精品解析：广东省佛山市南海区狮山镇2025-2026学年下学期中考前数学模拟试题

2025～2026学年度狮山镇九年级供题训练 数学 说明：本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年国内四款应用的月活跃用户环比增长率如下，其中增长率最高的是（ ） A. 夸克（） B. （） C. 豆包（） D. 纳米（） 2. 黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 年是“十五五”规划开局之年，我国持续推动全球文明交流、共建人类命运共同体．下列国家级重大活动官方标识里，属于中心对称图形的是（ ） A. 第四次全国农业普查标识 B. 亚洲文明对话大会主标识 C. 深圳峰会 D. 第六届亚洲沙滩运动会会徽 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知：如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个正方形展开图，如果正方体相对的面所标注的值均互为相反数，则字母所标注的代数式的值等于（ ） A. 7 B. C. D. 5 7. 在粤港澳大湾区科创文化展演中，某表演团队打造了沉浸式无人机方阵灯光秀．某无人机方阵由A、B两种型号组成，每架A型可携带1束烟花，每架B型可携带4束烟花．所有无人机共携带50束烟花，且A型数量是B型数量的2倍．设A型有架，B型有架，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 小于 10. 如图，在平面直角坐标系中，和交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：__________． 12. 一次函数的图象经过点，且函数值随自变量的增大而减小，请写出一个符合条件的函数表达式：__________________． 13. 为备战2026年广东省中考体育，佛山市某中学组织学生进行选考项目模拟报名，可选项目为：一分钟跳绳、立定跳远、篮球运球、足球绕杆、实心球，共5个项目．若小明从这5个项目中随机选择1个报名，则他选到球类项目的概率是________． 14. 已知和是同类项，则的值是__________． 15. 已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 在我国传统节日清明节期间，学校将组织200名师生去革命烈士陵园扫墓．请你认真阅读如图对话，解决实际问题．根据对话内容，求每辆甲、乙种客车各有多少个座位． 18. 如图，点是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为响应第四届全民阅读大会“培育读书风尚，建设文化强国”的号召，并落实教育部等八部门关于深入实施青少年学生读书行动的要求，佛山市大力推进“书香校园”建设．某校数学实践小组围绕“我最喜爱的佛山文化读物”主题，对全校学生进行抽样调查，以了解学生们对本地特色文化书籍的阅读偏好．调查的读物类型包括：“美食文化类（如《寻味顺德》）”“龙舟/武术文化类”“香云纱/粤剧文化类”“佛山少儿绘本类”和“其他类”．调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了________名学生，的值为________； （2）补全条形统计图； （3）若全校共有名学生，估计该校最喜爱“龙舟/武术文化类”图书的学生有多少名？ （4）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 20. 某纸杯的尺寸（单位：）如图是所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． （1）弧的长为__________，__________． （2）记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小．图是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与弧相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，求出，的值． 21. 年，国家及各地正通过多项举措推动全民健身，倡导“运动强身”理念，涵盖科学健身普及、赛事活动丰富、场地设施完善及体卫融合深化等方面．在某羽毛球训练营中，为了训练击球落点的精准度，教练让小丹尝试击中地面的一个感应器，小丹举拍的击球点离地面高度米，并打出了一次高远球（飞行路线可以看作是抛物线的一部分）击中了感应器，建立如图所示的平面直角坐标系，教练用仪器测到点坐标为，抛物线表达式为． （1）请求出抛物线的表达式； （2）球落到地面的最远距离的长度； （3）如图若将飞行中的羽毛球记为点，若，求此时羽毛球所在位置； 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 项目式学习：校园路口凸面镜安装方案设计 项目主题：校园路口凸面镜安装方案设计 项目背景 凸面镜对光线有发散作用，平行光线经凸面镜反射后会变得发散，从而扩大视野，在道路转弯处、车库出入口等地方，能帮助司机和行人提前发现拐角处或后方的来车和行人，有效避免交通事故的发生． 知识储备：1．法线是过入射点且与反射面在该点的切线垂直的直线； 2．光的反射定律：入射角＝反射角； 工具 皮尺、标杆、测角仪（可测量角度的大小）、计算器． 测量结果 某校门口直角路口因围墙遮挡存在视线盲区，学校计划安装凸面镜保障安全，项目小组需用数学知识设计安装方案： 测量后初步简化的几何图形如图2所示，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，，观测点在边上，为上危险施工点，测得米． （1）任务一：【原理探究】 如图1，点光源发射出一条光线，即为法线所在的方向，请用无刻度直尺和圆规作出光线经过凸面镜反射得到的光线． （2）任务二：【建立模型】 通过测量与调整，将凸面镜安置在的正东方向，且时可以在处通过凸面镜看到施工点，测出，已知的度数为 问题1：若的圆心为，则__________度； 问题2：此时点所处的法线为__________所在的直线；法线与边的夹角__________度． 请根据问题1和问题2的结论，求出凸面镜到观测点的距离．（提示：在图2中准确画出点圆心和法线） （3）任务三：【实际应用】 在任务二的条件下，由于实际情况限制，只能安装在向左平移的处，平行于，法线与边的夹角不变，如图3所示，施工点的位置不变．同学发现此时无法从处通过凸面镜看到施工点．要将观测点移动到边的哪里，才能从凸面镜看到施工点，直接写出点的坐标． 23. 在中，，是斜边的中点，以为边作正方形，与交于点． 【基础研究】 若正方形的面积为，若是的中点， （1）如图1，请直接写出__________； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点，求证： 【推广及应用】 （3）若正方形的边长为，设试探究是否为定值，若为定值，用、表示；若不是，请说明理由； （4）若将“正方形”改为“矩形”，且与的交点仍满足，设，，你还能得到③中的结论吗？若能，请直接写出__________；（用、、表示）； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度狮山镇九年级供题训练 数学 说明：本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年国内四款应用的月活跃用户环比增长率如下，其中增长率最高的是（ ） A. 夸克（） B. （） C. 豆包（） D. 纳米（） 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数大小比较的实际应用，只需比较四个增长率的大小即可得到结果，正增长率大于负增长率，同为正增长率时，数值越大增长率越高． 【详解】将四个增长率按大小排序可得 ， 增长率最高的是选项A． 2. 黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： ， 故选：C． 3. 年是“十五五”规划开局之年，我国持续推动全球文明交流、共建人类命运共同体．下列国家级重大活动官方标识里，属于中心对称图形的是（ ） A. 第四次全国农业普查标识 B. 亚洲文明对话大会主标识 C. 深圳峰会 D. 第六届亚洲沙滩运动会会徽 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各个选项进行判断即可． 【详解】解：、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、该图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意； 、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A，，A错误． 对于选项B，，B错误． 对于选项C，，C正确． 对于选项D，与不是同类项，不能合并，D错误． 5. 已知：如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可． 【详解】解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图是一个正方形展开图，如果正方体相对的面所标注的值均互为相反数，则字母所标注的代数式的值等于（ ） A. 7 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，同行或同列隔一个是对面，即可确定相对面，列出方程组求解． 【详解】解：由正方体表面展开图的特征可知：“”与“”是相对面，“”与“”是相对面，“”与“”是相对面， 正方体相对的两个面所标注的值均互为相反数， ， 整理得：， 得：， 解得， 将代入①得：， 解得， ， 与互为相反数， ． 7. 在粤港澳大湾区科创文化展演中，某表演团队打造了沉浸式无人机方阵灯光秀．某无人机方阵由A、B两种型号组成，每架A型可携带1束烟花，每架B型可携带4束烟花．所有无人机共携带50束烟花，且A型数量是B型数量的2倍．设A型有架，B型有架，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设A型有架，B型有架． ∵A型数量是B型数量的倍， ∴． ∵每架A型可携带束烟花，每架B型可携带束烟花，所有无人机共携带束烟花， ∴A型共携带束烟花，B型共携带束烟花， ∴． 综上可得方程组． 8. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有实数根． 【详解】解：对于方程， 其判别式为： 因为方程有实数根，需满足，即： 解得： 因此，实数的取值范围是． 故选B． 9. 在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 小于 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据振动频率低于列出不等式，结合求解即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∵振动频率低于， ∴， ∵为弦长，， ∴， 即． 10. 如图，在平面直角坐标系中，和交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵直线和交于点， ∴当时，两函数值相等， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象下方或重合， ∴不等式的解集为． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 一次函数的图象经过点，且函数值随自变量的增大而减小，请写出一个符合条件的函数表达式：__________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：设一次函数表达式为， 一次函数的图象经过点， ， 函数值随自变量的增大而减小， ， 符合条件的函数表达式为（答案不唯一）． 13. 为备战2026年广东省中考体育，佛山市某中学组织学生进行选考项目模拟报名，可选项目为：一分钟跳绳、立定跳远、篮球运球、足球绕杆、实心球，共5个项目．若小明从这5个项目中随机选择1个报名，则他选到球类项目的概率是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，所有等可能的选择结果共有种，其中属于球类项目的结果共有种，分别为篮球运球，足球绕杆， ∴他选到球类项目的概率是． 14. 已知和是同类项，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：和是同类项， ∴，， 解得，， ． 15. 已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质；过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H，即可得到为平行四边形，进而得到，然后根据正切的定义得到，，利用勾股定理求出，然后根据求出的长解答即可． 【详解】解：过点A作交于点G，过点A作交的延长线于点K，过点G作于点H， 则，， ∵是矩形， ∴，，，， ∴为平行四边形， ∴， ∵点P是的中点， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算特殊三角函数值、二次根式化简、绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再算乘法，最后计算加减即可求解． 【详解】解：原式． 17. 在我国传统节日清明节期间，学校将组织200名师生去革命烈士陵园扫墓．请你认真阅读如图对话，解决实际问题．根据对话内容，求每辆甲、乙种客车各有多少个座位． 【答案】甲、乙两种客车每辆各有50、55个座位． 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键，设甲种客车每辆有x个座位，则乙种客车每辆有个座位，根据题意：若单独租用甲种客车若干辆则刚好坐满，若单独租用同样辆数的乙种客车，则有20个空座位，列方程求解． 【详解】解：设甲种客车每辆有x个座位，则乙种客车每辆有个座位， 可得：， 解得： ， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：甲、乙两种客车每辆各有50、55个座位． 18. 如图，点是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形为正方形， ，， 根据折叠的性质可知，，， ， 在和中， ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用折叠与正方形性质得到直角和一组直角边相等，结合公共斜边，用证明两个直角三角形全等； （2）借助全等三角形和折叠的性质推出相等线段，设，然后表示出各边长，再用勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，点是的中点， ， 由折叠的性质可知，， 据（1）知， ， 设，则，，， ， 在中，，即， 解得， ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为响应第四届全民阅读大会“培育读书风尚，建设文化强国”的号召，并落实教育部等八部门关于深入实施青少年学生读书行动的要求，佛山市大力推进“书香校园”建设．某校数学实践小组围绕“我最喜爱的佛山文化读物”主题，对全校学生进行抽样调查，以了解学生们对本地特色文化书籍的阅读偏好．调查的读物类型包括：“美食文化类（如《寻味顺德》）”“龙舟/武术文化类”“香云纱/粤剧文化类”“佛山少儿绘本类”和“其他类”．调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了________名学生，的值为________； （2）补全条形统计图； （3）若全校共有名学生，估计该校最喜爱“龙舟/武术文化类”图书的学生有多少名？ （4）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 【答案】（1）； （2）见解析 （3） （4）见解析 【解析】 【分析】（1）用类的人数和所占的百分比求出总人数；用总人数减去、、、类的人数，得到类的人数，类的人数除以总人数，即可得出的值； （2）由（1）可得，类的人数，即可补全条形统计图； （3）用学校总人数乘以样本中喜欢“龙舟/武术文化类”图书的学生所占的百分比即可； （4）根据题意，写出建议即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（名）； 类的人数：（名） ∴， ∴； 【小问2详解】 解：补全统计图如下： 【小问3详解】 解：（名） 答：该校最喜爱“龙舟/武术文化类”图书的学生有名． 【小问4详解】 解：由统计图可得：喜欢“香云纱/粤剧文化类”和“佛山少儿绘本类”的学生较多，建议学校多购置这些图书等． 20. 某纸杯的尺寸（单位：）如图是所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． （1）弧的长为__________，__________． （2）记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小．图是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与弧相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，求出，的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用纸杯上下底的圆周长分别等于展开的扇环两条弧长，据此求出弧的长，设小扇形半径与圆心角，根据弧长公式列方程组求出； （2）结合切线性质推出四边形、是矩形，则，再根据推出为等边三角形，进而得到，然后用三角函数算出，，，得到矩形短边，分段累加水平方向三段长度，求得矩形长边． 【小问1详解】 解：据图可知，纸杯上底半径为，下底半径为，， 则的长度为，的长度为， 设，，则， 可得， 解得， 故． 【小问2详解】 解：如图，延长，交于点，扇环纸片与相切于点，连接，交于点， 据（1）可知，，，， 则为等边三角形，，， 四边形为矩形， ， ， 四边形、是矩形， ， ， ， ， ，， ，， ， 综上，，． 21. 年，国家及各地正通过多项举措推动全民健身，倡导“运动强身”理念，涵盖科学健身普及、赛事活动丰富、场地设施完善及体卫融合深化等方面．在某羽毛球训练营中，为了训练击球落点的精准度，教练让小丹尝试击中地面的一个感应器，小丹举拍的击球点离地面高度米，并打出了一次高远球（飞行路线可以看作是抛物线的一部分）击中了感应器，建立如图所示的平面直角坐标系，教练用仪器测到点坐标为，抛物线表达式为． （1）请求出抛物线的表达式； （2）球落到地面的最远距离的长度； （3）如图若将飞行中的羽毛球记为点，若，求此时羽毛球所在位置； 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求解； 由得抛物线的表达式为，当时，，然后解方程即可； 过作轴，交抛物线于点，过作轴于点，交于点，则四边形是矩形，所以，，得出，所以，则，设，所以，，则，即有，然后解方程并检验，再把代入即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线图象经过点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由得抛物线的表达式为， 当时，， 解得（舍去），， ∴， ∴， ∴球落到地面的最远距离的长度为； 【小问3详解】 解：如图，过作轴，交抛物线于点，过作轴于点，交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴，解得，， 经检验：是方程的解， ∴当时，， ∴， ∴羽毛球所在位置是． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 项目式学习：校园路口凸面镜安装方案设计 项目主题：校园路口凸面镜安装方案设计 项目背景 凸面镜对光线有发散作用，平行光线经凸面镜反射后会变得发散，从而扩大视野，在道路转弯处、车库出入口等地方，能帮助司机和行人提前发现拐角处或后方的来车和行人，有效避免交通事故的发生． 知识储备：1．法线是过入射点且与反射面在该点的切线垂直的直线； 2．光的反射定律：入射角＝反射角； 工具 皮尺、标杆、测角仪（可测量角度的大小）、计算器． 测量结果 某校门口直角路口因围墙遮挡存在视线盲区，学校计划安装凸面镜保障安全，项目小组需用数学知识设计安装方案： 测量后初步简化的几何图形如图2所示，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，，观测点在边上，为上危险施工点，测得米． （1）任务一：【原理探究】 如图1，点光源发射出一条光线，即为法线所在的方向，请用无刻度直尺和圆规作出光线经过凸面镜反射得到的光线． （2）任务二：【建立模型】 通过测量与调整，将凸面镜安置在的正东方向，且时可以在处通过凸面镜看到施工点，测出，已知的度数为 问题1：若的圆心为，则__________度； 问题2：此时点所处的法线为__________所在的直线；法线与边的夹角__________度． 请根据问题1和问题2的结论，求出凸面镜到观测点的距离．（提示：在图2中准确画出点圆心和法线） （3）任务三：【实际应用】 在任务二的条件下，由于实际情况限制，只能安装在向左平移的处，平行于，法线与边的夹角不变，如图3所示，施工点的位置不变．同学发现此时无法从处通过凸面镜看到施工点．要将观测点移动到边的哪里，才能从凸面镜看到施工点，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）；；；米 （3） 【解析】 【分析】（1）首先确定入射光线与法线的夹角为入射角，因为光的反射定律要求反射角等于入射角，所以以法线为一边，在入射光线另一侧作与入射角相等的角，即可得到反射光线，使用尺规作等角的方法完成作图． （2）问题：因为弧的度数等于它所对圆心角的度数，所以直接可得的度数． 问题：因为凸面镜的法线是过入射点的半径所在直线，所以点的法线为所在直线；结合已知的的度数，可求法线与的夹角． 求长度：首先根据光的反射定律确定入射光线和反射光线的角度关系，再结合坐标系中各点的位置角度，利用含度角的直角三角形的性质，勾股定理计算． （3）首先确定平移后点的坐标，结合法线与夹角不变的条件，根据反射定律确定新的反射光线方程，反射光线与轴的交点即为移动后的观测点，求解该交点坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的度数为，的圆心为，则度； 如图，此时点所处的法线为所在的直线， 设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ 即法线与边的夹角度， 如图，过点作于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵在点的正东方， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 答：凸面镜到观测点的距离为米． 【小问3详解】 解：由（2）可得， ∴ ∴ 将向左平移，则 如图，过点作于点，设的圆心为，连接并延长交于点，则四边形是矩形， 依题意，法线与边的夹角不变，则 ∴ ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 解得： ∴直线的解析式为 作关于直线的对称点， ∵要从凸面镜看到施工点，设点移动到点， ∴为与的交点， ∵ ∴ ∴ 设 ∴① ∵的中点在上，即 即② 将②代入①并解得：或（舍去） 将代入②得， ∴ 设直线的解析式为，代入， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，即点，即将观测点移动到才能从凸面镜看到施工点． 23. 在中，，是斜边的中点，以为边作正方形，与交于点． 【基础研究】 若正方形的面积为，若是的中点， （1）如图1，请直接写出__________； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点，求证： 【推广及应用】 （3）若正方形的边长为，设试探究是否为定值，若为定值，用、表示；若不是，请说明理由； （4）若将“正方形”改为“矩形”，且与的交点仍满足，设，，你还能得到③中的结论吗？若能，请直接写出__________；（用、、表示）； 【答案】（1） （2）证明：如图，延长交于点，连接 设 ∵中，，是斜边的中点， ∴，则 ∵点是的中点 ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵是的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵，      ，  ∴ （3）是定值，； （4）能， 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，结合是的中点可得与的关系；根据直角三角形斜边中线的性质得出，；通过证明，利用相似三角形对应边成比例得出，代入计算即可求解． （2）设，延长交于点，连接，证明得出，进而证明，得出，证明，进而证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质可得，结合，得出，证明得出，等量代换，即可得出结论； （3）由（1）可得，代入，即可求解； （4）同（1）的方法，得出，代入，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，面积为  ，，  是的中点    ，是斜边 的中点  ，即             ，    ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）可得 ∵， ∴， ∵ 【小问4详解】 解：同（1）可得 ∵ ∴， ∵ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $