专题07 平行四边形（暑假复习讲义）新九年级数学新教材北师大版

专题07 平行四边形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 平行四边形三大性质 题型2 平行四边形五大判定定理 题型3 平行四边形的判定与性质综合 题型4 三角形中位线定理 题型5 平行四边形中的动点问题、折叠问题 题型6 直角坐标系中的平行四边形存在性问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.平行四边形三大性质 2.平行四边形五大判定定理 3.平行四边形的判定与性质综合 4.三角形中位线定理 5.直角坐标系中的平行四边形存在性问题 1. 固定题型分值布局 （1）选择、填空（基础保分，约40%分值） 1. 基础计算：利用性质求边长、角度、对角线长度、周长； 1. 判定辨析：给出条件判断能否构成平行四边形； 1. 中位线长度快速求值； 1. 多边形边数、内角度数计算； 1. 对称面积等分小题。 （2）中档解答证明题（核心主力，约45%分值） 1. 标准证明大题：先证平行四边形，再利用性质推线段/角相等； 2. 中位线综合证明：作中点连线构造平行四边形； 3. 全等+平行四边形联动证明； 4. 网格作图：画出平行四边形、画出中位线并标注长度。 （3）压轴探究大题（拉分区分，15%分值） 1. 动点问题：点在线段上移动，探究何时构成平行四边形； 2. 折叠问题：平行四边形折叠，结合勾股定理列方程求边长； 3. 多结论正误判断； 4. 坐标平面内平行四边形存在性（三点求第四点坐标）。 2. 四大核心命题趋势 趋势1：性质与判定互逆考查，刻意设置错误条件陷阱 高频坑：“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定平行四边形（反例等腰梯形）；“对角线相等”不属于平行四边形判定，只属于矩形特征，极易混淆。 趋势2：中位线是几何辅助线第一套路 只要出现多个中点，必考中位线；常搭配平行四边形形成双层平行、倍半线段结构，是压轴题标配辅助线思路。 趋势3：证明书写规范硬性打分 推理每一步必须标注依据（平行四边形性质/判定、中位线定理），跳步、无依据直接扣步骤分；几何语言严谨度决定得分高低。 趋势4：知识融合化，单独简单题变少 1. 全等三角形 + 平行四边形判定； 2. 勾股定理 + 平行四边形边长计算； 3. 平面直角坐标系坐标运算 + 平行四边形存在性； 4. 多边形公式单独填空打底。 考情解码： 1. 判定条件分类记忆：分边、角、对角线三类，逐条对比，单独标注2条错误反例； 2. 证明固定书写模板：先列已知条件→套判定定理→得出平行四边形→再用性质推结论； 3. 中点题强制思路：看见中点优先连中位线，无中点主动取中点构造中位线； 4. 坐标平行四边形套路：利用对角线中点坐标相同列方程，分三组对角线分类求解； 5. 折叠题型固定步骤：折叠全等→设未知数→平行四边形边长相等→勾股列方程求解； 知识点一 平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行 （2）两组对边分别相等 （3）一组对边平行且相等 （4）两组对角分别相等 （5）对角线互相平分 【易错提醒】 一组对边平行、另一组对边相等，不能作为平行四边形的判定（可能为等腰梯形） 即时即练如图，在平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且．连接，交于点H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形，点E，F分别在的延长线上， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，，进而推出，，即可得证； （2）根据平行四边形的性质，结合三角形的内角和定理以及对顶角相等，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 知识点二 平行四边形的性质 （1）边：对边平行且相等 （2）角：对角相等，相邻两角相加等于 （3）对角线：两条对角线互相平分 （4）对称：中心对称图形，对角线交点为对称中心 【易错提醒】 （1）边角对应匹配错误 平行四边形对角相等、邻角互补，不相邻非对角的角度没有相等关系；字母无序书写时容易搞错哪组角、边对应相等。 （2）对角线误区 对角线只互相平分，长度不一定相等、不一定垂直；相等、垂直是特殊平行四边形特征，普通平行四边形不具备。 即时即练如图，在中，是对角线与交点，，垂足分别为点和点． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形，是对角线与交点， ， ， ∴， 又， ， ； (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，利用证明，即可证明； （2）由垂线的定义和直角三角形两锐角互余的性质求出的度数，由角平分线的定义可得的度数，再由平行四边形对边平行和平行线的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ． 知识点三 三角形中位线定理 （1）定义：连接三角形两条边中点的线段叫中位线 （2）定理内容：中位线平行于三角形第三边，长度等于第三边的 （3）作用：证明两直线平行、推导线段倍长关系、辅助构造平行四边形 【易错提醒】 （1）概念混淆 中位线是两边中点连线；中线是顶点到对边中点线段，二者完全不同，不可混用。 （2）倍半关系颠倒 正确：中位线长平行且等于底边的一半；不要写成底边平行且等于中位线的一半。 （3）平行条件遗漏 定理有两层结论：平行+长度一半，做题只写长度相等，漏掉平行的证明依据。 即时即练如图，的对角线与相交于点O，E为的中点，，，．求和的长度． 【答案】， 【分析】由平行四边形的性质可得，，证明为的中位线，得出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型1 平行四边形三大性质 例1. 如图，的对角线交于点，且，的周长为，则的两条对角线的和是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形对边相等的性质，可求的长度，再根据的周长为，得到，则的两条对角线的和可求. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴. 例2. 如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 【答案】 【分析】先证，得，所以，又因为，所以，再根据平行四边形性质得，所以，把代入即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 【技巧总结】 1. 求边长、周长：直接用对边相等，周长=2(邻边之和)；对角线只平分，不参与周长计算。 2. 求角度：已知一角，对角直接相等，邻角用相减。 3. 线段计算：对角线交点平分两条对角线，分成四段两两相等； 4. 证明等量：要证边等、角等，先看图形是不是平行四边形，是就直接套性质，不用再证全等。 【变式训练1-1】如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，边于，两点；分别以点，为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为（ ）． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】由作图可知平分，结合平行四边形的性质推出，进而证得，最后利用求解． 【详解】解：由作图可知平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1-2】在平行四边形中，，，则__________． 【答案】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质列方程求出，得到的度数，再利用平行四边形邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ， 又 ， ， ， 解得， 即， 平行四边形对边平行，同旁内角互补， ， ． 题型2 平行四边形五大判定定理 例3．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加适当的条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． 【答案】解：可以添加条件：，理由如下： ∵的对角线与相交于点O， ∴， 又∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形．（答案不唯一） 【分析】从对角线的角度添加条件即可；利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可说明理由． 【详解】略 例4．一张平行四边形纸片，． (1)如图，折叠平行四边形纸片，可以得到和的平分线，其中的平分线交于点E，的平分线交于点F．请证明：四边形是平行四边形． (2)你还有哪些方法能折出一个平行四边形？选择其中一种，说明你的方法的正确性． 【答案】(1)证明：∵在平行四边形 中， ∴． ∵平分，平分， ， ． ， ， ， ． 又， ∴四边形为平行四边形． (2)方法：如图：沿平行四边形的对角线对折． 证明：沿对角线对折后，与重合， 与 重合， ． ∵四边形是平行四边形， ． ∵， ， ， ． 同理可证：， ∴折叠后得到的四边形的两组对边分别平行，即四边形 是平行四边形． 【分析】（1）由平行线的性质可得．再利用角平分线的定义、平行线的性质可得，即，再结合即可证明结论； （2）如图：沿平行四边形的对角线对折．利用折叠的性质可得，再利用平行四边形的性质以及平行线的判定证明和即可证明结论（不唯一）． 【详解】（1）略 （2）略 【技巧总结】 1. 有边平行/相等条件：优先用一组对边平行且相等，步骤最简； 2. 有对角线线段相等：直接用对角线互相平分判定； 2. 有角度相等条件：选用两组对角分别相等； 4. 避雷技巧：看到“一组平行，另一组相等”不判定，举等腰梯形反例排除； 5. 书写套路：逐条摆出条件，对应一条判定定理再下结论。 【变式训练2-1】如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】（1）根据中点的定义和平行线的性质得到条件，证明即可； （2）证明，又由已知即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：是的中点， ．     ， ，   （2）四边形是平行四边形     证明：，      又是的中线， ， ∴     又， ∴四边形是平行四边形． 【变式训练2-2】如图，的对角线、相交于点O，E，F在上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，推出，然后利用证明全等即可； （2）根据平行四边形的性质得到，，然后推出，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． 题型3 平行四边形的判定与性质综合 例5．如图，在平行四边形中，点，分别是边，的中点，分别连接，交对角线于点，，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点定义得，，证得为平行四边形，即可得对边； （2）先由平行四边形对边平行得出，结合中点定义证得；再由(1)中已证的四边形是平行四边形得出，可得，结合对顶角相等推出；然后利用判定，得到对应边；最后结合即可判定四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形． 例6．如图，在平行四边形中，点、分别在和上，且． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用平行四边形的性质，得到且，因为已知，所以可推出，进而判定四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角相等的性质证明两角相等； （2）先利用平行四边形对角相等的性质得到，在中根据三角形内角和定理求出的度数，再由的性质得到，最后结合平行四边形邻角互补的性质，或利用外角性质计算的度数． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形， ． （2）四边形是平行四边形， ， ， ， 即， ． 【技巧总结】 1. 固定顺序：先判定，后用性质；不能没证平行四边形就先用对边相等。 2. 条件来源：全等三角形、平行线内错角、中点线段，常用来凑判定所需的等角、等边； 3. 求证目标：证线段相等、角相等、线段平分，一律先证四边形是平行四边形简化证明。 【变式训练3-1】如图中，已知，，分别以的直角边及斜边向外作等边，等边．，垂足为F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先中，由可以得到，又因为是等边三角形，，由此得到，并且，然后即可证明，再根据全等三角形的性质即可证明，根据是等边三角形，所以，并且，而，由此得到，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形； （2）直接利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出各边长即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵中，， ∴， 又∵是等边三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故四边形的周长为：． 【变式训练3-2】如图，已知四边形是平行四边形，（）． (1)求证三角形与三角形全等； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴； (2)证明：∵ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； (3) 【分析】（1）先由平行四边形得到，再由证明即可； （2）根据全等三角形的性质证明即可； （3）由四边形是平行四边形，得到，则，由等腰三角形的性质得到，，那么由三角形外角性质得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴． 题型4 三角形中位线定理 例7. 如图，在平行四边形中，，对角线，相交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点定义求得，又四边形是平行四边形，所以，即是的中点，因为点是的中点，所以是的中位线，然后通过中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的长是． 例8. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得是的中点，结合是的中点，可判定为的中位线，利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵是的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． 【技巧总结】 1. 见中点优先连中位线；只有单个中点时，延长线段构造全等，造出双中点； 2. 两层结论分开用：要平行用平行关系，要长度用长度的倍数关系； 3. 多个中点围成四边形：四边都是中位线，对边平行相等，直接判定小四边形为平行四边形； 4. 区分概念：顶点到中点是中线，两边中点连线才是中位线，不可混用。 【变式训练4-1】如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，若，则的长为（    ） A．12 B．13 C．10 D．15 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理求解． 【详解】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ． 【变式训练4-2】如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，，过点E作交的延长线于点F，若，，则______． 【答案】2 【分析】由题意易得是的中位线，，则有，然后可得四边形是平行四边形，则，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点，， ∴是的中位线，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴． 题型5 平行四边形中的动点问题、折叠问题 例9．在四边形中，点 ，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图1，已知：，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设 ，当时，求的值． (2)如图2，若，，点，，，的速度都是1，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 【答案】(1)①，为整数且  ② (2)的所有可能取值是， ，，，为整数且 ． 【分析】（1）①，点，的速度都是，点，的速度都是，分别求出点，回到初始位置的周期和，回到初始位置的周期，再计算出它们的最小公倍数即可； ②利用周期性，求出时，，的长度即可求解； （2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形仅与，的长度有关，可求得为一个周期，以时间为轴，，的距离，，的距离为轴，在一个周期内有4次，即有4个交点，分别求出对应的时间即可求解． 【详解】（1）解：①∵，回到初始位置的周期为，，回到初始位置的周期为，又和的最小公倍数为， ∴点，，，恰好同时回到初始位置的时间，整数，且； ②由①得，当时，，的位置为， 当时，， ，的位置为， 当时，， ∴ ． （2）解：∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形仅与，的长度有关， ，，点，，，的速度都是1，与的最小公倍数为， 当，为整数，且， 点，，，恰好同时达到四边形的顶点处， ∴为一个周期， 如图，以时间为轴，，的距离，，的距离为轴， 在同一直角坐标系中画出图象，由图可得，在一个周期内有4次，即有4个交点，此时以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 由，，解得 ， 由，，解得 再由对称性，得 ，， ∴的所有可能取值是， ，，，为整数，且；． 例10．如图①，在中，，将沿AC翻折，使点B落在点E处，连结． (1)求证：． (2)如图②，若点E在直线下方，相交于点O，，，求的长． (3)在翻折过程中，若，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)或． 【分析】(1) 利用平行四边形对边相等和翻折性质，通过等量代换即可得证． (2) 由和推出，即；再由翻折性质得平分，从而；在中，过点作高，利用特殊角直角三角形性质和勾股定理即可求出． （3）情况讨论直线与直线的交点的位置：分别利用平行线性质、翻折性质得到直角三角形，再通过含、角的直角三角形边长关系，用表示与，求出比值． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 沿翻折，点落在点处， ， ． （2）解：，， ， ， 沿翻折得到， ， ， 在中，，， ， 过点作于点， 在中，， ，， 在中，， ， ， ， ， （3）解：设直线交直线于点，． 情况一如图，在延长线上， ，即， ， ，且在、之间， ， ，即， 在中，， ， ，， 由翻折知，，， 在、之间， ， 又， 在中，， ，， ， ， ， ． 情况二，点在线段上，如图 ， ， ，且在、之间， ， ， 在中，， ， ，， 由翻折知，，， 在、之间， ， 又， 在中，， ，， ， ， ， ， ． 综上所述，或． 【技巧总结】 1.动点 （1）设时间t，用含t式子表示动线段长度； （2）核心等式：平行四边形一组对边长度相等列一元一次方程； （1）额外约束：线段长度大于0，舍去不合理解。 2.折叠 （1）折叠本质：前后图形全等，对应边、对应角完全相等； （2）结合平行四边形本身对边相等、对角相等，找等量； （3）出现直角时，设未知数搭配勾股定理列方程求边长。 【变式训练5-1】如图，在平行四边形中，．动点P从点A出发，沿以的速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t（秒）． (1)________； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，直接写出t的值． 【答案】(1)24 (2) (3)存在，或 (4)或 【分析】（1）求出，根据含30度的直角三角形的性质得出； （2）根据勾股定理得到，由平行四边形的性质和平行线的性质可得，可证明，则可推出，根据建立方程求解即可； （3）可证明和是以为顶点的平行四边形的一组对边；当点在点左侧时，则四边形是平行四边形，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形，据此根据平行四边形的性质讨论求解即可； （4）分两种情况：点在点左侧和点在点右侧，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ； （2）解：∵， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 如图所示，设交于点O， 由题意得，， ∴， ∴， ， ， ， 解得：； （3）解：由题意得，， 由（1）得． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴和是以为顶点的平行四边形的一组对边； 如图所示，当点在点左侧时，则四边形是平行四边形， ， ， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形， ， ， 解得； 综上所述，或； （4）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 如图所示，当点在点左侧时，设点的对应点为， 由对称性可得， ∴是等边三角形， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， 解得； 如图所示，当点在点右侧时，设点的对应点为，点为直线上一点， ， ∴由轴对称的性质可得， ， ， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，或． 【变式训练5-2】如图，在中，点是的中点，连接．将沿翻折至，点的对应点，落在内．射线交于，与射线相交于．延长交于． (1)求证：； (2)连接，若，平分． ①求证：； ②若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是根据平行四边形的性质与全等三角形的性质找边、角之间的关系． （1）因为四边形是平行四边形，所以，可得内错角相等；由折叠的性质得，得到，推出，因为点E是中点，所以，又由翻折知，所以；利用全等三角形的判定定理即可证明； （2）①因为，所以是等腰三角形，由翻折可得；因为平分，所以；再结合平行四边形的性质，可得角的关系，进而推出；②由（1）的全等可得相关线段相等，结合平行四边形的性质得到线段间的关系；再结合①中，利用勾股定理建立线段的等式，通过等量代换推导得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴，即， ∵点E是中点， ∴， 由翻折知， ∴； ∵， ∴； （2）①证明：如图， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 由翻折可得，，即， ∵平分， ∴； ∵在中，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①知， ∴， ∴， ∴， ∵点E是中点， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，即， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型6 直角坐标系中的平行四边形存在性问题 例11．如图，直线：与轴交于点D，直线：经过定点且与轴交于点A．直线，交于点 (1)求直线的解析式； (2)在轴上是否存在一点E，使与的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 【答案】(1)； (2)存在，点E的坐标为或； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）先求出直线的解析式为，再求出点，利用待定系数法即可求解； （2）求出点的坐标，得到，设点，得到，再根据，求解即可； （3）分两种情况：当为平行四边形的边，当为平行四边形的对角线，分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 把点代入，得：， ∴点， 把点代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 如图： 当时，， ∴， ∴点， 当时，， ∴， ∴点， ∴， 设点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 如图： 当为平行四边形的边时，， ∴点的横坐标为或，纵坐标为， ∴点的坐标为或， 当为平行四边形的对角线时，， ∵，， ∴点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点，则点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点， ∴点的坐标为，即， 综上，点的坐标为或或． 例12．在平面直角坐标系中，直线的解析式为：，分别交轴，轴于点， (1)直接写出点，的坐标； (2)如图，过点的直线与轴交于点，与直线交于点，且，求点的坐标；（温馨提示：若思考有困难，可尝试通过平移直线，求出直线的解析式，进而求出点的坐标．） (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）如果求x轴上点B的坐标，那么令直线解析式中求解x；如果求y轴上点C的坐标，那么令直线解析式中求解y． （2）过点O作，交于点F，作于点G，设（），可得，面积法求得，由勾股定理求得，得，，得，得，由，得，得，，得，得直线的解析式，得直线解析式，联立，解得，即得． （3）因为平行四边形的顶点顺序不固定，所以分为边、为对角线两种情况，结合平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分的性质，设G、F的坐标，根据坐标关系列方程求解点F坐标． 【详解】（1）解：∵x轴上点纵坐标为， ∴代入，得， 解得， 故； ∵y轴上点横坐标为， ∴代入得， ∴． 故． （2）解：过点O作，交于点H，作于点I，设（）， 则， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边与的边上的高相等， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设直线解析式为， 代入，得， 解得， ∴， 联立， 解得， ∴． （3）解：存在或． 由（1）、（2）知，直线解析式为，，． 设，， ∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为边时， 向上平移，使点B落在y轴上的点，点D落在直线上的点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴； 向下平移，使点D落在y轴上的点，点B落在直线上的点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴； 当对角线时，取的中点P，过P作直线交y轴于点，交直线于点，使，连接， 则四边形是平行四边形， 由中点坐标公式得， 解得， ∴． 综上，存在满足条件的点，坐标为或． 【技巧总结】 1. 万能方法：对角线中点坐标相同，中点坐标公式： 2. 三点求第四点必分三类讨论：①AB作对角线 ②AC作对角线 ③BC作对角线 3. 快速列式：每组对角线横、纵坐标之和分别相等； 4. 防漏解：三类全部计算，不要只算一种情况；算出坐标后可回代验证对边是否平行相等。 【变式训练6-1】在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，直线分别交轴，轴于，两点，与相交于点． (1)求和的值； (2)如图1，动点在上且在第二象限，连接，动点，在上，，连接，，当时，求点的坐标和的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将点沿射线方向平移个单位，平移后的点记为，过点作的角平分线交线段于点，在平移中，直线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)， (2)，最小值 (3)或 【分析】（1）根据以及点在上求的值，得到点的坐标，将点的坐标代入得到的值； （2）先根据面积关系列方程求点坐标，再利用平移和对称法求折线段最小值； （3）先求点坐标，再根据平行四边形对边平行且相等的性质，分三种情况讨论点坐标． 【详解】（1）解：点位于上， ， ， 点位于上， ， ， ，． （2）解：连接，，，， ， 设 ，由， ， 解得，则， 设， ，则，取点，连接，如图所示， 则， 且， 过点作关于的对称点， ，， 当且仅当，，三点共线时，原式取最小值． （3）解：， ， 又， ， 过点作的角平分线交线段于点， ∵平分， ， ， ， ∴， ， 又将点沿射线方向平移，， ， ∴， 将代入，得，解得， ， 同理可求得：，，， 设，， ①当为对角线时：有，，，， 可列方程组，解得， ； ②当为对角线时：有，，，， 可列方程组，解得， ； ③当为对角线时：有，，，， 可列方程组，解得， ，（舍）． 综上点坐标为或． 【变式训练6-2】如图（1），在平面直角坐标系中，直线（k是常数，）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为． (1)求点A的坐标； (2)P是x轴上一点，已知，求点P的坐标； (3)如图（2），已知AC平分，D为的中点．点M在直线上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）把点代入，求出k值，从而得到一次函数解析式，再令，求出x值，即可求得点A坐标； （2）分两种情况：①当点P在点A右侧时，②当点P在点A左侧时，分别求解即可； （3）过点C作于E，证明，得到，，从而求得点，再用待定系数法求得直线解析式为，然后令，求出x的值，即可得点P坐标，分两种情况：a)当为四边形对角线时，有平行四边形；b)当为四边形的边时，i)当点M、N在左侧时，则有平行四边形；ii)当点M、N在右侧时，则有平行四边形；分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得 解得：， ∴ 令，则， 解得：， ∴． （2）解：由得， 由得， 分两种情况：①当点P在点A右侧时，过点A作于D，且，连接与x轴交于点P，过点D作轴于E， 则， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴ ∴， 设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令，则 解得：， ∴； 当点P在点A左侧时，过点A作，且，连接，则与x轴交于点P， 同理可得， 同样用待定系数法可求得直线解析式为； 令，则， 解得：， ∴， 综上，点P的坐标为或． （3）解：过点C作于E，如图， ∵，， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵AC平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得 即 解得：， ∴， 设直线解析式为：， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为 分两种情况：a)当为四边形对角线时，有平行四边形，如图， ∵ ∴与互相平分， ∵D为的中点， ∴D为的中点， ∴此时，点N是直线与x轴的交点， ∵直线解析式为； 令，则， ∴； b)当为四边形的边时，i)当点M、N在左侧时，则有平行四边形， ∴， ∴点M的纵坐标与点B纵坐标相等，为8， 把代入，解得：， ∴ ∴ ∴， ii)当点M、N在右侧时，则有平行四边形， ∴， 则，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴此时； 综上，以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为或或． 1．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段的同侧取一点C，连接并延长至点E，使得A、B分别是、的中点，若，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵A、B分别是、的中点，， ∴． 2．如图，在平行四边形中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 3．如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先得到四边形，四边形为平行四边形，然后求出，，，最后由求解． 【详解】解：∵平行四边形 ∴ ∵，， ∴ ∴四边形，四边形为平行四边形， 由条件可知， ∵，， ∴，， ∴． 4．下列给出的条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题根据平行四边形的判定定理，逐一分析各选项，找出无法判定四边形是平行四边形的选项即可． 【详解】解：选项：，，满足该条件的四边形可以是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 选项：，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 选项：，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 选项：， ， 又， ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可以判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 5．在中，若，则的度数是____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的相等的性质可得，结合已知即可求解的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 6．如图，中，，，，，，则平行四边形的面积 ________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得，， ，从而得到，再结合直角三角形的性质可得，，，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ， ∴． 7．如图，在四边形中，，连接对角线，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为__________． 【答案】5 【分析】取的中点M，连接，根据三角形中位线的判定与性质求出，推导出是的垂直平分线，得到，求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：取的中点M，连接，如图 ∵点为的中点，点为的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，，则顶点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质和点的坐标平移规律即可得出答案． 【详解】解：∵平行四边形的顶点，，， ∴，， ∵点O向右平移4个单位到点A， ∴点C向右平移4个单位可得到点B， ∴点B的坐标为，即． 9．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 【答案】(1)证明：∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； (2)16 【分析】（1）由平行四边形性质，，再结合中点条件，利用“”即可证明． （2）根据题意得出为等腰三角形，由F是的中点，可得，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为等腰三角形， ∵点F是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得． 10．如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则为_____． 【答案】(1)证明：在中，，， ， ， ∴， 即， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）由平行四边形的判定与性质求证即可； （2）根据平行线的性质求出，根据平行四边形的性质得出，根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知四边形是平行四边形， ， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 11．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 【答案】(1)，20 (2) (3)存在，点的坐标为或 (4)或 【分析】（1）由平行四边形的性质可得点D的坐标，平行四边形的面积等于底乘高； （2）平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点，平分其面积的直线必经过对称中心； （3）先求出直线的解析式，分三种情况：为对角线时，为边且点N在x轴的负半轴时，为边且点N在x轴的正半轴时，根据对角线中点重合列方程组，即可求解； （4）先将一次函数解析式变形，求出其图像必经过的点，再分别求出其图像经过点D，B时k的值，结合图像即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，点在轴正半轴上，，， ，，， 点D的纵坐标与点A相同，横坐标为， 点的坐标是， 平行四边形的面积； （2）解：，， 对角线，的交点坐标为，即， 设经过点且平分平行四边形面积的直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， 所求直线的解析式为； （3）解：，点在轴正半轴上，， ，即， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设，， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，存在三种情况： 当为对角线时，如图： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的负半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的正半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即， 综上可得，存在，点的坐标为或； （4）解：， 一次函数的图象一定经过点， 当 的图象经过点时， ， 解得； 当的图象经过点时， ， 解得； 结合上图，可得当或时，的图象与平行四边形的边有2个交点． 12．【情境】如图1，有一张的铁板，经测量可知，，的面积为24． 【操作】点是上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）． (1)【探究】问题1：在中，______； (2)问题2：当切割线与相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定点位置；（不写作法，保留作图痕迹） (3)【拓展】问题3：当点是的中点时，求的长； (4)问题4：当点在的什么位置上时，的长最小？请求出这个最小值． 【答案】(1)135 (2) (3) (4)当时，的长最小，长的最小值是 【分析】（1）根据平行四边形对平行的性质即可求解． （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图法作图即可． （3）连接交于P，根据平行四边形的性质得到，即点P是的中点，过D作于H，于E，根据三角形的中位线的性质得到，，根据已知条件得到，解直角三角形即可得到结论． （4）（2）由题意得，，，于是得到，当时，的长最小，过D作于H，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：略； （3）解：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ，即点是的中点， 过作于，于， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：由题意得，，， ， ， 当时，的长最小， 过作于， 由问题3求得， ， ， ， ， ， ， 长的最小值是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平行四边形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 平行四边形三大性质 题型2 平行四边形五大判定定理 题型3 平行四边形的判定与性质综合 题型4 三角形中位线定理 题型5 平行四边形中的动点问题、折叠问题 题型6 直角坐标系中的平行四边形存在性问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.平行四边形三大性质 2.平行四边形五大判定定理 3.平行四边形的判定与性质综合 4.三角形中位线定理 5.直角坐标系中的平行四边形存在性问题 1. 固定题型分值布局 （1）选择、填空（基础保分，约40%分值） 1. 基础计算：利用性质求边长、角度、对角线长度、周长； 1. 判定辨析：给出条件判断能否构成平行四边形； 1. 中位线长度快速求值； 1. 多边形边数、内角度数计算； 1. 对称面积等分小题。 （2）中档解答证明题（核心主力，约45%分值） 1. 标准证明大题：先证平行四边形，再利用性质推线段/角相等； 2. 中位线综合证明：作中点连线构造平行四边形； 3. 全等+平行四边形联动证明； 4. 网格作图：画出平行四边形、画出中位线并标注长度。 （3）压轴探究大题（拉分区分，15%分值） 1. 动点问题：点在线段上移动，探究何时构成平行四边形； 2. 折叠问题：平行四边形折叠，结合勾股定理列方程求边长； 3. 多结论正误判断； 4. 坐标平面内平行四边形存在性（三点求第四点坐标）。 2. 四大核心命题趋势 趋势1：性质与判定互逆考查，刻意设置错误条件陷阱 高频坑：“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定平行四边形（反例等腰梯形）；“对角线相等”不属于平行四边形判定，只属于矩形特征，极易混淆。 趋势2：中位线是几何辅助线第一套路 只要出现多个中点，必考中位线；常搭配平行四边形形成双层平行、倍半线段结构，是压轴题标配辅助线思路。 趋势3：证明书写规范硬性打分 推理每一步必须标注依据（平行四边形性质/判定、中位线定理），跳步、无依据直接扣步骤分；几何语言严谨度决定得分高低。 趋势4：知识融合化，单独简单题变少 1. 全等三角形 + 平行四边形判定； 2. 勾股定理 + 平行四边形边长计算； 3. 平面直角坐标系坐标运算 + 平行四边形存在性； 4. 多边形公式单独填空打底。 考情解码： 1. 判定条件分类记忆：分边、角、对角线三类，逐条对比，单独标注2条错误反例； 2. 证明固定书写模板：先列已知条件→套判定定理→得出平行四边形→再用性质推结论； 3. 中点题强制思路：看见中点优先连中位线，无中点主动取中点构造中位线； 4. 坐标平行四边形套路：利用对角线中点坐标相同列方程，分三组对角线分类求解； 5. 折叠题型固定步骤：折叠全等→设未知数→平行四边形边长相等→勾股列方程求解； 知识点一 平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行 （2）两组对边分别相等 （3）一组对边平行且相等 （4）两组对角分别相等 （5）对角线互相平分 【易错提醒】 一组对边平行、另一组对边相等，不能作为平行四边形的判定（可能为等腰梯形） 即时即练如图，在平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且．连接，交于点H，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求的度数． 知识点二 平行四边形的性质 （1）边：对边平行且相等 （2）角：对角相等，相邻两角相加等于 （3）对角线：两条对角线互相平分 （4）对称：中心对称图形，对角线交点为对称中心 【易错提醒】 （1）边角对应匹配错误 平行四边形对角相等、邻角互补，不相邻非对角的角度没有相等关系；字母无序书写时容易搞错哪组角、边对应相等。 （2）对角线误区 对角线只互相平分，长度不一定相等、不一定垂直；相等、垂直是特殊平行四边形特征，普通平行四边形不具备。 即时即练如图，在中，是对角线与交点，，垂足分别为点和点． (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 知识点三 三角形中位线定理 （1）定义：连接三角形两条边中点的线段叫中位线 （2）定理内容：中位线平行于三角形第三边，长度等于第三边的 （3）作用：证明两直线平行、推导线段倍长关系、辅助构造平行四边形 【易错提醒】 （1）概念混淆 中位线是两边中点连线；中线是顶点到对边中点线段，二者完全不同，不可混用。 （2）倍半关系颠倒 正确：中位线长平行且等于底边的一半；不要写成底边平行且等于中位线的一半。 （3）平行条件遗漏 定理有两层结论：平行+长度一半，做题只写长度相等，漏掉平行的证明依据。 即时即练如图，的对角线与相交于点O，E为的中点，，，．求和的长度． 题型1 平行四边形三大性质 例1. 如图，的对角线交于点，且，的周长为，则的两条对角线的和是（     ） A． B． C． D． 例2. 如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 【技巧总结】 1. 求边长、周长：直接用对边相等，周长=2(邻边之和)；对角线只平分，不参与周长计算。 2. 求角度：已知一角，对角直接相等，邻角用相减。 3. 线段计算：对角线交点平分两条对角线，分成四段两两相等； 4. 证明等量：要证边等、角等，先看图形是不是平行四边形，是就直接套性质，不用再证全等。 【变式训练1-1】如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，边于，两点；分别以点，为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为（ ）． A．3 B．4 C．5 D．7 【变式训练1-2】在平行四边形中，，，则__________． 题型2 平行四边形五大判定定理 例3．如图，的对角线与相交于点O，点E，F分别在和上．请你添加适当的条件，使四边形是平行四边形，并说明理由． 例4．一张平行四边形纸片，． (1)如图，折叠平行四边形纸片，可以得到和的平分线，其中的平分线交于点E，的平分线交于点F．请证明：四边形是平行四边形． (2)你还有哪些方法能折出一个平行四边形？选择其中一种，说明你的方法的正确性． 【技巧总结】 1. 有边平行/相等条件：优先用一组对边平行且相等，步骤最简； 2. 有对角线线段相等：直接用对角线互相平分判定； 2. 有角度相等条件：选用两组对角分别相等； 4. 避雷技巧：看到“一组平行，另一组相等”不判定，举等腰梯形反例排除； 5. 书写套路：逐条摆出条件，对应一条判定定理再下结论。 【变式训练2-1】如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 【变式训练2-2】如图，的对角线、相交于点O，E，F在上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 题型3 平行四边形的判定与性质综合 例5．如图，在平行四边形中，点，分别是边，的中点，分别连接，交对角线于点，，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 例6．如图，在平行四边形中，点、分别在和上，且． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【技巧总结】 1. 固定顺序：先判定，后用性质；不能没证平行四边形就先用对边相等。 2. 条件来源：全等三角形、平行线内错角、中点线段，常用来凑判定所需的等角、等边； 3. 求证目标：证线段相等、角相等、线段平分，一律先证四边形是平行四边形简化证明。 【变式训练3-1】如图中，已知，，分别以的直角边及斜边向外作等边，等边．，垂足为F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求四边形的周长． 【变式训练3-2】如图，已知四边形是平行四边形，（）． (1)求证三角形与三角形全等； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，求的度数． 题型4 三角形中位线定理 例7. 如图，在平行四边形中，，对角线，相交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（     ） A． B． C． D． 例8. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为_____． 【技巧总结】 1. 见中点优先连中位线；只有单个中点时，延长线段构造全等，造出双中点； 2. 两层结论分开用：要平行用平行关系，要长度用长度的倍数关系； 3. 多个中点围成四边形：四边都是中位线，对边平行相等，直接判定小四边形为平行四边形； 4. 区分概念：顶点到中点是中线，两边中点连线才是中位线，不可混用。 【变式训练4-1】如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，若，则的长为（    ） A．12 B．13 C．10 D．15 【变式训练4-2】如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，，过点E作交的延长线于点F，若，，则______． 题型5 平行四边形中的动点问题、折叠问题 例9．在四边形中，点 ，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图1，已知：，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设 ，当时，求的值． (2)如图2，若，，点，，，的速度都是1，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 例10．如图①，在中，，将沿AC翻折，使点B落在点E处，连结． (1)求证：． (2)如图②，若点E在直线下方，相交于点O，，，求的长． (3)在翻折过程中，若，求的值． 【技巧总结】 1.动点 （1）设时间t，用含t式子表示动线段长度； （2）核心等式：平行四边形一组对边长度相等列一元一次方程； （1）额外约束：线段长度大于0，舍去不合理解。 2.折叠 （1）折叠本质：前后图形全等，对应边、对应角完全相等； （2）结合平行四边形本身对边相等、对角相等，找等量； （3）出现直角时，设未知数搭配勾股定理列方程求边长。 【变式训练5-1】如图，在平行四边形中，．动点P从点A出发，沿以的速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t（秒）． (1)________； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，直接写出t的值． 【变式训练5-2】如图，在中，点是的中点，连接．将沿翻折至，点的对应点，落在内．射线交于，与射线相交于．延长交于． (1)求证：； (2)连接，若，平分． ①求证：； ②若，求证：． 题型6 直角坐标系中的平行四边形存在性问题 例11．如图，直线：与轴交于点D，直线：经过定点且与轴交于点A．直线，交于点 (1)求直线的解析式； (2)在轴上是否存在一点E，使与的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 例12．在平面直角坐标系中，直线的解析式为：，分别交轴，轴于点， (1)直接写出点，的坐标； (2)如图，过点的直线与轴交于点，与直线交于点，且，求点的坐标；（温馨提示：若思考有困难，可尝试通过平移直线，求出直线的解析式，进而求出点的坐标．） (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【技巧总结】 1. 万能方法：对角线中点坐标相同，中点坐标公式： 2. 三点求第四点必分三类讨论：①AB作对角线 ②AC作对角线 ③BC作对角线 3. 快速列式：每组对角线横、纵坐标之和分别相等； 4. 防漏解：三类全部计算，不要只算一种情况；算出坐标后可回代验证对边是否平行相等。 【变式训练6-1】在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，直线分别交轴，轴于，两点，与相交于点． (1)求和的值； (2)如图1，动点在上且在第二象限，连接，动点，在上，，连接，，当时，求点的坐标和的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将点沿射线方向平移个单位，平移后的点记为，过点作的角平分线交线段于点，在平移中，直线上存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标． 【变式训练6-2】如图（1），在平面直角坐标系中，直线（k是常数，）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为． (1)求点A的坐标； (2)P是x轴上一点，已知，求点P的坐标； (3)如图（2），已知AC平分，D为的中点．点M在直线上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 1．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段的同侧取一点C，连接并延长至点E，使得A、B分别是、的中点，若，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．下列给出的条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（     ）． A．， B．， C．， D．， 5．在中，若，则的度数是____． 6．如图，中，，，，，，则平行四边形的面积 ________． 7．如图，在四边形中，，连接对角线，若点为的中点，点为的中点，连接，则的长为__________． 8．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，，则顶点的坐标为_____． 9．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 10．如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，则为_____． 11．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 12．【情境】如图1，有一张的铁板，经测量可知，，的面积为24． 【操作】点是上的一动点（点与点，不重合）．将平行四边形铁板分别沿，剪成三块，并按图2所示拼接成钻石五边形（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）． (1)【探究】问题1：在中，______； (2)问题2：当切割线与相互垂直时，请利用尺规作图在图3中确定点位置；（不写作法，保留作图痕迹） (3)【拓展】问题3：当点是的中点时，求的长； (4)问题4：当点在的什么位置上时，的长最小？请求出这个最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $