专题五 变量之间的关系的综合应用 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦变量关系的概念辨识与表格、关系式、图象三种表示方法的系统训练，从生活情境抽象数量关系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |辨识自变量与因变量|6题|概念辨析（选择/填空）|从常量与变量的基本概念切入，建立对变量关系的初步认知| |表格法表示及应用|6题|数据规律分析（选择/填空/解答）|通过实际情境表格数据，训练从数据中提取变量关系的推理能力| |关系式法表示及应用|7题|关系式建立与应用（填空/解答）|结合生活实例（购物、行程等），强化用数学语言表达变量关系的模型意识| |图象法表示及应用|8题|情境图象识别与分析（选择/解答）|通过动态情境（运动、注水等）图象，发展几何直观与空间观念，完善变量关系的多元表征|

变量之间的关系的综合应用题型专项训练 一、辨识：自变量与因变量 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）某款汽车紧急刹车后滑行的距离s（单位：）大致满足，其中v（单位：）表示刹车前汽车的速度，这个关系式中的自变量和因变量分别是（    ） A．300；s B．s；300 C．s；v D．v；s 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．在这个变化过程中，变量为______，常量为______． 3．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 4．（2026八年级下·全国·专题练习）在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0.3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 6．（25-26七年级上·全国·期末）李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 二、表格法表示变量之间的关系及其应用 7．（2026·福建福州·模拟预测）学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下： 水温（） 22 40 56 70 82 …… 时间（时：分） 12:03 12:08 12:13 12:18 12:23 …… 请你帮小俊推算水烧开（）的时间预计为（ ） A．12:30 B．12:33 C．12:35 D．12:38 8．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间有下面的关系（在弹性限度内），下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧的长度增加 D．所挂物体质量为时，弹簧的长度为 9．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件． 10．（25-26八年级下·天津红桥·期中）下表是小刚给在外地工作的爸爸打长途电话的通话时间和话费记录： 通话时间/ 1 2 3 4 5 6 7 … 话费/元 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 … 由表格可知，当通话时间为时，需支付话费________元． 11．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 12．（2022七年级·江苏盐城·竞赛）根据表格，回答问题： x … 0 1 2 … … 7 6 5 4 a … … 4 6 8 10 b … (1)【初步感知】 ； ； (2)【归纳规律】 随着x值的变化，x每增加1，的值就减少 ，的值就增加 ． (3)【问题解决】 请你判断，当x值在什么范围内时，代数式的值比的值大？ 三、关系式法表示变量之间的关系及其应用 13．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）小明同学用20元钱去买单价是3元的圆珠笔，则他剩余的钱（元）与他买这种圆珠笔的支数之间的关系是__________（不需要写出自变量的取值范围）． 14．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，是丝带连接后的示意图，把一些长度为的丝带按图中打结的方式连接起来，每打一个结，丝带总长度减少，则打结连接后的丝带总长度与用到的丝带数量的关系式为______． 15．（2026·陕西渭南·二模）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则与的关系可以表示为________． 16．（25-26六年级下·山东济南·期中）一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： (1)请将下表补充完整： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 … 高度 5.2 6.4 ______ 8.8 ______ … (2)直接写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式______； (3)当碗的数量为10个时，求这些碗的高度． 17．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）某次茶艺比赛中指定使用的饮水机工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降．已知整个过程中水温与通电时间的关系如下表所示： 0 1 2 3 4 8 10 20 … 20 40 60 m 100 50 40 20 … (1)在水温下降过程中，x与y满足某种比例关系，这种比例关系是 比例关系；用式子表示x与y之间的这种关系为 ． (2)比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的的饮用水用该款饮水机加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始到可以使用需要等待多长时间？ 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … (1)根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q与轿车行驶的路程s之间的关系式． (2)行驶150km时，油箱剩余油量为________L． (3)某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L．求A，B两地之间的距离． 19．（25-26八年级上·山西晋中·期中）天然气收费标准因地而异，某城市按以下规定分档收取居民管道天然气费：第一档用气量（每户每月26立方米及以下），按每立方米元收费；第二档用气量（每户每月26立方米以上至38立方米及以下），按每立方米元收费；第三档用气量（每户每月38立方米以上），按每立方米元收费．设小丽家某月用气量为x立方米，应交管道天然气费为y元． (1)小丽家5月份的用气量为30立方米，则小丽家该月应交管道天然气费_______元 (2)当时，写出y与x之间的关系式； (3)若小丽家10月份的管道天然气费为元，求她家这个月的用气量？ 三、图象法表示变量之间的关系及其应用 20．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，用一根管子向图中空容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面上升的高度与注水时间的图象大致为（） A． B． C． D． 22．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用分钟追上甲 B．乙的速度为米/分 C．乙追上甲后，再跑米才到达终点 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 24．（25-26六年级上·湖北黄石·期末）如图，有一只蚂蚁从点O 出发，沿着半圆的边线爬了一圈，又回到了点O．下面可以描述蚂蚁与点O距离变化关系的是图（   ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买文具，于是又折回到刚经过的某文具店，买到文具后加快速度骑车去学校，已知小明家、文具店、学校在同一直线上，如图折线段是他本次上学所用的时间与离家的距离之间的图象，根据图中信息回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是 米，折线中有一条平行于x轴的线段，它的实际意义是 ； (2)本次上学途中，小明一共行驶了 米； (3)如果小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费多长时间？ 26．（24-25七年级下·四川达州·阶段检测）甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 27．（24-25六年级下·山东威海·期末）甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答： (1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________； (2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度： (3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由． 28．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．    (1)图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … (3)当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 变量之间的关系的综合应用题型专项训练 一、辨识：自变量与因变量 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）某款汽车紧急刹车后滑行的距离s（单位：）大致满足，其中v（单位：）表示刹车前汽车的速度，这个关系式中的自变量和因变量分别是（    ） A．300；s B．s；300 C．s；v D．v；s 【答案】D 【分析】自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化而变化的量，据此判断即可． 【详解】解：∵在关系式中，刹车前汽车的速度是主动变化的量，滑行距离随的变化而变化， ∴自变量是，因变量是． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）把10本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．在这个变化过程中，变量为______，常量为______． 【答案】 x，y 10 【分析】根据变量与常量的定义，判断在放置书籍的过程中数值发生变化的量和保持不变的量，即可求解． 【详解】解：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量， 由题意可知，书的总数是固定不变的，所以常量为， 第一个抽屉放入的本数和第二个抽屉放入的本数会随着放置情况的不同而变化，所以变量为，． 3．（25-26七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 【答案】B 【分析】本题主要考查了变量与常量的定义，明确在变化过程中，可变的量为变量，固定不变的量为常量，结合球的体积公式即可． 【详解】解：在球的体积公式中，和是固定不变的数值，的数值随的变化而变化，可取不同的数值， ∴变量是、，常量是、． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的定义，关键是明确在变化过程中，常量是数值固定不变的量，变量是数值可以发生变化的量．在圆的周长公式中，2是固定系数，是圆周率，二者数值固定不变，属于常量；半径可取不同值，对应的周长会随之改变，故和是变量，据此可判断正确选项． 【详解】解：根据常量与变量的定义，在中，2和是固定不变的量，为常量；随的变化而变化，因此和是变量． 故选：B． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0.3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 【答案】D 【分析】本题考查了变量与常量的概念，解题关键是区分“变化的量”和“固定不变的量”． 要判断变量和常量，需明确：变量是在变化过程中数值发生改变的量，常量是数值固定不变的量，结合关系式分析即可． 【详解】解：在关系式中： （身高）和（一拃长）的数值会随不同的人发生变化，因此与是变量； 和是固定不变的数值，因此是常量． A、是变量，是常量，错误，不符合题意； B、是变量，是常量，错误，不符合题意； C、与是变量，与是常量，错误，不符合题意； D、与是变量，与是常量，正确，符合题意． 故选：D ． 6．（25-26七年级上·全国·期末）李师傅到小区附近的“爱心”加油站加油，如下所示是所用的加油机上的数据显示情况，则其中的常量是（   ） 金额元 数量 单价元 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念．常量是固定不变的量，变量是变化的量．在加油过程中，单价是固定值，而金额和数量随加油量变化，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，单价7.54元/升是固定不变的，而金额和数量会随加油量变化而变化， ∴常量是单价， 故选：C． 二、表格法表示变量之间的关系及其应用 7．（2026·福建福州·模拟预测）学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下： 水温（） 22 40 56 70 82 …… 时间（时：分） 12:03 12:08 12:13 12:18 12:23 …… 请你帮小俊推算水烧开（）的时间预计为（ ） A．12:30 B．12:33 C．12:35 D．12:38 【答案】B 【分析】先找出水温随时间的变化规律，再根据规律计算得到水烧开的时间． 【详解】由表格可得，时间每经过5分钟，水温升高量比前一个5分钟少， ∵ ，，，，符合上述规律， ∴ 到，水温升高，此时水温为， ∴ 到，水温升高，此时水温为，达到水烧开温度， ∴水烧开时间为． 8．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间有下面的关系（在弹性限度内），下列说法不正确的是（    ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧的长度增加 D．所挂物体质量为时，弹簧的长度为 【答案】B 【分析】根据表格给出的弹簧长度与物体质量的对应关系，结合变量的相关概念逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵与都是变量，随的变化而变化， ∴是自变量，是因变量， ∴选项A说法正确； ∵弹簧不挂重物，即时，， ∴选项B说法不正确； ∵计算相邻对应的差可得，，，，， ∴物体质量每增加，弹簧长度增加， ∴选项C说法正确； 由C可知，当物体质量为时，， ∴选项D说法正确． 9．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价（元），日销售量（件）发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件． 【答案】 【分析】观察表格数据可得，每降价5元，日销售量增加30件，售价为260元即未降价，据此可计算出对应日销售量． 【详解】解：由表格可知，每降价5元，日销售量增加30件， 当售价为260元时，降价金额为0元，比降价5元时少30件销售量， 因此日销售量为 （件）． 10．（25-26八年级下·天津红桥·期中）下表是小刚给在外地工作的爸爸打长途电话的通话时间和话费记录： 通话时间/ 1 2 3 4 5 6 7 … 话费/元 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 … 由表格可知，当通话时间为时，需支付话费________元． 【答案】5.4 【分析】观察表格中通话时间与话费的对应关系，总结两者的变化规律，再代入通话时间计算即可得到结果． 【详解】解：分析表格数据可得，通话时间每增加，话费增加元，即每分钟通话费用为元． 当通话时间为时，需支付话费为元． 11．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）水钟在我国又称漏刻、漏壶（如图所示），是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小王依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 1.5 3 4.5 6 7.5 9 当时间为10分钟时，容器中水的高度为_____． 【答案】15 【分析】根据表格数据，时间与水的高度成正比例关系，时间每增加，水的高度增加，即可求解． 【详解】解：观察表格可知当时间为时，水的高度为，时间每增加，水的高度增加， ∴水的高度与时间成正比例关系， ∴当时间为10分钟时，容器中水的高度为． 故答案为：15． 12．（2022七年级·江苏盐城·竞赛）根据表格，回答问题： x … 0 1 2 … … 7 6 5 4 a … … 4 6 8 10 b … (1)【初步感知】 ； ； (2)【归纳规律】 随着x值的变化，x每增加1，的值就减少 ，的值就增加 ． (3)【问题解决】 请你判断，当x值在什么范围内时，代数式的值比的值大？ 【答案】(1)3，12 (2)1，2 (3)当时， 【分析】（1）把对应的x值代入可得a，b的值； （2）根据表格数据即可得到变化规律； （3）根据表格数据当时，代数式和的值相等，都为6，结合（2）中结论可得答案． 【详解】（1）解：把代入得，，即； 把代入得，，即； （2）解：根据表中数据，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就减少1； 的值的变化规律为：x每增加1，的值就增加2； （3）解：由表格数据，当时，代数式和的值相等，都为6， 由（2）知，当时，代数式的值比的值大． 三、关系式法表示变量之间的关系及其应用 13．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）小明同学用20元钱去买单价是3元的圆珠笔，则他剩余的钱（元）与他买这种圆珠笔的支数之间的关系是__________（不需要写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】根据剩余钱数等于总钱数减去购买圆珠笔的总花费，找出等量关系列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，购买支单价为元的圆珠笔，总花费为元， 根据剩余钱数总钱数总花费，可得 ． 14．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，是丝带连接后的示意图，把一些长度为的丝带按图中打结的方式连接起来，每打一个结，丝带总长度减少，则打结连接后的丝带总长度与用到的丝带数量的关系式为______． 【答案】 【分析】用丝带总长度减去与所打的结的数量的乘积即可． 【详解】解：∵每条丝带的长度为， ∴条丝带的总长度为， ∵每打一个结，总长度减少， 又∵连接条丝带需要个结， ∴丝带总长度． 15．（2026·陕西渭南·二模）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则与的关系可以表示为________． 【答案】 【详解】解：∵幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等， ∴第三行与第三列的和都减去右下角的数结果依然相等， ∴， 移项整理得：． 16．（25-26六年级下·山东济南·期中）一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： (1)请将下表补充完整： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 … 高度 5.2 6.4 ______ 8.8 ______ … (2)直接写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式______； (3)当碗的数量为10个时，求这些碗的高度． 【答案】(1)7.6；10 (2) (3) 【分析】（1）根据每增加一个碗增加的高度相同求解即可； （2）根据整齐叠放在桌面上碗的高度一个碗的高度（碗的总数，从而可得碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式； （3）把代入函数关系式即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知，1个碗高，2个碗高， ∴每增加1个碗，高度增加． ∴3个碗的高度为，5个碗的高度为． （2）解：由题意得：， 整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式：； （3）解：当时，， 这些碗的高度为． 17．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）某次茶艺比赛中指定使用的饮水机工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降．已知整个过程中水温与通电时间的关系如下表所示： 0 1 2 3 4 8 10 20 … 20 40 60 m 100 50 40 20 … (1)在水温下降过程中，x与y满足某种比例关系，这种比例关系是 比例关系；用式子表示x与y之间的这种关系为 ． (2)比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的的饮用水用该款饮水机加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始到可以使用需要等待多长时间？ 【答案】(1)反比例， (2) 【分析】（1）观察表格可知，在水温下降过程中，x与y的乘积等于400，据此可得答案； （2）根据（1）所求求出当时，，据此可得答案． 【详解】（1）解：观察表格可知，在水温下降过程中，x与y的乘积等于400， ∴x与y满足反比例关系，且， 故答案为：反比例，； （2）解：在中，当时，， ∴从饮水机加热开始到可以使用需要等待． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了解某种品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如下数据： 轿车行驶的路程s/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … (1)根据上表中的数据，写出油箱剩余油量Q与轿车行驶的路程s之间的关系式． (2)行驶150km时，油箱剩余油量为________L． (3)某人将油箱加满后，驾驶该汽车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为10L．求A，B两地之间的距离． 【答案】(1) (2)38 (3)500km 【分析】（1）根据表中数据得出每耗油的关系，据此可得与的关系式； （2）将代入（1）中所求的关系式中即可求出油箱剩余油量； （3）将代入（1）中所求的关系式中即可求出，两地之间的距离． 【详解】（1）解：由表格可知，开始油箱中的油量为，每行驶，油量减少， 据此可得与的关系式为． （2）解：当时，， 故答案为：． （3）解：令，即， 解得， 答：，两地之间的距离为． 【点睛】本题主要考查用关系式表示变量之间的关系，熟练根据自变量和函数的关系得出表达式是解题的关键． 19．（25-26八年级上·山西晋中·期中）天然气收费标准因地而异，某城市按以下规定分档收取居民管道天然气费：第一档用气量（每户每月26立方米及以下），按每立方米元收费；第二档用气量（每户每月26立方米以上至38立方米及以下），按每立方米元收费；第三档用气量（每户每月38立方米以上），按每立方米元收费．设小丽家某月用气量为x立方米，应交管道天然气费为y元． (1)小丽家5月份的用气量为30立方米，则小丽家该月应交管道天然气费_______元 (2)当时，写出y与x之间的关系式； (3)若小丽家10月份的管道天然气费为元，求她家这个月的用气量？ 【答案】(1)90； (2) (3)她家这个月的用气量为36立方米 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出26立方米的费用和超过26立方米的费用，二者求和即可得到答案； （2）当用气量在第二档时，总费用等于第一档的最高费用与超出26立方米部分的费用之和，据此列出y与x的关系式并化简即可； （3）根据题意可推出该月她家的用气量大于26立方米且小于38立方米，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：元， ∴小丽家该月应交管道天然气费90元； （2）解：由题意得， ； （3）解：当时，， ， ∴该月她家的用气量大于26立方米且小于38立方米， 则，解得， 答：她家这个月的用气量为36立方米． 三、图象法表示变量之间的关系及其应用 20．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将小明的行程分为三个阶段：①在分钟内，②在分钟内，③在分钟内，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，小明的行程分为三个阶段： 第一阶段：从家走到报亭， ∵从家走了20分钟到一个离家900米的报亭， ∴在分钟内，图象应为从原点出发上升至纵坐标为900的一条线段； 第二阶段：在报亭看报， ∵在报亭看报10分钟，此时离家的距离不变，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为平行于轴的一条水平线段； 第三阶段：返回家， ∵用15分钟返回家，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为从纵坐标下降至0的一条线段，且终点横坐标为45； 观察各选项图象，只有D选项符合． 21．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，用一根管子向图中空容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面上升的高度与注水时间的图象大致为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据容器的形状可知，容器下部横截面积大，上部横截面积小；在单位时间内注水量保持不变的情况下，水面高度上升的速度会随着横截面积的减小而变快，即函数图象逐渐增大． 【详解】解：∵容器形状为下宽上窄， ∴随着注水时间的增加，容器内水面的横截面积逐渐减小， ∵单位时间内注水量保持不变， ∴水面高度随时间的变化率（即上升速度）会逐渐增大， ∴在函数图象上，表现为图象越来越陡，观察选项，只有选项的图象符合题意． 22．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断． 【详解】∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选：A． 23．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟，在整个跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用分钟追上甲 B．乙的速度为米/分 C．乙追上甲后，再跑米才到达终点 D．甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的应用，根据函数图象逐项判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴ 乙用分钟追上甲，该选项说法正确，不符合题意； 、由图可得，甲的速度为米/分钟， ∴乙的速度为米/分，该选项说法正确，不符合题意； 、乙追上甲时，二人离终点的距离为米， ∴乙追上甲后，再跑米才到达终点， 该选项说法正确，不符合题意； 、乙到达终点所用的时间为分钟， 当乙到达终点时甲走的路程为米， ∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟，该选项说法错误，符合题意； 故选：． 24．（25-26六年级上·湖北黄石·期末）如图，有一只蚂蚁从点O 出发，沿着半圆的边线爬了一圈，又回到了点O．下面可以描述蚂蚁与点O距离变化关系的是图（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了函数图象，解题的关键是分析路程随着时间的变化而变化的趋势，学会数形结合的方法，才能解决实际的问题． 一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小．据此判断． 【详解】解：一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小． 则描述蚂蚁与点O距离变化关系的是： ． 故选：D． 25．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买文具，于是又折回到刚经过的某文具店，买到文具后加快速度骑车去学校，已知小明家、文具店、学校在同一直线上，如图折线段是他本次上学所用的时间与离家的距离之间的图象，根据图中信息回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是 米，折线中有一条平行于x轴的线段，它的实际意义是 ； (2)本次上学途中，小明一共行驶了 米； (3)如果小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费多长时间？ 【答案】(1)1500，小明在文具店停留了4分钟 (2)2700 (3)需要花费7.5分钟 【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一． （1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；根据函数图象的横坐标，可得到达文具店时间，离开文具店时间，根据有理数的减法，可得答案； （2）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案； （3）根据路程、速度，即可得到时间． 【详解】（1）由题意可知，小明家到学校的距离是1500米， 折线中有一条平行于x轴的线段，它的实际意义是小明在文具店停留了（分钟）； （2）（米）． 故本次上学途中，小明一共行驶了2700米； （3）小明往常的速度为（米分）， 去学校需要花费的时间为（分钟）． 答：小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费7.5分钟． 26．（24-25七年级下·四川达州·阶段检测）甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 【答案】(1)甲出发的时间t；距起点的距离s (2)6； (3)当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米 【分析】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，常量与变量，体现了方程思想，当甲第1次追上乙时，根据所跑路程相等列出方程求出t是解题的关键． （1）根据图象的横轴表示自变量，纵轴表示因变量即可得出答案； （2）根据甲100秒跑了600米，乙150秒跑了（米）计算速度即可； （3）设t秒时，甲第1次追上乙，根据所跑路程相等列出方程求出t，进而得到甲距起点的距离． 【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是甲出发的时间t，因变量是他们距起点的距离s． 故答案为：甲出发的时间t；他们距起点的距离s． （2）解：甲的速度为：（米/秒）， 乙的跑步速度为： （米/秒）． 故答案为：6；． （3）解：设t秒时，甲追上乙， 根据题意得： 解得： ， 则（米）， 答：当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米． 27．（24-25六年级下·山东威海·期末）甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答： (1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________； (2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度： (3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1)10，2，1 (2)点A代表甲乙相遇． 甲、乙第二次相距5个单位长度． (3)不能，理由见详解 【分析】（1）根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为，即可求出乙位置坐标，根据当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动，设乙的速度为∶v，则，解方程即可得出乙的速度．根据点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，根据甲的速度和时间即可得出c点的值． （2）根据（1）可知：点A代表甲乙相遇． 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行， 设后，甲、乙第二次相距5个单位长度，列出关于t的一元一次方程求解即可． （3）分别计算出甲乙分别到达对方最初的位置的时间加上中间运动休息的时间比较即可得出答案． 【详解】（1）解：根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为， ∴乙位置坐标为：， 根据关系图可知， 当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动， 设乙的速度为：v， 故， 解得：． 根据关系图可知点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行， ， 故答案为：10，2，1 （2）解：根据（1）可知：点A代表甲乙相遇．且， 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行， 设后，甲、乙第二次相距5个单位长度， ， 解得：， 则， 即甲、乙第二次相距5个单位长度． （3）解：不能，理由如下： 甲到达乙的位置需要的时间：甲先走了，路程为，然后停止运动，还需要走， 则甲到达乙的位置一共需要， 乙到达甲的位置需要的时间：乙先走，路程为：，然后停止运动，还需要走， 则乙到达甲的位置一共需要， 则甲、乙不能同时到达对方最初的位置． 28．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图1，在长方形中，动点从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，至点处停止，点运动的时间为，点运动的路程为，的面积为，且与之间的图象关系如图2所示．    (1)图2图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)表格中的常数______，常数的取值范围为______； 面积 3 6 … 路程 1 2 3 8 … (3)当点分别运动到线段上时，分别直接写出与之间的关系式． 【答案】(1)图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系，点运动的路程为自变量，的面积是因变量 (2)； (3)当点在上运动时；当点在上运动时 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． （1）根据题意直接得出自变量及因变量即可； （2）根据图象求出和，再分析当时的值，当时的路程的值即可； （3）先求出和，再根据点P位置求出相应的函数关系式． 【详解】（1）解：图象表示的是变量点运动的路程与的面积之间关系， 其中点运动的路程为自变量，的面积是因变量； （2）解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当时，点P在上运动，， ； 当时，即，此时点P在上运动， ； （3）解：当点运动到点处时，，，即，， ， ，， 当点在上运动时，， ， 当点在上运动时，， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $