暑假预习专题 第8讲 不等式的性质（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第8讲 不等式的性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 不等式的性质 作差法 作商法 1.能够准确理解并阐述不等式的基本性质，包括对称性、传递性、可加性、可乘性等，清晰区分等式性质与不等式性质的差异。​ 2.熟练掌握运用不等式的性质对不等式进行变形，如移项、乘除运算等操作， 能够正确求解简单不等式，并准确表示其解集。​ 3.利用不等式的性质证明一些简单的代数不等式，理解证明过程中的逻辑推理 和依据。 学习重点：熟练掌握运用不等式的性质对不等式进行变形，如移项、乘除运算等操作，能够正确求解简单 不等式，并准确表示其解集。 学习难点：利用不等式的性质证明一些简单的代数不等式，理解证明过程中的逻辑推理和依据。 1、不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，为后续分式不等式、基本 不等式等打基础。本章节中的作差法也是后续证明函数单调性的重要思想；在今后的学习过程中应注重 基础，重视通法，养成良好的分析问题的习惯。 2、不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇔a>c； (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c，a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方：a>b>0⇒> (n∈N，n≥2); (7) a>b,ab>0⇒ ；a>b>0,0<c<d⇒ . 3、比较两式大小的方法常见的有两种：作差法、作商法 作差法：第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段； 第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0． 最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键． 注意1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较； 注意2：如果式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号； 此时要注意分类合理恰当． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01不等式的性质 1、对于两个实数 、 ， 如果 是正数，就称 大于 ，记为 ； 如果 是负数，就称 小于 ，记为 ； 如果 是零，就称 等于 ，记为 ． 这就是说这是研究一切不等式的基础. 显然,对于任意给定的两个实数 (1)“”的左边反映的是实数的大小关系，右边反映的是实数的运算性质，合起来就是实数的大小与运算性质之间的关系.(2)从基本事实可知,比较两个实数的大小，只需比较它们的差与0的大小。 2、不等式的性质： （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 b c； 如果 ，且 ，那么 ． 性质名称 性质内容 移项法则 同向可加性 同向可加性的推论 同向同正可乘性 ， 同向同正可乘性的推论 ， 正数乘方性 正数可开方性 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，对于，即.当，时，，，此时，所以不一定成立.故A错误；对于B选项，对于.当，时，满足，此时，，，所以不一定成立. 故B错误；对于C选项，对于.因为， 又恒大于，已知，即，所以，即一定成立； 故C正确；对于D选项，对于.当，时，满足，但，，， 所以不一定成立；故D错误；故选：C. 【技巧归纳】运用不等式的性质，结合特殊值法和作差法比较大小，对每个选项逐一分析判断其是否 一定成立. 【例2】（24-25高一上·上海·期末）若实数，，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，，所以，A选项错误； ，则，B选项错误；根据不等式的性质可知，C选项错误； ，其中，所以，D选项正确；故选：D. 【技巧归纳】利用特殊值、不等式的性质、作差比较法等知识来确定正确答案. 【例3】（24-25高一上·上海·期末）已知是正实数，那么“”是“”的 条件 （填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 【答案】充要 【详解】因为是正实数，所以，, 所以“”是“”的充要条件；故答案为：充要 【技巧归纳】由是正实数，可知，进而化简可得结果. 【对点练习】 【练习1】（24-25高一上·上海·期末）若下列不等式中：①；②；③； ④，成立的有（    ）个A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A【分析】根据不等式的性质一一判断即可. 【详解】因为，所以，故①错误；，故②正确；，即， 所以，故③错误；因为，所以，故④错误；故选：A 【练习2】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】通过取，即可判断出选项A，C和D的正误，对于B，通过作差，即可求解. 【详解】取，显然满足，此时，，， 所以选项A，C和D错误，对于选项B，因为， 又，所以，得到，即，所以选项B正确，故选：B. 【练习3】（24-25高一上·上海·期末）若，，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】利用不等式的基本性质即可判断． 【详解】因为，所以，又，所以，所以：；故选：C 【练习4】（24-25高一上·上海虹口·期末）设为实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解. 【详解】由，得；反之，，可以为， 所以“”是“”的充分不必要条件；故选：A 【练习5】（24-25高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】A【分析】对于A、B选项，利用不等式的性质可判断原命题的真假；对于C、D选项， 取特殊值可判断原命题的真假.【详解】对于A，若，则，显然成立，选项A正确； 对于B，若，当时，，当时，，选项B错误；对于C，令，满足，，但是，不满足，选项C错误；对于D，令，满足，，但是，不满足，选项D错误，故选：A. 知识点02 用不等式比较代数式的大小 1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法 ①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论； ②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论； ③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得出结论. 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若 ，则 ；若 ，那么 ．其中是介于 与 之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 3、证明不等式主要利用作差比较法和作商比较法.若要证明的不等式为几个多项式的和或差, 则采用作差比较法;若要证明的不等式为几个多项式的积或商,则采用作商比较法. 采用作差比较法，将不等式左右两边的式子作差，然后将其进行适当的变形、放缩,再利用不等式的传递性、可加性来证明结论.运用作差比较法证明不等式时，作差后变形的结果都应是几个因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号. 【经典例题】 【例4】（24-25高一上·上海杨浦·期中）下列关于不等式的命题是假命题的序号为 .（1）若，则，；（2）用反证法证明a=0或b=0时可假设ab≠0；（3）若a，b为正数，则；（4）设，若，则xy的取值范围为. 【答案】（3）（4） 【详解】对于（1），由得，则成立且，故， 即成立，因此（1）为真命题；对于（2），当不成立时，有成立，即或， 故（2）为真命题；对于（3），， 显然，当时，不成立，故（3）为假命题；对于（4），假设，，此时，满足，不满足，故（4）为假命题； 故答案为：（3）（4） 【易错提醒】利用不等式的性质和作差法可判断（1）和（3）；通过逻辑推理可判断（2）；利用特殊值法可判断（4）. .【例5】（24-25高一上·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 【答案】 【详解】由题恒成立，所以；故答案为：. 【易错提醒】作差计算，根据差值即可比较大小. 【例6】设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【详解】∵，即，又，；故答案为：>. 【易错提醒】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【例7】已知，试比较和的大小. 【答案】 【详解】（方法1：作商法）因为，所以. 所以，因为，所以，即； （方法2：有理化法）所以， 又，所以 , 所以. 【易错提醒】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解； 方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【对点练习】 【练习6】（24-25高一上·上海嘉定·月考）给出下列命题：①若，则； ②若，则；③对于正数若，则．其中真命题的序号是 ． 【答案】①③【分析】利用特殊值、不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①若，则，所以①正确； ②若，如，则，所以②错误； ③正数若，则， ，所以，所以③正确；故答案为：①③. 【练习7】（24-25高一上·上海宝山·月考）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，，若，求证：和中至少有一个大于. 【答案】（1）；（2）证明见详解 【详解】（1），； （2）假设，，，，， ，两式相加得，，这与矛盾，所以假设错误. 所以和中至少有一个大于. 【易错提醒】（1）运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可； （2）用反证法，假设，，推出矛盾，即得证. 【练习8】已知实数满足；，求：的取值范围． 【解析】设： 由①+②×2得：即：． 说明：此题的一种典型错误做法， 如下：，即： 即： 此解法的错误原因是因为与是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当取到最大值或最小值时，不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围；避免出错的方法是通过 待定系数法“整体代入”，见解题过程． 1．（24-25高一上·上海·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】【分析】借助不等式的性质计算即可得. 【详解】由，，则；故答案为：. 2．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，，则的范围是 . 【答案】【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围. 【详解】由，，得，所以的范围是；故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·月考）对任意，方程和在上均有解，则的取值范围为 【答案】【分析】根据绝对值函数的性质和方程的解法以及不等式的性质，可求得的取值范围. 【详解】因为方程和，所以，因为， 所以，即，因为任意，方程和 在上均有解，所以，即，则，即， 所以 的取值范围为，故答案为：. 4．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为 . 【答案】【分析】根据的符号分类讨论，再利用不等式的性质求范围. 【详解】由题意得，；当，时，； 当，时，，，此时； 当，时，，所以，即； 当，时，，所以，即； 当或时，；综上所述：，故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 【答案】【分析】根据不等式的性质得解. 【详解】因为，所以，所以，故答案为：. 6．（24-25高一上·上海宝山·月考）已知命题甲：，命题乙：，则甲是乙的 条件. 【答案】必要不充分【分析】根据题意，利用充分，必要条件的判定方法，结合特例和不等式的性质， 即可求解.【详解】当，时，满足命题甲：，此时命题乙不成立，即充分性不成立； 反之，若命题乙：成立时，可得命题甲一定成立，即必要性成立，所以甲是乙的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 7．（24-25高一上·上海·月考）已知，，，则下列命题哪些是正确的 ． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，，，，则，；⑤若，，则； ⑥已知且，则． 【答案】①②③⑥【分析】根据不等式的性质、函数的单调性、特殊值等知识确定正确答案. 【详解】①，若，则，所以，所以①正确； ②，若，两边平方得，所以②正确；③，当时，函数单调递减， 所以若，则，所以③正确；④，若，，，，则可能，所以④错误；⑤，若，，如，有，所以⑤错误； ⑥，已知且，所以，由两边乘以正数，得，所以⑥正确； 故答案为：①②③⑥. 8.（24-25高一上·上海宝山·月考）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】取特殊值，结合不等式性质判断. 【详解】对于A：取，，满足，但不满足，故A错误； 对于B：取，，满足，但不满足，故B错误； 对于C：因为 ，则，又，所以，故C正确； 对于D：取，则，故D错误；故选：C 9．设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】依题意举反例可得不能推出且，可得结论. 【详解】因为且能推出；但不能推出且（如，）， 所以“”是“且”的必要不充分条件；选：B. 10．（24-25高一上·上海杨浦·月考）已知，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据特值法可排除，，，根据在上单调递增，可判断项. 【详解】当时，，故错误；当，时，，故错误； 因为在上单调递增，且，所以，故正确； 当，时，，故错误；综上，正确的为；故选：. 11.（23-24高一·上海·月考）已知，求证：. 【答案】证明见解析【分析】结合立方和公式及，利用作差法即可证明. 【详解】， 因为，所以，又，所以，所以. 12.（23-24高一·上海·月考）已知，．求证：． 【答案】证明见解析【分析】利用不等式的性质求证即可. 【详解】因为，所以，因为，所以，即，即 13.（24-25高一上·上海·月考）已知，，求证． 【答案】证明见解析【分析】由不等式的性质直接证明即可. 【详解】证明：因为，，所以，又因为，，所以，由不等式传递性，． 14.（24-25高一上·上海·月考）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【详解】证明：（1）因为，所以，又．所以， 所以，又因为，所以； （2）因为，要证，只需证明，展开得， 即，，因为成立，所以成立． 15.（24-25高一上·上海黄浦·期中）设，，，是四个正数． (1)已知，比较与的值的大小； (2)若，求证：，，，中至少有一个小于1． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）利用作差比较即可判断；（2）利用反证法即可证明． 【详解】（1）因为，则，所以； （2）假设，，，都不小于1，即，，，，则，，，， 所以，与已知矛盾，故，，，中至少有一个小于1． 16.若，求证：． 【答案】证明见解析【分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0，∴，且，∴作商得：，∴． 17.（21-22高一上·上海徐汇·月考）已知，试比较与的大小. 【答案】【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】，，，. 两数作商，. 18．（25-26高一上·育才中学·期中）设，，，是四个正数． （1）已知，比较与的值的大小； （2）若，求证：，，，中至少有一个小于1． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）因为，则，所以； （2）假设，，，都不小于1，即，，，，则，，，，所以，与已知矛盾，故，，，中至少有一个小于1． 19．（24-25高一上·上海·月考）解关于的不等式：． (1)当解集为空集时，________；(2)当解集为非空集时，解不等式． 【答案】(1)1；(2)答案见解析. 【分析】（1）根据一元一次不等式的解集为空集求参数的值；（2）分情况讨论，解一元一次不等式. 【详解】（1）当时，不等式无解，故答案填1； （2）原不等式整理为． ①当时，，即解集为；②当时，，即解集为． 20．（24-25高一上·上海·月考）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由；(2)设均为正数， 且是的“下位序列”，试判断：，之间的大小关系，并说明理由； (3)已知正整数满足条件：对集合内的每个元素，总存在正整数， 使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值. 【答案】(1)不是，理由见解析；(2)，理由见解析；(3)4045. 【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可； （2）根据新定义得到，再利用不等式的性质利用作差法判断即可； （3）由题意得到，，进而得到，从而求出最小值. 【详解】（1）由于，不满足"下位序列"的概念，所以不是“下位序列”. （2）均为正数，由是的“下位序列”，得，即， 则，即， ，即，所以； （3）由是的“下位序列”，得，即，则， 由是的“下位序列”，得，即，则， 所以， 则，又对集合内的每个均成立， 则，所以正整数的最小值为4045. 21．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在， 使得，则称这样的满足“性质1”.(1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得；(3)求出所有满足“性质1”的实数t 【答案】(1)不满足性质1，不满足性质1；(2)证明见详解；(3). 【分析】（1）分别举反例证明和时性质1不成立；（2）先分别就，讨论证明若，且，则，再利用这个结论可得证；（3）结合（2）的结论可得解. 【详解】（1）记，， 假如，则当时，对任意，均有，不满足要求； 假如，则当，时，对任意，均有，， 若，同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求. （2）先来证明：若，且，则，同时该结论记为引理. 当时，，当时，不妨设，则， 又，所以；所以若，且，则. 下面证当时，对任意，总存在，使得， 若，则取，此时， 其中，，且， 由引理可得，若，则取，此时， 其中，，且，故由引理可得， 综上，当时，对任意，总存在，使得. （3）当时，当时，可取，使得，理由如下： 当时，取，则； 当时，取，则，则，故， 同理，可取，使得，此时， 所以当时，对任意，总存在，使得. 结合（2）的结论可得，对任意，总存在，使得. 综上，所有满足性质1的实数. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第8讲 不等式的性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 不等式的性质 作差法 作商法 1.能够准确理解并阐述不等式的基本性质，包括对称性、传递性、可加性、可乘性等，清晰区分等式性质与不等式性质的差异。​ 2.熟练掌握运用不等式的性质对不等式进行变形，如移项、乘除运算等操作， 能够正确求解简单不等式，并准确表示其解集。​ 3.利用不等式的性质证明一些简单的代数不等式，理解证明过程中的逻辑推理 和依据。 学习重点：熟练掌握运用不等式的性质对不等式进行变形，如移项、乘除运算等操作，能够正确求解简单 不等式，并准确表示其解集。 学习难点：利用不等式的性质证明一些简单的代数不等式，理解证明过程中的逻辑推理和依据。 1、不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，为后续分式不等式、基本 不等式等打基础。本章节中的作差法也是后续证明函数单调性的重要思想；在今后的学习过程中应注重 基础，重视通法，养成良好的分析问题的习惯。 2、不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇔a>c； (3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c，a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方：a>b>0⇒> (n∈N，n≥2); (7) a>b,ab>0⇒ ；a>b>0,0<c<d⇒ . 3、比较两式大小的方法常见的有两种：作差法、作商法 作差法：第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段； 第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0． 最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键． 注意1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较； 注意2：如果式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号； 此时要注意分类合理恰当． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01不等式的性质 1、对于两个实数 、 ， 如果 是正数，就称 大于 ，记为 ； 如果 是负数，就称 小于 ，记为 ； 如果 是零，就称 等于 ，记为 ． 这就是说这是研究一切不等式的基础. 显然,对于任意给定的两个实数 (1)“”的左边反映的是实数的大小关系，右边反映的是实数的运算性质，合起来就是实数的大小与运算性质之间的关系.(2)从基本事实可知,比较两个实数的大小，只需比较它们的差与0的大小。 2、不等式的性质： （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 b c； 如果 ，且 ，那么 ． 性质名称 性质内容 移项法则 同向可加性 同向可加性的推论 同向同正可乘性 ， 同向同正可乘性的推论 ， 正数乘方性 正数可开方性 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】运用不等式的性质，结合特殊值法和作差法比较大小，对每个选项逐一分析判断其是否 一定成立. 【例2】（24-25高一上·上海·期末）若实数，，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】利用特殊值、不等式的性质、作差比较法等知识来确定正确答案. 【例3】（24-25高一上·上海·期末）已知是正实数，那么“”是“”的 条件 （填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 【技巧归纳】由是正实数，可知，进而化简可得结果. 【对点练习】 【练习1】（24-25高一上·上海·期末）若下列不等式中：①；②；③； ④，成立的有（    ）个A．1 B．2 C．3 D．4 【练习2】（24-25高一上·上海·期末）已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【练习3】（24-25高一上·上海·期末）若，，则一定有（    ） A． B． C． D． 【练习4】（24-25高一上·上海虹口·期末）设为实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【练习5】（24-25高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 知识点02 用不等式比较代数式的大小 1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法 ①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论； ②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论； ③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得出结论. 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若 ，则 ；若 ，那么 ．其中是介于 与 之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 3、证明不等式主要利用作差比较法和作商比较法.若要证明的不等式为几个多项式的和或差, 则采用作差比较法;若要证明的不等式为几个多项式的积或商,则采用作商比较法. 采用作差比较法，将不等式左右两边的式子作差，然后将其进行适当的变形、放缩,再利用不等式的传递性、可加性来证明结论.运用作差比较法证明不等式时，作差后变形的结果都应是几个因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号. 【经典例题】 【例4】（24-25高一上·上海杨浦·期中）下列关于不等式的命题是假命题的序号为 .（1）若，则，；（2）用反证法证明a=0或b=0时可假设ab≠0；（3）若a，b为正数，则；（4）设，若，则xy的取值范围为. 【易错提醒】利用不等式的性质和作差法可判断（1）和（3）；通过逻辑推理可判断（2）；利用特殊值法可判断（4）. .【例5】（24-25高一上·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 【易错提醒】作差计算，根据差值即可比较大小. 【例6】设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【易错提醒】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【例7】已知，试比较和的大小. 【易错提醒】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解； 方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【对点练习】 【练习6】（24-25高一上·上海嘉定·月考）给出下列命题：①若，则； ②若，则；③对于正数若，则．其中真命题的序号是 ． 【练习7】（24-25高一上·上海宝山·月考）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，，若，求证：和中至少有一个大于. 【易错提醒】（1）运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可； （2）用反证法，假设，，推出矛盾，即得证. 【练习8】已知实数满足；，求：的取值范围． 1．（24-25高一上·上海·期末）已知，，则的取值范围是 . 2．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，，则的范围是 . 3．（24-25高一上·上海·月考）对任意，方程和在上 均有解，则的取值范围为 4．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为 . 5．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 6．（24-25高一上·上海宝山·月考）已知命题甲：，命题乙：，则甲是乙的 条件. 7．（24-25高一上·上海·月考）已知，，，则下列命题哪些是正确的 ． ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，，，，则，； ⑤若，，则； ⑥已知且，则． 8.（24-25高一上·上海宝山·月考）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 9．设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（24-25高一上·上海杨浦·月考）已知，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11.（23-24高一·上海·月考）已知，求证：. 12.（23-24高一·上海·月考）已知，．求证：． 13.（24-25高一上·上海·月考）已知，，求证． 14.（24-25高一上·上海·月考）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 15.（24-25高一上·上海黄浦·期中）设，，，是四个正数． (1)已知，比较与的值的大小； (2)若，求证：，，，中至少有一个小于1． 16.若，求证：． 17.（21-22高一上·上海徐汇·月考）已知，试比较与的大小. 18．（25-26高一上·育才中学·期中）设，，，是四个正数． （1）已知，比较与的值的大小； （2）若，求证：，，，中至少有一个小于1． 19．（24-25高一上·上海·月考）解关于的不等式：． (1)当解集为空集时，________；(2)当解集为非空集时，解不等式． 20．（24-25高一上·上海·月考）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由；(2)设均为正数， 且是的“下位序列”，试判断：，之间的大小关系，并说明理由； (3)已知正整数满足条件：对集合内的每个元素，总存在正整数， 使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值. 21．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在， 使得，则称这样的满足“性质1”.(1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得；(3)求出所有满足“性质1”的实数t 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $