市明天下大雨的概率是，且， ∴该市明天下大雨的可能性较大， A选项将概率理解为地区占比，错误；B选项将概率理解为时间占比，错误；D选项认为概率意味着一定下雨，错误，因此只有C正确． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（　  　） A．抽101次不可能没有抽到一等奖 B．抽100次奖必有一次抽到一等奖 C．抽一次也可能抽到一等奖 D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖 【答案】C 【分析】概率是描述事件发生可能性大小的量，不代表事件一定发生或一定不发生，每次抽奖为独立事件，据此判断选项即可． 【详解】解：∵抽到一等奖的概率为0.01，说明每次抽奖都有0.01的可能性抽到一等奖，可能性小但仍可能发生，且每次抽奖结果相互独立； ∴A选项：抽101次也可能没有抽到一等奖，A错误； B选项：抽100次不一定必有一次抽到一等奖，B错误； C选项：抽一次也可能抽到一等奖，C正确； D选项：前99次没抽到，第100次抽到一等奖的概率仍为0.01，不是肯定抽到，D错误． 考点十一 判断几个事件概率的大小关系 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，等边三角形由9个全等的小等边三角形组成，随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率__________落在非阴影区域的概率．（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】小于 【分析】设每个小等边三角形的面积为，对阴影区域的面积和非阴影区域的面积进行大小比较即可． 【详解】解：设每个小等边三角形的面积为， ∴阴影区域的面积为，非阴影区域的面积为， ∴阴影区域的面积小于非阴影区域的面积， ∴随机往内投一粒米，落在阴影区域的概率小于落在非阴影区域的概率． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）有如下两个事件：①明天会下雨；②13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月，把这两个事件的序号按发生的可能性从小到大排列____． 【答案】 ①② 【分析】先判断两个事件的类型，得到两个事件发生的概率范围，再比较概率大小，即可完成排序. 【详解】解：事件①“明天会下雨”是随机事件，随机事件发生的概率满足； 一年共有12个月份，事件②“13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月”是必然事件，必然事件发生的概率为； ∴，按发生的可能性从小到大排列为. 考点十二 求某事件的频率 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）今天的日期是：20260423，在这串数字中，0出现的频率是________． 【答案】 【详解】解：这串数字 中，共有个数字，其中数字出现了次，则出现的频率为． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）假期将至，学校向全校师生发出倡议“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”．在这句宣传语中，“河”字出现的频率为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了频数与频率的运用，解题时注意：频率＝频数÷数据总数，即用“河”字出现的次数除以总的字的个数求解． 【详解】解：“不去河沟游玩，防落水；不去河沟游泳，防溺水”，共有18个字，其中“河”字出现的次数为2次， ∴“河”字出现的频率为． 考点十三 关于频率与概率关系说法的正误 【典例精讲】（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）关于用频率估计概率，下列说法正确的是（   ） A．实验次数越少，频率越接近概率 B．频率一定等于概率 C．多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率附近 D．抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为6，则点数为6的概率估计为 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系． 概率是理论值，频率是实验值，当实验次数较多时，频率会稳定在概率附近． 根据频率与概率的关系逐一判断即可． 【详解】解：概率是事件发生的理论值，频率是实验值，通过大量重复实验，频率逐渐稳定于概率； 选项A错误，实验次数越多频率越接近概率； 选项B错误，频率不一定等于概率； 选项C正确，符合频率的稳定性； 选项D错误，对于均匀骰子，点数为6的概率为，实验10次次数较少，频率可能偏离概率，估计不准确． 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级下·全国·课后作业）你同意下列说法吗？请说明理由． (1)“从袋中任意摸出1个球是红球的概率是”，这句话的意思就是从袋中取出1个球肯定是红球，因为概率已经很大了． (2)“从袋中任意摸出1个球是红球的概率是”，这句话的意思就是从袋中一定取不出红球． (3)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，小明说：“我做了50次试验，正面朝上的频率是，所以抛掷该硬币正面朝上的频率在这个常数附近摆动．” 【答案】(1)不同意，理由见解析 (2)不同意，理由见解析 (3)不同意，理由见解析 【分析】本题考查了概率、用频率估计概率，熟练掌握概率的意义和用频率估计概率是解题的关键．根据概率的意义和用频率估计概率即可判断． 【详解】（1）解：不同意，这句话只能说明从袋中取出1个红球的可能性很大，但它还是一个随机事件； （2）解：不同意，这句话只能说明从袋中取出1个红球的可能性极小，但它还是一个随机事件； （3）解：不同意，小明试验的次数太少了． 考点十四 由频率估计概率 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏南京·期中）某球员在相同条件下进行投篮训练，结果如下： 投篮次数n 50 100 200 500 1000 2000 5000 投中次数m 28 60 104 252 505 a 2502 投中频率 0.56 0.6 0.52 0.504 0.505 0.499 b 根据表中数据，回答问题： (1)______，______； (2)估计该球员投篮一次投中的概率是______．（结果精确到0.1） 【答案】(1)998，0.5004 (2)0.5 【分析】（1）根据投中频率求解即可； （2）根据用频率估计概率的方法，观察大量重复试验下频率的稳定值，即可得到投篮一次投中的概率估计值． 【详解】（1）解：，； （2）解：观察表格中数据，随着投篮次数逐渐增大，投中频率逐渐稳定在0.5附近，根据用频率估计概率可知，估计该球员投篮一次投中的概率是0.5． 【变式训练】（2026·山东德州·一模）某射击运动员在相同条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 200 400 1000 2000 4000 10000 射中9环以上次数 150 330 780 1580 3210 8010 估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是________（精确到） 【答案】0.8 【分析】本题考查用频率估计概率，解题关键是理解：当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件发生的概率．利用频率估计概率即可． 【详解】解：计算各次试验射中9环以上的频率： ，，，，，， 观察频率变化可知，随着试验次数增大，频率逐渐稳定在附近，根据频率估计概率的原理，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率约为． 故答案为：． 考点十五 用频率估计概率的综合应用 【典例精讲】（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（     ） A．小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．投掷一枚图钉，尖朝上 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 【答案】D 【分析】此题考查了利用频率估计概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为的即为正确答案． 【详解】解：试验结果在附近波动，即其概率， A、小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜的概率为，故A选项错误； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项错误； C、投掷一枚图钉，尖朝上的概率无法判断，故C选项错误； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数是，故D选项正确； 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 【答案】(1) (2)可以成活45000棵 (3)需移植这种树苗大约100000棵 【分析】本题主要考查了折线统计图和利用频率估计概率，能够正确将公式变形以及准确计算是解决本题的关键． （1）根据成活率的折线统计图可知，数据在上下浮动，所以可以确定答案； （2）将总共移植的50000棵树苗乘以成活率就能估算成活的树苗； （3）根据公式成活率成活的树苗移植的树苗可得，移植的树苗成活的树苗成活率，代入数据即可得到答案． 【详解】（1）解：根据图像可得，折线统计图在上下波动，故成活率为． （2）解：∵（棵） ∴可以成活45000棵． （3）解：∵（棵） ∴需移植这种树苗大约100000棵． 1．（2025·贵州安顺·三模）“低空经济”作为新质生产力的代表，已被写入《政府工作报告》．如图，这是某研究院经调查、研究得出的关于低空经济市场规模的统计图．根据统计图中的信息，下列推断错误的是（   ） A．2021至2026年中国低空经济市场规模逐年上升 B．2026年中国低空经济市场规模将突破万亿元 C．从2024年开始中国低空经济市场规模增长率变小 D．2023年中国低空经济市场规模增量最多 【答案】D 【分析】根据条形统计图给出的中国低空经济市场规模总量和折线统计图提供的增长率计算出数值，根据数据进行判断． 【详解】解：A选项：由条形统计图可知，从至年中国低空经济市场规模逐年上升，且年增长率为正数，故年规模继续上升， 至年中国低空经济市场规模逐年上升， 故A选项正确； B选项：由条形统计图可知，年中国低空经济市场规模为亿元， 由折线统计图可知，年中国低空经济市场的增长率为 ， 年中国低空经济市场规模为 亿元， ， 年中国低空经济市场规模将突破万亿元， 故B选项正确； C选项：由折线统计图可知，年增长率为 ，年增长率为，之后逐年下降， 从年开始中国低空经济市场规模增长率变小， 故C选项正确； D选项：由条形统计图计算各年增量， 年增量为 亿元， 年增量为 亿元， 年增量为 亿元， ， 年中国低空经济市场规模增量不是最多，故D选项错误． 2．（2026·河南三门峡·二模）某校为了解九年级1000名男生1分钟跳绳次数达标情况，从九年级男生中随机抽取50名，统计他们1分钟跳绳次数，并绘制了如图所示的频数分布直方图．若1分钟跳绳次数不小于158次为满分，估计该校九年级男生1分钟跳绳为满分的有（     ） A．340名 B．520名 C．680名 D．720名 【答案】C 【分析】根据样本中满分的占比即可求解． 【详解】解：（名）． 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）“数学课本共196页，某同学随手翻开，恰好翻到第98页”，这个事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：∵本题中数学课本共196页，第98页存在，随手翻开书页时，可能恰好翻到第98页，也可能翻不到， ∴该事件是随机事件． 4．（2025·江苏无锡·二模）下列说法：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件；“物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件；“没有水分，种子发芽”是随机事件；“买一张电影票，座位号是奇数号”是不可能事件．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，根据事件发生的可能性大小判断即可，解题的关键是理解必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件，说法正确，符合题意； “物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件，说法正确，符合题意； “没有水分，种子发芽”是不可能事件，说法错误，不符合题意； “买一张电影票，座位号是奇数号”是随机事件，说法错误，不符合题意； 综上可知：正确， 故选：． 5．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）下列事件，是必然事件的是（   ） A．投掷一枚硬币，向上一面是正面 B．同位角相等 C．打开电视，正播放电影《哪吒》 D．任意画一个多边形，其外角和是 【答案】D 【分析】本题考查的是对必然事件的概念的理解，熟练掌握必然事件的概念是解题的关键． 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，必然事件发生的概率为． 【详解】解：A．投掷一枚硬币，向上一面是正面是随机事件，不合题意； B．同位角相等是随机事件，不合题意； C．打开电视，正播放电影《哪吒》是随机事件，不合题意； D．任意画一个多边形，其外角和是是必然事件，符合题意； 故选：D 6．（23-24七年级上·河南信阳·开学考试）有4根小棒，长度分别是1，6，7，8，从中任取3根，能围成三角形的可能性比不能围成三角形的可能性( )．（填“大”或“小”） 【答案】小 【分析】根据任意两边之和大于第三边确定构成三角形的可能性，问题即可作答． 【详解】任选3根，总的选择方法有：1，6，7；1，6， 8；1， 7，8；6，7，8，共四种， ∵，，，， ∴只有选择6，7，8等3根小棒时可以构成三角形， ∴能构成三角形的可能性为：，不能构成三角形的可能性为：， ∵， ∴能围成三角形的可能性比不能围成三角形的可能性小， 故答案为：小． 7．（25-26九年级上·福建泉州·期末）小东收集抛掷两枚普通硬币结果分别为“两正”、“两反”、“一正一反”的数据，并将其中一种数据绘制成如图所示的折线统计图，可推断该图象是结果出现________的折线统计图． 【答案】一正一反 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键在于从折线图读取稳定频率．根据统计图可知，试验结果频率在附近波动，即其概率，然后根据抛掷两枚普通硬币结果为“两正”、“两反”、“一正一反”的概率，约为即为正确答案． 【详解】解：抛掷两枚普通硬币， 第1枚            第2枚 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 故“两正”、“两反”的概率均为，“一正一反”的概率为， 试验结果频率在附近波动，所以可推断该图象是结果出现“一正一反”的折线统计图． 故答案为：一正一反． 8．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有_________个． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键，根据频率估计概率，摸到白球的频率稳定在附近，即摸到白球的概率为，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解：设黑球有个，则总球数为个．根据题意得： ， 解方程：． 经检验，是方程的解， 故答案为：11． 9．（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是________（填序号）． 【答案】① 【分析】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，分别进行判定即可． 【详解】解：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件，故①正确，符合题意； ②可能性很大的事件是随机事件，只是发生的概率较大，不一定发生，故②错误，不符合题意； ③如果一个事件不是必然发生的，那么它就可能发生也可能不发生，故③错误，不符合题意； 故答案为：①． 10．（25-26七年级下·重庆·期中）为了解全校1000名初中毕业生的体重情况，从中随机抽取部分学生的体重作为样本，制作成如图所示的频率分布直方图（每小组包括最小值，不包括最大值），那么这所学校体重小于80千克且不小于70千克的初中毕业生约有______人． 【答案】260 【分析】根据样本估计总体即可． 【详解】解：这所学校体重小于80千克且不小于70千克的初中毕业生约有： （人）． 11．（2026·山西临汾·模拟预测）如图，是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在次的频率是_____________． 【答案】 【详解】解：由频数分布直方图可知，仰卧起坐次数在次的频数为，数据总数为30，所以仰卧起坐次数在次的频率为． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知一组数据，其中最大值为，最小值为，取组距为，则可以分成_______组． 【答案】 【分析】根据组数最大值最小值组距，进行计算即可求解．注意小数部分要进位． 【详解】解：这组数据中最大值为，最小值为，极差为， 组距为，组数为， 故可以分成组． 13．（25-26八年级下·河北保定·期末）在2025年中学生运动会跳高比赛中，各年龄组的参赛人数情况如表所示： 年龄组 13岁 14岁 15岁 16岁 参赛人数 5 19 12 14 若小明所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的，则小明所在的年龄组是______________． 【答案】14岁 【分析】本题考查统计中百分比的计算，解题思路为先求出全体参赛总人数，再根据给定百分比计算出小明所在年龄组的参赛人数，最后对照表格得到对应年龄组即可． 【详解】解：根据表格信息，计算全体参赛总人数：， 设小明所在年龄组的参赛人数为，根据题意可得， 解得， 对照表格可知，参赛人数为19对应的年龄组是14岁． 14．（2026·湖北·二模）为弘扬中华优秀传统文化，某市博物馆开通了“云游博物馆”线上平台．为全面了解本市九年级学生利用该平台进行线上参观的实际情况，市教育部门随机抽取了若干名九年级学生，统计了他们上个月在“云游博物馆”平台上的累计参观时长（单位：分钟），将参观时长分成五组：A．，B．，C．，D．，E．，并根据数据绘制成如下不完整统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)求参观时长分组在所对应的人数，并补全直方图； (2)该市九年级共有学生50000人，若将累计参观时长超过30分钟的学生视为“云游博物馆”的活跃参与者，请估计该市九年级学生中“云游博物馆”活跃参与者的总人数； (3)市博物馆计划根据此次调查结果，针对不同参观时长的人群推出个性化的线上文化活动推送，你认为博物馆还可以收集哪些方面的数据来使推送更精准？请提出一条建议，并简要说明理由． 【答案】(1)人，频数分布直方图见解析 (2)30000人 (3)见解析 【分析】（1）先求出抽取的人数，再由总人数减去A、B、D、E组的人数，即为C组的人数，即可作图； （2）用样本估计总体的方法求解即可； （3）可收集学生希望每次线上参观的“理想时长”数据，通过对比实际参观时长与理想时长的差异，可以判断当前内容是否存在过长枯燥或过浅不过瘾的问题． 【详解】（1）解：抽取的人数为：，C组的人数为： 补图如图 （2）解：． 答：该市九年级学生中“云游博物馆”活跃参与者的总人数有30000人． （3）解：建议合理即可，比如：收集学生希望每次线上参观的“理想时长”数据，理由：通过对比实际参观时长与理想时长的差异，可以判断当前内容是否存在过长枯燥或过浅不过瘾的问题． 15．（2026·云南楚雄·一模）电视剧《山花烂漫时》以“七一勋章”“时代楷模”的获得者张桂梅老师为原型，描绘了她在云南华坪女子高级中学辛勤耕耘的画面，展现了英模人物的非凡力量．某校为了解初中部学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度，随机抽取了部分初中学生进行调查，并将调查结果分为了五类：A．非常了解；B．比较了解；C．了解；D．不太了解；E．不了解．根据调查结果，绘制出如图所示的两幅不完全的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次被抽查的学生共有 名；在扇形统计图中，A类所对应的圆心角度数为 ． (2)请补全条形统计图； (3)若该校共有3000名初中学生，请估计该校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“D．不太了解”的人数． 【答案】(1)100； (2) (3)估计该校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“D．不太了解”的人数为420名． 【分析】（1）用B类别的人数除以对应的百分比计算即可；用乘以A类别的占比计算即可； （2）先求出C类别人数，再补全条形统计图即可； （3）用3000乘以D类别的占比计算即可． 【详解】（1）解：本次被抽查的学生共有名； A类所对应的圆心角度数为； （2）解：C类别人数为（名）； 补全条形统计图略； （3）解：（名）， 答：估计该校初中学生对“张桂梅老师事迹”的了解程度为“D．不太了解”的人数为420名． 16．（2026·安徽宿州·三模）某市为了解中学生使用辅助学习工具的情况，从全市随机抽取100名中学生进行抽样调查，统计他们每周使用工具的时长（单位：小时），得到如下频数分布表和扇形统计图： 组别 A B C D E 使用时长（小时） 频数（人） 18 28 15 7 请根据以上信息，完成下列问题： (1)_________； (2)在扇形统计图中，求D组对应的扇形圆心角的度数； (3)如果全市有15000名中学生，估计每周使用工具3小时及以上的学生有多少人？ 【答案】(1)32 (2)D组对应的扇形圆心角的度数为； (3)估计每周使用工具3小时及以上的学生有人． 【分析】（1）用100减去组，组，组，组的人数，即可求解； （2）用乘以D组人数占总人数的比例即可求解； （3）用15000乘以组，组，组的人数和所占总人数的比例即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：， 答：D组对应的扇形圆心角的度数为； （3）解：（人） 答：估计每周使用工具3小时及以上的学生有人． 17．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）为响应国家关于加强劳动教育的号召，某校随机抽取了部分七年级学生对他们的一周家务劳动时长（单位：小时）进行了调查，根据调查数据得到以下不完整的统计图表： 分组 A B C D 劳动时长/小时 频数/人 12 40 8 请根据信息，解答下列问题： (1)______，______； (2)将频数分布直方图补充完整； (3)若该校七年级共有600名学生，请估计每周家务劳动时长不少于2小时的学生总人数． 【答案】(1)20；54 (2) (3)每周家务劳动时长不少于2小时的学生总人数为210人 【分析】（1）用D组的人数除以所占的百分比求得抽样总人数，再减去其它组的人数即可求出m，再根据A组人数求出n； （2）根据（1）求出的数据补全即可； （3）用该校总人数乘以样本中每周家务劳动时长不少于2小时的学生所占的比例求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，D组的频率为，且D组频数为8， ∴总人数为（人）， ∴C组频数为（人）， ∵A组的频数为12， ∴； （2）略 （3）解：由题意得，“不少于2小时”对应C组和D组， ∴（人）， ∴“不少于2小时”的频率为， ∵七年级共600人， ∴估计人数为（人）． 18．（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了_______名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是_______； (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是______； (4)若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 【答案】(1)100 (2) 如图所示： (3) (4)名 【分析】（1）运用运动的人数除以占比，得出调查的学生的总人数； （2）先运用调查的学生的总人数减去其他兴趣爱好的人数，得出阅读的学生人数，再补全条形统计图，再列式计算得出阅读部分圆心角，即可作答． （3）根据调查的学生的总人数为名，爱好阅读的学生人数为名，用频率估计概率列式计算，即可作答． （4）根据样本估计总体，运用爱好运动的学生的占比乘上，计算即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（名） ∴在这次研究中，一共调查了名学生． （2）解：依题意，（名）， 补全条形统计图：略， ∴． （3）解：依题意，． （4）解：估计全校爱好运动的学生有（名）． 19．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）某人工智能公司研发了一款自动驾驶汽车的障碍物识别系统．为了测试系统的识别准确率，测试人员从真实道路场景中随机抽取图片，让系统识别其中是否存在障碍物；并记录正确识别的次数．每次识别后放回，重复上述过程．下表是试验中的一组统计数据： 测试图片数量 100 200 500 1000 2000 3000 正确识别次数 87 175 438 1780 2670 正确识别频率 0.87 0.875 0.876 0.88 0.89 (1) ， ； (2)估计该系统正确识别障碍物的概率约为 ；（结果精确到0.1） (3)下列说法错误的是 ．（填序号） ①识别障碍物4次，都识别成功了，所以第5次识别一定也成功； ②识别障碍物10次，识别成功的次数不一定是9次； ③识别障碍物30次，识别成功的次数一定是27次． 【答案】(1) ， (2) (3)①③ 【分析】（1）根据频率的计算公式：频率=正确识别次数÷测试总次数，计算和的值； （2）根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，据此估计概率并按要求取近似值； （3）根据概率的意义，概率是事件发生可能性大小的量度，不是必然结果，逐一判断各说法的正误． 【详解】（1）解：由题意得，频率 ，， 因此， . （2）解：观察表格可知，随着测试次数增大，正确识别的频率逐渐稳定在附近，因此估计该系统正确识别障碍物的概率为，精确到得； （3）解：① 概率是对事件发生可能性的估计，每次识别的结果相互独立，前4次成功不能保证第5次一定成功，所以①说法错误； ② 概率反映的是平均可能性，识别10次时，成功次数是随机的，不一定是9次，所以②说法正确； ③ 概率反映的是可能性大小，不是必然结果，识别30次时，成功次数不一定是27次，所以③说法错误； 因此说法错误的是①③． 20．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会．当转盘停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“橙汁”区域的次数 68 111 136 345 564 701 落在“橙汁”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 (1)填空：__________，__________． (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“橙汁”的概率大约是__________．（精确到0.1） (3)在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.705，0.701 (2)0.7 (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据频率的算法，频率频数÷总数，可得各个频率；填空即可； （2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率； （3）利用频率估计概率结合概率的意义可得表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是，再计算即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：0.705，0.701； （2）解：当n很大时，频率将会接近， 故获得“橙汁”的概率大约是， 故答案为：0.7； （3）解：∵获得“橙汁”的概率大约是； ∴获得“可乐”的概率大约是； 在该转盘中，表示“可乐”区域的扇形的圆心角约是． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $