专题01 三角形的证明（暑假复习讲义）新九年级数学新教材北师大版

专题01 三角形的证明 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 利用三角形的内角和定理求解 题型2 多边形的内角和与外角和问题 题型3 三角形中的折叠问题 题型4 利用等腰(等边)三角形的性质求解 题型5 含30°的直角三角形性质的应用 题型6 利用垂直平分线的性质求解 题型7 利用角平分线的性质求解 题型8 全等三角形与HL综合问题 题型9 等腰三角形性质和判定的综合问题 题型10 等边三角形性质和判定的综合问题 题型11 等腰(等边)三角形中的动点问题 题型12 等腰(等边)三角形有关的新定义问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.三角形内角和与外角、多边形内外角和 2.等腰、等边三角形性质与判定 3.直角三角形四大核心性质与HL全等 4.线段垂直平分线（中垂线）性质与逆定理 5.角平分线性质与逆定理 6.全等三角形的判定综合问题 7.反证法+尺规作图 1. 题型分层命题 基础层（选择、填空，6–10分） 单一定理直接套用：角度计算、简单边长、内外心判断、HL辨析、多边形边数求解；陷阱集中在分类讨论、概念混淆。 2）中档解答（8–12分，必考） 二合一综合：全等+等腰、中垂线+周长、角平分线+距离、Rt△+勾股；标准书写证明格式。 3）拔高压轴（期中期末最后一题，10分左右） 三大压轴载体：①等腰/等边动点；②折叠多步角度边长推导；③手拉手等边旋转全等；少量新定义题型。 2. 命题四大固定趋势 1）知识整合化，极少单一考点出题 一道题融合2–4个模块：例如中垂线→等腰三角形→内角和；全等→等边→直角三角形串联计算。 2）分类讨论是核心区分拉分点 高频讨论场景：等腰边长分腰/底、角度分顶角/底角；动点构成等腰直角三角形多位置解；外心内心位置区分。 3）弱化纯背诵，强化推理与模型 不再默写定理，重在图形中提取条件；固定模型反复考：八字/飞镖角度模型、手拉手全等、三线合一辅助线、倍长中线构造全等。 4）重视规范书写与严谨性 扣分重灾区：证明无依据、三线合一乱用、HL用在普通三角形、忽略定理前提（角平分线逆定理需“角内部”、距离需垂直）。 考情解码： 1. 先建定理体系：区分性质（由图形得边角关系）、判定（由边角关系证图形），互逆定理成对记忆； 1. 分类讨论强制流程：看到等腰先写“分两种情况”，算完代入三边/内角和检验； 1. 证明题优先级：能先用中垂线、角平分线、三线合一证相等，就少用全等，简化书写； 1. 模型固化：手拉手、折叠、倍长中线、八字飞镖整理专属解题步骤模板； 1. 书写标准化：每一步末尾标注所用定理名称，杜绝口语化推导。 知识点一 三角形内角和定理 1. 核心公式：任意 ， 2. 重要推论 ① 三角形外角 = 不相邻两个内角之和；外角大于任意一个不相邻内角 ② 直角三角形两锐角互余： 3. 拓展多边形： 边形内角和 ；任意多边形外角和恒为 【易错提醒】 计算外角时错加相邻内角；折叠、八字模型角度等量代换计算失误；忽略钝角三角形内角大小范围。 即时即练已知：如图，点D在的内部．求证： (1)； (2)． (3)如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 知识点二 等腰三角形 1. 性质 （1）等边对等角：两腰相等 两个底角相等 （2）三线合一：仅底边上，顶角平分线、底边中线、底边上的高三条线重合 （3）轴对称图形，对称轴为底边垂直平分线 2. 判定 （1）两边长度相等的三角形是等腰三角形 （2）两角角度相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 3. 特殊：等边三角形 （1）性质：三边全部相等，三个内角都是 ，三条线都满足三线合一，3 条对称轴 （2）判定：三边相等；三角相等；等腰三角形 一个内角为 【易错提醒】 已知边长不分类讨论腰和底，忘记验证三边关系；已知角度不分顶角、底角；只有底边才满足三线合一，腰上的高、中线、角平分线不重合。 即时即练在中，，点在边上，（如图）． (1)若在的边上，且，求的度数； (2)若，在的边上，是等腰三角形，求的度数；（简写主要解答过程即可） 知识点三 直角三角形 1. 基础性质 （1）两锐角互余： （2）斜边中线定理：斜边中线长度 斜边 （3） 角特性： 角所对的直角边 斜边；逆命题也成立 （4）勾股定理：直角边 、，斜边 ， 2. 判定 （1）有一个内角等于 （2）三边满足 （勾股逆定理） （3）三角形一条边上的中线 这条边 3. 全等特殊判定 HL：仅适用于直角三角形，斜边与一条直角边对应相等，两 Rt△全等 【易错提醒】 勾股定理误把直角边当作斜边；HL全等仅能用于直角三角形；记错30°边长倍数关系；斜边中线性质做题时常遗忘。 即时即练如图，在中，，是高，． (1)若，求出的长度； (2)求证：． 知识点四 线段的垂直平分线 1. 性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两个端点的距离相等 2. 判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 3. 三角形外心 三角形三边垂直平分线交于外心；外心到三个顶点距离相等 · 锐角三角形：外心在内部；直角三角形：外心在斜边中点；钝角三角形：外心在外部 【易错提醒】 混淆外心与内心；没有垂直条件，直接判定两点距离相等；周长替换计算漏写相等线段。 即时即练如图，中，，， (1)利用尺规作图，作出的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求的长． 知识点五 角平分线 1. 性质：角平分线上任意一点，到角两条边的垂线段长度相等 2. 判定：在角的内部，到角两边垂线段长度相等的点，在这个角的平分线上 3. 三角形内心：三角形三条角平分线交于内心；内心到三角形三边距离相等 【易错提醒】 距离必须是垂线段长度，斜线段长度不能当作距离；分不清内心（内切圆）和外心（外接圆）；无垂直就套用距离相等性质。 即时即练如图，在中，点 是 上的一点，且 ． (1)实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 题型1 利用三角形的内角和定理求解 例1. 如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（     ） A． B． C． D． 例2. 在中，已知，，则________． 【技巧总结】 【变式训练1-1】如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】在中，，则________． 题型2 多边形的内角和与外角和问题 例3．如果一个多边形的内角和是，则这个多边形是（     ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 例4．正多边形纸片的缺失如图，正边形纸片被撕掉左边一部分后，发现其中两边，所在直线夹的锐角，则的值为__________． 【技巧总结】 【变式训练2-1】历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 题型3 三角形中的折叠问题 例5．如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 例6．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别在边、上，将沿着折叠压平使与重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 【变式训练3-1】如图，在中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，点落在边上的点处．若，则的度数为________． 【变式训练3-2】如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为__________． 题型4 利用等腰(等边)三角形的性质求解 例7. 如图，在中，，D是边上一点，且，过点A作于点E，过点C作于点G，与交于点H，延长交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 例8. 如图，是的中线，且，，． (1)判断的形状； (2)求点D到边的距离． 【技巧总结】 【变式训练4-1】如图，在中，，作的垂直平分线，交于点，交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 【变式训练4-2】如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 题型5 含30°的直角三角形性质的应用 例9．在中，，，若，则（   ）． A．56 B．12 C． D． 例10．如图，在等腰三角形中，，，，，则________． 【技巧总结】 【变式训练5-1】如图，在等边三角形中，，，，则的长为（     ） A．4 B．2 C． D． 【变式训练5-2】如图，平分，，，，，则_____________． 题型6 利用垂直平分线的性质求解 例11．如图，在等腰中，，垂直平分． (1)若的周长为35，求的长度； (2)若，求的周长． 例12．如图，在中，，． (1)用尺规作线段的垂直平分线，分别交和于点E，F； (2)在上述图中连接，求的度数． 【技巧总结】 【变式训练6-1】如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 【变式训练6-2】如图，在中，． (1)用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求证：． 题型7 利用角平分线的性质求解 例13. 如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 例14. 如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． (1)求证：AD平分； (2)请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【技巧总结】 【变式训练7-1】如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． (1)求证：； (2)若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 【变式训练7-2】如图，在四边形中，，是的中点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，判断的形状，并说明理由． 题型8 全等三角形与HL综合问题 例15．如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，．求证：． 例16．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点． (1)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明． (2)求证：是等腰三角形． 【技巧总结】 【变式训练8-1】如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式训练8-2】如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 题型9 等腰三角形性质和判定的综合问题 例17．如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 例18．如图，在中，点D、E在边上，连接、，点D是的中点，若，．求证：为等腰三角形． 【技巧总结】 【变式训练9-1】如图，在等腰中，，，沿射线折叠，使点恰好落在的延长线上的点处，射线与腰交于点． (1)尺规作图：作出射线和点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，连接，若，求线段的长． 【变式训练9-2】如图，在中，，点在的右侧，连接、，平分，过点作交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 题型10 等边三角形性质和判定的综合问题 例19. 如图，在中，，过点作，垂足为，且是边的中点． (1)求证：是等边三角形； (2)尺规作图：在线段上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 例20. 如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【技巧总结】 【变式训练10-1】如图，中，，的平分线交于，交的延长线于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【变式训练10-2】如图，中，，点在上，点在上，，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于点，，，求的长． 题型11 等腰(等边)三角形中的动点问题 例21．（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 例22．（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ 【技巧总结】 【变式训练11-1】如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． (1)当　　时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 【变式训练11-2】在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点A的对应点为点F． (1)如图1，若点F恰好落在边上，判断的形状，并证明； (2)如图2，若点F落在内，且的延长线恰好经过点C，，求的度数； (3)如图3，当点F恰好落在外，交于点，连接，若，，在中，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿边向点D运动，同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点D出发沿边向点F运动，当动点P运动到点D时，动点Q停止运动．设运动时间为t秒，请求出当为直角三角形时，t的值． 题型12 等腰(等边)三角形有关的新定义问题 例23．通过对“勾股定理”的学习，我们知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)根据奇异三角形的定义，等边三角形_______（“是”或“不是”）奇异三角形． (2)在中，其三边长分别为，，，且，，这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据． 例24．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等腰直角三角形一定_______（填“是”或“不是”）可爱三角形； ②若三角形的三边的长分别是，试判断该三角形是否为可爱三角形，并说明理由； (2)若是可爱三角形，，，求的长． 【技巧总结】 【变式训练12-1】我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫黑神话悟空三角形． (1)①根据“黑神话悟空三角形”的定义，请判断：等边三角形一定______（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形； ②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形______（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形； (2)若是黑神话悟空三角形，，，求的长． 【变式训练12-2】数学活动课上，张老师在黑板写下新定义：“若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，同学们好奇地围拢过来，开启了对“倍角三角形”的探究之旅…… (1)张老师给出三个三角形示例，让大家快速判断：一定是“倍角三角形”的是_____（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)同学们动手折纸，构造几何模型：如图1，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点，交于点，连接． ①张老师抛出猜想：一定符合“倍角三角形”的定义！”请你帮同学们证明这个结论； ②点在线段上，连接，若，分所得的两个三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数． 1．如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（    ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．十边形 3．如图是甘肃平凉延恩寺塔，又名大明宝塔，始建于多年前的明弘治年间．从上面看该塔，得到的平面图形是八边形，该八边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 4．在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． 5．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应先假设______． 6．已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的周长为_____ 7．如图，在中，，，完成下列尺规作图： (1)作边上的高； (2)作，使，且点E在边上． 8．如图，，分别是的角平分线和高． (1)已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？ (2)与有怎样的关系？为什么？ 9．如图，已知，连接，． (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图，则 °； ②若，，试用m、n表示的度数． (2)当点E在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用m、n表示，如不存在，请写出理由． 10．如图，在中，，为边上的高，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)当，时，求的长． 11．已知为等边三角形，点D是边上一动点，连接，将沿翻折，点C的对应点为E． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，连接，若所在直线与垂直，求的值； (3)如图3，过点A的直线，射线与直线交于点F，若，，求线段的长． 12．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (2)性质探究：如图1，垂美四边形的对角线交于点O．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． (3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．已知，，求的长． 13．已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：． (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 14．若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)【操作感知】如图1，已知点O，A，B在的网格格点上（小正方形的顶点），若M为格点，请在图1的网格中直接画出一个以为勾股边且对角线相等的勾股四边形． (2)【探究论证】如图2，和都是等腰直角三角形，，将绕点B旋转，当时，求证：四边形是以为勾股边且对角线相等的勾股四边形． (3)【迁移探究】如图3，和都是等边三角形，将绕点B旋转，连接，若，在旋转的过程中，当四边形是以为勾股边的勾股四边形时，请直接写出线段的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的证明 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 利用三角形的内角和定理求解 题型2 多边形的内角和与外角和问题 题型3 三角形中的折叠问题 题型4 利用等腰(等边)三角形的性质求解 题型5 含30°的直角三角形性质的应用 题型6 利用垂直平分线的性质求解 题型7 利用角平分线的性质求解 题型8 全等三角形与HL综合问题 题型9 等腰三角形性质和判定的综合问题 题型10 等边三角形性质和判定的综合问题 题型11 等腰(等边)三角形中的动点问题 题型12 等腰(等边)三角形有关的新定义问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.三角形内角和与外角、多边形内外角和 2.等腰、等边三角形性质与判定 3.直角三角形四大核心性质与HL全等 4.线段垂直平分线（中垂线）性质与逆定理 5.角平分线性质与逆定理 6.全等三角形的判定综合问题 7.反证法+尺规作图 1. 题型分层命题 基础层（选择、填空，6–10分） 单一定理直接套用：角度计算、简单边长、内外心判断、HL辨析、多边形边数求解；陷阱集中在分类讨论、概念混淆。 2）中档解答（8–12分，必考） 二合一综合：全等+等腰、中垂线+周长、角平分线+距离、Rt△+勾股；标准书写证明格式。 3）拔高压轴（期中期末最后一题，10分左右） 三大压轴载体：①等腰/等边动点；②折叠多步角度边长推导；③手拉手等边旋转全等；少量新定义题型。 2. 命题四大固定趋势 1）知识整合化，极少单一考点出题 一道题融合2–4个模块：例如中垂线→等腰三角形→内角和；全等→等边→直角三角形串联计算。 2）分类讨论是核心区分拉分点 高频讨论场景：等腰边长分腰/底、角度分顶角/底角；动点构成等腰直角三角形多位置解；外心内心位置区分。 3）弱化纯背诵，强化推理与模型 不再默写定理，重在图形中提取条件；固定模型反复考：八字/飞镖角度模型、手拉手全等、三线合一辅助线、倍长中线构造全等。 4）重视规范书写与严谨性 扣分重灾区：证明无依据、三线合一乱用、HL用在普通三角形、忽略定理前提（角平分线逆定理需“角内部”、距离需垂直）。 考情解码： 1. 先建定理体系：区分性质（由图形得边角关系）、判定（由边角关系证图形），互逆定理成对记忆； 1. 分类讨论强制流程：看到等腰先写“分两种情况”，算完代入三边/内角和检验； 1. 证明题优先级：能先用中垂线、角平分线、三线合一证相等，就少用全等，简化书写； 1. 模型固化：手拉手、折叠、倍长中线、八字飞镖整理专属解题步骤模板； 1. 书写标准化：每一步末尾标注所用定理名称，杜绝口语化推导。 知识点一 三角形内角和定理 1. 核心公式：任意 ， 2. 重要推论 ① 三角形外角 = 不相邻两个内角之和；外角大于任意一个不相邻内角 ② 直角三角形两锐角互余： 3. 拓展多边形： 边形内角和 ；任意多边形外角和恒为 【易错提醒】 计算外角时错加相邻内角；折叠、八字模型角度等量代换计算失误；忽略钝角三角形内角大小范围。 即时即练已知：如图，点D在的内部．求证： (1)； (2)． (3)如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【答案】(1)证明：延长交于点E，如图， ， ， ， ， ； (2)证明：延长交于点E，如图， ，， ． (3) ，证明如下： 连接，如图， ，， ， ． 【分析】（1）运用三角形外角的性质可得，，由此可证明． （2）运用三角形外角的性质来进行推理即可． （3）运用三角形内角和的性质来进行推理即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 知识点二 等腰三角形 1. 性质 （1）等边对等角：两腰相等 两个底角相等 （2）三线合一：仅底边上，顶角平分线、底边中线、底边上的高三条线重合 （3）轴对称图形，对称轴为底边垂直平分线 2. 判定 （1）两边长度相等的三角形是等腰三角形 （2）两角角度相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 3. 特殊：等边三角形 （1）性质：三边全部相等，三个内角都是 ，三条线都满足三线合一，3 条对称轴 （2）判定：三边相等；三角相等；等腰三角形 一个内角为 【易错提醒】 已知边长不分类讨论腰和底，忘记验证三边关系；已知角度不分顶角、底角；只有底边才满足三线合一，腰上的高、中线、角平分线不重合。 即时即练在中，，点在边上，（如图）． (1)若在的边上，且，求的度数； (2)若，在的边上，是等腰三角形，求的度数；（简写主要解答过程即可） 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据三角形外角的性质和角的和差关系得到． （2）首先根据已知条件得到，，再根据当，，时，分三种情况讨论，得出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， 分三种情况讨论： 如图，当时， ， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 如图，当时， ， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 知识点三 直角三角形 1. 基础性质 （1）两锐角互余： （2）斜边中线定理：斜边中线长度 斜边 （3） 角特性： 角所对的直角边 斜边；逆命题也成立 （4）勾股定理：直角边 、，斜边 ， 2. 判定 （1）有一个内角等于 （2）三边满足 （勾股逆定理） （3）三角形一条边上的中线 这条边 3. 全等特殊判定 HL：仅适用于直角三角形，斜边与一条直角边对应相等，两 Rt△全等 【易错提醒】 勾股定理误把直角边当作斜边；HL全等仅能用于直角三角形；记错30°边长倍数关系；斜边中线性质做题时常遗忘。 即时即练如图，在中，，是高，． (1)若，求出的长度； (2)求证：． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】（1）根据含直角三角形的性质，进行求解即可； （2）根据在中，，，得出，，进而得出，据此即可求得结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵是高， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 知识点四 线段的垂直平分线 1. 性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两个端点的距离相等 2. 判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 3. 三角形外心 三角形三边垂直平分线交于外心；外心到三个顶点距离相等 · 锐角三角形：外心在内部；直角三角形：外心在斜边中点；钝角三角形：外心在外部 【易错提醒】 混淆外心与内心；没有垂直条件，直接判定两点距离相等；周长替换计算漏写相等线段。 即时即练如图，中，，， (1)利用尺规作图，作出的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图作出的垂直平分线，即可求解； （2）根据垂直平分线的性质可得，设，进而在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 设， ∵是的垂直平分线， ∴， 在中，，， ∴， 在中， ∴ 解得： ∴ 知识点五 角平分线 1. 性质：角平分线上任意一点，到角两条边的垂线段长度相等 2. 判定：在角的内部，到角两边垂线段长度相等的点，在这个角的平分线上 3. 三角形内心：三角形三条角平分线交于内心；内心到三角形三边距离相等 【易错提醒】 距离必须是垂线段长度，斜线段长度不能当作距离；分不清内心（内切圆）和外心（外接圆）；无垂直就套用距离相等性质。 即时即练如图，在中，点 是 上的一点，且 ． (1)实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明：是的平分线， ． 在和中 ． ． 【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径作弧，与、相交，分别以交点为圆心，大于两个交点之间距离的一半为半径作弧，交于一点，过点B和两弧的交点作射线，交于点E； （2）结合角平分线的定义，可得，证明，即可证得结论； 【详解】（1）略 （2）略 题型1 利用三角形的内角和定理求解 例1. 如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，从而可得，再结合对顶角相等即可得出结果． 【详解】解：如图，标记，及点． 由题意得， ． ，， ． 例2. 在中，已知，，则________． 【答案】 【详解】解：在中，， ， 又， ． 【技巧总结】 【变式训练1-1】如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练1-2】在中，，则________． 【答案】 【分析】根据三个角的比例关系设未知数，列方程即可求解的度数． 【详解】解：设，则，， 则， 解得， ∴． 题型2 多边形的内角和与外角和问题 例3．如果一个多边形的内角和是，则这个多边形是（     ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形 【答案】D 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得， 解得， 因此这个多边形是八边形． 例4．正多边形纸片的缺失如图，正边形纸片被撕掉左边一部分后，发现其中两边，所在直线夹的锐角，则的值为__________． 【答案】 10 【分析】根据正多边形每个外角都相等的性质，可求得的度数，再利用多边形外角和除以外角的大小即可求． 【详解】解：如图：延长交的延长线于点，延长交的延长线于点， 正边形的每个外角相等， ，， ， ， ，且， ， ， ， ． 【技巧总结】 【变式训练2-1】历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：八边形的内角和为． 【变式训练2-2】若一个多边形的每一个外角为，则边数的值是__________． 【答案】 【分析】根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和为，计算边数即可得到结果． 【详解】解：由题意得，该多边形每一个外角为， 因此边数． 题型3 三角形中的折叠问题 例5．如图，在三角形纸片中，将纸片的一角沿折叠，使点C落在内，记为点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质，三角形的内角和定理以及平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由折叠的性质，得，． ，， ， ． 例6．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别在边、上，将沿着折叠压平使与重合，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质得，再由平角的定义得，再根据三角形内角和定理得，代入即可求解． 【详解】解：由折叠可知，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 则． 【技巧总结】 【变式训练3-1】如图，在中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，点落在边上的点处．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理得出，求出，再由折叠的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴． 【变式训练3-2】如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为__________． 【答案】或 【分析】分两种情况，和，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可. 【详解】解：由折叠的性质得：， 设， 由题意，分以下两种情况： ①如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即； ②如图，当时， ∴ ∵， ∴， 解得：， 即 综上，的大小为或． 题型4 利用等腰(等边)三角形的性质求解 例7. 如图，在中，，D是边上一点，且，过点A作于点E，过点C作于点G，与交于点H，延长交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先求解，，进一步利用三角形的外角的性质可得答案； （2）证明．，结合垂直与内角和定理可得，结合，进一步证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 例8. 如图，是的中线，且，，． (1)判断的形状； (2)求点D到边的距离． 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【分析】（1）计算三边的平方和，根据勾股定理，得出是直角三角形，即，证明，所以是等腰三角形； （2）运用三角形的面积公式，即可求出． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 是的中线， 点D是的中点，即， ， 是直角三角形，， 即， ， , ， 是等腰三角形． （2）解：过点D作，交于点E，如下图 ， 即， ， 点D到边的距离为． 【技巧总结】 【变式训练4-1】如图，在中，，作的垂直平分线，交于点，交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 【答案】(1)等边三角形，理由见详解 (2) 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的特点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得，则，在结合三角形内角和定理得，即可确定的形状； （2）根据（1）可推得，根据直角三角形的特点得，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 则为等边三角形； （2）解：由（1）可知，为等边三角形， 则，即为的中点， ∵垂直平分，即点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的周长为． 【变式训练4-2】如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)证明：，， 平分， ， 又， 是等边三角形； (2) (3)证明：，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质求出的度数，结合，根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形； （2）先利用等腰三角形的性质求出的度数，再结合等边三角形的性质求出的度数，在中利用含角的直角三角形的性质求出的长度，进而得到的长； （3）先根据角的和差关系推出，再利用等边三角形和等腰三角形的性质得到对应边、角相等，通过证明，结合全等三角形的性质与线段的和差关系证明． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由（1）得，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ； （3）略 题型5 含30°的直角三角形性质的应用 例9．在中，，，若，则（   ）． A．56 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】利用含角的直角三角形的性质求出斜边，再结合勾股定理计算边长即可． 【详解】解：中，，，a是的对边，， 斜边， 直角边． 例10．如图，在等腰三角形中，，，，，则________． 【答案】 【分析】根据三线合一，含角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴， ∴. 【技巧总结】 【变式训练5-1】如图，在等边三角形中，，，，则的长为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由垂线的定义得到，根据平行线的性质可得，再利用等边三角形的性质得到，，求出，由含30度角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练5-2】如图，平分，，，，，则_____________． 【答案】 【分析】首先根据三角形内角和定理求出的度数，结合角平分线的定义得出的度数，进而利用三角形内角和定理判定为直角三角形，最后根据含度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 是直角三角形， 在中，，， ． 题型6 利用垂直平分线的性质求解 例11．如图，在等腰中，，垂直平分． (1)若的周长为35，求的长度； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，再将的周长转化为，据此求出长； （2）由（1）知，的周长为，据此求解即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， 的周长为35， ， ， ． ； （2）解：由（1）知，的周长为． 例12．如图，在中，，． (1)用尺规作线段的垂直平分线，分别交和于点E，F； (2)在上述图中连接，求的度数． 【答案】(1)如图：线段的垂直平分线即为所求， (2) 【分析】（1）分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在线段两旁分别交于点、，过点、作直线，直线即线段的垂直平分线，分别交和于点E，F； （2）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵在中，，， ∴， 由（1）可得垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【技巧总结】 【变式训练6-1】如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为点D，交于点E，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得，从而，再由等腰三角形的性质，可得，计算即可求解； （2）根据等腰三角形的定义可得，再根据线段垂直平分线的性质，可得，最后根据三角形周长公式和等量代换，计算即可求解． 【详解】（1）解：是的垂直平分线，， ， ， ，， ， ； （2）解：的周长为，， ， 是的垂直平分线， ， ， 的周长为． 【变式训练6-2】如图，在中，． (1)用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，求证：． 【答案】(1)解：如图所示： (2)证明：连接， 是线段的垂直平分线， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 【分析】（1）分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线，交于点，交于点； （2）先证明，再证明，再证得，即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 题型7 利用角平分线的性质求解 例13. 如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 例14. 如图，在中，，D是上一点，若过点D作，垂足为F，点E在上，，． (1)求证：AD平分； (2)请你判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）先运用证明可得，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先运用证明可得，再根据线段的和差以及等量代换即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分． （2）解：，理由如下： 在与中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【技巧总结】 【变式训练7-1】如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等． (1)求证：； (2)若的周长为12，面积为18，求点到三边的距离． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）过点分别作于点，于点于点，根据角平分线的判定定理得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）连接，根据即可求解 【详解】（1）证明：过点分别作于点，于点于点，如图． ，平分， ， 平分， ． ， ， ， ． （2）解：连接，如图． 根据题意，得 ， ， ． 点到三边的距离为3. 【变式训练7-2】如图，在四边形中，，是的中点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）先得出，，再根据角平分线的判定定理即可得证； （2）先得出，再根据平行线的性质可得，进而求出即可． 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∵， ∴， 又∵，且点在的内部， ∴点在的角平分线上， ∴平分． （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， 由（1）已证：平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴是等边三角形． 题型8 全等三角形与HL综合问题 例15．如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【分析】由，得，由得，可证，可得，即可证明． 【详解】略 例16．如图，的高与相交于点，，的延长线交于点． (1)从图中找出几对全等直角三角形，并给出证明． (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)，，，，， 证明：∵与是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴． (2)证明：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）根据题意容易证明，则，进而证明和，则，，因此．由等腰三角形的性质可得，，，从而证明和． （2）证明步骤见（1）． 【详解】（1）略 （2）略 【技巧总结】 【变式训练8-1】如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）证，利用全等三角形的性质证明，结合即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【变式训练8-2】如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）由得到，即可证明，得到，根据三角形外角的性质即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ． 题型9 等腰三角形性质和判定的综合问题 例17．如图，已知：在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)连接并延长交于点，求证：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）由，，，根据“”证明，得，，所以，推导出，则； （2）连接并延长交于点，由，，推导出，而，，可根据“”证明，得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明． 【详解】（1）点、分别在边、上，与相交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． （2）连接并延长交于点， ，， ， ， 由（1）得， ， 在和中， ， ， ， ，平分， ． 例18．如图，在中，点D、E在边上，连接、，点D是的中点，若，．求证：为等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】由等角对等边得出，由题意可得，从而得出，结合题意即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为等腰三角形． 【技巧总结】 【变式训练9-1】如图，在等腰中，，，沿射线折叠，使点恰好落在的延长线上的点处，射线与腰交于点． (1)尺规作图：作出射线和点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，连接，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、图形折叠的轴对称性质、三角形内角和定理及含特殊角的直角三角形的边角关系； 解题关键是利用折叠的对称性得到边、角的等量关系，再通过角度推导构造含特殊角的直角三角形，进而求解线段长度． （1）根据折叠的轴对称性，是的角平分线，以为圆心，为半径画弧，交延长线于，作的角平分线，交于即可． （2）先由等腰算出，再由折叠性质得，进而推出，为等腰直角三角形．过作于，在中由求出、；再在中利用角的正切求出，最后由得到结果． 【详解】（1）解： 作的平分线， 交于点，延长，截取，点、 射线即为所求． （2）过点作于点， 如图所示． 等腰三角形中， ， 沿射线折叠， 使点恰好落在的延长线上的点处， ， ， ， ， ． ， 由勾股定理得 ． 在中，， ． 【变式训练9-2】如图，在中，，点在的右侧，连接、，平分，过点作交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质证即可； （2）根据等角的余角相等，结合等角对等边得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ，     平分， ，     ，     是等腰三角形． （2）解：， ，，     ， ，，     ，     ． 题型10 等边三角形性质和判定的综合问题 例19. 如图，在中，，过点作，垂足为，且是边的中点． (1)求证：是等边三角形； (2)尺规作图：在线段上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 【分析】1）先证垂直平分，得到，再由证得三边相等，由此证得结论； （2）作的角平分线即可求解． 【详解】（1）证明：，是边的中点， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：如图所示， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 例20. 如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，进而即可求证； （）证明，得到，再根据已知条件即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 又由（）可得，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【技巧总结】 【变式训练10-1】如图，中，，的平分线交于，交的延长线于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到，再根据角平分线的定义得到，最后根据外角的性质得到的度数． （2）首先通过证明，得到对应边相等，继而证明为等边三角形，得到，继而得到的长度． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式训练10-2】如图，中，，点在上，点在上，，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若于点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)14 【分析】（1）由，，判定为等边三角形，得，；结合，用可证； （2）由得，根据外角的性质进行求解即可； （3）根据，，可得中，则；结合，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 为等边三角形， ，． ， ； （2）解：， ． ， ， ； （3）解：，， ， ． ， ． 题型11 等腰(等边)三角形中的动点问题 例21．（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得，和，即可证明，则有； （2）由题意得，，进一步得，结合等边三角形的性质即可证明，有； （3）作交于H，则，，，有为等边三角形，进一步得，即可证明，则． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立， 理由如下：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）， 理由如下：作交于H，如图， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 例22．（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1)①或；②不会发生变化， (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，一元一次方程动点问题，等腰三角形的判定，较为综合，根据题意分情况讨论是本题的关键． （1）①当是直角三角形时，分或时两种情况列方程，即可算出t的值；②根据证得，得到，根据三角形外角的性质得到，即可证明； （2）当是等腰三角形时，，然后即可证明，即可根据题意求出t的值． 【详解】（1）解：①∵等边的边长为3cm， ∴，， 根据题意得：，， ∵是直角三角形， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ， 解得． 当的值为1或2时，是直角三角形． ②不会发生变化，． 是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． ， ． 故不会发生变化，． （2）解：， 当是等腰三角形时，， ． ， ， ，即． ， ，解得． 故当的值为1时，是等腰三角形． 【技巧总结】 【变式训练11-1】如图1所示，在边长为的等边中，动点以的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为，． (1)当　　时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，且动点，均以的速度同时出发．那么当取何值时，是直角三角形？请说明理由； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，且动点，均以的速度同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．试问线段的长度是否变化？若变化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度． 【答案】(1) (2)当为或时，是直角三角形 (3)的长度不变化，为 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由题意可得，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解； （2）分两种情况：当时，当时，分别利用直角三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可得解； （3）过点作交的延长线于，证明，得出，，证明，得出，求出，即可得解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵动点以的速度从点出发，沿线段向点运动，设点的运动时间为，， ∴； （2）解：∵是直角三角形， ∴分两种情况：当时，如图： 则， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图： 则， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形； （3）解：的长度不变化，为， 如图，过点作交的延长线于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长度不变化，为． 【变式训练11-2】在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点A的对应点为点F． (1)如图1，若点F恰好落在边上，判断的形状，并证明； (2)如图2，若点F落在内，且的延长线恰好经过点C，，求的度数； (3)如图3，当点F恰好落在外，交于点，连接，若，，在中，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿边向点D运动，同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点D出发沿边向点F运动，当动点P运动到点D时，动点Q停止运动．设运动时间为t秒，请求出当为直角三角形时，t的值． 【答案】(1)等边三角形，证明见解析； (2)； (3)t的值为或． 【分析】（1）平行线的性质，得到，折叠得到，进而得到，三角形内角和得到，即可得出结论； （2）同（1）可得：，进而得到，折叠，等边对等角，结合三角形的外角推出，求解即可； （3）分或，两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，证明如下： ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：同（1）法可得：， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：同（2）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意，得：，，则： ∴当运动到点时，点恰好运动到点， 当为直角三角形时，或， ①当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； ②当，则：，    ∴， ∴，解得：， 综上：或． 题型12 等腰(等边)三角形有关的新定义问题 例23．通过对“勾股定理”的学习，我们知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)根据奇异三角形的定义，等边三角形_______（“是”或“不是”）奇异三角形． (2)在中，其三边长分别为，，，且，，这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据． 【答案】(1)是 (2)当c是斜边时，这个三角形不是奇异三角形；当是斜边时，这个三角形是奇异三角形 【分析】（1）设等边三角形三边均为x，根据奇异三角形的定义判断即可． （2）分当是斜边时，当是斜边时，计算求第三边的长，然后根据奇异三角形的定义求解作答即可． 【详解】（1）解：设等边三角形三边均为x， ∵， ∴两边的平方和等于第三边的平方的2倍， 即等边三角形是奇异三角形； （2）解：当是斜边时，， ，， 此时，这个三角形不是奇异三角形； 当是斜边时，， ， 此时，这个三角形是奇异三角形； 综上所述，当c是斜边时，这个三角形不是奇异三角形；当是斜边时，这个三角形是奇异三角形． 例24．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． (1)①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等腰直角三角形一定_______（填“是”或“不是”）可爱三角形； ②若三角形的三边的长分别是，试判断该三角形是否为可爱三角形，并说明理由； (2)若是可爱三角形，，，求的长． 【答案】(1)①不是，②该三角形是可爱三角形，理由见解析； (2)的长为或． 【分析】本题考查了新定义“可爱三角形”，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长，根据“可爱三角形”的定义即可判断； ②直接根据“可爱三角形”的定义即可判断； （2）分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：①设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长， ， ∴等腰直角三角形一定不是“可爱三角形”， 故答案为：不是； ②由题意得：， ，， ， ∴该三角形是可爱三角形； （2）解：是直角三角形，， ，即， ∵是可爱三角形，， ∴有三种情况： ，即 ， ， （负值已舍去）； ，即 （负值已舍去）； ，此种情况不成立． 综上，的长为或． 【技巧总结】 【变式训练12-1】我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫黑神话悟空三角形． (1)①根据“黑神话悟空三角形”的定义，请判断：等边三角形一定______（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形； ②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形______（选填“是”或“不是”）黑神话悟空三角形； (2)若是黑神话悟空三角形，，，求的长． 【答案】(1)①是；②是 (2)的长为或． 【分析】本题考查了勾股定理，新定义“黑神话悟空三角形”，等边三角形的性质等知识，理解新定义“黑神话悟空三角形”的定义是解本题的关键． （1）①设等边三角形的边长为，则，在由“黑神话悟空三角形”的定义即可得出结论； ②由，即可得出结论； （2）分；；三种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：①设等边三角形的边长为， ∵， ∴等边三角形一定是“黑神话悟空三角形”， 故答案为：是； ②∵， ∴该三角形是“黑神话悟空三角形”， 故答案为：是； （2）解：∵是直角三角形，， ∴，即． ∵是黑神话悟空三角形，， ∴有三种情况： ①，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ②，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ③，此种情况不成立． 综上，的长为或． 【变式训练12-2】数学活动课上，张老师在黑板写下新定义：“若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，同学们好奇地围拢过来，开启了对“倍角三角形”的探究之旅…… (1)张老师给出三个三角形示例，让大家快速判断：一定是“倍角三角形”的是_____（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)同学们动手折纸，构造几何模型：如图1，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点，交于点，连接． ①张老师抛出猜想：一定符合“倍角三角形”的定义！”请你帮同学们证明这个结论； ②点在线段上，连接，若，分所得的两个三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1)②③； (2)①见解析；②或或19°或． 【分析】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键． （1）利用“倍角三角形”的定义依次判断即可求解； （2）①由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论；②分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解． 【详解】（1）解：若一个三角形是顶角为的等腰三角形， 则两个底角均为， ， 顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”； 若一个三角形是等腰直角三角形， 则三个角分别为，，， ， 等腰直角三角形是“倍角三角形”； 若一个三角形是有一个角为的直角三角形， 则另两个角分别为，， ， 有一个的直角三角形是“倍角三角形”， 故答案为：②③． （2）①证明：， ， ∵将沿边所在的直线翻折得到， ，，， ， ， 是“倍角三角形”； ②解：由①可得， 如图， ∵是等腰三角形， ∴， ∵是“倍角三角形”， 或或或， 当时，， ； 当时，， ； 当时， ∵ ∴， ， ； 当时， ∵ ， ， ． 综上所述：或或19°或． 1．如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角，，， ∴． 2．一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（    ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．十边形 【答案】D 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据多边形内角和定理，边形的内角和为，其中且为整数． ∵该多边形内角和为 ∴可得方程 解得． 3．如图是甘肃平凉延恩寺塔，又名大明宝塔，始建于多年前的明弘治年间．从上面看该塔，得到的平面图形是八边形，该八边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵多边形的外角和等于， ∴该八边形的外角和为． 4．在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． 【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【详解】 解：两个完全一样的三角尺， 且， 根据角的平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， 平分． 5．用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应先假设______． 【答案】 【分析】根据反证法的步骤，第一步假设命题结论不成立，写出原结论的否定即可求解． 【详解】解：用反证法证明命题时，需先假设结论不成立， 原命题结论为，其否定为， 因此第一步应先假设． 6．已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的周长为_____ 【答案】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，可知底边上的中线即为底边上的高，利用勾股定理求出底边一半的长度，再得到底边长，最后计算三角形的周长即可． 【详解】解：等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为， 由等腰三角形三线合一的性质可得，该中线垂直于底边，即该中线为底边上的高， 底边的一半长 底边长 等腰三角形的周长． 7．如图，在中，，，完成下列尺规作图： (1)作边上的高； (2)作，使，且点E在边上． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)如图，即为所求， 【分析】（1）以点为圆心，以大于点到的距离为半径画弧，交于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于一点，作射线，交于，即为所求； （2）以点为圆心，长为半径画弧交于点，此时，，，利用即可得出，即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 8．如图，，分别是的角平分线和高． (1)已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？ (2)与有怎样的关系？为什么？ 【答案】(1) ， 还可以求，，． (2)解：与的关系为． ∵在中，， ∵是角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴，即， 在中，， 又∵， 代入得：， ∴与的关系为：． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的性质可求解的度数，再由直角三角形可求解的度数，由此可求的度数，再根据三角形内角和定理还可以求解，，的度数． （2）先由三角形内角和得到，以及，再根据，代入表示即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴，即， 在中，， ∴， 还可以求解，，的度数， 在中，， ∴， 在中，． （2）略 9．如图，已知，连接，． (1)当点E在三角形内部时， ①若，，如图，则 °； ②若，，试用m、n表示的度数． (2)当点E在三角形的外部时，，，与之间是否存在确定的数量关系？如存在，请直接用m、n表示，如不存在，请写出理由． 【答案】(1)①50；② (2)存在，与之间的数量关系是：或或或 【分析】（1）①延长交于点F，由三角形外角性质得，，进而得，据此可得的度数； ②由（1）可知，据此可得的度数； （2）依题意分四种情况讨论如下：①当点E在边的右侧，且交于点P时，由是和的外角得，据此可得与之间的数量关系；②当点E在边的左侧，且与相交于点P时，由是和的外角得，据此可得与之间的数量关系；③当点E在点A的上方，且，与边，没有交点时，由（1）②的结论得，据此可得与之间的数量关系；④当点E在的下方时，根据四边形的内角和等于得，据此可得与之间的数量关系；综上所述即可求解． 【详解】（1）解：①延长交于点F，如图1所示： ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ②由（1）可知：， ∵，， ∴． （2）解：存在，与之间的数量关系是：或或或． 理由如下： 当点E在的外部时，有以下四种情况： ①当点E在边的右侧，且与相交于点P时，如图3①所示： ∵是和的外角， ∴， ∴； ②当点E在边的左侧，且与相交于点P时，如图3②所示： ∵是和的外角， ∴， ∴； ③当点E在点A的上方，且，与边，没有交点时，如图3③所示： 由（1）②的结论得：， ∴； ④当点E在的下方时，如图3④所示： 根据四边形的内角和等于得，， ∴， 综上所述：与之间的数量关系是：或或或． 10．如图，在中，，为边上的高，过点作于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 是等腰三角形． (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，根据余角的性质得出，从而证明，即可得出； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，再根据线段间的数量关系，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ， ． 由勾股定理可得， ， 解得：， ，， ． 11．已知为等边三角形，点D是边上一动点，连接，将沿翻折，点C的对应点为E． (1)如图1，若，，求线段的长； (2)如图2，连接，若所在直线与垂直，求的值； (3)如图3，过点A的直线，射线与直线交于点F，若，，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过D作于H，利用含的直角三角形的性质、勾股定理等求出，，利用翻折的性质以及三角形内角和定理可求出，利用等角对等边可求出，即可求解； （2）延长交于M，在取点F，使，利用翻折的性质可求出，利用三角形内角和定理求出，利用等腰三角形三线合一性质得出，利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求出，利用等边对等角和三角形外角的性质求出，设，利用含的直角三角形的性质以及勾股定理求出，，利用勾股定理求出，利用含的直角三角形的性质，即可求解； （3）分点F在A的右侧和左侧两种情况讨论，利用角平分线的性质与判定可证平分，然后利用可证，得出，在、中，利用勾股定理可得出，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：过D作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于M，在取点F，使， ∵， ∴， ∵翻折， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）解：当F在A的右侧时，如图，过D作于G，过B作于H，于N，于M，连接， ∵翻折， ∴，，，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ∴； 当F在A的左侧时，如图，过D作于G，过B作于H，于N，于M，连接， 同理可证平分， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ∴； 综上，的长为或． 12．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (2)性质探究：如图1，垂美四边形的对角线交于点O．猜想：与有什么关系？并证明你的猜想． (3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．已知，，求的长． 【答案】(1)解：四边形是垂美四边形． 理由如下：如图2，连接、， ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， ，即四边形是垂美四边形； (2)解：， 理由如下： 如图1中， ， ， 由勾股定理得，， ， ； (3) 【分析】（1）连接、，根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）如图3，连接、，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图3，连接、， 正方形和正方形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即， 四边形是垂美四边形， 由（2）得，， ，， ， ，， ， ． 13．已知：在中，是的中点，是边延长线上的一点，，连接、． (1)如图（1），如果，证明：． (2)如图（2），过点作，交的延长线于点，连接，如果，证明：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，即可得出结论； （2）证明，得，，再证明是等边三角形，得到，然后证明，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：，是的中点， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）证明：， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ． 14．若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)【操作感知】如图1，已知点O，A，B在的网格格点上（小正方形的顶点），若M为格点，请在图1的网格中直接画出一个以为勾股边且对角线相等的勾股四边形． (2)【探究论证】如图2，和都是等腰直角三角形，，将绕点B旋转，当时，求证：四边形是以为勾股边且对角线相等的勾股四边形． (3)【迁移探究】如图3，和都是等边三角形，将绕点B旋转，连接，若，在旋转的过程中，当四边形是以为勾股边的勾股四边形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）利用勾股定理计算画图即可； （2）先证明，得到，易求，进而得到，利用勾股定理得到，从而得到，然后根据题中定义可判断四边形是勾股四边形； （3）连接，，过点B作于点F，证明，得到，进而得到，即是直角三角形，且，求出，进而求出，利用勾股定理求出，，分点在线段上，点在延长线上，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图所示，四边形，即为所求； 连接，，， ， ，，， ， 四边形，即为所求； （2）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是以为勾股边且对角线相等的勾股四边形； （3）解：连接，，过点B作于点F， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴． 即， 在和中，， ∴， ∴， ∵四边形是以为勾股边的勾股四边形， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在中，，，， ∴，， ∴， 当点在线段上时，如图， ∴； 当点在延长线上时，如图， ∴； 综上，线段的长为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $