（复习篇）专题02 长方体和正方体的表面积和体积【思维导图+知识卡片+知识梳理+十五大考点讲练+真题强化 共50题】-2026-2027学年北师大版数学五升六年级暑假衔接金牌讲义

2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 五年级/下册 小学数学 专题02 长方体和正方体的表面积和体积 北 师 大 版 思维导图+知识回顾+十五大考点讲练+真题强化 （共50题） 【原卷版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 考点一 长方体表面积的计算与应用 【典例精讲】（24-25五年级下·四川遂宁·期末）如图是一个长方体框架的三条棱。 (1)制作这样一个长方体框架，至少需要( )cm的铁丝。 (2)如果在框架外面糊上一层纸，至少需要( )cm2的纸。 【变式训练】（24-25五年级下·内蒙古呼和浩特·期末）一种组合连体高低柜是由一个长80厘米、宽45厘米、高60厘米的长方体和一个长80厘米、宽45厘米、高100厘米的长方体组合成的（如图）。油漆工要给这个高低柜刷油漆，前、后面刷浅黄色，其他露出部分都刷油绿色。 (1)刷浅黄色的面积是多少平方米？ (2)油绿色的面积是多少平方米？ 考点二 正方体表面积的计算与应用 【典例精讲】（24-25五年级下·湖北恩施·期末）用一根长的铁丝既可以制作成一个长、宽、高( )的长方体框架，也可以制作成一个棱长( )的正方体框架。若给这个正方体框架的每个面都贴上彩纸，至少需要( )的彩纸。 【变式训练】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）如下图，一个正方体礼品盒的棱长是30厘米。用彩带捆扎这个礼品盒，彩带的打结部分长50厘米。 (1)捆扎这个礼品盒，至少需要多长的彩带？ (2)这个礼品盒的上面，是两块相同的正方形纸板折叠在一起的。制作这个盒子，一共需要多少平方厘米的纸板？（其他粘贴部分面积不计） 考点三 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁沈阳·期末）一个表面积为28dm2的长方体，如图，被平均切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是( )dm2。 【变式训练】（24-25五年级下·湖南张家界·期末）把一个长8分米、宽6分米、高5分米的长方体平均切分成两个一样的小长方体，其中一个小长方体的表面积最大可能是（    ）平方厘米。（损耗忽略不计） A．14800 B．15800 C．16000 D．16600 考点四 表面涂色的正方体 【典例精讲】（25-26五年级下·广东广州·期末）下面的大正方体都是由27个同样的小正方体搭成的，拿掉表面的2个小正方体（涂色部分），表面积不会发生变化的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）（1）如图是由（    ）个相同的小正方体搭成的。将这个立体图形的表面涂上橙色，其中有两面涂上橙色的小正方体有（    ）个，只有一面涂上橙色的小正方体有（    ）个。 （2）若小正方体的棱长为1厘米，则涂上橙色的面积一共是多少平方厘米？ 考点五 组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（25-26五年级下·陕西商洛·阶段检测）计算下面立体图形的表面积。 【变式训练】（24-25五年级·全国·随堂练习）如图所示的是堆放在地面上的小正方体，共有（    ）个面露在外面。 A．14 B．18 C．21 D．23 考点六 长方体的体积的计算与应用 【典例精讲】（24-25五年级下·内蒙古呼和浩特·期末）一个长方体木块的长、宽、高分别是6dm、5dm、4dm，现从中锯出一个最大的正方体，这个正方体木块的表面积是( )，它的体积是原来长方体木块体积的( )。 【变式训练】（24-25五年级下·吉林长春·期末）用3个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 考点七 正方体的体积的计算与应用 【典例精讲】（24-25五年级下·广东深圳·期末）非遗传承人王叔叔想雕刻一件物品，选好材料后为方便雕刻先对材料进行了初步处理，他把长8cm，宽6cm，高9cm的长方体木料削成了一个最大的正方体，则这个长方体材料体积减小了( )cm3。 【变式训练】（24-25五年级下·浙江·期末）木工社团活动时，淘气把一个长方体木块锯掉一个小正方体后（如图），发现这个图形和原来图形比较，表面积（    ）（填“增加”、“减少”或“不变”）。那么，现在这个物体的体积是多少立方厘米？ 考点八 体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁沈阳·期末）如下图，一个封闭的长方体容器，容器内装有水。如果把该容器长、宽都是10厘米的面作为底面放在桌面上，这时水面高度是16厘米；如果把该容器长25厘米和宽10厘米的面作为底面放在桌面上，这时水面的高度是多少厘米？（单位：厘米） 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）手工课上，淘气用橡皮泥捏成了一个棱长是6厘米的正方体。笑笑用同样多的橡皮泥捏成了一个高是9厘米的长方体，长方体的占地面积是( )平方厘米。 考点九 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·广东湛江·期末）一个长方体的长是8cm，宽是4cm，高是6cm。在它的顶点位置挖去一个棱长为2cm的小正方体（如图）。前后对比，下列说法正确的是（    ）。 A．表面积增加，体积减少 B．表面积不变，体积减少 C．表面积减少，体积减少 D．表面积和体积都不变 【变式训练】（24-25五年级下·湖南张家界·期末）从一个长2dm、宽9cm、高4cm的长方体木块中锯下一个最大的正方体木块，这个正方体木块的棱长为( )cm，最多可以锯下( )个这样的正方体。（损耗忽略不计） 考点十 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 【典例精讲】（24-25五年级下·广东湛江·期末）在括号里填上合适的数。 0.15m3＝( )dm3        ( )L＝380mL 【变式训练】（24-25五年级下·吉林长春·期末）在一个棱长为1分米的正方体盒子中，最多能摆( )个棱长为1厘米的小正方体；最多能摆( )个棱长为5厘米的小正方体。 考点十一 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【典例精讲】（24-25五年级下·四川遂宁·期末）在括号里填上合适的数或单位。 4.05L＝（    ）ml                         24分＝时 一个成人的医用口罩的面积约是1.7（    ）   一个篮球的体积约为8（    ） 【变式训练】（24-25五年级下·河北沧州·期末）一个棱长为40厘米的正方体鱼缸，如果在鱼缸里装入的水，水有( )升。 考点十二 体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（24-25五年级下·广东潮州·期末）用铁皮做一个无盖的长方体水箱，长1米，宽7分米，高5分米。做这个水箱至少需要多少平方分米的铁皮？这个水箱最多能装水多少升？ 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）小明想测量一块圆柱体铁块的体积。他准备了一个底面积是6平方分米、深是2分米的长方体容器，往容器中倒入6升的水后，再将铁块完全浸没在水中，这时测得水高为1.3分米。这个圆柱体铁块的体积是多少立方分米？ 考点十三 长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级下·四川成都·期末）向一个长方体容器（如左图）内匀速注水，水面高度随时间匀速变化（如右图），注水8分钟后，停止注水。如果水龙头每分钟出水9升，容器厚度忽略不计，容器内原有水面高度( )分米。 【变式训练】（24-25五年级下·湖南张家界·期末）刘华在一块长方形纸板的两个角上各剪掉一个小正方形，如果把剪下的两个小正方形粘贴到长方形另一边的中间（如图），正好可以制成一个无盖的长方体纸盒。这个盒子的容积是( )cm3。（损耗忽略不计） 考点十四 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·黑龙江牡丹江·期末）一个长方体鱼缸，从里面量长6分米，宽14分米，高5分米，水深3分米。如果放入一块棱长为3分米的正方体石头，水面会上升多少分米？ 【变式训练】（24-25五年级下·湖南张家界·期末）王叔叔要制作一个长7.5分米、宽4.8分米、高为4分米的长方形无盖玻璃鱼缸。 (1)制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？（得数保留整数） (2)玻璃鱼缸中放入一块高为1.5分米，体积为6立方分米的假山石，如果水管以每分钟4立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能把假山石完全淹没？ 考点十五 组合体的体积（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）求立体图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【变式训练】（25-26五年级下·河北·单元复习）计算下面立体图形的体积。       1．（24-25五年级下·吉林长春·期末）用一根56cm长的细铁丝正好焊接成了一个长6cm，宽5cm，高（    ）cm的长方体框架（无剩余）。 A．6 B．5 C．3 2．（24-25五年级下·辽宁沈阳·期末）如图，5个棱长都是20cm的正方体堆放在墙角处，露在外面的面的面积是（    ）cm2。 A．1000 B．2000 C．4000 D．4400 3．（24-25五年级下·辽宁沈阳·期末）用含有字母的式子表示：一个长方体长x米，宽y米，高z米（其中0＜y＜x＜z）。它的底面周长是（    ）米，左面的面积是（    ）平方米，把它切成两个长方体，表面积最多将增加（    ）平方米。 A．2yz；2xz；yz B．2xz；yz；2x＋2y C．yz；2x＋2y；2yz D．2x＋2y；yz；2xz 4．（25-26五年级下·全国·单元复习）乐乐和他的好朋友分别用4根5cm、4根9cm和4根12cm的磁力棒搭一个长方体框架，下面是他们搭出的部分框架，在此基础上用剩下的磁力棒继续搭建，其中一定不能搭成长方体框架的是（    ）。 A． B． C． D． 5．（24-25五年级下·湖北黄冈·期末）用同样大小的小正方体搭成一个稍大一些的正方体，最少要用（    ）小正方体。 A．4块 B．8块 C．9块 D．27块 6．（25-26五年级下·内蒙古赤峰·期末）下面说法中，正确的是（    ）。 A．在非0自然数中，不是质数就是合数 B．图形在旋转中，方向、位置、大小都可能会发生变化 C．折线统计图只能看出数量的增减变化情况 D．右图如果继续补搭成一个大正方体，至少还需要54个同样的小正方体。 7． （24-25五年级下·湖北黄冈·期末） 0.724立方分米＝( )立方厘米＝( )毫升      90升＝( )立方分米＝( )立方米 8．（25-26五年级下·山东潍坊·期末）同学们要把学校自制的手工作品装进无盖长方体盲盒里，乐乐现有两块长、宽15cm和两块长、宽8cm的长方形硬纸板，还需要准备一块长( )cm、宽( )cm的长方形硬纸板，才能做成这个无盖长方体盲盒。盲盒做好后，它的体积是( )cm³。 9．（24-25五年级下·甘肃定西·期中）如图是一个长方体水箱，如果在水箱已经有水的情况下，再放入一个棱长为10cm的正方体实心铁块，且该铁块完全被水淹没，那么水箱中原来水的高度至少是( )cm。 10．（25-26五年级下·陕西西安·阶段检测）求下列图形的表面积（单位：厘米）。 （1）    （2） 11．（24-25五年级下·甘肃定西·期末）求出下面图形的表面积和体积。 12．（24-25五年级下·湖北黄冈·期末）数学社团的同学们尝试测量粽子的体积，他们准备了一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为20厘米，高22厘米。向容器中倒入6升水，再把一个粽子沉入水中（粽子完全浸没），这时量得容器中的水深16厘米，这个粽子的体积是多少立方分米？ 13．（24-25五年级下·内蒙古呼和浩特·期末）小明家有一个无盖长方体金鱼缸，长5分米，宽2分米，高4分米。 (1)妈妈往金鱼缸里加入20升的水，如果金鱼缸平放在桌上，这时水深多少分米？ (2)如果只在棱上粘贴胶带纸，一盘长4.5米的胶带纸够用吗？ 14．（25-26五年级下·河北邢台·阶段检测）乐乐的科学课需要制作一个无盖的鱼缸。他和爸爸计划用5块玻璃粘合而成（底面一块，侧面四块）。鱼缸设计为长方体，内部尺寸为：长50厘米，宽30厘米，高40厘米。（玻璃厚度忽略不计） (1)做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ (2)为确保牢固和不漏水，需要在所有玻璃拼接的接缝处打上玻璃胶。根据要求，需要打玻璃胶的总长度是多少厘米？ 15．如图是一个棱长4分米的正方体，在上面正中向下挖去一个棱长是2分米的正方体，接着在这个正方体的下底面正中再向下挖去一个棱长1分米的正方体。最后得到的立体图形的表面积是多少平方分米？ 16．（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）一个长方体容器，长是20厘米，宽是15厘米，容器中盛有一些水，水深4.5厘米，将一个长13厘米的长方体铁块竖直放入水中（铁块底面与容器底面完全接触），水面升高至5厘米。这个长方体铁块的体积是多少？ 17．（24-25五年级·全国·随堂练习）在一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为30cm、体积为3000cm3的假山石。如果水管以每分9dm3的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能将假山石完全淹没？ 18．（24-25五年级下·四川成都·期中）一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是32平方分米，这个长方体的体积是多少？ 19．（25-26五年级下·陕西咸阳·期中）下面是一个正方体的展开图中的前面、左面和下面。 (1)画出展开图的另外三个面，并标出每个面是正方体的什么面。 (2)每个小方格是边长为1厘米的正方形，这个正方体的体积是( )立方厘米。 20．（24-25五年级下·广东揭阳·期末）下图是一个长方体展开图的三个面。 (1)画出展开图的另外三个面，并标注每个面的名称。 (2)如果每个小方格的边长为1厘米，该长方体的表面积是多少平方厘米？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 暑假衔接 专题02长方体和正方体的表面积和体积 思维导图+知识回顾+十五大考点讲练+真题强化（共50题） 【原卷版】 思维导图 浏览知识知晓考点 技巧点拨 知识梳理方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 真题强化 真题汇编查漏补缺 小学数学 五年级/下册 北 师 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难，点专题内容强化复习， 讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内 容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。 解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！ 希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 思维导图考点指引 由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）图成的立体图形。 11.长方体的定义 1.表面积与棱长扩倍关系 长方体（或正方体）的棱长扩大到原来的n倍，。 (3)顶点：8个顶点，每个顶点连接3条棱。 2.长方体的组成 表面积扩大到原来的信。 (1)6个面都是长方形（特殊情况有两个面是正方形） 1.长方体和正方体的 5.体积与 2体积与转长护广倍关系 (2)相对的面面积相等，平行 (3)相对的棱长度相等，平行 认识及特征 表面积的关系 (4)相对的顶点间的距高相等 3.长方体的特征 3.给合关系 相关于一个顶点的三条棱分别叫做长、宽、高 长方体（成正方体）的长，宽，高同时扩大a倍 体积扩大倍，表面积扩大倍。 V宽 1。接水法原理 物体完全浸没在水中时，排开水的体积等于物体的体积 长 由6个完全相同的正方形围成的立体图形，叫做正方体 (1)在容器中倒入适量的水，记下水位 1.正方体的认识 2.排水法步漂 (2)将物体完全漫入水中，再记下水位。 6.排水法求 (3)排开水的体积=水面上升部分的体积。 (3)顶点：8个顶点，每个顶点连接3条棱 2.正方体的组成 不规则物体体积 Vnu-Vae-Va-Va 1)6个面都是正方形，且大小完全相同 长方体和正方体的 3排水法体积公式 注意：必须将物体完全浸没。且无水溢出 高相等，统称为棱长 2.正方体的 认识及特征 表面积和体积 长方体6个面的总面积（包括上下，前后， 1.长.k方体的ah 左右6个长方形)之和。 7.解决问题 1.等积变形：形状变了，体积不变 其中：a=长，b=宽，h=高 4.体积 2.转化思想：将复杂问题转化成已学如识决 的策略 3.分制与拼接：把复杂图形分成规则图形，把多个图形拼威一个整体 体积的认识 物体所占空间的大小，常用体积单位： 正方体6个面究全相同，表面积=棱长×楼长×6 4.图形分析：面图翻助理解，找出关醴条件和数量关系 立方厘米(em).立方分米(dm)、立方米(m) 5列表法：有序不重复地列学所有情况，过免遗漏 公式：S=6a2(a是棱长) ,表面积 2.长方体和正方体的体职公式 长方体：V=a×bh 6,检验与验证：代入数第或面图验证结果显否合理 正方体：V=a×aXa=a 常用公式汇总 切拼后表面积的变化有三种情况 3.体积单位间的进率1m=1000dm,1dm2=1000cm 长有体 正方体 (1)增加：切后多出两个面 1 L=1 dm'.1 mL=1 cm 表面积：S=2(ab+ah+bh) 表面积：=6a (2)减少：切后少了两个面 4.体积与容积的区别 体积：V恒axbxh 体积：Va (3)不变：只是形状改变了，表面积不变 体积（容钠物体的空间大小） 容积（容器所能容纳物体的体积） 其中：a=长，b，h高。a=棱长 ①物体占空间的大小 ①容器所能容纳的体积 方堂用cm.dm,m 堂用LmL ③测量：从外测量长、宽、高 ③测量：从内部测量长。宽。高 3多动手作，面国分析。培养空间观念 学习小贴 4.结合生活实麻，学以致用，解决同题！ 知识梳理温故知新 知识点一长方体的认识及特征 1.长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2.长方体的组成 第2页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 （1)面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； (2)棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； (3)顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3.长方体的特征 名称 顶点 面 棱 个数 个数 形状 大小关系 条数 长度关系 长方体 8 长方形 相对的面完全相同 12 相对的棱长度相等 4.长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二正方体的认识及特征 1.正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是 特殊的长方体。 2.正方体的组成 （1)面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； (2)棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3)顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3.正方体的特征 （1)正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 (2)正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为 棱。 第3页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 名称 顶点 面 棱 个数 个数 形状 大小关系 条数 长度关系 正方体 8 6 正方形 所有的面均相等 12 所有的棱长度相等 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4.正方体和长方体的关系 （1)转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方 体。 （2)相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对 的面相等且平行。 (3)区别 特征 长方体 正方体 面 6个长方形（或2个正方形） 6个完全相同的正方形 棱 分3组，每组4条棱等长 12条棱全部等长 顶点与棱的关系 长、宽、高可能不同 长、宽、高相等（棱长） 知识点三长方体的表面展开图 1.长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 (1)一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； (2)二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； (3)二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种： (4)三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2.口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三 个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 第4页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 且年目 知识点四正方体的表面展开图 1.正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 (1)一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 (2)二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 P甲甲 (3)二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 (4)三三型，两侧各三个。 第5页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2.口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三 一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五长方体的棱长及棱长总和 1.棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2.棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4仁（长+宽+高)×4，用字母表示为 L=(a+b+h)×4。 3.根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4一宽一高； 宽=棱长和÷4一长一高； 高=棱长和÷4一长一宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计 算步骤。 知识点六正方体的棱长及棱长总和 1.正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2.反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七长方体的表面积 1.长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个 长方形（或特殊情况下含正方形面)的面积之和。 2.长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示 为S-2ab+2ah+2bh=2(ab+ah+bh)。 高 长 第6页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 3.已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4.表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注 意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、 方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八正方体的表面积 1.正方体的表面积：正方体的表面积是指6个完全相同的正方形面的总面积。 2.正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a。 3.表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个 面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加， 二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1.切割引起的表面积增加 （1)正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开)，此时表面积会增加2个正方 形的面（切口处的两个新面)，用公式表示为增加面积=2a2。 (2)长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加2个宽×高的面； ③沿高切割：增加2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化， 在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 (3)多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面…将长方体或正方体切割成n段，需切(n一1) 刀，每刀增加2个面，总增加面积为2(n一1)×截面面积。 第7页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 段数一1=刀数；刀数×2=切面个数。 2.拼接引起的表面积减少 ()正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三 个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方 形的个数。 （2)长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3.特殊的切拼问题 （1)将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配， 需要计算切口增加的截面面积 (2)将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算 所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十立方体表面染色问题 1.立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表 面染色后统计不同颜色面的数量。 2.染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1)三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数 量：8个。 (2)染两个面的小正方体数量：12×（a一2)。 (3)染一个面的小正方体数量：6×（a一2)×（a一2)。 (4)没有染色的面的小正方体数量：(a一2)×（a一2)×(a一2)。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一体积和容积的认识 1.体积 （1)体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米(cm3)、立方分米(dm3)、 立方米(m),1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 (2)测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2.容积 （1)容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升(L)、毫升(mL)。 第8页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 (2)测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3.体积和容积的区别 特征 体积 容积 测量对象 所有物体 容器类物体（如箱子、杯子） 单位侧重 通用单位(m3、dm等) 液体/气体常用(L、mL) 大小关系 同一容器的体积≥容积 容积忽略容器壁厚度时等于体积 应用场景 计算物体占据的空间 计算容器内可容纳物体的量 知识点十二体积和容积的单位 1.体积单位 (1)立方米(m3) 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m的卧室)、冰箱外 部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 (2)立方分米(dm3) 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm)、微波炉的容积、小 纸箱的容量等。 (3)立方厘米(cm3) 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1c3)、药片体积、橡皮擦大小等。 2.容积单位 (1)升(L) 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油)、汽车油箱容量（如 50L)、大瓶饮料（如2L可乐)等。 （2)毫升(mL) 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL)、小瓶装酸奶（100mL)、 口服液剂量（如5ml)等。 3.总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分 米等。 4.体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 第9页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 5.容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6.体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7.单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三长方体的体积 1.长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h 2.体积公式变形，反求长、宽、高 （1)长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 (2)宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 (3)高=体积÷长÷宽，h=V÷a÷b。 知识点十四正方体的体积 1.正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长X棱长X棱长，用字母表示V=a×a×a=a3,读作“a的立方”表示3个a 相乘。 2.区分2a、a2和a3 2a=2Xa,表示两个a相加；a2=aXa,表示两个a相乘；a3=aXaXa,表示3个a相乘。 知识点十五长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1.正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大3=9倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大102=100倍。 2.长方体的表面积与棱长扩倍关系 (1)如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的倍。 (2)如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3.正方体的体积与棱长扩倍关系 第10页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大a倍，体积扩大ā3倍。 4.长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大a倍，体积扩大a×a Xa=a3倍 知识点十六剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a,则 长=原长方形的长一2a; 宽=原长方形的宽一2a; 高=剪去的正方形边长a; 容积=长×宽×高=（原长一2a)×(原宽一2a)×a。 知识点十七等积变形问题 1.等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场 景。 2.等积变形问题常有以下类型 (1)熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 (2)倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 (3)液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八排水法求不规则物体体积 1.排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本 质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2.排水法求不规则物体的体积的步骤 (1)在容器中注入适量的水，记下水位。 (2)将不规则物体放入水中，再次记下水位。 (3)用尺子测量容器里现在水面的高度。 (4)用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3.排水法求不规则物体的体积公式 第11页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体V现在一V原来； ②V物体SX(h现在一h原来)； ③V物体=SXh升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十九不规则及组合立体图形的表面积和体积 1.在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的， 再求出对应面的面积即可。 2.求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形 的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 优选题型考点讲练 考点一长方体表面积的计算与应用 【典例精讲】(24-25五年级下·四川遂宁·期末)如图是一个长方体框架的三条棱。 12cm (1)制作这样一个长方体框架，至少需要（ )cm的铁丝。 (2)如果在框架外面糊上一层纸，至少需要( )cm的纸。 【变式训练】(24-25五年级下·内蒙古呼和浩特·期末)一种组合连体高低柜是由一个长80厘米、 宽45厘米、高60厘米的长方体和一个长80厘米、宽45厘米、高100厘米的长方体组合成的（如图）。 油漆工要给这个高低柜刷油漆，前、后面刷浅黄色，其他露出部分都刷油绿色。 80cm 45cm 80cm 45cm (1)刷浅黄色的面积是多少平方米？ (2)油绿色的面积是多少平方米？ 第12页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点二正方体表面积的计算与应用 【典例精讲】(24-25五年级下·湖北恩施·期末)用一根长60cm的铁丝既可以制作成一个长7cm、 宽2cm、高( )cm的长方体框架，也可以制作成一个棱长( )cm的正方体框架。若给 这个正方体框架的每个面都贴上彩纸，至少需要( )cm2的彩纸。 【变式训练】(24-25五年级下·浙江杭州·期末)如下图，一个正方体礼品盒的棱长是30厘米。用 彩带捆扎这个礼品盒，彩带的打结部分长50厘米。 (1)捆扎这个礼品盒，至少需要多长的彩带？ (2)这个礼品盒的上面，是两块相同的正方形纸板折叠在一起的。制作这个盒子，一共需要多少平方厘 米的纸板？（其他粘贴部分面积不计) 考点三立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】(24-25五年级下·辽宁沈阳·期末)一个表面积为28dm的长方体，如图，被平均切 成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是( ）dm2。 【变式训练】(24-25五年级下·湖南张家界·期末)把一个长8分米、宽6分米、高5分米的长方 体平均切分成两个一样的小长方体，其中一个小长方体的表面积最大可能是（)平方厘米。（损耗 忽略不计) A.14800 B.15800 C.16000 D.16600 考点四表面涂色的正方体 【典例精讲】(25-26五年级下·广东广州·期末)下面的大正方体都是由27个同样的小正方体搭成 的，拿掉表面的2个小正方体（涂色部分），表面积不会发生变化的是（)。 B C. 第13页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练】(23-24六年级下·辽宁·课后作业)(1)如图是由()个相同的小正方体搭成的。 将这个立体图形的表面涂上橙色，其中有两面涂上橙色的小正方体有（）个，只有一面涂上橙色的 小正方体有（)个。 (2)若小正方体的棱长为1厘米，则涂上橙色的面积一共是多少平方厘米？ 考点五组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】(25-26五年级下·陕西商洛·阶段检测)计算下面立体图形的表面积。 6cm 16cm 【变式训练】(24-25五年级·全国·随堂练习)如图所示的是堆放在地面上的小正方体，共有（) 个面露在外面。 A.14 B.18 C.21 D.23 考点六长方体的体积的计算与应用 【典例精讲】（24-25五年级下·内蒙古呼和浩特·期末)一个长方体木块的长、宽、高分别是6dm、 5dm、4dm,现从中锯出一个最大的正方体，这个正方体木块的表面积是（ )dm2,它的体积是原 来长方体木块体积的( ）。 【变式训练】(24-25五年级下·吉林长春·期末)用3个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体， 这个长方体的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 考点七正方体的体积的计算与应用 【典例精讲】(24-25五年级下·广东深圳·期末)非遗传承人王叔叔想雕刻一件物品，选好材料后 为方便雕刻先对材料进行了初步处理，他把长8cm,宽6cm,高9cm的长方体木料削成了一个最大的正 方体，则这个长方体材料体积减小了( )cm3。 第14页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练】(24-25五年级下·浙江·期末)木工社团活动时，淘气把一个长方体木块锯掉一个小 正方体后（如图)，发现这个图形和原来图形比较，表面积（)（填“增加”、“减少”或“不变”）。 那么，现在这个物体的体积是多少立方厘米？ 3cm cm 3cm Icm 2cm 2cm 5cm 5cm 考点八体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】(24-25五年级下·辽宁沈阳·期未)如下图，一个封闭的长方体容器，容器内装有水。 如果把该容器长、宽都是10厘米的面作为底面放在桌面上，这时水面高度是16厘米；如果把该容器 长25厘米和宽10厘米的面作为底面放在桌面上，这时水面的高度是多少厘米？（单位：厘米) 25 6 10 10 10 10 25 【变式训练】(24-25五年级下·辽宁大连·期末)手工课上，淘气用橡皮泥捏成了一个棱长是6厘 米的正方体。笑笑用同样多的橡皮泥捏成了一个高是9厘米的长方体，长方体的占地面积是( 平方厘米。 第15页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 考点九立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·广东湛江·期末)一个长方体的长是8cm,宽是4cm,高是6cm。在 它的顶点位置挖去一个棱长为2cm的小正方体（如图）。前后对比，下列说法正确的是（)。 A.表面积增加，体积减少 B.表面积不变，体积减少 C.表面积减少，体积减少 D.表面积和体积都不变 【变式训练】(24-25五年级下·湖南张家界·期末)从一个长2dm、宽9cm、高4cm的长方体木块中 锯下一个最大的正方体木块，这个正方体木块的棱长为( )cm,最多可以锯下( )个这样的 正方体。（损耗忽略不计） 考点十体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 【典例精讲】(24-25五年级下·广东湛江·期末)在括号里填上合适的数。 0.15m3=( )dm3( )L=380mL 【变式训练】(24-25五年级下·吉林长春·期末)在一个棱长为1分米的正方体盒子中，最多能摆 )个棱长为1厘米的小正方体；最多能摆( )个棱长为5厘米的小正方体。 考点十一容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【典例精讲】(24-25五年级下·四川遂宁·期末)在括号里填上合适的数或单位。 4.05L=（)ml 24分=C ）时 一个成人的医用口罩的面积约是1.7（)一个篮球的体积约为8() 【变式训练】(24-25五年级下·河北沧州·期末)一个棱长为40厘米的正方体鱼缸，如果在鱼缸里 装入的水，水有( )升。 考点十二体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】(24-25五年级下·广东潮州·期末)用铁皮做一个无盖的长方体水箱，长1米，宽7 分米，高5分米。做这个水箱至少需要多少平方分米的铁皮？这个水箱最多能装水多少升？ 第16页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁大连·期末)小明想测量一块圆柱体铁块的体积。他准备了一 个底面积是6平方分米、深是2分米的长方体容器，往容器中倒入6升的水后，再将铁块完全浸没在 水中，这时测得水高为1.3分米。这个圆柱体铁块的体积是多少立方分米？ 考点十三长方体、正方体的容积 【典例精讲】(24-25五年级下·四川成都·期未)向一个长方体容器（如左图）内匀速注水，水面 高度随时间匀速变化（如右图），注水8分钟后，停止注水。如果水龙头每分钟出水9升，容器厚度 忽略不计，容器内原有水面高度( )分米。 水面高度（分米） 10 12分米 6分米 5分米 时间（分） 【变式训练】（24-25五年级下·湖南张家界·期末)刘华在一块长方形纸板的两个角上各剪掉一个 小正方形，如果把剪下的两个小正方形粘贴到长方形另一边的中间（如图)，正好可以制成一个无盖 的长方体纸盒。这个盒子的容积是( )cm。(损耗忽略不计) 2cm 15cm 考点十四不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】(24-25五年级下·黑龙江牡丹江·期末)一个长方体鱼缸，从里面量长6分米，宽14 分米，高5分米，水深3分米。如果放入一块棱长为3分米的正方体石头，水面会上升多少分米？ 第17页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 【变式训练】(24-25五年级下·湖南张家界·期末)王叔叔要制作一个长7.5分米、宽4.8分米、 高为4分米的长方形无盖玻璃鱼缸。 7.5dm 4.8dm ()制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？（得数保留整数） (2)玻璃鱼缸中放入一块高为1.5分米，体积为6立方分米的假山石，如果水管以每分钟4立方分米的 流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能把假山石完全淹没？ 考点十五组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】(24-25五年级下·浙江杭州·期未)求立体图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【变式训练】(25-26五年级下·河北·单元复习)计算下面立体图形的体积。 3 cm 3 cm 5 cm 1.8m 2.8m 4cm 20m 6cm 2m 第18页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 真题汇编能力强化 1.（24-25五年级下·吉林长春·期末)用一根56cm长的细铁丝正好焊接成了一个长6cm,宽5cm, 高（)cm的长方体框架（无剩余)。 A.6 B.5 C.3 2.（24-25五年级下·辽宁沈阳·期末)如图，5个棱长都是20cm的正方体堆放在墙角处，露在外面 的面的面积是（)cm。 A.1000 B.2000 C.4000 D.4400 3.(24-25五年级下·辽宁沈阳·期末)用含有字母的式子表示：一个长方体长×米，宽y米，高z 米（其中0<y<x<z)。它的底面周长是(）米，左面的面积是（)平方米，把它切成两个长方 体，表面积最多将增加()平方米。 A.2yz;2xz;yz B.2xz;yz;2x+2y C.yz;2x+2y;2yz D.2x+2y;yz;2xz 4.(25-26五年级下·全国·单元复习)乐乐和他的好朋友分别用4根5cm、4根9cm和4根12cm的 磁力棒搭一个长方体框架，下面是他们搭出的部分框架，在此基础上用剩下的磁力棒继续搭建，其中 一定不能搭成长方体框架的是()。 12 5.(24-25五年级下·湖北黄冈·期末)用同样大小的小正方体搭成一个稍大一些的正方体，最少要 用()小正方体。 A.4块 B.8块 C.9块 D.27块 6.（25-26五年级下·内蒙古赤峰·期末)下面说法中，正确的是()。 A.在非0自然数中，不是质数就是合数 B.图形在旋转中，方向、位置、大小都可能会发生变化 C.折线统计图只能看出数量的增减变化情况 D.右图如果继续补搭成一个大正方体，至少还需要54个同样的小正方体。 第19页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 7.（24-25五年级下·湖北黄冈·期末) 0.724立方分米=( )立方厘米=( )毫升 90升=( )立方分米=( )立方米 8.(25-26五年级下·山东潍坊·期未)同学们要把学校自制的手工作品装进无盖长方体盲盒里，乐 乐现有两块长、宽15cm和两块长、宽8cm的长方形硬纸板，还需要准备一块长( )cm、宽( ）cm 的长方形硬纸板，才能做成这个无盖长方体盲盒。盲盒做好后，它的体积是( ）cm3。 9.(24-25五年级下·甘肃定西·期中)如图是一个长方体水箱，如果在水箱已经有水的情况下，再 放入一个棱长为0℃m的正方体实心铁块，且该铁块完全被水淹没，那么水箱中原来水的高度至少是 ）cmo 水 w50s 箱 25cm 20cm 10.(25-26五年级下·陕西西安·阶段检测)求下列图形的表面积（单位：厘米)。 30 10 6 -20 6 (1) (2) 11.(24-25五年级下·甘肃定西·期末)求出下面图形的表面积和体积。 6厘米 8厘米 10厘米 12厘米 第20页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 12.（24-25五年级下·湖北黄冈·期末)数学社团的同学们尝试测量粽子的体积，他们准备了一个长 方体玻璃容器，从里面量长、宽均为20厘米，高22厘米。向容器中倒入6升水，再把一个粽子沉入 水中（粽子完全浸没），这时量得容器中的水深16厘米，这个粽子的体积是多少立方分米？ 13.（24-25五年级下·内蒙古呼和浩特·期末)小明家有一个无盖长方体金鱼缸，长5分米，宽2 分米，高4分米。 (1)妈妈往金鱼缸里加入20升的水，如果金鱼缸平放在桌上，这时水深多少分米？ (2)如果只在棱上粘贴胶带纸，一盘长4.5米的胶带纸够用吗？ 14.(25-26五年级下·河北邢台·阶段检测)乐乐的科学课需要制作一个无盖的鱼缸。他和爸爸计划 用5块玻璃粘合而成（底面一块，侧面四块)。鱼缸设计为长方体，内部尺寸为：长50厘米，宽30 厘米，高40厘米。（玻璃厚度忽略不计） (1)做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ (2)为确保牢固和不漏水，需要在所有玻璃拼接的接缝处打上玻璃胶。根据要求，需要打玻璃胶的总长 度是多少厘米？ 第21页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 15.如图是一个棱长4分米的正方体，在上面正中向下挖去一个棱长是2分米的正方体，接着在这个 正方体的下底面正中再向下挖去一个棱长1分米的正方体。最后得到的立体图形的表面积是多少平方 分米？ 16.(24-25五年级下·陕西咸阳·期中)一个长方体容器，长是20厘米，宽是15厘米，容器中盛有 一些水，水深4.5厘米，将一个长13厘米的长方体铁块竖直放入水中（铁块底面与容器底面完全接触）， 水面升高至5厘米。这个长方体铁块的体积是多少？ 5cm 15cm 20cm 17.（24-25五年级·全国·随堂练习)在一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为30cm、体积为3000cm 的假山石。如果水管以每分9dm的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能将假山石完全淹没？ 50 cm 20 cm 第22页共23页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 18.（24-25五年级下·四川成都·期中)一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米， 水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是32平方分米，这个长方体的体积是多少？ 向上平移 19.(25-26五年级下·陕西咸阳·期中)下面是一个正方体的展开图中的前面、左面和下面。 左 下面 前面 (1)画出展开图的另外三个面，并标出每个面是正方体的什么面。 (2)每个小方格是边长为1厘米的正方形，这个正方体的体积是( )立方厘米。 20.(24-25五年级下·广东揭阳·期未)下图是一个长方体展开图的三个面。 后面 ()画出展开图的另外三个面，并标注每个面的名称。 (2)如果每个小方格的边长为1厘米，该长方体的表面积是多少平方厘米？ 第23页共23页2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义「温故知新」 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【温故知新篇】 五年级/下册 小学数学 专题02 长方体和正方体的表面积和体积 北 师 大 版 思维导图+知识回顾+十五大考点讲练+真题强化 （共50题） 【解析版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 真题强化 思维导图 技巧点拨 真题汇编 查漏补缺 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以复习五年级下学期内容为主，选取重点难点专题内容强化复习，讲义包含导图指引，知识梳理，，高频考点真题讲练，优选题培优训练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 考点一 长方体表面积的计算与应用 【典例精讲】（24-25五年级下·四川遂宁·期末）如图是一个长方体框架的三条棱。 (1)制作这样一个长方体框架，至少需要( )cm的铁丝。 (2)如果在框架外面糊上一层纸，至少需要( )cm2的纸。 【答案】(1)120 (2)592 【思路引导】（1）用铁丝制作长方体框架，铁丝的长度至少等于长方体的棱长总和，即（长＋宽＋高）×4。从图中可知，长方体的长是12cm，宽是10cm，高是8cm； （2）在长方体外面糊上一层纸，至少需要纸的面积就是长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽 ＋长×高＋宽×高）×2。 【规范解答】（1）（12＋8＋10）×4 ＝30×4 ＝120（cm） （2）（12×10＋12×8＋10×8）×2 ＝（120＋96＋80）×2 ＝296×2 ＝592（cm2） 【变式训练】（24-25五年级下·内蒙古呼和浩特·期末）一种组合连体高低柜是由一个长80厘米、宽45厘米、高60厘米的长方体和一个长80厘米、宽45厘米、高100厘米的长方体组合成的（如图）。油漆工要给这个高低柜刷油漆，前、后面刷浅黄色，其他露出部分都刷油绿色。 (1)刷浅黄色的面积是多少平方米？ (2)油绿色的面积是多少平方米？ 【答案】(1)2.56平方米 (2)1.62平方米 【思路引导】（1）前后面面积相同，都是由两个长方形组合起来的，宽都是80厘米，长分别为100厘米、60厘米。用长×宽求出两个长方形的面积再相加。 （2）刷“侧面”，就是右面长方形＋从上面看组合长方形＋左面的组合图形，底面不刷，其中，左右两边看，形状大小都相同，刷漆面积也相同。根据长方形面积长×宽，计算即可。 注意，开始计算前，首先要进行单位换算。 【规范解答】（1）80厘米＝0.8米；60厘米＝0.6米；45厘米＝0.45米 （0.8×0.6＋0.8×1）×2 ＝（0.48＋0.8）×2 ＝1.28×2 ＝2.56（平方米） 答：刷浅黄色的面积是2.56平方米。 （2）（0.8＋0.8）×0.45＋（1＋1）×0.45 ＝（0.8＋0.8＋1＋1）×0.45 ＝3.6×0.45 ＝1.62（平方米） 答：刷油绿色的面积是1.62平方米。 考点二 正方体表面积的计算与应用 【典例精讲】（24-25五年级下·湖北恩施·期末）用一根长的铁丝既可以制作成一个长、宽、高( )的长方体框架，也可以制作成一个棱长( )的正方体框架。若给这个正方体框架的每个面都贴上彩纸，至少需要( )的彩纸。 【答案】 6 5 150 【思路引导】长方体有12条棱，分别是4条长、4条宽、4条高，根据长方体的棱长总和公式，先求出一组长、宽、高的和，再减去长和宽，求出高；正方体有12条棱，均相等，根据正方体的棱长公式，用棱长总和除以12，求出正方体的棱长；最后根据正方体的表面积公式求出需要彩纸的面积。 长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，正方体棱长总和＝棱长×12，正方体表面积＝棱长×棱长×6。 【规范解答】长方体的高： 60÷4－（7＋2） ＝60÷4－9 ＝15－9 ＝6（cm） 正方体的棱长：60÷12＝5（cm） 正方体表面积： 5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm2） 【变式训练】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）如下图，一个正方体礼品盒的棱长是30厘米。用彩带捆扎这个礼品盒，彩带的打结部分长50厘米。 (1)捆扎这个礼品盒，至少需要多长的彩带？ (2)这个礼品盒的上面，是两块相同的正方形纸板折叠在一起的。制作这个盒子，一共需要多少平方厘米的纸板？（其他粘贴部分面积不计） 【答案】(1)290厘米 (2)6300平方厘米 【思路引导】（1）与30厘米棱长相等的有8条，用这8条的长度加上打结部分的长度即可求出彩带总长度； （2）因为礼盒上面是两块正方形纸板，因此一共需要的纸板总面积相当于6＋1＝7个正方形的面积，所以用礼品盒一个面的面积乘7即可求出需要纸板的总面积。 【规范解答】（1）30×8＋50 ＝240＋50 ＝290（厘米） 答：至少需要290厘米的彩带。 （2）30×30×7 ＝900×7 ＝6300（平方厘米） 答：一共需要6300平方厘米的纸板。 考点三 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁沈阳·期末）一个表面积为28dm2的长方体，如图，被平均切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是( )dm2。 【答案】84 【思路引导】将原长方体平均切成27个小长方体，需要切6次，每切一次增加两个原长方体的面，所以一共增加12个原长方体的面，增加的表面积是原长方体表面积的2倍，据此解答。 【规范解答】28×2＋28 ＝56＋28 ＝84（dm2） 【变式训练】（24-25五年级下·湖南张家界·期末）把一个长8分米、宽6分米、高5分米的长方体平均切分成两个一样的小长方体，其中一个小长方体的表面积最大可能是（    ）平方厘米。（损耗忽略不计） A．14800 B．15800 C．16000 D．16600 【答案】D 【思路引导】根据“1分米＝10厘米”将“分米”换算成“厘米”。沿高将长方体平均切分成两个一样的小长方体，小长方体的表面积最大。小长方体的高＝大长方体的高÷2；根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算。 【规范解答】8分米＝80厘米，6分米＝60厘米，5分米＝50厘米； 50÷2＝25（厘米） （80×60＋80×25＋60×25）×2 ＝（4800＋2000＋1500）×2 ＝（6800＋1500）×2 ＝8300×2 ＝16600（平方厘米） 所以小长方体的表面积最大可能是16600平方厘米。 考点四 表面涂色的正方体 【典例精讲】（25-26五年级下·广东广州·期末）下面的大正方体都是由27个同样的小正方体搭成的，拿掉表面的2个小正方体（涂色部分），表面积不会发生变化的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据题意，都是用27个同样大小的小正方体拼成的，拿掉表面的2个小正方体（涂色部分），就会外露不相同的面，所以它的表面积与原来相比可能有变。 【规范解答】A．拿掉2小正方体，减少4个面，增加8个面，所以表面积变大。 B．拿掉2小正方体，减少2个面，增加10个面，所以表面积变大。 C．拿掉2小正方体，减少5个面，增加5个面，所以表面积不变。 D．拿掉2个小正方体，减少5个面，增加7个面，所以表面积变大。 【变式训练】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）（1）如图是由（    ）个相同的小正方体搭成的。将这个立体图形的表面涂上橙色，其中有两面涂上橙色的小正方体有（    ）个，只有一面涂上橙色的小正方体有（    ）个。 （2）若小正方体的棱长为1厘米，则涂上橙色的面积一共是多少平方厘米？ 【答案】（1）18；8；2；（2）42平方厘米 【思路引导】（1）由图可知，图形是由上、下两层组成，各9个；小正方体涂色橙色的面数与露出面有关，所以有两面涂上橙色的小正方体分别在图形的前、后、左、右面中间的2个，一共8个；只有一面涂上橙色的小正方体分别在图形的上、下面中间的位置，只有2个； （2）涂橙色的面积也就图形的表面积，图形是一个长3厘米，宽3厘米，高2厘米的长方体，根据面积计算公式：长方体的面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2计算。 【规范解答】（1）9×2＝18（个） 所以，图形是由18个相同的小正方体搭成的。将这个立体图形的表面涂上橙色，其中有两面涂上橙色的小正方体有8个，只有一面涂上橙色的小正方体有2个。 （2）（3×3＋3×2＋3×2）×2 ＝（9＋6＋6）×2 ＝21×2 ＝42（平方厘米） 答：涂上橙色的面积一共是42平方厘米。 【考点剖析】此题考查了学生对涂色部分表面积的探讨以及长方体的表面积计算，需要学生具备空间想象能力。 考点五 组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（25-26五年级下·陕西商洛·阶段检测）计算下面立体图形的表面积。 【答案】600cm2 【思路引导】这个立体图形由棱长6cm的正方体和长16cm、宽6cm、高6cm的长方体拼接而成，拼接时两个图形重合了2个边长为6cm的正方形面，这两个面不会露在外面，正方体表面积＝棱长×棱长×6，长方体表面积＝（长×高＋宽×高＋长×宽）×2，总表面积＝正方体表面积＋长方体表面积－2个重合正方形的面积。 【规范解答】6×6×6＋（16×6＋6×6＋16×6）×2－6×6×2 ＝216＋（96＋36＋96）×2－72 ＝216＋228×2－72 ＝216＋456－72 ＝672－72 ＝600（cm2） 【变式训练】（24-25五年级·全国·随堂练习）如图所示的是堆放在地面上的小正方体，共有（    ）个面露在外面。 A．14 B．18 C．21 D．23 【答案】C 【思路引导】分别数出不同方向看到露在外面的面的数量，再相加得到露在外面的面的总数，据此解答。 【规范解答】如图所示：从前面看，有5个面露在外面； 从后面看，有5个面露在外面； 从左面看，有3个面露在外面； 从右面看，有3个面露在外面； 从上面看，有5个面露在外面； 露在外面的面的总数为个。 故答案为：C 【考点剖析】理解题中“露在外面的面”即是立体图形前面、左面、右面、后面和上面露在外面的面，再数出这些方向露在外面的面的个数再相加，是解题的关键。 考点六 长方体的体积的计算与应用 【典例精讲】（24-25五年级下·内蒙古呼和浩特·期末）一个长方体木块的长、宽、高分别是6dm、5dm、4dm，现从中锯出一个最大的正方体，这个正方体木块的表面积是( )，它的体积是原来长方体木块体积的( )。 【答案】 96 【思路引导】①锯出的最大正方体的棱长与长方体的高相等，正方体的表面积＝棱长×棱长×6； ②正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高；求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，用正方体的体积除以长方体的体积。 【规范解答】4×4×6 ＝16×6 ＝96（dm2） （4×4×4）÷（6×5×4） ＝（16×4）÷（30×4） ＝64÷120 ＝ 【变式训练】（24-25五年级下·吉林长春·期末）用3个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。 【答案】 3 14 【思路引导】拼成的长方体体积等于3个正方体的体积和，根据，再用1个正方体体积乘3；3个正方体只能拼成长3厘米、宽1厘米、高1厘米的长方体，根据长方体表面积公式：，代入数据计算即可。 【规范解答】（立方厘米） （平方厘米） 考点七 正方体的体积的计算与应用 【典例精讲】（24-25五年级下·广东深圳·期末）非遗传承人王叔叔想雕刻一件物品，选好材料后为方便雕刻先对材料进行了初步处理，他把长8cm，宽6cm，高9cm的长方体木料削成了一个最大的正方体，则这个长方体材料体积减小了( )cm3。 【答案】216 【思路引导】长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体中削成的最大正方体的棱长与长方体最短的棱长度相等。用长方体体积减去最大正方体的体积求出体积减少的部分。 【规范解答】8×6×9－6×6×6 ＝432－216 ＝216（cm3） 【变式训练】（24-25五年级下·浙江·期末）木工社团活动时，淘气把一个长方体木块锯掉一个小正方体后（如图），发现这个图形和原来图形比较，表面积（    ）（填“增加”、“减少”或“不变”）。那么，现在这个物体的体积是多少立方厘米？ 【答案】 增加；29立方厘米 【思路引导】长方体锯掉一个小正方体后，多露出了两个小正方形的面，所以表面积增加。图形体积＝长方体的体积－正方体的体积＝长×宽×高－棱长×棱长×棱长。 【规范解答】由图可知：锯掉小正方体后的图形和原来图形比较，表面积增加； 体积是： 5×2×3－1×1×1 ＝10×3－1 ＝30－1 ＝29（立方厘米） 答：这个物体的体积是29立方厘米。 考点八 体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·辽宁沈阳·期末）如下图，一个封闭的长方体容器，容器内装有水。如果把该容器长、宽都是10厘米的面作为底面放在桌面上，这时水面高度是16厘米；如果把该容器长25厘米和宽10厘米的面作为底面放在桌面上，这时水面的高度是多少厘米？（单位：厘米） 【答案】6.4厘米 【思路引导】左图的长方体容器中水是一个长、宽都是10厘米，高是16厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 右图的长方体容器中水是一个长为25厘米，宽是10厘米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷长÷宽，求出这时水面的高度。 【规范解答】10×10×16＝1600（立方厘米） 1600÷25÷10 ＝64÷10 ＝6.4（厘米） 答：这时水面的高度是6.4厘米。 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）手工课上，淘气用橡皮泥捏成了一个棱长是6厘米的正方体。笑笑用同样多的橡皮泥捏成了一个高是9厘米的长方体，长方体的占地面积是( )平方厘米。 【答案】24 【思路引导】用同样多的橡皮泥捏成不同形状的物体，体积不变。先根据正方体的体积公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出橡皮泥的体积，也就是长方体的体积。再根据长方体的体积公式：长方体的体积＝底面积×高，可得底面积＝体积÷高，长方体的占地面积就是它的底面积。 【规范解答】正方体的体积： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 长方体的占地面积（底面积）：216÷9＝24（平方厘米） 考点九 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·广东湛江·期末）一个长方体的长是8cm，宽是4cm，高是6cm。在它的顶点位置挖去一个棱长为2cm的小正方体（如图）。前后对比，下列说法正确的是（    ）。 A．表面积增加，体积减少 B．表面积不变，体积减少 C．表面积减少，体积减少 D．表面积和体积都不变 【答案】B 【思路引导】挖去了一块小正方体，总体积比原来减少了小正方体的体积；在长方体顶点挖去小正方体时：原来小正方体有3个面属于原长方体的表面积，挖走后会去掉这3个小正方形面，但切口处会新露出3个同样大小的正方形面。据此解答。 【规范解答】据分析可知，一个长方体的长是8cm，宽是4cm，高是6cm。在它的顶点位置挖去一个棱长为2cm的小正方体。前后对比，表面积不变，体积减少。 【变式训练】（24-25五年级下·湖南张家界·期末）从一个长2dm、宽9cm、高4cm的长方体木块中锯下一个最大的正方体木块，这个正方体木块的棱长为( )cm，最多可以锯下( )个这样的正方体。（损耗忽略不计） 【答案】 4 10 【思路引导】先根据“1dm＝10cm”将长方体的长度单位换算成“cm”；锯下的最大的正方体木块的棱长，与长方体的长、宽、高中最短的部分相同。分别计算沿长方体的高、长和宽可以锯的正方体的棱长的个数，然后将沿长和宽可以锯出的个数求积，即为可以锯下的正方体的数量。 【规范解答】2dm＝20cm 因为4＜9＜20，所以这个正方体木块的棱长为4cm； 4÷4＝1（个） 20÷4＝5（个） 9÷4＝2（个）……1（cm） 最多可以锯下的正方体的个数为：1×5×2＝10（个） 考点十 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 【典例精讲】（24-25五年级下·广东湛江·期末）在括号里填上合适的数。 0.15m3＝( )dm3        ( )L＝380mL 【答案】 150 0.38/ 【思路引导】（1）根据1m3＝1000dm3，从大单位换算成小单位，乘进率； （2）根据1L＝1000mL，从小单位换算成大单位，除以进率。 【规范解答】（1）0.15×1000＝150（dm3），因此0.15m3＝150dm3。 （2）380÷1000＝0.38（L），因此0.38L＝380mL。 【变式训练】（24-25五年级下·吉林长春·期末）在一个棱长为1分米的正方体盒子中，最多能摆( )个棱长为1厘米的小正方体；最多能摆( )个棱长为5厘米的小正方体。 【答案】 1000 8 【思路引导】先统一单位，再分别计算大正方体每条棱上能摆放的小正方体，最后根据“每行小正方体数×行数×层数”，求出小正方体的总个数。 【规范解答】1分米＝10厘米 10÷1＝10（个） 10×10×10＝1000（个） 棱长为1厘米的小正方体最多能摆1000个。 10÷5＝2（个） 2×2×2＝8（个） 棱长为5厘米的小正方体最多能摆8个。 考点十一 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【典例精讲】（24-25五年级下·四川遂宁·期末）在括号里填上合适的数或单位。 4.05L＝（    ）ml                         24分＝时 一个成人的医用口罩的面积约是1.7（    ）   一个篮球的体积约为8（    ） 【答案】4050； 平方分米；立方分米 【思路引导】容积单位换算：因为1L＝1000mL，所以将升换算为毫升时，用给定的升数乘进率即可得到对应的毫升数。时间单位换算：因为1时＝60分，所以将分钟换算为小时时，用给定的分数除以进率，再将结果约分为最简分数。 成年人手掌面（不含手指）的大小，差不多是1平方分米，计量成人的医用口罩的面积用平方分米作单位比较合适； 1立方分米大约是粉笔盒的体积，计量一个篮球的体积用立方分米作单位比较合适。 【规范解答】4.05×1000＝4050，所以4.05L＝4050mL 1时＝60分，24÷60＝＝（时），所以24分＝时 一个成人的医用口罩面积约为1.7平方分米。 一个篮球的体积约为8立方分米。 【变式训练】（24-25五年级下·河北沧州·期末）一个棱长为40厘米的正方体鱼缸，如果在鱼缸里装入的水，水有( )升。 【答案】48 【思路引导】先根据正方体体积公式V＝a3求出鱼缸的总容积，再根据1升＝1000立方厘米，把单位从立方厘米换算成升，接着把总容积看成单位“1”，用总容积乘，即可求出水的体积。 【规范解答】40×40×40 ＝1600×40 ＝64000（立方厘米） 64000÷1000＝64（升） 64×＝48（升） 考点十二 体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（24-25五年级下·广东潮州·期末）用铁皮做一个无盖的长方体水箱，长1米，宽7分米，高5分米。做这个水箱至少需要多少平方分米的铁皮？这个水箱最多能装水多少升？ 【答案】240平方分米；350升 【思路引导】水箱无盖，是求它的5个面的总面积，根据长方体的表面积的计算方法解答；求它的容积，利用它的体积公式解答。 【规范解答】1米＝10分米 10×7＋10×5×2＋7×5×2 ＝70＋100＋70 ＝170＋70 ＝240（平方分米） 10×7×5 ＝70×5 ＝350（立方分米） 350立方分米＝350升 答：做这个水箱至少需要240平方分米铁皮，它的容积是350升。 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）小明想测量一块圆柱体铁块的体积。他准备了一个底面积是6平方分米、深是2分米的长方体容器，往容器中倒入6升的水后，再将铁块完全浸没在水中，这时测得水高为1.3分米。这个圆柱体铁块的体积是多少立方分米？ 【答案】1.8立方分米 【思路引导】1L＝1立方分米，铁块的体积＝放入铁块后的体积－倒入的水的体积。 【规范解答】6L＝6立方分米 6×1.3－6 ＝7.8－6 ＝1.8（立方分米） 答：这个圆柱体铁块的体积是1.8立方分米。 考点十三 长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级下·四川成都·期末）向一个长方体容器（如左图）内匀速注水，水面高度随时间匀速变化（如右图），注水8分钟后，停止注水。如果水龙头每分钟出水9升，容器厚度忽略不计，容器内原有水面高度( )分米。 【答案】 【思路引导】先用算出注了多少升水，再根据长乘宽乘高算出现在的容积，再减去注水的容积，就是原来的容积，再除以原来的底面积，求出原有水面高度。 【规范解答】 （立方分米） （升）立方分米 （立方分米） （分米） 容器内原有水面高度分米。 【变式训练】（24-25五年级下·湖南张家界·期末）刘华在一块长方形纸板的两个角上各剪掉一个小正方形，如果把剪下的两个小正方形粘贴到长方形另一边的中间（如图），正好可以制成一个无盖的长方体纸盒。这个盒子的容积是( )cm3。（损耗忽略不计） 【答案】216 【思路引导】观察图形可知，长方形纸板的宽是12cm，两个角各剪掉一个小正方形，且能拼成盒子的两个侧面，说明12cm平均分成2份，长方体纸盒的宽是12÷2＝6cm，长方体纸盒的高等于小正方形的边长是6÷2＝3cm，长方体纸盒的长是15－3＝12cm；根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出这个盒子的容积。 【规范解答】长方体纸盒的宽：12÷2＝6（cm） 长方体纸盒的高：6÷2＝3（cm） 长方体纸盒的长：15－3＝12（cm） 盒子的容积： 12×6×3 ＝72×3 ＝216（cm3） 考点十四 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·黑龙江牡丹江·期末）一个长方体鱼缸，从里面量长6分米，宽14分米，高5分米，水深3分米。如果放入一块棱长为3分米的正方体石头，水面会上升多少分米？ 【答案】分米 【思路引导】根据长方体的容积＝长×宽×高，算出长方体鱼缸空的部分的容积；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，算出正方体石头的体积，再比较判断水是否会溢出。如果水没有溢出，根据排水法原理，把正方体石头完全浸没在水中，水面上升的那部分水的体积就是正方体石头的体积；根据长方体体积＝底面积×高，用正方体石头的体积除以长方体底面积即可算出水面上升的高度。 【规范解答】正方体石头的体积：（立方分米） 长方体空的部分的体积：6×14×（5－3） ＝6×14×2 ＝168（立方分米） 168＞27，把正方体石头浸入水中，水不会溢出。 27÷（6×14） ＝27÷84 ＝（分米） 答：水面会上升分米。 【变式训练】（24-25五年级下·湖南张家界·期末）王叔叔要制作一个长7.5分米、宽4.8分米、高为4分米的长方形无盖玻璃鱼缸。 (1)制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？（得数保留整数） (2)玻璃鱼缸中放入一块高为1.5分米，体积为6立方分米的假山石，如果水管以每分钟4立方分米的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能把假山石完全淹没？ 【答案】(1)134平方分米 (2)12分钟 【思路引导】（1）制作一个长方体无盖玻璃鱼缸需要的玻璃的面积等于长方体的下面、前后、左右5个面的面积之和，根据长方体的表面积公式可知：需要玻璃的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算结果采用四舍五入法保留整数即可； （2）先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出鱼缸中流入高度为1.5分米的水的体积，再减去假山石的体积即可得到实际需要流入的水的体积，最后除以每分钟水的流入量即可解答。 【规范解答】（1）7.5×4.8＋7.5×4×2＋4.8×4×2 ＝36＋60＋38.4 ＝134.4（平方分米） ≈134（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要玻璃134平方分米。 （2）7.5×4.8×1.5－6 ＝54－6 ＝48（立方分米） 48÷4＝12（分钟） 答：至少需要12分钟才能把假山石完全淹没。 考点十五 组合体的体积（长方体、正方体) 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江杭州·期末）求立体图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】126平方厘米；81立方厘米 【思路引导】立体图形的表面积＝长方体表面积＋正方体侧面积，立体图形的体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体侧面积＝棱长×棱长×4，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值即可解答。 【规范解答】表面积：（6×3＋6×3＋3×3）×2＋3×3×4 ＝（18＋18＋9）×2＋36 ＝45×2＋36 ＝90＋36 ＝126（平方厘米） 体积：6×3×3＋3×3×3 ＝54＋27 ＝81（立方厘米） 【变式训练】（25-26五年级下·河北·单元复习）计算下面立体图形的体积。       【答案】147cm3；86.4m3 【思路引导】（1）组合体体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。代入数值即可解答。 （2）先利用梯形面积公式（上底＋下底）×高÷2算出横截面面积，再用横截面面积乘高，求出体积。 【规范解答】（1）6×4×5＋3×3×3 ＝120＋27 ＝147（cm3） （2）（2＋2.8）×1.8÷2×20 ＝4.8×1.8÷2×20 ＝8.64÷2×20 ＝4.32×20 ＝86.4（m3） 1．（24-25五年级下·吉林长春·期末）用一根56cm长的细铁丝正好焊接成了一个长6cm，宽5cm，高（    ）cm的长方体框架（无剩余）。 A．6 B．5 C．3 【答案】C 【思路引导】这根铁丝的长度就是长方体的棱长总和，根据长方体的棱长总和公式，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用棱长总和除以4再减去长和宽即可。 【规范解答】 （cm） 2．（24-25五年级下·辽宁沈阳·期末）如图，5个棱长都是20cm的正方体堆放在墙角处，露在外面的面的面积是（    ）cm2。 A．1000 B．2000 C．4000 D．4400 【答案】D 【思路引导】露在外面的面积＝一个面的面积×露在外面的面的个数，先分别数出从上面、前面、右面看到的面的个数，再相加即可得到露在外面的个数，再根据正方体一个面的面积＝棱长×棱长求出一个面的面积，最后根据公式求出面积即可。 【规范解答】4＋4＋3 ＝8＋3 ＝11（个） 11×（20×20） ＝11×400 ＝4400（cm2） 露在外面的面的面积是4400cm2。 3．（24-25五年级下·辽宁沈阳·期末）用含有字母的式子表示：一个长方体长x米，宽y米，高z米（其中0＜y＜x＜z）。它的底面周长是（    ）米，左面的面积是（    ）平方米，把它切成两个长方体，表面积最多将增加（    ）平方米。 A．2yz；2xz；yz B．2xz；yz；2x＋2y C．yz；2x＋2y；2yz D．2x＋2y；yz；2xz 【答案】D 【思路引导】长方体底面由长x和宽y构成，根据周长公式可得底面周长＝2（x＋y）＝2x＋2y；左面由宽y和高z构成，根据面积公式可得左面面积＝y×z＝yz；切开长方体时，增加的面积是切开面的两倍，各面面积：前后面：xz（面积最大，因为0＜y＜x＜z），左右面：yz，上下面：xy，最多增加面积为2xz。 【规范解答】根据分析可知，一个长方体长x米，宽y米，高z米（其中0＜y＜x＜z）。它的底面周长是（2x＋2y）米，左面的面积是yz平方米，把它切成两个长方体，表面积最多将增加2xz平方米。 4．（25-26五年级下·全国·单元复习）乐乐和他的好朋友分别用4根5cm、4根9cm和4根12cm的磁力棒搭一个长方体框架，下面是他们搭出的部分框架，在此基础上用剩下的磁力棒继续搭建，其中一定不能搭成长方体框架的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】长方体的长、宽、高各需要4根等长的磁力棒，每种长度最多用4根；判断各选项中已用的磁力棒数量，若某一长度的磁力棒已用完且无法满足长方体棱的配对需求，就不能搭成。 【规范解答】A．已用的5cm、9cm、12cm磁力棒数量都不超过4根，剩余磁力棒可凑齐长、宽、高各4根，能搭成。 B．已用完4根9cm磁力棒，长方体对面还需要4根9cm的棱，无剩余可用，不能搭成。 C．已用的三种长度磁力棒数量都不超过4根，剩余磁力棒可凑齐长、宽、高各4根，能搭成。 D．已用的三种长度磁力棒数量都不超过4根，剩余磁力棒可凑齐长、宽、高各4根，能搭成。 5．（24-25五年级下·湖北黄冈·期末）用同样大小的小正方体搭成一个稍大一些的正方体，最少要用（    ）小正方体。 A．4块 B．8块 C．9块 D．27块 【答案】B 【思路引导】正方体的12条棱长度完全相等，因此拼成的大正方体的长、宽、高长度必须相等。要使用最少的小正方体拼大正方体，每条棱上至少需要2块小正方体，总个数为长、宽、高方向小正方体数量的乘积。据此解答。 【规范解答】要使用最少的小正方体拼大正方体，每条棱上至少需要2块小正方体。 总个数为：2×2×2＝8（块） 6．（25-26五年级下·内蒙古赤峰·期末）下面说法中，正确的是（    ）。 A．在非0自然数中，不是质数就是合数 B．图形在旋转中，方向、位置、大小都可能会发生变化 C．折线统计图只能看出数量的增减变化情况 D．右图如果继续补搭成一个大正方体，至少还需要54个同样的小正方体。 【答案】D 【思路引导】在非0自然数中，1既不是质数也不是合数；图形旋转时只改变位置和方向，不改变大小；折线统计图既能看出数量多少，也能看出增减变化；补搭大正方体需先确定最小棱长，再用总个数减去已有个数计算所需数量。 【规范解答】A．在非0自然数中，1既不是质数也不是合数，所以“非0自然数不是质数就是合数”的说法错误。 B．图形在旋转中，方向、位置会变化，但大小不变，所以“大小都可能会发生变化”的说法错误。 C．折线统计图不仅能看出数量的增减变化情况，也能看出数量的多少，所以“只能看出数量的增减变化情况”的说法错误。 D．先确定补搭成的大正方体最小棱长为4，总个数为4×4×4＝64个，图中已有10个小正方体，64－10＝54个，所以至少还需要54个同样的小正方体，说法正确。 7．（24-25五年级下·湖北黄冈·期末）0.724立方分米＝( )立方厘米＝( )毫升     90升＝( )立方分米＝( )立方米 【答案】 724 724 90 0.09/ 【思路引导】（1）根据1立方分米＝1000立方厘米，1立方厘米＝1毫升，从大单位换算成小单位，乘进率； （2）根据1立方分米＝1升，1立方米＝1000立方分米，从小单位换算成大单位，除以进率。 【规范解答】（1）0.724×1000＝724（立方厘米），724立方厘米＝724毫升，因此，0.724立方分米＝724立方厘米＝724毫升。 （2）90升＝90立方分米，90÷1000＝0.09（立方米），因此90升＝90立方分米＝0.09立方米。 8．（25-26五年级下·山东潍坊·期末）同学们要把学校自制的手工作品装进无盖长方体盲盒里，乐乐现有两块长、宽15cm和两块长、宽8cm的长方形硬纸板，还需要准备一块长( )cm、宽( )cm的长方形硬纸板，才能做成这个无盖长方体盲盒。盲盒做好后，它的体积是( )cm³。 【答案】 15 8 960 【思路引导】无盖长方体只有5个面（1个底面＋4个侧面），且侧面是两两相同的，给了两块“长15cm、宽15cm”和两块“长8cm、宽8cm”的硬纸板，这两组硬纸板应该是两组侧面，一个边是“长/宽”，另一个边是“高”。 第一组侧面（15cm×15cm），可以理解为“长15cm、高8cm”（因为另一组侧面的宽是8cm，高需要统一）； 第二组侧面（8cm×8cm），可以理解为“宽8cm、高8cm”； 因此，底面的长和宽应该和侧面的“长”宽”对应，即底面需要一块长15cm、宽8cm的硬纸板。长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出结果。 【规范解答】根据分析： 还需要准备一块长15cm、宽8cm的长方形硬纸板，才能做成这个无盖长方体盲盒。 15×8×8＝120×8＝960（） 即盲盒做好后，它的体积是960。 9．（24-25五年级下·甘肃定西·期中）如图是一个长方体水箱，如果在水箱已经有水的情况下，再放入一个棱长为10cm的正方体实心铁块，且该铁块完全被水淹没，那么水箱中原来水的高度至少是( )cm。 【答案】8 【思路引导】由题可知，铁块完全被淹没，表明放入铁块后水的高度至少与铁块的高度相同，即10cm。首先求出放入铁块后铁块与水的总体积和正方体铁块的体积；然后用铁块与水的总体积减去正方体铁块的体积，求出水的体积；最后用水的体积除以水箱的底面积，即可求出水箱中原来水的高度。 【规范解答】铁块与水的总体积： 铁块的体积： 水的体积： 水箱中原来水的高度至少是： 10．（25-26五年级下·陕西西安·阶段检测）求下列图形的表面积（单位：厘米）。 （1）    （2） 【答案】（1）216平方厘米 （2）700平方厘米 【思路引导】（1）求第一个图形的表面积，相当于一个正方体，凹进去的三面小正方形正好补充正方体一角缺失的3个小正方形，也就相当于求正方体的表面积，用棱长乘棱长乘棱长。 （2）图形为长方体的展开图，能拼成一个长方体，表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 【规范解答】（1）6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） （2）（30－10×2）÷2 ＝（30－20）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） （10×20＋20×5＋10×5）×2 ＝（200＋100＋50）×2 ＝（300＋50）×2 ＝350×2 ＝700（平方厘米） 11．（24-25五年级下·甘肃定西·期末）求出下面图形的表面积和体积。 【答案】表面积736平方厘米；体积1176立方厘米 【思路引导】将正方体的上面平移到长方体的上面，这样补齐长方体的表面，长方体的表面积长＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，此时，正方体的表面只剩下4个面，正方体的表面积＝棱长×棱长×4，最后将长方体和正方体的表面积相加。长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出长方体和正方体的体积后相加。 【规范解答】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 12．（24-25五年级下·湖北黄冈·期末）数学社团的同学们尝试测量粽子的体积，他们准备了一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为20厘米，高22厘米。向容器中倒入6升水，再把一个粽子沉入水中（粽子完全浸没），这时量得容器中的水深16厘米，这个粽子的体积是多少立方分米？ 【答案】0.4立方分米 【思路引导】粽子完全浸没在水中，粽子的体积等于放入粽子后的总体积减去原有水的体积。据此先计算出粽子和水的总体积，再减去原有水的体积，即可求出粽子的体积。长方体的体积＝长×宽×高；注意单位的统一，1升＝1立方分米＝1000立方厘米。 【规范解答】6升＝6000立方厘米 20×20×16－6000 ＝400×16－6000 ＝6400－6000 ＝400（立方厘米） 400立方厘米＝0.4立方分米 答：这个粽子的体积是0.4立方分米。 13．（24-25五年级下·内蒙古呼和浩特·期末）小明家有一个无盖长方体金鱼缸，长5分米，宽2分米，高4分米。 (1)妈妈往金鱼缸里加入20升的水，如果金鱼缸平放在桌上，这时水深多少分米？ (2)如果只在棱上粘贴胶带纸，一盘长4.5米的胶带纸够用吗？ 【答案】(1)2分米 (2)够用 【思路引导】（1）先根据“1升＝1立方分米”把水的体积换算成立方分米，再用鱼缸的长乘宽求出底面积，最后用水的体积除以底面积，求出水深。 （2）根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出总棱长并换算成米，再和胶带的长度比较，判断胶带是否够用。 【规范解答】（1）20升＝20立方分米 20÷（5×2） ＝20÷10 ＝2（分米） 答：这时水深2分米。 （2）（5＋2＋4）×4 ＝11×4 ＝44（分米） 44分米＝4.4米 4.4＜4.5 答：一盘长4.5米的胶带纸够用。 14．（25-26五年级下·河北邢台·阶段检测）乐乐的科学课需要制作一个无盖的鱼缸。他和爸爸计划用5块玻璃粘合而成（底面一块，侧面四块）。鱼缸设计为长方体，内部尺寸为：长50厘米，宽30厘米，高40厘米。（玻璃厚度忽略不计） (1)做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ (2)为确保牢固和不漏水，需要在所有玻璃拼接的接缝处打上玻璃胶。根据要求，需要打玻璃胶的总长度是多少厘米？ 【答案】(1)平方分米 (2)厘米 【思路引导】（1）鱼缸无盖，所需玻璃面积为底面面积加上四个侧面面积之和； （2）打胶位置为所有玻璃拼接的接缝（无盖，所以上口边缘不打胶），包括底面与侧面的4条底边长度加上侧面之间相邻的4条垂直棱（高）长度之和。 【规范解答】（1）底面积：50×30＝1500（平方厘米） 前后面积：2×（50×40）＝4000（平方厘米） 左右面积：2×（30×40）＝2400（平方厘米） 总面积：1500＋（4000＋2400） ＝1500＋6400 ＝7900（平方厘米） 换算为平方分米：7900÷100＝79（平方分米） 答：至少需要79平方分米的玻璃。 （2）底面与侧面的4条底边：长＋宽＋长＋宽＝2×（50＋30）＝160（厘米） 侧面之间相邻的4条垂直棱（高）：4×40＝160（厘米） 总长度：160＋160＝320（厘米） 答：需要打胶的总长度为320厘米。 15．（20-21五年级下·陕西西安·期中）如图是一个棱长4分米的正方体，在上面正中向下挖去一个棱长是2分米的正方体，接着在这个正方体的下底面正中再向下挖去一个棱长1分米的正方体。最后得到的立体图形的表面积是多少平方分米？ 【答案】116平方分米 【思路引导】求最后得到的立方体图形的表面积，即棱长为4分米的正方体的表面积与棱长为2分米的正方体4个侧面和棱长为1分米的正方体4个侧面的面积之和；根据“正方体的表面积＝棱长2×6”求出棱长为4分米的正方体的表面积，根据“正方体的侧面积＝棱长2×4”分别求出棱长为2分米的正方体4个侧面和棱长为1分米的正方体4个侧面的面积，然后相加即可。 【规范解答】42×6＋22×4＋12×4 ＝96＋16＋4 ＝116（平方分米） 答：最后得到的立体图形的表面积是116平方分米。 【考点剖析】解答此题的关键是明确：最后得到的立方体图形的表面积，即棱长为4分米的正方体的表面积与棱长为2分米的正方体4个侧面和棱长为1分米正方体的4个侧面的面积之和。 16．（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）一个长方体容器，长是20厘米，宽是15厘米，容器中盛有一些水，水深4.5厘米，将一个长13厘米的长方体铁块竖直放入水中（铁块底面与容器底面完全接触），水面升高至5厘米。这个长方体铁块的体积是多少？ 【答案】390立方厘米 【思路引导】在铁块放入前后，水的体积没有变，水面升高是因为一部分铁块进入了水中。根据题中条件可求出水的体积，还可求出铁块放入后水中的铁块和水一共的体积。这样就可用减法求出水中这一部分铁块的体积，同时水中部分铁块的高度与升高后的水面相同，可通过“底面积＝体积÷高”求出铁块的底面积，最后用底面积乘铁块的实际长度即可得到长方体铁块的体积。 【规范解答】水的体积： 20×15×4.5 ＝300×4.5 ＝1350（立方厘米） 放入铁块后水中的铁块和水的总体积： 20×15×5 ＝300×5 ＝1500（立方厘米） 水中铁块的体积：1500－1350＝150（立方厘米） 铁块的底面积：150÷5＝30（平方厘米） 铁块的体积：30×13＝390（立方厘米） 答：这个长方体铁块的体积是390立方厘米。 17．（24-25五年级·全国·随堂练习）在一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为30cm、体积为3000cm3的假山石。如果水管以每分9dm3的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能将假山石完全淹没？ 【答案】 3分 【思路引导】水的体积＝水和假山石的体积和-假山石的体积；由题可知，将假山石完全淹没时水的高度是30cm，水和假山石的体积和是一个长是50cm，高是30cm，宽是20cm的长方体，根据长方体的体积公式，先求出水和假山石的体积和；水和假山石的体积和减去假山石的体积，求出水的体积；最后用水的体积除以每分钟流入的水的体积，即可求出需要几分钟，据此解答。 【规范解答】水和假山石的体积和：（cm3） 水的体积：（cm3） 27000cm3＝27dm3 （分） 答：至少需要3分钟才能将假山石完全淹没。 【考点剖析】本题的关键在于求出假山石完全淹没时需要注入水的体积。 18．（24-25五年级下·四川成都·期中）一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是32平方分米，这个长方体的体积是多少？ 【答案】12立方分米 【思路引导】已知形成的长方体的底面积是6平方分米，长方体的表面积是32平方分米，那么长方体的侧面积（前后左右四个面的面积之和）＝表面积－底面积×2；因为长方体的侧面积＝底面周长×高，那么长方体的高＝侧面积÷底面周长；再根据长方体的体积＝底面积×高，求出这个长方体的体积。 【规范解答】长方体的侧面积： 32－6×2 ＝32－12 ＝20（平方分米） 长方体的高：20÷10＝2（分米） 长方体的体积：6×2＝12（立方分米） 答：这个长方体的体积是12立方分米。 19．（25-26五年级下·陕西咸阳·期中）下面是一个正方体的展开图中的前面、左面和下面。 (1)画出展开图的另外三个面，并标出每个面是正方体的什么面。 (2)每个小方格是边长为1厘米的正方形，这个正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】(1) (2)27 【思路引导】（1）在此方格图可补成正方体展开图的“1－4－1”型，补成的正方体展开图中，两个“1”相对，即前面与后面中间隔了一个下面；“4”中第一个正方形与第三个正方形相对，第二个正方形与第四个正方形相对，从左到右分别为左面、下面、右面、上面。 （2）折成的正方体的棱长为3厘米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可解答。 【规范解答】（1）略 （2）3×3×3＝27（立方厘米） 20．（24-25五年级下·广东揭阳·期末）下图是一个长方体展开图的三个面。 (1)画出展开图的另外三个面，并标注每个面的名称。 (2)如果每个小方格的边长为1厘米，该长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】(1) (2)52平方厘米 【思路引导】（1）长方体的展开图的相对面规则是在同一行或同一列的，间隔1个面的2个面是相对面，不在同一行的，位于“Z”字型的两端的2个面是相对面，可以在“右面”的右侧换一个与“后面”的长方形相同的长方形作为“前面”，在“前面”右侧画一个与“右面”相同的长方形作为“左面”，在“右面”的下边画一个与“上面”相同的长方形作为“下面”。（画法不唯一）； （2）“上面”的两条边分别为长和宽，由图可知长有4小格也就是4厘米，宽有2小格也就是2厘米，”右面“的两条边是长和高，由图知高有3小格也就是3厘米，代入公式：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2求解。 【规范解答】（1）略 （2）根据分析，长方体表面积为： （4×2＋4×3＋2×3）×2 ＝（8＋12＋6）×2 ＝26×2 ＝52（平方厘米） 答：该长方体的表面积是52平方厘米。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null