精品解析：2025年广东省佛山市南海区桂江二中中考数学三模试卷

2025年广东省佛山市南海区桂江二中中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000203米，该直径用科学记数法表示为(　　)米． A. 2.03×10﹣8 B. 2.03×10﹣7 C. 2.03×10﹣6 D. 0.203×10﹣6 3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　 　 ） A. x≥－6 B. x≤－6 C. x>－6 D. x＜－6 4. 如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同位角相等，两直线平行 D. 两直线平行，内错角相等 5. 下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 正五边形 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 每年的3月14日为国际数学日（简称），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．2025年国际数学日主题：数学、艺术和创造力．某班级计划从以下3个数学元素：①（圆周率）；②黄金分割比；③勾股定理中随机选取2个设计一幅制作展板，则（圆周率）和勾股定理被同时选中的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 现代营养学家通常用身体质量指数（简称）作为衡量身体胖瘦程度以及是否健康的指标．身体质量指数与人的身体质量（千克）、身高（米）的关系是．若一个人的身高为米，则身体质量指数与他的体重之间的函数关系的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（ ） A. B. C. D. 10. 如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：___ 12. 比较大小：3_________ （填＜，＞或＝）． 13. 已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为______． 14. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 _________________ ． 15. 近年来扫地机器人逐渐进入人们的家庭，因大多建筑房间都是方形的，圆形的吸尘器很难把墙角的灰尘去除，因此人们设计出“勒洛三角形”形状的吸尘器，通过自动转动，能覆盖98%以上的房间面积．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则该“勒洛三角形”的面积为_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据调度等智能装备系统让快递“跑”得更快．某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升．该仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣快递200件，且A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣8000件所用时间相等．问B型机器人每小时分拣快递多少件？ 18. 汉字是中华民族优秀文化智慧的结晶，蕴含着丰富的文化内涵和审美意蕴．为弘扬中华汉语言文化，促进规范用字、规范书写，进一步承袭汉字精髓，某校计划在各班推选出来的共20名学生中选拔部分学生参加市级汉字听写大赛，参加选拔的同学需要参加表达能力、阅读理解、汉字听写三项测试，每项测试成绩由七名评委打分（满分100分），取平均数作为该项的测试成绩，再将表达能力、阅读理解、汉字听写三项的成绩按照的比例计算出每人的总评成绩．小颖、小轩的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值）如图． 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 表达能力 阅读理解 汉字听写 小颖 92 85 90 小轩 92 （1）在表达能力测试中，七位评委给小轩打出的分数如下：93，94，96，95，93，93，．这组数据的中位数是______分，众数是______分，平均数是______分； （2）请你计算小轩的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩安排前3名学生代表学校参加市级比赛，试分析小颖、小轩能否入选，并说明理由． 19. 如图，A，B，C，D是圆上的四个点，是直径，连接，直线是圆的切线，． （1）求证：； （2）尺规作图：过点作圆的切线；（保留作图痕迹，不写作法） 20. 为了加强学校之间区域教学交流，通过课堂实录进行线上教研探讨，如图1，是学校购进的某款线上教学设备，其由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角改善拍摄效果． （1）当悬臂与桌面l平行时，__________； （2）已知悬臂与连杆的夹角的度数约为时，拍摄效果较好，请你探究此时摄像头点D到桌面l的距离约为多少？ （参考数据：，，） 21. 小明提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． 举例验证：（1）当，，则 推理证明：小刚同学做了如下的证明： 设，∵m，n是连续的正整数，∴ ∵，∴；∴一定是正整数的平方数． （2）请你补上小刚同学的证明过程的空格所缺内容； (注：推理论证中的两个是同一个代数式，答题卡上只需填写一个即可) 类比探究：（3）小红同学类比小刚同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方”，请证明该结论； 深入思考：（4）老师在三位同学的基础上，鼓励同学们继续探究：若(m，n为两个连续正整数，，)，则p一定是 ．(填：奇数、偶数) 22. 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴和轴上，若反比例函数（）的图象分别交，于点，． 【构建联系】 （1）求证：． （2）是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，且，求的值． 【深入探究】 （3）在（2）的条件下，连接，，求的值． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省佛山市南海区桂江二中中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：是整数，是分数，是有限小数，它们不是无理数， 是无限不循环小数，它是无理数， 故选： 2. 某种秋冬流感病毒的直径约为0.000000203米，该直径用科学记数法表示为(　　)米． A. 2.03×10﹣8 B. 2.03×10﹣7 C. 2.03×10﹣6 D. 0.203×10﹣6 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】0.000000203=2.03×10﹣7． 故选：B． 【点睛】此题考查用科学记数法表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　 　 ） A. x≥－6 B. x≤－6 C. x>－6 D. x＜－6 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，x+6≥0， 解得，x≥-6， 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 4. 如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同位角相等，两直线平行 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等、两直线平行解答即可． 【详解】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行． 故选C． 5. 下列几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 正五边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，熟悉掌握图形特点是解题的关键． 根据中心对称图形与轴对称图形的特点逐一判断即可． 【详解】解：A：等边三角形为轴对称图形，但不为中心对称图形，故A错误； B：平行四边形为中心对称图形，但不为轴对称图形，故B正确； C：菱形及为中心对称图形也为轴对称图形，故C错误； D：正五边形为轴对称图形，但不为中心对称图形，故D错误； 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的性质，利用合并同类项法则、同底数幂相除法则，积的乘方法则，二次根式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、 ，原计算错误，不符合题意； C、 ，原计算正确，符合题意； D、 ，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 7. 每年的3月14日为国际数学日（简称），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．2025年国际数学日主题：数学、艺术和创造力．某班级计划从以下3个数学元素：①（圆周率）；②黄金分割比；③勾股定理中随机选取2个设计一幅制作展板，则（圆周率）和勾股定理被同时选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率、概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及（圆周率）和勾股定理被同时选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将圆周率，黄金分割比，勾股定理分别记为A，B，C，用表格列出所有可能的结果： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中2种符合题意． （两人抽到相同卡片）． 故选：B 8. 现代营养学家通常用身体质量指数（简称）作为衡量身体胖瘦程度以及是否健康的指标．身体质量指数与人的身体质量（千克）、身高（米）的关系是．若一个人的身高为米，则身体质量指数与他的体重之间的函数关系的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了正比例函数，根据题意确定出身体质量指数与他的体重之间的函数关系是正比例函数，结合图象即可求解． 【详解】解：若一个人的身高为米，则， 故身体质量指数与他的体重之间的函数关系是正比例函数， ∵， ∴身体质量指数与他的体重之间的函数关系的图象大致是： 故选：C． 9. 如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是四边形的内角和定理，平行线的性质，先求解，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C 10. 如图，经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象限内圆上一点.则∠CDO的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接BC，且∠BOC=90°，用勾股定理求出BC的长度，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，所以sin∠CDO=sin∠OBC，即∠CDO的正弦值可求． 【详解】解：如下图所示，连接BC， ∵⊙A过原点O，且∠BOC=90°，OB=4，OC=3， ∴根据勾股定理可得：， 又∵同弧所对圆周角相等，∠CDO与∠OBC均为所对圆周角， ∴∠CDO=∠OBC，故sin∠CDO=sin∠OBC=， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、同弧所对圆周角相等以及求角的正弦值，解题的关键在于找出∠CDO与∠OBC均为所对圆周角，求出∠OBC的正弦值即可得到答案． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：___ 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 比较大小：3_________ （填＜，＞或＝）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案． 【详解】∵32＝9，9＜10， ∴3＜， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 13. 已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给一次函数解析式，得出y随x的增大而减小，再结合A，B两点纵坐标的大小关系，得出横坐标的大小关系即可解决问题． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：因为一次函数的解析式为， 所以y随x的增大而减小． 又因为， 所以 故答案为： 14. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 _________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 中，由勾股定理可得， ， 又∵， ∴， 故答案为：． 15. 近年来扫地机器人逐渐进入人们的家庭，因大多建筑房间都是方形的，圆形的吸尘器很难把墙角的灰尘去除，因此人们设计出“勒洛三角形”形状的吸尘器，通过自动转动，能覆盖98%以上的房间面积．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则该“勒洛三角形”的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出勒洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键． 图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可． 【详解】解：过A作于D， ∵， ∵， ∴，， ∴的面积为， ， ∴勒洛三角形的面积， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练的进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当，时，原式． 17. 中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据调度等智能装备系统让快递“跑”得更快．某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升．该仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣快递200件，且A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣8000件所用时间相等．问B型机器人每小时分拣快递多少件？ 【答案】件． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 设B型机器人每小时分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递，然后根据A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣8000件所用时间相等列出方程求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递， 由题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：B型机器人每小时分拣快递件． 18. 汉字是中华民族优秀文化智慧的结晶，蕴含着丰富的文化内涵和审美意蕴．为弘扬中华汉语言文化，促进规范用字、规范书写，进一步承袭汉字精髓，某校计划在各班推选出来的共20名学生中选拔部分学生参加市级汉字听写大赛，参加选拔的同学需要参加表达能力、阅读理解、汉字听写三项测试，每项测试成绩由七名评委打分（满分100分），取平均数作为该项的测试成绩，再将表达能力、阅读理解、汉字听写三项的成绩按照的比例计算出每人的总评成绩．小颖、小轩的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值）如图． 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 表达能力 阅读理解 汉字听写 小颖 92 85 90 小轩 92 （1）在表达能力测试中，七位评委给小轩打出的分数如下：93，94，96，95，93，93，．这组数据的中位数是______分，众数是______分，平均数是______分； （2）请你计算小轩的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩安排前3名学生代表学校参加市级比赛，试分析小颖、小轩能否入选，并说明理由． 【答案】（1）94，93， （2）分 （3）小轩能入选，不能判断小颖能否入选， 理由如下： 由20名学生的总评成绩的频数分布直方图可知，大于90分的有2人， 由（2）可知，小轩的总评成绩为分， 所以小轩能入选， 因为小颖的总评成绩为分， 所以不能判断小颖能否入选． 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解即可； （2）根据加权平均数的定义计算即可； （3）根据20名学生的总评成绩的频数分布直方图可得大于90分的有2人，则可得小轩排在前两名，能入选；小颖的总评成绩为分，小于90分，不能判断小颖能否入选． 【小问1详解】 解：将这组数据按从小到大进行排序为93，93，93，94，94，95，96， 所以其中位数是94分， 因为在这组数据中，93出现的次数最多， 所以众数是93分， 平均数是（分）， 故答案为：94，93，94． 【小问2详解】 解：由（1）可知，小轩的表达能力的测试成绩为94分， 则小轩的总评成绩为（分）， 答：小轩的总评成绩为分． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了频数分布直方图、中位数、众数、平均数、加权平均数，能够读懂统计图，掌握中位数、众数、平均数、加权平均数的定义是解答本题的关键． 19. 如图，A，B，C，D是圆上的四个点，是直径，连接，直线是圆的切线，． （1）求证：； （2）尺规作图：过点作圆的切线；（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图，切线的性质，圆周角定理． （1）由切线得到，由是圆O直径得到，则，由，得到，则； （2）过点作的垂线即可． 【小问1详解】 证明：∵直线与圆O相切于点B， ∴， ∴， ∴， ∵是圆O直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 方法1： 如图，直线l是圆O的切线； 方法2： 方法3： 方法4： 方法5： 20. 为了加强学校之间区域教学交流，通过课堂实录进行线上教研探讨，如图1，是学校购进的某款线上教学设备，其由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角改善拍摄效果． （1）当悬臂与桌面l平行时，__________； （2）已知悬臂与连杆的夹角的度数约为时，拍摄效果较好，请你探究此时摄像头点D到桌面l的距离约为多少？ （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键； （1）作，根据平行线的性质求解即可； （2）过点C作于F，过点 B作于N，过点作于M，过D作于E，设与交于点，则，，，，，根据三角函数的定义分别求出，即可得解． 【小问1详解】 解：如图：当悬臂与桌面平行时，作， ，， ， ， ， ，悬臂与桌面l平行时， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过点C作于F，过点 B作于N，过点作于M，过D作于E，设与交于点，则，，，，， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， ， ， 摄像头点到桌面的距离为． 21. 小明提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． 举例验证：（1）当，，则 推理证明：小刚同学做了如下的证明： 设，∵m，n是连续的正整数，∴ ∵，∴；∴一定是正整数的平方数． （2）请你补上小刚同学的证明过程的空格所缺内容； (注：推理论证中的两个是同一个代数式，答题卡上只需填写一个即可) 类比探究：（3）小红同学类比小刚同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方”，请证明该结论； 深入思考：（4）老师在三位同学的基础上，鼓励同学们继续探究：若(m，n为两个连续正整数，，)，则p一定是 ．(填：奇数、偶数) 【答案】（1）4；（2）n(也可)；（3）证明见解析；（4）奇数． 【解析】 【分析】（1）代入计算，求算术平方根即可； （2）将整体代入消元即可得解； （3）将整体代换消元即可得解； （4）利用前两问的结果代入去根号即可得解． 【详解】解：（1）当，时， 故答案为：4； （2） 设， ∵m，n是连续的正整数， ∴ ∵， ∴； ∴一定是正整数的平方数． 故答案为：n(也可)； （3）证明：设m，n是连续的正整数，且， ∴， ∵， ∴； ∴一定是平方数，即任意两个连续正整数的乘积与较小数的差为平方数． （4）由（2）（3）可知：当m，n为两个连续正整数，，时，， ∴， ∴ ∴一定是奇数 故答案为：奇数． 【点睛】本题考查利用二次根式的性质化简，整式的乘法等知识，掌握二次根式的性质是解题的关键．注意：根据题中小明的猜想，括号内的数应填正数，因此括号内不要填负数． 22. 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边，分别在轴和轴上，若反比例函数（）的图象分别交，于点，． 【构建联系】 （1）求证：． （2）是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数（）的图象经过点，且，求的值． 【深入探究】 （3）在（2）的条件下，连接，，求的值． 【答案】（1）证明：设点，， 点，都在正方形上， ，且， ，即． （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据正方形的性质和反比例函数的性质，即可解答； （2）过点作轴于点，交于点，证明，由相似三角形的性质列方程，即可解答； （3）过点作于点，过点作于点，求得的长，即可解答． 【详解】解：（1）略 （2）如图1，过点作轴于点，交于点， 四边形是正方形，， ，， ， 根据折叠的性质可得，，， ， 轴， ， ， ， ，． ， ， 解得， 点． 把点代入，解得； （3）如图2，过点作于点，过点作于点， ， 则四边形为矩形， 由（2），可知，，，，， ， ，， ， ， ． 23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】解：（1） ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $