《一次函数》复习指导-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学期末复习专号升级突破大模拟（湘教版·新教材）

6 知识经纬 (上接第5版) 个单位，所得点的纵坐标不变，横坐标为：-3+2 ●专项练习 =-1,即点P平移后得到对应点的坐标是(-1， 6.如图5，方格纸中 2).故选D. 的每个小方格都是边长为 ●专项练习 1个单位长度的正方形， 7.如图6，△ABC的顶点坐标分别为 建立平面直角坐标系后， A(-1,4),B(-4,-1),C(1,1).若△ABC向右 △ABC的顶点均在格 平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得 点上 到△A'B'C',且点C的对应点为点C (1)写出点A,B,C的坐标： (1)画出△A'B'C',并直接写出点C'的坐 (2)作出△ABC关于x轴的对称图形 标； △AB,C,并写出顶点A,B,C1的坐标； (2)若△ABC内有一点P(a,b)经过以上平 (3)求S△Bc 移后的对应点为P',请直接写出点P'的坐标； (3)求△ABC的面积 考点5：平移的坐标表示 例5在平面直角坐标系中，把点P(-3, 2)向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是 图6 A.(-5,2) B.(-1,4) C.(-3,4) D.(-1,2) 考点6：坐标系中的规律 解析：根据题意，把点P(-3,2)向右平移两 例6如图7，动点P从(0,3)出发沿图中 一次函数》 复习指导 ◎湖南 田雨茂 (2)一次函数y=kx+b(k≠0)图象的性质： 知识回顾 我来填 ①当k>0,b>0时，y随x值的增大而 中年年年年年用年果年用+ ,图象经过第 、二、三象限： 1.变量与函数 ②当k>0,b<0时，y随x值的增大而 (1)在一个变化过程中，我们称数值发生变 一，图象经过第 、三、四象限； 化的量为 ，数值始终不变的量为 ③当k<0,b>0时，y随x值的增大而 ,图象经过第 、二、四象限； (2)一般地，在某个变化过程中，有两个变量 ④当k<0,b<0时，y随x值的增大而 x和y,如果给定一个x值，相应地就确定了一个y ,图象经过第 、三、四象限 值，那么我们称x是 一y是x的函数 4.一次函数与方程、不等式 (3)表示函数的方法一般有： (1)一次函数与一元一次方程的关系 和 直线y=x+(k≠0)与x轴交点的横坐 2.正比例函数 标，就是一元一次方程x+b=0(k≠0)的解. (1)若两个变量x,y之间的关系可以表示成 求直线y=kx+b与x轴的交点时，可令y=0, y=x(k是常数，k≠O),则称y是x的 得到方程红+6=0，解得x=-冬，故y=6x十 函数 (2)正比例函数y=x(k≠0)的图象是经 6交x轴于(-冬，o 过点(0， ）,(1, )的一条直线 (2)一次函数与一元一次不等式的关系 (3)正比例函数y=x(k≠0)图象的性质： ①y=x+b的图象在x轴上方时台y>0; 当k>0时，y随x值的增大而 ,图 y=x+b的图象在x轴下方时曰 象经过第 象限； 当k<0时，y随x值的增大而 ,图 ②y1=kx+b1的图象在y2=k2x+b2图象 象经过第 象限. 的上方时y1>； 3.一次函数 y1=kx+b的图象在y2=k2x+b2图象的 (1)若两个变量x,y之间的关系可以表示成 下方时台 y=x+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是 (3)一次函数与二元一次方程（组）的关系 x的 函数.一次函数y=x+b(k,b为常 一次函数的表达式y=x+b(k,b为常数， 数，k≠0)的图象是经过点(0， k≠0)本身就是一个二元一次方程，直线y=x ,0)的一条直线. +b(k≠0)上有无数个点，每个点的横、纵坐标 数理招 所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反 弹时反射角等于入射角，当点P第43次碰到长 方形的边时，点P的坐标为 解析：经过6次反弹后动点P回到出发点 (0,3).因为43÷6=7…1，所以当点P第43 次碰到长方形的边时为第8个循环组的第一次 反弹所以点P的坐标为(3,0).故填(3,0). 012345678x 图7 图8 1 。专项练习 : 8.如图8，一个粒子在第一象限内及x轴y 轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点(1， 0),第二分钟它从点(1,0)运动到点(1,1)，而 后接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方 向上来回运动，且每分钟运动1个单位长度，那 么在第120分钟时，这个粒子所在位置的坐标是 (本章复习检测卷见第9~10版) 都满足二元一次方程y=x+b(k,b为常数，k≠ 0),因此二元一次方程的解也就有无数个.因此 确定两条相应直线交点的坐标就是解方程组 [y =hix +b1, y =ha+b2 考点解密 我来悟 考点1：常量与变量 例1一本笔记本6元，买x本共付y元，则 6和x分别是 ( A.常量、变量 B.变量、变量 C.常量、常量 D.变量、常量 解析：一本笔记本6元，买x本共付y元，则6 是常量，x,y都是变量 故选A. ●专项练习 1.把15个柚子随意放入两个箱子（每个箱 子内都放)，第一个箱子放入x个，第二个箱子放 入y个，则下列判断错误的是 A.15是常量 B.15是变量 C.x是变量 D.y是变量 考点2：函数的定义与表示方法 例2在函数y= x+1 2x-1 中，自变量x的取 值范围是 解析：根据题意，得x+1≥0,2x-1≠0， 解得x≥-1且x≠分 故填x≥-1且x≠ 例3下表中记录了一次试验中时间和温 度的数据.若温度的变化是均匀的，则14分钟时 的温度是 ℃. (下转第20版) 20 (上接第6版) 时间t/分钟 0 5 10 15 20 25 温度T/℃ 10 25 40 55 70 85 解析：根据表格，得T=3t+10.当t=14分 钟时，T=3×14+10=52(℃). 故填52. 。专项练习 2.函数y= 中，自变量x的取值范 /1-3x 围是 A.x< 1 C.x≤ 1 D.x≠ 3 3.根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须 定期换水后才能对外开放，在换水时需要经“排 水一清洗一注水”的过程，某游泳馆从早上8： 00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池共蓄 水2500m3,打开放水闸门匀速放水后，游泳池 里的水量和放水时间的关系如下表，下面说法不 正确的是 放水时间（分钟） 2 3 4 游泳池中的水量(m3) 24802460 2440 2420 A.每分钟放水20 m3 B.游泳池中的水量是因变量，放水时间是 自变量 C.放水10分钟时，游泳池中的水量为2300m D.游泳池中的水全部放完，需要124分钟 考点3：函数的图象 例4如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A 出发，在边AB,BC上沿A→B→C的方向，以 1cm/s的速度匀速运动到点C,△APC的面积 S(cm2)随运动时间t(s)变化的函数图象如图2 所示，则AB的长是 AS/em2 6 P B a a+4 图1 图2 A. 2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm 解析：由图2知，BC=4cm,Sa4c=6cm2, 所以】×4AB=6, 解得AB=3cm. 故选B. 。专项练习 4.“漏壶”是一种古代计时器， 如图3.在壶内盛一定量的水，水从 壶底的小孔漏出，壶内壁画有刻度， 人们根据壶中水面的位置计算时 0 漏壶 间.用x表示漏水时间，y表示壶底 图3 到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响， 下列图象能表示y与x对应关系的是( B 考点4：正比例函数的图象及性质 例5若y=(m-1)x+m2-1是y关于 x的正比例函数，则该函数图象经过的象限是 知识经纬 A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、四象限 D.第二、三象限 解析：因为y=(m-1)x+m2-1是y关于 x的正比例函数， 所以m2-1=0,m-1≠0， 解得m=-1. 所以m-1=-1-1=-2<0. 所以该函数图象经过的象限是第二、四象 限 故选B. ●专项练习 5.下列函数中，是正比例函数的是( Ay=号 B.y=-x+1 C.y= 1 D.y=x2-1 6.对于正比例函数y=x,当自变量x的值 增加3时，对应的函数值y减少6，则k的值为 A.2 B.-2 C.-3 D.-0.5 考点5：一次函数的图象及性质 例6已知一次函数y=kx-k过点(-1， 4),则下列结论正确的是 ( A.y随x增大而增大 B.k=2 C.直线过点(1,0) D.与坐标轴围成的三角形面积为2 解析：把(-1,4)代入一次函数y=kx-k, 得-k-k=4,解得k=-2, 所以y=-2x+2,y随x增大而减小， 故选项A,B都不符合题意； 当x=1时，y=0,所以该直线过点(1,0)， 故选项C符合题意； 当x=0时，y=2,该直线与坐标轴围成的 三角形面积为 ×1×2=1, 2 故选项D不符合题意， 故选C. ●专项练习 7.点P(a,b)在函数y=4x+3的图象上，则 代数式8a-2b+1的值等于 ( A.5 B.-5 C.7 D.-6 8.如图4，是函数y=kx+b 的图象，则函数y=-kbx+k的 大致图象是 9.一次函数y=3x+2的图象沿y轴向下平 移5个单位后与y轴的交点坐标是 考点6：求一次函数的表达式 例7如图5，与图中直线y =-x+1关于x轴对称的直线 的函数表达式是 解析：设直线y=-x+1关 y=-x+1 于x轴对称的直线的函数表达 图5 式是y=x+b, 数理极 所以直线y=kx+b经过点(0，-1)和(1， 0) 所以直线y=-x+1关于x轴对称的直线的 函数表达式是y=x-1. 故填y=x-1. 。专项练习 10.在平面直角坐标系中，一次函数y=x +b的图象与直线y=2x平行，且经过点A(0, 6),则一次函数y=kx+b的表达式为( A.y=2x-3 B.y=2x+6 C.y=-2x-3 D.y=-2x-6 11.如图6，已知直线41：y= -2x+4与坐标轴分别交于A,B两 点，那么过原点O且将△AOB的面 积平分的直线，的表达式为 图6 A.y= B.y=x C.y= D.y 2x 考点7：一次函数的应用 例8 如图7，直线y=2xy=kx+by =2 与y=x+b交于点P(m,2), 则关于x的方程x+b=2的 解是 () 图7 A.x= 1 2 B.x=1 C.x=2 D.x=4 解析：因为直线y=2x与y=x+b交于点 P(m,2), 所以2m=2,解得m=1, 所以关于x的方程x+b=2的解是x=1. 故选B. ●专项练习 12.一次函数y=kx+b的图 象如图8所示，则关于x的方程x +b=0的解为 ( A.x=0 B.x=3 图8 C.x=-2 D.x=-3 13.在平面直角坐标系中，一 次函数y=kx和y=mx+n的图 象如图9所示，则关于x的一元一 次不等式(k-m)x<n的解集是 图9 14.某校积极响应国家号召，为落实垃圾 “分类回收，科学处理”的政策，准备购买100L 和240L两种型号的垃圾箱若干套.若购买8套 100L垃圾箱和5套240L垃圾箱，共需7200元； 若购买4套100L垃圾箱和6套240L垃圾箱，共 需6400元. (1)每套100L垃圾箱和每套240L垃圾箱各多 少元？ (2)学校决定购买100L垃圾箱和240L垃 圾箱共20套，且240L垃圾箱的数量不少于100 L垃圾箱数量的4，求购买这20套垃圾箱的最少 费用. (本章复习检测卷见第11~12版)数理报 18.解：由题意得，1m-11+12m+41=12, 且2m+4<0,m-1<0, 则-(m-1)-(2m+4)=12,解得m=-5, 所以2m+4=-6,m-1=-6, 所以点P的坐标为(-6，-6). 19.解：(1)所画平面直角坐标系如图8所示，北京 语言大学的坐标为(3,1)，北京一零一中学的坐标为 (-3,3). 北京市上地实验学校 北京一零中学 清华大学 北京前大学 北掠语言木学 人木附仲 图8 (2)北京市上地实验学校的位置如图8所示 20.解：(1)(1,0)，(-4,4)； (2)(a-5,b+4); (3)Sac=4×4-7×2×4-3×1×4-7× 2×3=7. 21.解：(1)建立平面直角坐标系不唯一，如图9所 示： B 图9 连接AB,BC,CD,分别过点B,C作BE,CF垂直于x 轴，则四边形ABCD的面积等于左、右两个直角三角形的 面积与中间梯形的面积和.所以四边形ABCD的面积为： 号×3×6+7×6+8)×(6-3)+7×(8-6)×8 38. (2)延长AB与DC,如图9，由图可得直线AB,CD不 垂直 22.解：(1)作图略，A(1,3),B(-2,0),C1(3,-1) (2)连接AC,交y轴于P,连接PA, 这时PA+PC最短 设直线AC的函数表达式为y=kx+b. 因为直线经过A(1,3)和C(-3,-1), 所以直线A,C的函数表达式为y=x+2. 当x=0时，y=2,所以点P的坐标为(0,2). 23.解：(1)点(3,0)的“2系联动点”的坐标为(3- 2×0,2×3-0),即(3,6). 设A(a,b),则点A的“-2系联动点”的坐标为(a+ 2b,-2a-b). 因为点A的“-2系联动点”的坐标是(-3,0)， 所以2。架6 守b=-2, 所以点A的坐标为(1，-2). 故答案为(3,6)，(1，-2) (2)点P的位置在y轴上. 证明：因为点P(x,y)的“k系联动点”与“-k系联动 参考答案。 点”分别为点M,N, 所以M(x-ky,kx-y),N(x+ky,-kx-y) 因为MW∥x轴， 所以kx-y=-kx-y, 所以2kx=0. 因为k≠0，所以x=0, 所以点P在y轴上 (3)由(2)可知点P(0,y)在y轴上，则OP=1y1. 因为MW=Ix+y-x+yI=2Ikyl, MW的长度为OP长度的3倍， 所以2Iy1=3Iy1, 所以k=±3 24.解：(1)C(0,2),D(4,4). (2)设E(m,0),0≤m≤4. 因为A(4,0),B(0,-2), 所以0A=4,0B=2, 所以Sam=7·0A:0B=子×4×2=4， 如图10，连接DA,由平移方式知DA⊥x轴， 则S△DE=S佛形CoAD-S△ocE-S△DEA =7×(2+4)×4-号×2m-分×4(4-m则） =6, 解得m=2,所以E(2,0) B B 图10 图11 (3)存在，点B'的坐标为(0，-6)或(0，-3)或(0， -4). ①当∠B'A'P=90°时，连接AA',过点B'作B'C∥ x轴，交AA'的延长线于点C,如图11， 因为∠B'A'P=90°， 所以∠PA'A+∠B'A'C=90°， 因为∠A'B'C+∠B'A'C=90°， 所以∠PA'A=∠A'B'C, 又∠PAA'=∠C=90°，A'P=A'B', 所以△AA'P≌△CB'A'(AAS), 所以AA'=B'C 设B'(0,n),则AA'=BB'=-2-n, 因为AA'=B'C=OA=4, 所以-2-n=4, 所以n=-6,所以B'(0,-6). ②当∠A'PB=90°时，可求出点B的坐标为(0，-3). ③当∠A'B'P=90°时，可求出点B'的坐标为(0，-4). 《一次函数》专项练习 1.B;2.A;3.D;4.C;5.A;6.B;7.B; 8.D;9.(0,-3);10.B;11.D;12.B: 13.x<2. 14.解：(1)设每套100L垃圾箱x元，每套240L垃 圾箱y元 根据题意，得8x+5y=720,解得=400， L4x+6y=6400 y=800. 答：每套100L垃圾箱400元，每套240L垃圾箱800 元 15 (2)设购买a套240L垃圾箱，则购买(20-a)套 100L垃圾箱，购买这20套垃圾箱的费用为心元 根据题意，得w=400(20-a)+800a=400a+ 8000. 因为400>0， 所以w随a的增大而增大 根据题意，得a≥子(20-a).解得a≥4. 所以当a=4时，0有最小值， 此时0=400×4+8000=9600. 答：购买这20套垃圾箱的最少费用为9600元. 《一次函数》复习检测卷 一、选择题 题号 2 8 10 答案 二、填空题 1.-7；2.42;13.y=-+4,4.≤-4： 1516.(2,0. 三、解答题 17.解：(1)设y=k(2x-1). 把x=2,y=6代人， 得6=3k,解得k=2. 所以y=2(2x-1)=4x-2. (2)把y=-6代人y=4x-2, 得-6=4x-2,解得x=-1. 18.解：(1)根据题意，完成表格如下： 白纸张数x(张) 1 2 3 4 5 纸条总长度y(cm) 20 37 54 71 88 (2)y=17x+3. (3)1656÷8=207(cm). 当y=207时，17x+3=207,解得x=12, 所以需要12张这样的白纸. 保：国略：ey2 (3)由(1)中两函数图象可知，当x>-1时，y1>0. 20.解：(1)因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象 是由函数？=之的图象平移得到的，所以长=分 因为一次函数)=子+6的图象经过点(-2,0)， 所以-1+b=0,所以b=1, 所以这个一次函数的解析式为y=了+1 (2)m≥2. 21.解：(1)根据题表可判断F是关于h的一次函数 由题意，设这个一次函数的表达式为F=ah+b(a ≠0)， 将h=10,F=2与h=20,F=3代人F=ah+b, 得0a+6=2, 得= 20a+b=3, b=1. 所以F与h之间的函数表达式为F=+1 经验证，其余几组对应值也符合该函数关系式， (2)由(1)可知F=b+1, 当F≤9时，有10+1≤9， 所以h≤80， 所以0<h≤80. 答：装置高度h的取值范围为0<h≤80.