（复习篇）专题03 列方程解决实际问题【思维导图+知识卡片+知识梳理+五大考点讲练+真题强化 共40题】-2026-2027学年北师大版数学五升六年级暑假衔接金牌讲义

nullnull2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 五年级/下册 小学数学 专题03 列方程解决实际问题 北 师 大 版 思维导图+知识回顾+五大考点讲练+真题强化 （共40题） 【原卷版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 形如ax士bx=c方程的解法 1.解形如“ax士bx=c”的方程时，要先运用乘法分配律转化为“（a土b）x=c”的形式，再根据等式的性质求出x的值。 2.用方程解决含有两个未知数的实际问题，设其中一个未知量为x，另一个未知量用含x的式子表示出来，根据题中的等量关系列方程解答。 知识点二 用方程解决相遇问题 1.相遇问题的特征及等量关系： 甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，相遇时两人分别走的路程之和，就是两地之间的总路程。然后根据速度、时间和路程三者之间的关系列出等量关系： （1）甲走的路程+乙走的路程=总路程 （2）甲走的路程=甲的速度×时间 （3）乙走的路程=乙的速度×时间 2.列方程解决问题的一般步骤： （1）根据题意寻找等量关系；（2）根据等量关系列出方程；（3）解方程；（4）检查结果是否正确。 考点一 列方程解和差倍问题 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁营口·期末）学校图书馆故事类图书和科普类图书一共有480本。其中故事类图书是科普类图书的2倍。两类书各有多少本？ 【变式训练1】（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）农场里的母鸡只数是公鸡的3倍，母鸡比公鸡多18只，农场里有公鸡多少只？（用方程解） 【变式训练2】（24-25五年级下·甘肃酒泉·期中）古人云：读万卷书，行万里路。图书“漂流”寄托着放漂者殷切的希望，为同学们提供了一个更广阔的阅读天地。校园楼道中一个书架分为上、下两层，下层放的书的本数是上层的1.4倍，如果从下层拿8本书放到上层，这时两层书的本数正好相等。上、下两层原来各放了多少本书？（列方程解决问题） 【变式训练3】（24-25五年级下·山西吕梁·期末）山西的母亲河是汾河，它孕育了古老的三晋文明，为山西提供了丰富的水资源。太原市汾河景区打造了雁丘园、汾河晚渡、晋汾古韵等一系列文化景观。现在景区内要用长36米的栅栏围一个长方形，长是宽的2倍，那么这个长方形区域的面积是多少平方米？（用方程解决问题） 考点二 列方程解年龄问题 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）今年爸爸的年龄比笑笑大30岁，三年后爸爸的年龄是笑笑的3倍，笑笑今年多大年龄？ 【变式训练1】（23-24五年级下·四川成都·期末）妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍多4岁，妈妈今年37岁，笑笑今年几岁？设笑笑今年x岁，根据其中的等量关系，下列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】妈妈的年龄比小丽年龄的3倍多4岁，妈妈今年37岁，小丽今年几岁？（画线段图分析题中数量关系，用算术和方程两种方法解答） 【变式训练3】今年妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍少3岁，妈妈今年39岁，笑笑今年多少岁？（列方程解答） 考点三 列方程解相遇问题 【典例精讲】（25-26五年级下·上海徐汇·阶段检测）甲乙两城相距435千米，两辆摩托车同时从两城相对开出，已知一辆摩托车每小时行84千米，另一辆摩托车每小时行90千米。多少小时后两车相遇？ 【变式训练1】（25-26五年级下·辽宁·单元复习）甲、乙两地相距840千米，一辆货车和一辆客车分别从甲乙两地同时相向开出，经过6小时相遇。客车每小时比货车快14千米，两车的速度各是多少？ 【变式训练2】（25-26五年级下·江苏宿迁·期中）甲、乙两人同时从相距1000米的两地出发，相向而行，甲每分钟行70米，乙每分钟行55米。经过几分钟两人相遇？（列方程解答） 【变式训练3】（24-25五年级下·广东惠州·期末）北京到广州的高铁线长2298千米。一列高铁从北京开出，每时行驶350千米；另一列动车从广州开出，每时行驶250千米。两列火车同时开出，经过几小时相遇？（列方程解答） 考点四 列方程解稍复杂的行程问题 【典例精讲】（23-24五年级下·四川成都·期末）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良日行二百四十里，驾马日行一百五十里。弩马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：快马每天跑240里，慢马每天跑150里。慢马先跑12天，快马( )天可以追上慢马。 【变式训练1】（25-26五年级上·四川成都·阶段检测）客车每小时行88千米，货车每小时行80千米，两车同时从A、B两地相向而行，相遇时客车比货车多行24千米。求A、B两地间的路程是( )千米。 【变式训练2】小明要在早上7：50之前到达距家1000米的学校上学。一天，小明以80米/分的速度从家出发，5分钟后，爸爸发现小明忘了带数学书，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并在中途追上了他。爸爸追上小明用了多少分钟？（列方程计算） 【变式训练3】甲、乙两队合凿一条长700米的隧道，甲队每天凿12.6米，乙队每天凿14.4米，甲队先凿了25米后，甲、乙合作开凿，合作多少天后能凿通隧道？（用方程解） 考点五 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏无锡·期中）我国元代数学家朱世杰的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几日追及之。”（用方程解答） 【变式训练1】（25-26五年级下·上海徐汇·阶段检测）列方程解决问题。小巧以65米/分的步行速度从家里出发去少年宫。出发16分钟后，妈妈发现小巧把一份材料忘在家里了，于是骑车以195米/分的速度去追。妈妈出发后多久能追上小巧？此时小巧离家多少米远？ 【变式训练2】（24-25五年级下·江苏无锡·期中）一辆汽车从甲地匀速开往乙地，第一小时行了45千米，照这样的速度，比原计划要晚2小时到达，于是后面就以每小时60千米的速度行驶，结果比原来早到1小时，甲乙两地相距多少千米？ 【变式训练3】（2025·重庆渝北·小升初真题）小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，_________分钟能追上。 1．（24-25五年级下·山西大同·期末）五年级的小明和爸爸、妈妈准备到游乐园游玩，妈妈在网上购买了3张门票，共花了502元。每张学生票多少元？如果设每张学生票x元，列出方程“x＋2×184＝502”，还需要补充的信息是（    ）。 A．每张成人票184元 B．成人票的票价是学生票的2倍 C．每张成人票比学生票贵2元 D．每张学生票比成人票便宜184元 2．（24-25五年级下·陕西汉中·期末）甲乙两辆汽车同时从相距360千米的两地相对开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时行50千米，经过几小时两车相遇？如果设经过x小时两车相遇，下列方程错误的是（    ）。 A．40x＋50x＝360 B．（40＋50）x＝360 C．40＋50x＝360 D．40x＝360－50x 3．（24-25五年级下·甘肃酒泉·期中）某电影院的座位以中间过道为分界线，左区为奇数号，右区为偶数号。小明买了四张相邻座位的票，座位号相加的和正好是60，这四张票中最小的座位号是（    ）。 A．10 B．11 C．12 D．13 4．（25-26六年级上·湖北宜昌·期末）如图，要求一共有多少本？下面列式错误的是（    ）。 A． B． C． D． 5．（2023·四川成都·小升初真题）电影票有10元、15元和20元三种票价，班长用了500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）。 A．20张 B．15张 C．10张 D．5张 6．（21-22五年级下·辽宁·假期作业）甲、乙两车同时从两地出发，相向而行。甲车每时行105千米，5时后两车在距中点30千米处相遇。若乙车慢一些，则乙车每时行（    ）千米。 A．93 B．99 C．111 7．（24-25五年级下·广东揭阳·期末）奇思和妙想约好周末出去玩，两家相距2500m，奇思每分步行80m，妙想每分步行70m，奇思出发5分钟后妙想才从家出发。妙想出发( )分后两人相遇。 8．（24-25五年级下·山西临汾·期末）为了丰富同学们的校园生活，学校开展了各种社团活动，合唱社团中的女生人数是男生人数的2.5倍，女生比男生多30人，根据这些信息，林林提出了一个数学问题，并用方程“2.5x－x＝30”来解决，请你推断一下，他提出的问题是( )，这个方程的解是( )。 9．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）北京和大连相距920千米。甲乙两辆汽车同时从北京和大连相对开出，4小时后两车相遇，甲车每小时行120千米，乙车每小时行( )千米。 10．（24-25五年级下·全国·单元测试）如下图，正五边形的周长比等边三角形的周长长10cm，正五边形的周长是( )cm，等边三角形的周长是( )cm。 11．五年级一班有女生32人，比男生的2倍少22人，则五年级一班的女生比男生多。( )（判断对错） 12．比一个数的3倍还多12的数是50，那么这个数是162。( )（判断对错） 13．（24-25五年级下·陕西汉中·期末）解方程。 4x－x＝69         14．（24-25五年级下·吉林长春·期末）相遇问题 (1)明明和亮亮同时分别从甲、乙两地相向而行，估计两人在何处相遇，用“”在图中标出来。 (2)出发多少分后两人相遇？（列方程解答） 15．（24-25五年级下·四川成都·期末）淘气有大小两本集邮册，大集邮册中的邮票张数比小集邮册中的邮票张数多60张，并且大集邮册中的邮票张数正好是小集邮册中邮票张数的4倍，这两本集邮册中分别有多少张邮票？（列方程解答）。 16．（24-25五年级下·辽宁沈阳·期末）沈阳到天津的铁路全长是693千米，甲、乙两辆列车同时从两地相对开出，1.8小时后相遇，甲列车平均每时行驶197千米，乙列车平均每时行驶多少千米？（列方程解答） 17．（25-26五年级下·湖南永州·期末）甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，甲车每小时行52千米，乙车每小时行48千米，两车在距中点6千米处相遇。A、B两地相距多少千米？ 18．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）夏至是北半球一年中白昼时间最长、黑夜时间最短的一天。如果大连这一天的黑夜时间是白昼时间的，那么大连夏至这天白昼和黑夜各有多少时？（列方程解答） 19．（24-25五年级下·辽宁营口·期末）甲、乙两车同时从同一地点出发反向而行，甲车速度50千米/时，乙车速度60千米/时，几时后两车相距220千米？（先写出等量关系，再列方程解决问题） 20．（25-26五年级上·陕西西安·期中）儿童服装商店按批发价购进一批女童装上衣，批发价每件40.5元，零售价每件50元。当销售到仅剩4件时，发现除去购进时的全部成本外，还盈利85元。儿童服装商店共购进这种女童装上衣多少件？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 五年级/下册 小学数学 专题03 列方程解决实际问题 北 师 大 版 思维导图+知识回顾+五大考点讲练+真题强化 （共40题） 【解析版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 形如ax士bx=c方程的解法 1.解形如“ax士bx=c”的方程时，要先运用乘法分配律转化为“（a土b）x=c”的形式，再根据等式的性质求出x的值。 2.用方程解决含有两个未知数的实际问题，设其中一个未知量为x，另一个未知量用含x的式子表示出来，根据题中的等量关系列方程解答。 知识点二 用方程解决相遇问题 1.相遇问题的特征及等量关系： 甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，相遇时两人分别走的路程之和，就是两地之间的总路程。然后根据速度、时间和路程三者之间的关系列出等量关系： （1）甲走的路程+乙走的路程=总路程 （2）甲走的路程=甲的速度×时间 （3）乙走的路程=乙的速度×时间 2.列方程解决问题的一般步骤： （1）根据题意寻找等量关系；（2）根据等量关系列出方程；（3）解方程；（4）检查结果是否正确。 考点一 列方程解和差倍问题 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁营口·期末）学校图书馆故事类图书和科普类图书一共有480本。其中故事类图书是科普类图书的2倍。两类书各有多少本？ 【答案】科普类：160本；故事类：320本 【思路引导】设科普类图书有x本，故事类图书是科普类图书的2倍，即故事类图书有2x本，故事类图书＋科普类图书＝480本。列方程：2x＋x＝480，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设科普类图书有x本，则故事类图书有2x本。 2x＋x＝480 3x＝480 3x÷3＝480÷3 x＝160 故事类图书：160×2＝320（本） 答：科普类图书有160本，故事类图书有320本。 【变式训练1】（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）农场里的母鸡只数是公鸡的3倍，母鸡比公鸡多18只，农场里有公鸡多少只？（用方程解） 【答案】只 【思路引导】设公鸡养了只，那么母鸡的只数是只，等量关系为：母鸡的只数公鸡的只数，据此列方程求出公鸡只数，进而求出母鸡只数。 【规范解答】解：设公鸡养了只，则母鸡养了只。 答：农场里有公鸡只。 【变式训练2】（24-25五年级下·甘肃酒泉·期中）古人云：读万卷书，行万里路。图书“漂流”寄托着放漂者殷切的希望，为同学们提供了一个更广阔的阅读天地。校园楼道中一个书架分为上、下两层，下层放的书的本数是上层的1.4倍，如果从下层拿8本书放到上层，这时两层书的本数正好相等。上、下两层原来各放了多少本书？（列方程解决问题） 【答案】上层：40本，下层：56本 【思路引导】根据题意，数量关系为：下层原来的本数－8 ＝上层原来的本数＋8。可以设上层原来有x本书，求倍数，用乘法，则下层原来有1.4x本书，据此列出方程1.4x－8＝x＋8，然后求解。 【规范解答】解：设上层原来放了x本书，则下层原来放了1.4x本书。 1.4x－8＝x＋8 1.4x－8＋8＝x＋8＋8 1.4x＝x＋16 1.4x－x＝x－x＋16 0.4x＝16 0.4x÷0.4＝16÷0.4 x＝40 1.4x＝1.4×40＝56 答：上层原来放了40本书，下层原来放了56本书。 【变式训练3】（24-25五年级下·山西吕梁·期末）山西的母亲河是汾河，它孕育了古老的三晋文明，为山西提供了丰富的水资源。太原市汾河景区打造了雁丘园、汾河晚渡、晋汾古韵等一系列文化景观。现在景区内要用长36米的栅栏围一个长方形，长是宽的2倍，那么这个长方形区域的面积是多少平方米？（用方程解决问题） 【答案】72平方米 【思路引导】用长36米的栅栏围一个长方形，即长方形的周长是36米，已知长是宽的2倍，设宽是x米，则长是2x米；根据“长方形周长＝（长＋宽）×2”可列出方程（2x＋x）×2＝36，先计算出x＋2x，然后根据等式的性质，方程两边同时除以2，再同时除以3求解出x，即长方形的宽；把x的值代入2x中，计算出2x的值，即长方形的长；最后根据“长方形面积＝长×宽”计算出这个长方形区域的面积。 【规范解答】解：设这个长方形区域的宽是x米，则长是2x米。 （2x＋x）×2＝36 3x×2＝36 3x×2÷2＝36÷2 3x＝18 3x÷3＝18÷3 x＝6 2x＝2×6＝12 12×6＝72（平方米） 答：这个长方形区域的面积是72平方米。 考点二 列方程解年龄问题 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）今年爸爸的年龄比笑笑大30岁，三年后爸爸的年龄是笑笑的3倍，笑笑今年多大年龄？ 【答案】12岁 【思路引导】由题意可知，无论过多少年，爸爸和笑笑的年龄差不变，把三年后笑笑的年龄设为未知数，三年后爸爸的年龄＝三年后笑笑的年龄×3，等量关系式：三年后爸爸的年龄－三年后笑笑的年龄＝30岁，列方程求出三年后笑笑的年龄，今年笑笑的年龄＝三年后笑笑的年龄－3岁，据此解答。 【规范解答】解：设三年后笑笑x岁，则三年后爸爸3x岁。 3x－x＝30 2x＝30 2x÷2＝30÷2 x＝15 15－3＝12（岁） 答：笑笑今年12岁。 【变式训练1】（23-24五年级下·四川成都·期末）妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍多4岁，妈妈今年37岁，笑笑今年几岁？设笑笑今年x岁，根据其中的等量关系，下列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】设笑笑今年x岁，根据等量关系笑笑年龄×3＋4岁＝妈妈的年龄，逐项判断即可。 【规范解答】A．，表示妈妈的年龄比笑笑年龄的4倍多3岁，该选项错误。 B．，表示妈妈的年龄比笑笑年龄的4倍少3岁，该选项错误。 C．，表示妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍多4岁，该选项正确。 D．，表示妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍少4岁，该选项错误。 故答案为：C 【变式训练2】妈妈的年龄比小丽年龄的3倍多4岁，妈妈今年37岁，小丽今年几岁？（画线段图分析题中数量关系，用算术和方程两种方法解答） 【答案】11岁 【思路引导】（1）根据倍数关系，先用37减去4求出小丽年龄的3倍是多少，然后再除以3即可； （2）根据题意可得等量关系式：小丽年龄的年龄×3＋4岁＝妈妈的年龄，列出方程解答即可。 【规范解答】作图如下： （1）（37－4）÷3 ＝33÷3 ＝11（岁） （2）解：设小丽今年x岁。 3x＋4＝37 3x＋4－4＝37－4 3x÷3＝33÷3 x＝11 答：小丽今年11岁。 【考点剖析】解答本题关键是理解算法的多样性，理解数量之间的互逆关系。 【变式训练3】今年妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍少3岁，妈妈今年39岁，笑笑今年多少岁？（列方程解答） 【答案】14岁 【思路引导】根据题目可知，妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍少3岁，可以设笑笑的年龄为x岁，则妈妈的年龄＝笑笑年龄×3－3，把x代入等式即可列方程，再解答即可。 【规范解答】解：设笑笑今年x岁。 3x－3＝39 3x＝39＋3 3x＝42 x＝42÷3 x＝14 答：笑笑今年14岁。 【考点剖析】本题主要考查列方程解应用题，应找准等量关系再列方程。 考点三 列方程解相遇问题 【典例精讲】（25-26五年级下·上海徐汇·阶段检测）甲乙两城相距435千米，两辆摩托车同时从两城相对开出，已知一辆摩托车每小时行84千米，另一辆摩托车每小时行90千米。多少小时后两车相遇？ 【答案】 2.5小时 【思路引导】设小时后两车相遇。先将两辆摩托车的速度求和计算出速度和；再根据等量关系“速度和×相遇时间＝总路程”列出方程并求解。 【规范解答】解：设小时后两车相遇。 答：2.5小时后两车相遇。 【变式训练1】（25-26五年级下·辽宁·单元复习）甲、乙两地相距840千米，一辆货车和一辆客车分别从甲乙两地同时相向开出，经过6小时相遇。客车每小时比货车快14千米，两车的速度各是多少？ 【答案】货车速度63千米/时；客车速度77千米/时 【思路引导】设货车的速度为x千米/时，由“客车每小时比货车快14千米”可知，客车的速度＝货车的速度＋14，用含x的式子表示出客车的速度；根据路程＝速度×时间，由等量关系：货车行驶的路程＋客车行驶的路程＝840千米，列出方程并解答。 【规范解答】解：设货车的速度为x千米/时，则客车的速度为（x＋14）千米/时。 6x＋（x＋14）×6＝840 6x＋6x＋84＝840 12x＋84＝840 12x＝756 x＝63 x＋14＝63＋14＝77（千米/时） 答：货车的速度为63千米/时，客车的速度为77千米/时。 【变式训练2】（25-26五年级下·江苏宿迁·期中）甲、乙两人同时从相距1000米的两地出发，相向而行，甲每分钟行70米，乙每分钟行55米。经过几分钟两人相遇？（列方程解答） 【答案】8分钟 【思路引导】用甲和乙两人的速度和乘行驶的时间即为两地之间的距离1000米，设经过x分钟两人相遇，根据“时间×速度和＝距离”即可列方程并求解。 【规范解答】解：设经过x分钟两人相遇。 （70＋55）x＝1000 125x＝1000 125x÷125＝1000÷125 x＝8 答：经过8分钟两人相遇。 【变式训练3】（24-25五年级下·广东惠州·期末）北京到广州的高铁线长2298千米。一列高铁从北京开出，每时行驶350千米；另一列动车从广州开出，每时行驶250千米。两列火车同时开出，经过几小时相遇？（列方程解答） 【答案】3.83小时 【思路引导】根据两车的速度和×相遇时间＝两地之间的距离，设经过x小时两车相遇，列出方程解答即可。 【规范解答】解：设经过x小时两车相遇。 （350＋250）×x＝2298 600x＝2298 600x÷600＝2298÷600 x＝3.83 答：经过3.83小时两车相遇。 考点四 列方程解稍复杂的行程问题 【典例精讲】（23-24五年级下·四川成都·期末）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良日行二百四十里，驾马日行一百五十里。弩马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：快马每天跑240里，慢马每天跑150里。慢马先跑12天，快马( )天可以追上慢马。 【答案】20 【思路引导】根据题意，可以设快马x天可以追上慢马；根据路程＝速度×时间；快马每天跑240里，x天可以跑240x里；慢马每天跑150里，12天跑150×12里，x天跑150x里；快马跑的路程＝慢马12天跑的路程＋x天跑的路程，列方程：240x＝150×12＋150x，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设快马x天可以追上慢马。 240x＝150×12＋150x 240x－150x＝1800 90x＝1800 x＝1800÷90 x＝20 快马20天可以追上慢马。 【变式训练1】（25-26五年级上·四川成都·阶段检测）客车每小时行88千米，货车每小时行80千米，两车同时从A、B两地相向而行，相遇时客车比货车多行24千米。求A、B两地间的路程是( )千米。 【答案】504 【思路引导】设x小时两个相遇。根据路程＝速度×时间，可以表示出客车和货车的路程，二者相减等于相遇时客车比货车多行的24千米，列出方程后，解方程，可求得相遇的时间，再计算出各自的路程后相加，即可求得A、B两地间的路程是多少千米。 【规范解答】设x小时两车相遇。 88x－80x＝24 8x＝24 8x÷8＝24÷8 x＝3 88x＋80x＝168x＝168×3＝504 所以A、B两地间的路程是504千米。 【变式训练2】小明要在早上7：50之前到达距家1000米的学校上学。一天，小明以80米/分的速度从家出发，5分钟后，爸爸发现小明忘了带数学书，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并在中途追上了他。爸爸追上小明用了多少分钟？（列方程计算） 【答案】4分钟 【思路引导】设小明爸爸追上小明用了x分钟，由题意知小明比爸爸多走5分钟且找出等量关系，小明和他爸爸走的路程一样，由此等量关系列出方程求解。 【规范解答】解：设爸爸追上小明用了x分钟。 180x－80x＝80×5 100x＝400 x＝4 答：爸爸追上小明用了4分钟。 【考点剖析】关键在于弄清题意，找出等量关系即：小明爸爸和小明所行路程相等，列出方程求解。 【变式训练3】甲、乙两队合凿一条长700米的隧道，甲队每天凿12.6米，乙队每天凿14.4米，甲队先凿了25米后，甲、乙合作开凿，合作多少天后能凿通隧道？（用方程解） 【答案】25天 【思路引导】甲队先凿了25米后，这条隧道剩（700－25）米，由甲、乙合作开凿，根据工作效率×工作时间＝工程量列方程并求解。 【规范解答】解：设合作x天后能凿通隧道。 （12.6＋14.4）x＝700－25 27x＝675 x＝25 答：合作25天后能凿通隧道。 【考点剖析】本题考查利用方程解决问题，关键是掌握工作效率×工作时间＝工程量这一等量关系。 考点五 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏无锡·期中）我国元代数学家朱世杰的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几日追及之。”（用方程解答） 【答案】20日 【思路引导】当良马追上驽马时，良马行驶的路程等于驽马行驶的总路程。驽马先行12日，若设良马追及用了x日，则驽马一共行驶了（12＋x）日。运用“路程＝速度×时间”，分别表示出两马行驶的路程。根据等量关系“良马x日行驶的路程＝驽马（12＋x）日行驶的路程”，列出方程求解即可。 【规范解答】解：设良马x日追及之。 240x＝150×（12＋x） 240x＝150×12＋150×x 240x＝1800＋150x 240x－150x ＝1800＋150x－150x 90x＝1800 90x÷90＝1800÷90 x＝20 答：良马20日追及之。 【变式训练1】（25-26五年级下·上海徐汇·阶段检测）列方程解决问题。小巧以65米/分的步行速度从家里出发去少年宫。出发16分钟后，妈妈发现小巧把一份材料忘在家里了，于是骑车以195米/分的速度去追。妈妈出发后多久能追上小巧？此时小巧离家多少米远？ 【答案】 8分钟；1560米 【思路引导】由题可知：二人路程相等，路程＝速度×时间，妈妈骑车的时间＋16分钟＝小巧行走的时间，妈妈的速度×妈妈所用时间＝小巧的速度×小巧所用时间；设妈妈出发x分钟后能追上小巧，列出方程求解；妈妈的速度×所用时间＝小巧与家的距离。 【规范解答】解：设妈妈出发x分钟后能追上小巧。 195x＝65（x＋16） 195x＝65x＋1040 195x－65x＝65x－65x＋1040 130x＝1040 130x÷130＝1040÷130 x＝8 195×8＝1560（米） 答：妈妈出发后8分钟能追上小巧，此时小巧离家1560米远。 【变式训练2】（24-25五年级下·江苏无锡·期中）一辆汽车从甲地匀速开往乙地，第一小时行了45千米，照这样的速度，比原计划要晚2小时到达，于是后面就以每小时60千米的速度行驶，结果比原来早到1小时，甲乙两地相距多少千米？ 【答案】585千米 【思路引导】无论汽车如何行驶，甲乙两地之间的总路程是不变的。设原计划到达的时间为x小时，等量关系：45×（原计划时间＋2）＝45＋60×（原计划时间－1－1），据此列出方程，并求出原计划时间，进而求出总路程。 【规范解答】解：设原计划到达的时间为x小时。 45×（x＋2）＝45＋60×（x－1－1） 45x＋45×2＝45＋60×（x－2） 45x＋90＝45＋60x－60×2 45x＋90＝45＋60x－120 45x＋90＝60x－75 45x＋90－45x ＝60x－75－45x 15x－75＝90 15x－75＋75＝90＋75 15x＝165 15x÷15＝165÷15 x＝11 甲乙两地相距： 45×（11＋2） ＝45×13 ＝585（千米） 答：甲乙两地相距585千米。 【变式训练3】（2025·重庆渝北·小升初真题）小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，_________分钟能追上。 【答案】45 【思路引导】设小明步行的速度为x千米/小时。追及问题的公式为：追及路程＝（追及者速度－被追者速度）×追及时间，骑自行车追及为：（15－x）×3（速度差15－x，时间3小时）；骑摩托车追及为：（35－x）×1（速度差35－x，时间1小时）。因为初始距离不变，建立方程：（15－x）×3＝（35－x）×1，然后解方程得出x的值后。那么初始距离为（35－5）×1＝30×1＝30千米，汽车速度为45千米/小时，速度差为45－5＝40千米/小时。根据追及公式，追及时间＝初始距离÷速度差，用30除以40得出结果后，把单位换算成分钟即可。 【规范解答】解：设小明步行的速度为x千米/小时。 （15－x）×3＝（35－x）×1 45－3x＝35－x 45－3x＋3x＝35－x＋3x 45＝35＋2x 35＋2x＝45 35＋2x－35＝45－35 2x＝10 2x÷2＝10÷2 x＝5 （35－5）×1 ＝30×1 ＝30（千米） 45－5＝40（千米/小时） 30÷40＝0.75（小时） 1小时＝60分钟 0.75×60＝45（分钟） 若开汽车，每小时行45千米，45分钟能追上。 【考点剖析】本题主要考查利用方程法解答追及问题，核心公式为：追及路程=速度差×追及时间），通过设定未知数、利用“追及路程不变”的隐含条件建立方程，求解被追者速度与初始追及路程，再代入公式计算不同追及速度和时间。 1．（24-25五年级下·山西大同·期末）五年级的小明和爸爸、妈妈准备到游乐园游玩，妈妈在网上购买了3张门票，共花了502元。每张学生票多少元？如果设每张学生票x元，列出方程“x＋2×184＝502”，还需要补充的信息是（    ）。 A．每张成人票184元 B．成人票的票价是学生票的2倍 C．每张成人票比学生票贵2元 D．每张学生票比成人票便宜184元 【答案】A 【思路引导】根据题意可知，小明和爸爸、妈妈一共三个人，设每张学生票的钱数，根据列出的方程可知，x是学生票，2×184是两张成人票的价钱，184是一张成人票的价钱，由此可知，需要补充的信息是每张成人票184元，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，五年级的小明和爸爸、妈妈准备到游乐园游玩，妈妈在网上购买了3张门票，共花了502元。每张学生票多少元？如果设每张学生票x元，列出方程“x＋2×184＝502”，还需要补充的信息是每张成人票184元。 2．（24-25五年级下·陕西汉中·期末）甲乙两辆汽车同时从相距360千米的两地相对开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时行50千米，经过几小时两车相遇？如果设经过x小时两车相遇，下列方程错误的是（    ）。 A．40x＋50x＝360 B．（40＋50）x＝360 C．40＋50x＝360 D．40x＝360－50x 【答案】C 【思路引导】设相遇时间为小时，根据“路程＝速度×时间” 表示出甲、乙两车的路程；再根据“甲车路程＋乙车路程＝总路程” 列出方程，逐一判断选项即可。 【规范解答】根据题意：甲车行驶的路程是千米，乙车行驶的路程是千米。 A．，表示甲车路程加上乙车路程等于总路程，符合相遇问题的数量关系，此选项正确； B．，表示甲乙两车的速度和乘相遇时间等于总路程，符合相遇问题的数量关系，此选项正确； C．，式子中表示甲车速度，表示乙车路程，速度与路程不能直接相加，不符合数量关系，此选项错误； D．，表示甲车路程等于总路程减去乙车路程，符合相遇问题的数量关系，此选项正确。 3．（24-25五年级下·甘肃酒泉·期中）某电影院的座位以中间过道为分界线，左区为奇数号，右区为偶数号。小明买了四张相邻座位的票，座位号相加的和正好是60，这四张票中最小的座位号是（    ）。 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【思路引导】分析题目，因为小明买的是“相邻座位”，说明这四张票在同一个区域，所以它们要么是连续的奇数，要么是连续的偶数，相邻的两个奇数或相邻的两个偶数都相差2，设最小的数是x，其它的座位号依次是x＋2，x＋2＋2，x＋2＋2＋2，再根据座位号相加是60列出方程，进一步解出方程即可。 【规范解答】解：设最小的座位号是x。 x＋（x＋2）＋（x＋2＋2）＋（x＋2＋2＋2）＝60 4x＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝60 4x＋12＝60 4x＋12－12＝60－12 4x＝48 4x÷4＝48÷4 x＝12 这四张票中最小的座位号是12。 4．（25-26六年级上·湖北宜昌·期末）如图，要求一共有多少本？下面列式错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由图可知，一共有x本书，售出的288本是总数的。那么总数×＝售出，售出÷总数＝，售出÷＝总数，根据这几个等量关系，分析选项式子的正误即可。 【规范解答】A．体现了总数×＝售出，列式正确； B．体现了售出÷＝总数，列式正确； C．没有体现图中等量关系，列式错误； D．体现了售出÷＝总数，列式正确； 列式错误的是。 5．（2023·四川成都·小升初真题）电影票有10元、15元和20元三种票价，班长用了500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（    ）。 A．20张 B．15张 C．10张 D．5张 【答案】C 【思路引导】假设10元的买了x张，15元的买了y张，20元的买了z张，班长用了500元买了30张电影票，则10x＋15y＋20z＝500，共买了30张，也就是x＋y＋z＝30，则y＝30－x－z，把y＝30－x－z代入到10x＋15y＋20z＝500中可得：z－x＝10。 【规范解答】设这三种票分别买x、y、z张。 x＋y＋z＝30，则y＝30－x－z 10x＋15y＋20z＝500 将y＝30－x－z带入10x＋15y＋20z＝500中 10x＋15×（30－x－z）＋20z＝500 10x＋450－15x－15z＋20z＝500 5z－5x＋450＝500 5z－5x＝500－450 5z－5x＝50 5×（z－x）＝50 z－x＝50÷5 z－x＝10 故答案为：C 6．（21-22五年级下·辽宁·假期作业）甲、乙两车同时从两地出发，相向而行。甲车每时行105千米，5时后两车在距中点30千米处相遇。若乙车慢一些，则乙车每时行（    ）千米。 A．93 B．99 C．111 【答案】A 【思路引导】根据题意可知，乙车慢一些，两车在距离中点30千米处相遇，说明甲车比乙车多行了两个30千米，设乙车每小时行驶x千米，5小时行驶5x千米，甲车5小时行驶105×5千米，用甲车行驶的距离－乙车行驶的距离＝甲车比乙车多行的距离，列方程：105×5－5x＝30×2，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设乙车每小时行x千米。 105×5－5x＝30×2 525－5x＝60 5x＝525－60 5x＝465 x＝465÷5 x＝93 故答案为：A 【考点剖析】解答本题的关键明确，甲车与乙车相遇时甲车行驶的距离比乙车多两个30千米。 7．（24-25五年级下·广东揭阳·期末）奇思和妙想约好周末出去玩，两家相距2500m，奇思每分步行80m，妙想每分步行70m，奇思出发5分钟后妙想才从家出发。妙想出发( )分后两人相遇。 【答案】14 【思路引导】先根据路程＝速度×时间，求出奇思5分钟步行的路程，再用总路程减去奇思5分钟步行的路程，即可得到奇思和妙想需要合走的路程，设妙想出发x分后两人相遇，根据等量关系：奇思的速度×相遇时间（x）＋妙想的速度×相遇时间（x）＝2500－奇思的速度×5列出方程，进一步解出方程即可。 【规范解答】解：设妙想出发x分后两人相遇。 80x＋70x＝2500－80×5 80x＋70x＝2500－400 150x＝2100 150x÷150＝2100÷150 x＝14 妙想出发14分后两人相遇。 8．（24-25五年级下·山西临汾·期末）为了丰富同学们的校园生活，学校开展了各种社团活动，合唱社团中的女生人数是男生人数的2.5倍，女生比男生多30人，根据这些信息，林林提出了一个数学问题，并用方程“2.5x－x＝30”来解决，请你推断一下，他提出的问题是( )，这个方程的解是( )。 【答案】 男生有多少人 x＝20 【思路引导】题干中提到合唱社团中的女生人数是男生人数的2.5倍，女生比男生多30人，而方程为：2.5x－x＝30， 两个量的差是30，说明2.5x表示的是女生，x表示的是男生，女生人数是男生人数的2.5倍，符合题意，再求解即可。 【规范解答】解：设男生的人数为x人。 2.5x－x＝30 （2.5－1）x＝30 1.5x＝30 x＝30÷1.5 x＝20 他提出的问题是男生有多少人，这个方程的解是x＝20。 9．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）北京和大连相距920千米。甲乙两辆汽车同时从北京和大连相对开出，4小时后两车相遇，甲车每小时行120千米，乙车每小时行( )千米。 【答案】110 【思路引导】把乙车每小时行驶的路程设为未知数，等量关系式：（甲车的速度＋乙车的速度）×相遇时间＝北京和大连之间的总路程，据此列方程解答。 【规范解答】解：设乙车每小时行x千米。 （120＋x）×4＝920 （120＋x）×4÷4＝920÷4 120＋x＝230 120＋x－120＝230－120 x＝110 10．（24-25五年级下·全国·单元测试）如下图，正五边形的周长比等边三角形的周长长10cm，正五边形的周长是( )cm，等边三角形的周长是( )cm。 【答案】 25 15 【思路引导】由图可知，正五边形与等边三角形的边长相等，设等边三角形的边长是x厘米，那么等边三角形的周长是3x厘米，正五边形的周长是5x厘米；已知正五边形的周长比等边三角形的周长长10cm，即正五边形的周长等边三角形的周长＝10，据此列方程并求出等边三角形的边长；最后再求出正五边形和等边三角形的周长，据此解答。 【规范解答】解：设等边三角形的边长是x厘米。                          正五边形的周长：（厘米） 等边三角形的周长：（厘米） 因此，正五边形的周长是25厘米，等边三角形的周长是15厘米。 【考点剖析】本题的关键在于从图中找出正五边形的边长与等边三角形边长之间的关系，据此设未知数并列方程求解。 11．五年级一班有女生32人，比男生的2倍少22人，则五年级一班的女生比男生多。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】设男生人数是x人，女生人数比男生的2倍少22人，即男生人数×2－23＝女生人数，列方程：2x－22＝32，解方程。求出五年一班的男生人数，再和女生人数比较，即可解答。 【规范解答】解：设男生人数是x人。 2x－22＝32 2x＝32＋22 2x＝54 x＝54÷2 x＝27 27＜32 如五年级一班有女生32人，比男生的2倍少23人，则五年级一班的女生比男生多。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【考点剖析】本题考查了列方程解应用题，利用男生与女生人数之间的关系，设出未知数，找出相关的量。列方程，解放程。 12．比一个数的3倍还多12的数是50，那么这个数是162。( )（判断对错） 【答案】× 【规范解答】设这个数是x，依据题意3x加12等于50可列方程：3x＋12＝50，依据等式的性质，方程两边同时减12，再同时除以3求解。 【解答】解：设这个数是x 3x＋12＝50       3x＋12－12＝50－12 3x＝38 3x÷3＝38÷3 x＝ 这个数是。 所以这个数是，原题干计算错误； 故答案为：× 【考点剖析】列出方程并依据等式的性质解方程是本题考查知识点。 13．（24-25五年级下·陕西汉中·期末）解方程。 4x－x＝69         【答案】x＝23； 【思路引导】，先根据乘法分配律计算＝（4－1）＝3，再根据等式的性质2，两边同时除以3，即可解答； ，根据等式的性质2，两边同时除以，即可解答； 【规范解答】 解： 解： 14．（24-25五年级下·吉林长春·期末）相遇问题 (1)明明和亮亮同时分别从甲、乙两地相向而行，估计两人在何处相遇，用“”在图中标出来。 (2)出发多少分后两人相遇？（列方程解答） 【答案】(1) (2)20分 【思路引导】（1）由图知，明明速度比亮亮速度快，相遇时明明走的路程比亮亮多，故相遇地点靠近亮亮出发的乙地一侧。 （2）设出发分后两人相遇，两人相向而行，总路程为2200米，根据“路程＝速度×时间”分别表示求出明明和亮亮走的路程，再根据“明明走的路程＋亮亮走的路程＝2200”，列出方程并解答。 【规范解答】（1）略 （2）解：设出发分后两人相遇，则明明走的路程是60米，亮亮走的路程是50米。 答：出发20分后两人相遇。 15．（24-25五年级下·四川成都·期末）淘气有大小两本集邮册，大集邮册中的邮票张数比小集邮册中的邮票张数多60张，并且大集邮册中的邮票张数正好是小集邮册中邮票张数的4倍，这两本集邮册中分别有多少张邮票？（列方程解答）。 【答案】80张；20张 【思路引导】根据数量关系式：大集邮册中的邮票张数－小集邮册中的邮票张数＝60，设未知数，列方程解答。 【规范解答】解：设小集邮册中有x张邮票，则大集邮册中有4x张邮票 4x－x＝60 （4－1）x＝60 3x＝60 3x÷3＝60÷3 x＝20 20×4＝80（张） 答：大集邮册中有80张邮票，小集邮册中有20张邮票。 16．（24-25五年级下·辽宁沈阳·期末）沈阳到天津的铁路全长是693千米，甲、乙两辆列车同时从两地相对开出，1.8小时后相遇，甲列车平均每时行驶197千米，乙列车平均每时行驶多少千米？（列方程解答） 【答案】188千米 【思路引导】根据相遇问题可得出等量关系：（甲车的速度＋乙车的速度）×相遇时间＝沈阳到天津的铁路全长，据此列出方程，并求解。 【规范解答】解：设乙列车平均每时行驶千米。 （197＋）×1.8＝693 （197＋）×1.8÷1.8＝693÷1.8 197＋＝385 197＋－197＝385－197 ＝188 答：乙列车平均每时行驶188千米。 17．（25-26五年级下·湖南永州·期末）甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，甲车每小时行52千米，乙车每小时行48千米，两车在距中点6千米处相遇。A、B两地相距多少千米？ 【答案】300千米 【思路引导】甲车速度大于乙车，根据路程＝速度×时间可知，相同时间内甲车行驶的路程大于乙车。在两车相遇时，甲车行驶的路程比A、B两地距离的一半多6千米，乙车行驶的路程比A、B两地距离的一半少6千米；设两车经过x小时相遇，根据甲车行驶的路程－6＝A、B两地距离的一半＝乙车行驶的路程＋6列出方程，求出相遇时间，再根据甲乙两车速度之和×相遇时间＝A、B两地的距离解答。 【规范解答】解：设经过x小时两车相遇。 52x－6＝48x＋6 52x－48x＝6＋6 4x＝12 x＝3 （52＋48）×3 ＝100×3 ＝300（千米） 答：经过3小时两车相遇，A、B两地相距300千米。 18．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）夏至是北半球一年中白昼时间最长、黑夜时间最短的一天。如果大连这一天的黑夜时间是白昼时间的，那么大连夏至这天白昼和黑夜各有多少时？（列方程解答） 【答案】白昼15小时；黑夜9小时 【思路引导】黑夜时间是白昼时间的，白昼时间是单位“1”，设白昼时间为x小时，黑夜时间为x小时。一天有24小时，白昼加黑夜等于24，根据这个等量关系列方程。 【规范解答】解：设白昼时间为小时，则黑夜时间为小时。 黑夜：（小时） 答：大连夏至这天白昼有15小时，黑夜有9小时。 19．（24-25五年级下·辽宁营口·期末）甲、乙两车同时从同一地点出发反向而行，甲车速度50千米/时，乙车速度60千米/时，几时后两车相距220千米？（先写出等量关系，再列方程解决问题） 【答案】2时 【思路引导】设两车行驶时间为未知数，根据“路程＝速度×时间”分别表示出甲、乙两车行驶的路程；因为两车反向而行，所以甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝两车相距的距离，据此列出方程并解答。 【规范解答】甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝两车相距的距离 解：设时后两车相距220千米，则甲车行驶的路程为千米，乙车行驶的路程为。 答：2时后两车相距220千米。 20．（25-26五年级上·陕西西安·期中）儿童服装商店按批发价购进一批女童装上衣，批发价每件40.5元，零售价每件50元。当销售到仅剩4件时，发现除去购进时的全部成本外，还盈利85元。儿童服装商店共购进这种女童装上衣多少件？ 【答案】30件 【思路引导】设共购进这种女童装上衣件，则卖出件，根据单价×数量＝总价，可得总收入为元，总成本为元，根据总收入－总成本＝盈利钱数，列出方程解答即可。 【规范解答】解：设共购进这种女童装上衣件。 答：儿童服装商店共购进这种女童装上衣30件。 【考点剖析】本题主要考查列方程解应用题，关键是找到等量关系，同时要注意利润是售价减成本。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 暑假衔接 专题03列方程解决实际问题 思维导图+知识回顾+五大考点讲练+真题强化 (共40题) 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 小学数学 五年级/下册 北 师 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 5 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难，点专题内容强化复习， 讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内 容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。 解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！ 希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 1.解形如“ax土bx=c”的方程 要先运用乘法分配律转化为“(a士b)x=c” 的形式，再根据等式的性质求出×的值。 一、知识点一 设其中一个未知量为x,另一个未知量用含x 形如ax士bx=c 2.含有两个未知数的实际问题一 的式子表示出来，根据题中的等量关系列方 方程的解法 程解答。 解题关键： ①找准等量关系 ②合理设未知数 ③列方程并求解 ④检验并答题 北师大版五年级数学下册 1.相遇问题的特征及等量关系 专题03 安圣 甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，相遇时两人分别走的路程之和， 就是两地之间的总路程。 列方程解决 二、知识点二 等量关系（路程=速度×时间）】 实际问题 用方程解决 (1)甲走的路程+乙走的路程=总路程 相遇问题 (2)甲走的路程=甲的速度×时间 常见题型关键词 (3)乙走的路程=乙的速度×时间 ★同时出发 2.图示理解 ★相向而行 速度：V甲 相遇 速度：vz ★相遇 学习小贴士 甲 P ★两地之间的路程 ★找准等量关系是关键！ 总路程：S ★设未知数要合理、明确」 三、列方程解决 (1)寻找等量关系 (2)列出方程 (3)解方程 (4)检查结果 ★列方程、解方程、检验、答题 问题的一般步骤 分析题意，找出题 ◆根据等量关系，用含 运用等式的性质求出◆ 把求得的值代入原题 缺一不可！ 目中的等量关系。 未知数的式子列出方 未知数的值： 中，检查是否符合题 程。 意，并写出答案。 解题小口诀 找准等量列方程，设元合理是关键；方程求解要细心， 检验答题别忘记！ 知识梳理温故知新 知识点一形如ax士bx=c方程的解法 1.解形如“ax士bx=c”的方程时，要先运用乘法分配律转化为“(a土b)x=c”的形式，再根据等式 的性质求出×的值。 第2页共11页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2.用方程解决含有两个未知数的实际问题，设其中一个未知量为×，另一个未知量用含×的式子表示出 来，根据题中的等量关系列方程解答。 知识点二用方程解决相遇问题 1.相遇问题的特征及等量关系： 甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，相遇时两人分别走的路程之和，就是两地之间的总路程。然 后根据速度、时间和路程三者之间的关系列出等量关系： (1)甲走的路程+乙走的路程=总路程(2)甲走的路程=甲的速度×时间(3)乙走的路程=乙的速度 ×时间 2.列方程解决问题的一般步骤： (1)根据题意寻找等量关系；(2)根据等量关系列出方程；(3)解方程；(4)检查结果是否正确。 优选题型考点讲练 考点一列方程解和差倍问题 【典例精讲】(24-25五年级下·辽宁营口·期末)学校图书馆故事类图书和科普类图书一共有480 本。其中故事类图书是科普类图书的2倍。两类书各有多少本？ 【变式训练1】（24-25五年级下·辽宁丹东·期未)农场里的母鸡只数是公鸡的3倍，母鸡比公鸡 多18只，农场里有公鸡多少只？(（用方程解) 【变式训练2】(24-25五年级下·甘肃酒泉·期中)古人云：读万卷书，行万里路。图书“漂流” 寄托着放漂者殷切的希望，为同学们提供了一个更广阔的阅读天地。校园楼道中一个书架分为上、下 两层，下层放的书的本数是上层的1.4倍，如果从下层拿8本书放到上层，这时两层书的本数正好相 等。上、下两层原来各放了多少本书？（列方程解决问题） 第3页共11页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练3】（24-25五年级下·山西吕梁·期末)山西的母亲河是汾河，它孕育了古老的三晋文 明，为山西提供了丰富的水资源。太原市汾河景区打造了雁丘园、汾河晚渡、晋汾古韵等一系列文化 景观。现在景区内要用长36米的栅栏围一个长方形，长是宽的2倍，那么这个长方形区域的面积是多 少平方米？（用方程解决问题) 考点二列方程解年龄问题 【典例精讲】(24-25五年级下·辽宁丹东·期末)今年爸爸的年龄比笑笑大30岁，三年后爸爸的年 龄是笑笑的3倍，笑笑今年多大年龄？ 【变式训练1】（23-24五年级下·四川成都·期末)妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍多4岁，妈妈今 年37岁，笑笑今年几岁？设笑笑今年×岁，根据其中的等量关系，下列方程正确的是（)。 A.4x+3=37B.4x-3=37 C.3x+4=37 D.3x-4=37 【变式训练2】妈妈的年龄比小丽年龄的3倍多4岁，妈妈今年37岁，小丽今年几岁？（画线段图 分析题中数量关系，用算术和方程两种方法解答) 【变式训练3】今年妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍少3岁，妈妈今年39岁，笑笑今年多少岁？（列 方程解答) 第4页共11页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点三列方程解相遇问题 【典例精讲】（25-26五年级下·上海徐汇·阶段检测)甲乙两城相距435千米，两辆摩托车同时从 两城相对开出，已知一辆摩托车每小时行84千米，另一辆摩托车每小时行90千米。多少小时后两车 相遇？ 【变式训练1】（25-26五年级下·辽宁·单元复习)甲、乙两地相距840千米，一辆货车和一辆客 车分别从甲乙两地同时相向开出，经过6小时相遇。客车每小时比货车快14千米，两车的速度各是多 少？ 【变式训练2】(25-26五年级下·江苏宿迁·期中)甲、乙两人同时从相距1000米的两地出发，相 向而行，甲每分钟行70米，乙每分钟行55米。经过几分钟两人相遇？（列方程解答） 【变式训练3】(24-25五年级下·广东惠州·期末)北京到广州的高铁线长2298千米。一列高铁从 北京开出，每时行驶350千米；另一列动车从广州开出，每时行驶250千米。两列火车同时开出，经 过几小时相遇？（列方程解答） 第5页共11页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点四列方程解稍复杂的行程问题 【典例精讲】（23-24五年级下·四川成都·期末)我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书 中有这样一道题目：“今有良日行二百四十里，驾马日行一百五十里。弩马先行一十二日，问良马几 何追及之？”其大意是：快马每天跑240里，慢马每天跑150里。慢马先跑12天，快马( )天 可以追上慢马。 【变式训练1】（25-26五年级上·四川成都·阶段检测)客车每小时行88千米，货车每小时行80 千米，两车同时从A、B两地相向而行，相遇时客车比货车多行24千米。求A、B两地间的路程是( 千米。 【变式训练2】小明要在早上7：50之前到达距家1000米的学校上学。一天，小明以80米/分的速 度从家出发，5分钟后，爸爸发现小明忘了带数学书，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并 在中途追上了他。爸爸追上小明用了多少分钟？（列方程计算） 【变式训练3】甲、乙两队合凿一条长700米的隧道，甲队每天凿12.6米，乙队每天凿14.4米，甲 队先凿了25米后，甲、乙合作开凿，合作多少天后能凿通隧道？（用方程解) 考点五列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】(24-25五年级下·江苏无锡·期中)我国元代数学家朱世杰的《算学启蒙》中有这样 一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几日追及之。” (用方程解答) 第6页共11页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练1】（25-26五年级下·上海徐汇·阶段检测)列方程解决问题。小巧以65米/分的步行 速度从家里出发去少年宫。出发16分钟后，妈妈发现小巧把一份材料忘在家里了，于是骑车以195米 /分的速度去追。妈妈出发后多久能追上小巧？此时小巧离家多少米远？ 【变式训练2】（24-25五年级下·江苏无锡·期中)一辆汽车从甲地匀速开往乙地，第一小时行了 45千米，照这样的速度，比原计划要晚2小时到达，于是后面就以每小时60千米的速度行驶，结果比 原来早到1小时，甲乙两地相距多少千米？ 【变式训练3】(2025·重庆渝北·小升初真题)小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有 事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小 时可以追上；若开汽车，每小时行45千米， 分钟能追上。 真题汇编能力强化 1.(24-25五年级下·山西大同·期末)五年级的小明和爸爸、妈妈准备到游乐园游玩，妈妈在网上 购买了3张门票，共花了502元。每张学生票多少元？如果设每张学生票×元，列出方程“×十2×184 =502”,还需要补充的信息是（）。 A.每张成人票184元 B.成人票的票价是学生票的2倍 C.每张成人票比学生票贵2元 D.每张学生票比成人票便宜184元 2.(（24-25五年级下·陕西汉中·期末)甲乙两辆汽车同时从相距360千米的两地相对开出，甲车每 小时行40千米，乙车每小时行50千米，经过几小时两车相遇？如果设经过×小时两车相遇，下列方 程错误的是()。 A.40x+50x=360 B.(40+50)x=360 C.40+50x=360 D.40x=360-50x 第7页共11页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 3.(24-25五年级下·甘肃酒泉·期中)某电影院的座位以中间过道为分界线，左区为奇数号，右区 为偶数号。小明买了四张相邻座位的票，座位号相加的和正好是60，这四张票中最小的座位号是()。 A.10 B.11 C.12 D.13 4.(25-26六年级上·湖北宜昌·期末)如图，要求一共有多少本？下面列式错误的是（)。 售出288本 一共x本 A.丰x=288 B.288÷4×7 c.288×(1-) D.288÷ 5.(2023·四川成都·小升初真题)电影票有10元、15元和20元三种票价，班长用了500元买了 30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（)。 A.20张 B.15张 C.10张 D.5张 6.(21-22五年级下·辽宁·假期作业)甲、乙两车同时从两地出发，相向而行。甲车每时行105千 米，5时后两车在距中点30千米处相遇。若乙车慢一些，则乙车每时行（)千米。 A.93 B.99 C.111 7.(24-25五年级下·广东揭阳·期末)奇思和妙想约好周末出去玩，两家相距2500m,奇思每分步 行80m,妙想每分步行70m,奇思出发5分钟后妙想才从家出发。妙想出发( )分后两人相遇。 8.（24-25五年级下·山西临汾·期末)为了丰富同学们的校园生活，学校开展了各种社团活动，合 唱社团中的女生人数是男生人数的2.5倍，女生比男生多30人，根据这些信息，林林提出了一个数学 问题，并用方程“2.5×一×=30”来解决，请你推断一下，他提出的问题是( ),这个方程的解是 )。 9.（24-25五年级下·辽宁大连·期末)北京和大连相距920千米。甲乙两辆汽车同时从北京和大连 相对开出，4小时后两车相遇，甲车每小时行120千米，乙车每小时行( )千米。 10.(24-25五年级下·全国·单元测试)如下图，正五边形的周长比等边三角形的周长长10cm,正 五边形的周长是( )cm,等边三角形的周长是( ）cm。 等边三角形 11.五年级一班有女生32人，比男生的2倍少22人，则五年级一班的女生比男生多。（ )(判 断对错) 第8页共11页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 12.比一个数的3倍还多12的数是50，那么这个数是162。（ )(判断对错) 13.(24-25五年级下·陕西汉中·期末)解方程。 4x-x=69 品x=月 14.(24-25五年级下·吉林长春·期末)相遇问题 我每分 我每分 走60m。 走50m. 明明 2200m 亮亮 甲1 ()明明和亮亮同时分别从甲、乙两地相向而行，估计两人在何处相遇，用“△”在图中标出来。 (2)出发多少分后两人相遇？（列方程解答） 15.（24-25五年级下·四川成都·期末)淘气有大小两本集邮册，大集邮册中的邮票张数比小集邮册 中的邮票张数多60张，并且大集邮册中的邮票张数正好是小集邮册中邮票张数的4倍，这两本集邮册 中分别有多少张邮票？（列方程解答）。 第9页共11页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 16.(24-25五年级下·辽宁沈阳·期末)沈阳到天津的铁路全长是693千米，甲、乙两辆列车同时从 两地相对开出，1.8小时后相遇，甲列车平均每时行驶197千米，乙列车平均每时行驶多少千米？（列 方程解答) 17.（25-26五年级下·湖南永州·期末)甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，甲车每小时行52 千米，乙车每小时行48千米，两车在距中点6千米处相遇。A、B两地相距多少千米？ 18.（24-25五年级下·辽宁大连·期末)夏至是北半球一年中白昼时间最长、黑夜时间最短的一天。 如果大连这一天的黑夜时间是白昼时间的，那么大连夏至这天白昼和黑夜各有多少时？（列方程解答） 19.（24-25五年级下·辽宁营口·期末)甲、乙两车同时从同一地点出发反向而行，甲车速度50千 米/时，乙车速度60千米/时，几时后两车相距220千米？（先写出等量关系，再列方程解决问题） 第10页共11页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 20.(25-26五年级上·陕西西安·期中)儿童服装商店按批发价购进一批女童装上衣，批发价每件 40.5元，零售价每件50元。当销售到仅剩4件时，发现除去购进时的全部成本外，还盈利85元。儿 童服装商店共购进这种女童装上衣多少件？ 第11页共11页