2025-2026学年北师大版七年级数学下册期末满分冲刺（1）

**基本信息** 2025-2026学年北师大版七年级数学下册期末冲刺卷，以潮汐变化、结绳计数等真实情境为载体，通过动态几何、统计实践等问题设计，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称、三角形性质、函数图像|结合学习软件图标考轴对称，体现数学眼光| |填空题|5/15|科学记数法、数据观念、函数关系|通过绿豆发芽试验培养数据观念，强化数学语言| |解答题|7/75|几何证明、统计实践、数形结合|设计植物紫花概率探究（统计）、动态点与全等（几何），突出数学思维与应用意识|

2025-2026学年七年级数学下册期末满分冲刺（1） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：七年级下册全部（北师大版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．从个性化学习、高效答疑、拓展资源等多个方面给学生的学习带来帮助．以下是4款不同图标，其中是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 2．已知：，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 4．下列三条线段的长度能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．4，5，8 C．5，6，11 D．6，8，15 5．如图所示，，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，的垂直平分线交于，的垂直平分线交与，则的周长等于（　　）    A．6 B．7 C．8 D．12 7．海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中正确的是（     ） A．当时，该港口水深最深，水深为 B．当时，的值是2或4 C．3时到8时，海水水位一直在下降 D．某船吃水深度为，它可以在7时出入该港口 8．如图，在中，是的两条中线，，是上一个动点，则的最小值是（    ）    A．3 B．6 C．4 D．8 9．根据《易经》中的结绳计数方法，满七进一，将七进制数转换为十进制数来计算孩子自出生后的天数．如图，孩子出生后的天数（天）．根据图，孩子自出生后的天数是（   ） A．90天 B．120天 C．150天 D．180天 10．已知如图，于点D，于点E，下列说法：①；②；③平分；④；⑤．其中一定正确的是（   ） A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤ 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．据了解，某种常见的梨花花粉直径约为0.0000205米，该数值用科学记数法表示为______． 12．数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数______（结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有______． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 13．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，汽车行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系如表，由表格中的数量关系可知，油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系式为______． x（小时） 0 1 2 3 y（升） 100 92 84 76 14．已知，，则____________． 15．如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，点从点运动到点，点的运动速度为每秒钟，当运动时间为__________时，和全等． 三、解答题（本题共7小题，第16题-19题每小题8分，第20题-22题每小题10分，第23题13分，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．计算： (1)； (2)． 17．先化简，再求值：，其中． 18．如图，D为中边上一点． (1)过D点作的平行线，交于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）； (2)若中，，求证：． 19．如图，已知中，，，是过的一条直线，于，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．在中，，是直线上一动点（不与点，重合）．    (1)如图1，若，点在边上，交于点，交于点．若，求的度数． (2)如图2，若，点在边上，，交直线于点，交直线于点． ①线段，，三者之间的数量关系是___________； ②若点在的延长线①中的结论是否成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请画出图形，并直接写出，，三者之间的数量关系． ③若点在边上，且，请判断，，三者之间的数量关系，并说明理由． 21．综合与实践 实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开紫色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究． 试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开紫花的植株数量 74 71 1 91 86 试验的植株总数 255 229 20 300 287 出现紫花的频率（保留两位小数） 0.29 0.31 a b 0.30 (1)表中______，______； (2)【理论分析】经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率，在上述五个小组的数据中，你认为第______组的数据不适合用频率估计概率，理由是______．你认为一株该植物开出紫花的概率是______． (3)【实际应用】某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开紫花的该植株有1080棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 22．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 23．数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下册期末满分冲刺（1） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 测试范围：七年级下册全部（北师大版新版） 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．从个性化学习、高效答疑、拓展资源等多个方面给学生的学习带来帮助．以下是4款不同图标，其中是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的定义（平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，直线叫做对称轴），根据轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：图形不是轴对称图形，不符合题意； B选项：图形不是轴对称图形，不符合题意； C选项：图形是轴对称图形，符合题意； D选项：图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 2．已知：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入，计算可得． 【详解】解：当时， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆用，解题的关键是熟练掌握幂的乘方的运算法则． 3．如图，，，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据两直线平行同旁内角互补求出，根据两直线平行内错角相等，求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4．下列三条线段的长度能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．4，5，8 C．5，6，11 D．6，8，15 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，只需验证每个选项是否满足此条件即可． 【详解】解：A．，等于第三边，不能组成三角形，故A不符合题意； B．，，，能组成三角形，故B符合题意； C．，等于第三边，不能组成三角形，故C不符合题意； D．，小于第三边，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 5．如图所示，，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 先证明，得到，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 6．如图，在中，，的垂直平分线交于，的垂直平分线交与，则的周长等于（　　）    A．6 B．7 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算． 【详解】解： 的垂直平分线交于，的垂直平分线交与， ， 的周长， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 7．海水受日月引力而产生的周期性运动叫潮汐．早晨海水上涨为潮，黄昏海水上涨为汐，合称潮汐．受潮汐影响，某港口从某日0时到12时的水深（单位：）随时间（单位：）变化的关系如图1所示，船舶可以根据吃水深度选择进出港口的时间．下列说法中正确的是（     ） A．当时，该港口水深最深，水深为 B．当时，的值是2或4 C．3时到8时，海水水位一直在下降 D．某船吃水深度为，它可以在7时出入该港口 【答案】C 【分析】本题考查函数图象的实际应用，通过观察图象获取水深随时间变化的信息，结合题意及安全规定进行判断即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，该港口水深最深，但纵坐标明显高于7，即， 故A错误； 当时，对应的值为1或5， 故B错误； 从到，图象呈下降趋势，即水深随时间增加而减小， 则从3时到8时，海水水位一直在下降， 故C正确； 由信息窗②可知，船舶进出港口时船底与港口水底间的距离不能小于， 则该船进出港口要求水深， 由图象可知，当时，，且当时，随的增大而减小， 则当时，，此时不可以进出该港口， 故D错误． 8．如图，在中，是的两条中线，，是上一个动点，则的最小值是（    ）    A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【分析】如图连接，只要证明，即可推出，由，推出、、共线时，的值最小，最小值为的长度． 【详解】解：如图，连接，   ，， ， ， ， ， 、、共线时，的值最小，最小值为的长度， ， 的最小值是6． 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 9．根据《易经》中的结绳计数方法，满七进一，将七进制数转换为十进制数来计算孩子自出生后的天数．如图，孩子出生后的天数（天）．根据图，孩子自出生后的天数是（   ） A．90天 B．120天 C．150天 D．180天 【答案】D 【分析】本题主要考查了七进制与十进制的转换，含乘方的有理数混合运算，熟练掌握满七进一规则及不同数位对应的幂次运算是解题的关键． 先明确图2中每一位对应的七进制数位，再根据满七进一的规则，用各位数字乘以对应7的幂次，最后求和得到十进制表示的天数． 【详解】解：由题意及图，得 （天）． ∴孩子自出生后的天数是180天． 故选D． 10．已知如图，于点D，于点E，下列说法：①；②；③平分；④；⑤．其中一定正确的是（   ） A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明，即可得到一定正确的结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ；故①，②都正确； ∴，故④正确； 无法证明平分，．故③⑤不正确， 故选：C． 【点睛】此题考查了同角的余角相等、垂线段最短、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．据了解，某种常见的梨花花粉直径约为0.0000205米，该数值用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：0.0000205用科学记数法表示为． 故答案为：． 12．数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数______（结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有______． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 【答案】 稳定性 【分析】本题考查了频率的稳定性，分析表格频率特点是关键． 根据“大量重复实验时，事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且摆动的幅度越来越小，这个性质称为频率的稳定性”解答即可． 【详解】解：观察表格发现，随着试验次数的增多，绿豆发芽的频率逐渐稳定到（结果精确到）左右， ∴绿豆的发芽率具有稳定性． 故答案为：，稳定性． 13．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，汽车行驶过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系如表，由表格中的数量关系可知，油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系式为______． x（小时） 0 1 2 3 y（升） 100 92 84 76 【答案】 【分析】由表发现信息汽车每1小时油耗为8升，汽车原来有100升汽油，由此列出油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系，还需要计算x的取值范围． 【详解】解：由图表可知，汽车每1小时油耗为8升，汽车原来有100升汽油， 则油箱的余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系为， 当时，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查图标阅读能力问题，掌握函数的表示方法由三种，解析法，列表法与图像法，会用列表法找信息，求函数解析式，会用函数值解决问题是解题关键． 14．已知，，则____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．对两个等式，利用完全平方公式展开再相减，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 15．如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，点从点运动到点，点的运动速度为每秒钟，当运动时间为__________时，和全等． 【答案】4秒或0秒 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．当4秒或0秒时，和全等，根据定理推出即可． 【详解】解：当4秒或0秒时，和全等， 理由是：，， ， ①当时， 在和中， ， ， ②当时， 在和中， ， ， 点的运动速度为每秒钟， 当运动时间为4秒或0秒时，和全等． 故答案为：4秒或0秒． 三、解答题（本题共7小题，第16题-19题每小题8分，第20题-22题每小题10分，第23题13分，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则，多项式乘多项式运算法则，准确计算． （1）根据同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】本题考查了整式混合运算及求值，平方差公式及完全平方公式，先利用平方差公式和完全平方公式将括号打开，合并同类项完成化简，再将代入即可求出正确答案． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18．如图，D为中边上一点． (1)过D点作的平行线，交于点E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）； (2)若中，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作一个角等于已知角，等边三角形的判定与性质； （1）尺规作即可； （2）由平行可得，得到是等边三角形，即可得到也是等边三角形，再据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，作，交于点E，此时， （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴也是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 19．如图，已知中，，，是过的一条直线，于，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质；运用全等三角形求证线段相等是解题的关键． （1）求证，进而运用求证； （2）由三角形全等得，，可得即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知，， ，， ， ， ，， ． 20．在中，，是直线上一动点（不与点，重合）．    (1)如图1，若，点在边上，交于点，交于点．若，求的度数． (2)如图2，若，点在边上，，交直线于点，交直线于点． ①线段，，三者之间的数量关系是___________； ②若点在的延长线①中的结论是否成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请画出图形，并直接写出，，三者之间的数量关系． ③若点在边上，且，请判断，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②不成立，见解析，；③，见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，根据同角的余角相等，可得，即可求解； （2）①，结合条件容易证到，从而有，就可得到； ②同①的方法证明即可求解； （3）证明，得出，，根据是的垂直平分线，可得 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）① 证明：如图1，   ，即，， ，． ． ， ． ， ． ． ． ②不成立．如图2，． 如图，当在延长线上时，，    理由是：即，， ，， ， ， ， 在和中， （）， ， ． ③ 理由：∵，即， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴，即． 又∵． ∴是的垂直平分线． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题． 21．综合与实践 实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开紫色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究． 试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开紫花的植株数量 74 71 1 91 86 试验的植株总数 255 229 20 300 287 出现紫花的频率（保留两位小数） 0.29 0.31 a b 0.30 (1)表中______，______； (2)【理论分析】经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率，在上述五个小组的数据中，你认为第______组的数据不适合用频率估计概率，理由是______．你认为一株该植物开出紫花的概率是______． (3)【实际应用】某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开紫花的该植株有1080棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 【答案】(1)0.05，0.30 (2)三，试验的植株数太少，0.30 (3)估计该公园此植物植株的总数量为3600棵 【分析】（1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复试验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． 【详解】（1）解：表中，； （2）解：第三组的数据不适合用频率估计概率，理由是试验的植株数太少； 利用频率估计概率可知一株该植物开出紫花的概率是0.30； （3）解：（棵）， 答：估计该公园此植物植株的总数量为3600棵． 22．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）用2种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由图可知：． （2）∵，， ∴． （3）由题意，得： ． （4）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 23．数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $