专题06 分式方程（暑假复习讲义）新九年级数学新教材北师大版

专题06 分式方程 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 分式方程的定义 题型2 解分式方程 题型3 分式方程的增根问题 题型4 分式方程无解问题 题型5 分式方程的实际应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 分式方程的定义 2. 解分式方程 3. 分式方程的增根问题 4. 分式方程无解问题 5. 分式方程的实际应用 6. 根据解的限制求参数范围 1. 固定题型分值布局 （1）选择、填空（基础保分，约38%分值） 1. 概念辨析：判断分式方程、识别增根数值； 1. 浅度参数：已知增根求简单字母值； 1. 基础判断：方程有无解、解正负快速判定； 1. 微小应用题空：直接列分式方程式子。 （2）中档解答计算题（核心主力，约47%分值） 1. 基础解方程大题（必考）：2–3道常规分式方程，无检验步骤直接扣2–3分； 1. 基础参数题：增根求参数、解为正数求范围； 1. 纠错题型：展示错误解方程步骤，找出去分母漏乘、忘检验等漏洞； 1. 简单应用题：单等量关系工程/行程列式求解。 （3）压轴探究大题（拉分区分，15%分值） 1. 无解双情况分类求参数（期末、中考压轴高频）； 1. 解为整数的多约束参数筛选； 1. 多条件复杂应用题：双等量、对比方案择优； 1. 新定义题型：自定义分式方程运算，转化常规方程求解。 2. 四大核心命题大趋势 趋势1：检验是硬性评分红线，全程设置无检验扣分陷阱 阅卷统一标准：解方程、应用题必须书写检验行，只计算不检验直接大幅扣分；增根、无解题型必须写出检验推理过程，口头判断不算得分步骤。 趋势2：无解双分类是核心区分点，刻意只给单一情况挖坑 多数学生只记得“增根=无解”，忽略整式方程本身无解的第二种情况，命题固定设置两类答案，漏一种直接丢一半分数。 趋势3：应用题贴合真实生活场景，等量关系隐蔽化 不再直白给等式，需要自主提炼“时间差、效率差、单价差”建立分式等量；未知数默认代表人数、天数、速度，隐含取值必须为正，检验时同步筛除不合理数值。 趋势4：参数题捆绑双重限制，多条件叠加考查逻辑 求参数时同时限制“解为正+不能是增根”“解为整数+排除增根”，必须多层不等式约束，缺一不可。 考情解码： 1. 固化解方程四步模板：去分母→解整式方程→代入公分母检验→书写最终结论； 2. 无解题型强制分两步书写：①增根情况计算 ②整式方程无解方程计算，最后合并； 3. 参数求值验算习惯：算出参数后代回原方程，验证是否匹配增根/正负要求； 4.应用题建模三步法：圈出比率量（速度/效率）→找时间/工作量等量差→列式、双检验； 知识点一 分式方程的定义 1. 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 区分：分母只有常数、 的是整式方程，不是分式方程。 【易错提醒】 未知数必须在分母，分子含未知数不是判断标准。 即时即练下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 知识点二 解分式方程 1. 去分母：两边同乘最简公分母，化为整式方程 2. 解整式方程 3. 检验（重中之重）：把解代入最简公分母 - 公分母 ：是原方程的解 - 公分母 ：是增根，舍去 4. 写出最终结论 【易错提醒】 （1）去分母时常数项必须乘公分母，最容易漏乘！ （2）分子是多项式，去分母必须加括号。 （3）不检验直接扣分，分式方程检验是固定步骤。 即时即练解方程：． 【答案】 【分析】根据解分式方程的一般步骤解方程即可，注意验根． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 去括号得：， 解得：， 检验：当时，， 是原分式方程的根． 知识点三 分式方程无解问题 分式方程无解分两种情况 1. 情况 1：有增根 整式方程有解，但该解使原分母为 0（增根），原方程无解。 2. 情况 2：整式方程本身无解 化为 后，，，整式方程直接无解。 【易错提醒】 增根只是无解其中一种情况；无解包含两类：①整式方程的解是增根；②整式方程自身无解（一元一次ax=b中a=0,b≠0），做题必须分两类完整讨论，只算增根会漏答案。 即时即练已知关于的分式方程无解，求的值． 【答案】 【分析】先去分母求出，再根据无解的条件求解即可 【详解】解：原方程化为， 方程两边同时乘以，得， 解方程，得， 该分式方程无解， ，即， ． 知识点四 分式方程的应用 1. 常见题型：工程问题、行程问题、销售单价问题 2. 解题步骤：设未知数→列方程→解方程→双重检验 ① 检验是否为增根 ② 检验是否符合实际（正数、整数） 【易错提醒】 （1）必须双重检验：验增根 + 验实际意义 （2）时间、速度、效率不能为负数、不能为 0 即时即练2025年11月5日，我国第一艘电磁弹射型航空母舰——福建舰正式入列，不仅标志着中国海军进入“三航母时代”，更是一次战斗力的质的飞跃，深刻影响着中国海军的战略运用和未来发展．福建舰的电磁弹射系统包含A，B两款适配歼舰载机的弹射器，单次弹射歼的总耗能约为120兆焦耳，已知A款弹射器每秒消耗的能量是B款弹射器的1.5倍，且A款弹射器完成一次弹射的时间比B款弹射器少1秒，求A，B两款弹射器每秒消耗的能量各是多少？ 【答案】A款弹射器每秒消耗的能量是60兆焦耳，B款弹射器每秒消耗的能量是40兆焦耳 【分析】设B款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳，则A款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设B款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳，则A款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：A款弹射器每秒消耗的能量是60兆焦耳，B款弹射器每秒消耗的能量是40兆焦耳． 题型1 分式方程的定义 例1. 下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程是分式方程，逐一判断即可求解． 【详解】解：选项A、B、D中的方程，分母中都不含未知数，所以都不是分式方程；只有选项C符合分式方程的定义，是分式方程． 例2. 有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是_____．（填序号） 【答案】③④⑤⑨ 【分析】本题考查了分式方程的定义．根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程称为分式方程．逐项判断各方程的分母是否含有未知数即可． 【详解】解：方程①的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程②的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程③的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程④的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑤的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑥无分母或分母为常数，故不是分式方程； 方程⑦的分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程⑧不是方程，故不考虑； 方程⑨的分母为和，均含有未知数，故是分式方程． 因此，分式方程为③④⑤⑨． 故答案为：③④⑤⑨． 【易错警示】 1. 判定标准：分母含有未知数的方程；分母只有常数、π的属于整式方程； 2. 易混区分：整式方程（分母无未知数）、分式方程（分母含未知数）。 【变式训练1-1】下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 【变式训练1-2】下列关于x的式子是分式方程的是________．（请填写序号） ①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】该题考查了分式方程的定义，分式方程是指分母中含有未知数的方程．判断时需满足两个条件：一是方程为等式，二是分母中含有未知数． 【详解】解：方程①的分母中含未知数，故是分式方程；②不是方程，故不是分式方程；方程③的分母是常数，不含未知数，故不是分式方程；方程④的分母中含未知数，故是分式方程． 故答案为：①④． 题型2 解分式方程 例3．解分式方程：． 【答案】 【分析】首先去分母，把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程求出未知数的值，再把求出的结果代入最简公分母检验是否增根． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：将代入，可得：， 是原分式方程的解． 例4．解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：， 变形，得， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的增根， ∴原方程无解． 【技巧总结】 1. 一化：两边同乘最简公分母，消分母转化为一元一次整式方程； 2. 二解：按整式方程步骤求解； 3. 三检验（必写步骤）：解代入最简公分母 公分母≠0：是原方程有效根； 公分母=0：该根为增根，直接舍去； 4. 收尾规范：标注方程的解或“原方程无解”。 【变式训练2-1】解分式方程：． 【答案】 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【变式训练2-2】解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)分式方程无解； (2) 【详解】（1）解： 解得， 检验：当时，， ∴此分式方程无解； （2）解： 解得， 检验：当时，． ∴原分式方程的解是． 题型3 分式方程的增根问题 例5．对于关于的分式方程，以下说法错误的是（    ） A．分式方程的增根是或 B．若分式方程有增根，则 C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解和增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条件是解题的关键．将原方程去分母并整理，然后将增根（分母为0的未知数的值）代入，解得值即可． 【详解】解：∵的公分母是 ∴ ∴ ∴ 方程两边同时乘上 得 把分别代入 得出（舍去）；，则 ∴分式方程的增根是 故A选项是错误的；故D选项是正确的；B选项是正确的； 若分式方程无解，则 ∴ 则或 故C是正确的； 故选：A 例6．关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 【技巧总结】 1. 增根双条件：①是去分母后整式方程的解；②使原分式最简公分母=0； 2. 已知增根求参数步骤： ①令最简公分母=0，算出增根数值； ②增根代入整式方程，求解字母参数。 【变式训练3-1】如果关于的分式方程有增根，那么增根可能是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，先把分式方程转化为整式方程，再根据分式方程有增根可得整式方程的解为或，进而代入整式方程即可判断求解，理解增根的定义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， 整理得，， ∵分式方程有增根， ∴整式方程的解为或， 当时，； 当时，不是整式方程的解； ∴分式方程的增根可能是， 故选：． 【变式训练3-2】已知是关于的方程，若方程有增根，方程的增根为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是使分式方程分母为零的根，据此解答即可求解，理解增根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程有增根， ∴或， 解得， ∴方程的增根为， 故答案为：． 题型4 分式方程无解问题 例7. 若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先去分母后得到的整式方程，再根据原方程无解，即有增根，解答即可求出m的值． 【详解】解：． 方程两边同乘去分母，得： 整理得． ∵原方程无解，即原方程有增根，则， ∴是方程的增根，将代入得： ， 解得． 例8. 如果关于的分式方程无解，那么实数的值为________． 【答案】6 【分析】先将原分式方程化为整式方程，根据分式方程无解确定方程的增根，再将增根代入整式方程求解的值即可. 【详解】解：， 去分母得，， 移项整理得，， 解得：， 原分式方程无解， 分母， 解得， 将代入得： ， 解得：. 故答案为 【易错警示】 无解分两类，必须完整讨论： 1. 类型1：整式方程有解，但解是增根； 2. 类型2：整式方程本身无解（形如ax=b，a=0、b≠0时无实数解）； 两类情况分别算出参数，最后合并取值。 【变式训练4-1】设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的值为（     ） A．4 B．2 C．1 D．2或0 【答案】D 【分析】先根据新运算的定义将原方程转化为分式方程，再整理为整式方程，分一次方程无解、分式方程产生增根两种情况讨论，求出的可能值即可 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 去分母得 整理得 方程无解分两种情况： ① 当一次项系数为时，方程无解，即 ，得，此时，等式不成立，方程无解. ② 分式方程产生增根时，原方程分母，得增根，把代入，得 ，解得. 综上，的值为或 【变式训练4-2】若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 【答案】1或2 【分析】将原方程去分母并整理，然后根据题意分两种情况求得m的值即可． 【详解】解： 原方程去分母得：， 整理得：， 当时，该方程无解，符合题意， 解得：， 当时，原分式方程无解， 那么， 即， 则， 解得：， 综上，m的值为1或2． 题型5 根据解的限制求参数范围 例9．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【分析】求解含参数的分式方程，根据解为正数得到关于的不等式，同时结合分式有意义的条件，排除增根对应的参数值，最终得到的取值范围． 【详解】解： 去分母得， 展开得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∵方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， ∴，且， 由解得， 由得， 解得且， ∵已排除， ∴的取值范围是且． 例10．已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 【答案】5、4、2、1 【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵解为非负数， ∴， ∴， ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1． 故答案为：5、4、2、1． 【技巧总结】 1. 解为正数/负数：先解整式方程，用参数表示未知数，列不等式，额外排除增根对应的参数值； 2. 解为整数：用参数表示未知数，结合整数整除条件，筛选整数参数，同步剔除增根情况。 【变式训练5-1】若关于x的分式方程有正整数解，若m为正整数，则______． 【答案】1 【分析】将分式方程化为整式方程，求解得到x的表达式，根据x为正整数且m为正整数，确定m的可能值，并检验分母不为零即可． 【详解】解：原方程可化为， 两边同乘，得：， 整理得：， 解得：． ∵分式方程有正整数解， ∴是2的正因数，即或，解得或． ∵m为正整数， ∴， 当时，，代入原方程，分母，，符合题意． 【变式训练5-2】已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解分式方程得到关于的表达式，再根据分式方程的解为正数且分式有意义，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘，得 整理得 ∵方程的解是正数， ∴，即， 解得， ∵分式有意义时分母不为零， ∴，即，解得， ∴的取值范围是且． 题型6 分式方程的实际应用 例11．列方程解下列问题． 重庆作为“世界摩托之都”，摩托车产业享誉全球，张雪机车更是以领先第二名近4秒的成绩勇夺中量级冠军，彰显重庆制造的品质．某机车制造厂生产标准机车和高速机车两种车型，已知该厂每天生产高速机车的数量比生产标准机车的数量多44台，3天生产标准机车的数量和1天生产高速机车的数量一样多． (1)求该厂每天生产标准机车、高速机车数量分别是多少台？ (2)由于市场需求量增加，工厂升级了生产线，升级后每天只生产一种机车，日产量提高．每天生产高速机车的增加数量是生产标准机车的增加数量的3倍．已知生产240台标准机车、360台高速机车共用时8天．求每天生产标准机车的增加数量． 【答案】(1)该厂每天生产标准机车22台，高速机车66台 (2)每天生产标准机车的增加数量为23台 【分析】（1）设该厂每天生产标准机车x台，则生产高速机车台，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设每天生产标准机车的增加数量为m台，则每天生产高速机车的增加数量为台，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设该厂每天生产标准机车x台，则生产高速机车台， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：该厂每天生产标准机车22台，高速机车66台. （2）解：设每天生产标准机车的增加数量为m台，则每天生产高速机车的增加数量为台， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解， 答：每天生产标准机车的增加数量为23台． 例12．人工智能的广泛应用，正深刻改变着我们的工作与生活方式．某图书馆计划购进一批图书分拣机器人和搬运机器人，已知分拣机器人的单价比搬运机器人的单价少3万元，且用12万元购买分拣机器人的数量是用18万元购买搬运机器人的数量的2倍． (1)分拣机器人和搬运机器人的单价各是多少？ (2)若该图书馆计划购进两种机器人共30台，每台分拣机器人每小时能分拣2000册图书，每台搬运机器人每小时能搬运1000册图书．图书的分拣和搬运需两种机器人协同工作，为确保系统流畅运行，在30台机器人一起投入使用的情况下，需满足分拣与搬运同一批图书所用的时间相等，应该怎样购进这两种机器人？ 【答案】(1)分拣机器人每台1.5万元，搬运机器人每台4.5万元 (2)购进分拣机器人10台，搬运机器人20台 【分析】（1）设分拣机器人每台x万元，则搬运机器人每台万元，根据等量关系：用12万元购买分拣机器人的数量是用18万元购买搬运机器人的数量的2倍，列出分式方程并求解即可； （2）设购进分拣机器人a台，则搬运机器人台，根据两种机器人分拣与搬运同一批图书所用的时间相等，则这两种机器人每小时分拣和搬运图书数量相等，列出一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：设分拣机器人每台x万元，则搬运机器人每台万元． 依题意，得，解得． 经检验：为原分式方程的解且符合题意． ∴搬运机器人单价为：（万元/台）． 答：分拣机器人每台1.5万元，则搬运机器人每台4.5万元． （2）解：设购进分拣机器人a台，则搬运机器人台． ∵两种机器人分拣与搬运同一批图书所用的时间相等， ∴两种机器人每小时分拣和搬运图书数量相等． ∴， 解得． ∴（台）． 答：购进分拣机器人10台，则搬运机器人20台． 【技巧总结】 1. 三大经典模型：工程问题（工作效率）、行程问题（速度时间）、销售利润单价问题； 2. 五步解题流程：审题→设未知数→列分式方程→解方程→双重检验（方程根无增根、实际数量为正整数）→作答。 【变式训练6-1】某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条200米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.2倍，结果提前了6天完成了其中180米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米； (2)由于天气等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过32天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，每天至少应多挖掘多少米？ 【答案】(1)6米 (2)4米 【分析】（1）设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘米，根据结果提前了6天完成了其中180米的隧道挖掘任务，列方程求解； （2）设每天还应多挖掘m米．根据完成该项工程的工期不超过32天，列不等式进行分析． 【详解】（1）解：设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘米， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的根． 则实际每天挖掘为（米）． 答：实际每天挖掘6米； （2）解：设每天应多挖掘m米， 根据题意得， 解得， 答：至少每天应多挖掘4米． 【变式训练6-2】随着“健康生活年”三年行动的实施，全民健康意识逐步提升．某健身房要采购A、B两种型号的健身器材以满足会员的健身需求．据了解，A型健身器材的单价比B型健身器材的单价低元，用元购买A型健身器材的数量和用元购买B型健身器材的数量相同． (1)求A、B两种型号健身器材的单价各是多少元； (2)该健身房计划购买A、B两种型号的健身器材共台，且A型健身器材的购买数量不超过B型健身器材购买数量的倍，购买A型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)A型健身器材单价是2000元，B型健身器材单价是2400元； (2)购买A型健身器材20台，52000元． 【分析】（1）设A型健身器材单价为x元，则B型健身器材单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设购买A型健身器材m台，则购买B型健身器材台，根据题意，列出不等式得出设采购费用为y元，得出相应得一次函数解析式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型健身器材单价为x元，则B型健身器材单价为元． 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解． ∴（元） ∴A型健身器材单价是2000元，B型健身器材单价是2400元； （2）设购买A型健身器材m台，则购买B型健身器材台． 根据题意得： 解得： 设采购费用为y元， 根据题意得：． ∵， ∴y随m的增大而减小． ∴当时，y有最小值， 最小为：（元）． 1．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵原方程为，且 ∴方程两边同时乘以最简公分母，得 整理得. 2．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．1 B．1或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的取值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值. 【详解】∵原分式方程有增根， ∴最简公分母，解得增根为， 方程两边同乘去分母，得： ， 整理得： ， 将增根代入上式，得： ， 解得． 3．将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察两个分母可知，与互为相反数，先对原方程变形，确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母即可得到去分母后的整式方程． 【详解】解：∵， ∴原方程可变形为， 将方程两边同时乘最简公分母，得：． 4．随着旧城改造项目的加速推进，翻新过后的南宁中山路夜市迅速成了热门打卡地．某校八年级学生小苏和小霞相约前往距离学校的中山路夜市，小苏骑自行车先走20分钟，小霞乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑行速度的2倍，设小苏骑行的速度为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由题意可得， ， 即． 5．将分式方程化为整式方程为________． 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘以，得 ． 6．关于的不等式组有解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为___________． 【答案】3 【分析】先求解不等式组，根据不等式组有解求出的取值范围；再求解分式方程，结合分式方程有整数解以及的取值范围确定满足条件的的值，据此求解即可． 【详解】解：不等式组 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：； 方程， 方程两边同乘得：， 整理得：， 分式方程有解， ∴，即时， ∴ ，即， ， ， ， 方程有整数解， 是2的因数， 2的因数有、， 当，即时，，是分式方程的增根，不符合题意； 当，即时，，是分式方程的整数解，符合题意； 当，即时，，是分式方程的整数解，符合题意； 当，即时，，是分式方程的整数解，，此情况不符合题意， 综上所述，满足条件的所有整数的和为． 7．如果方程有增根，那么增根为________． 【答案】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，只需确定增根的可能值，令最简公分母为即可．本题中分母和互为相反数，最简公分母是． 【详解】解：原方程有增根， 最简公分母， 解得， 方程的增根为． 检验：当 时，最简公分母 ，所以原分式方程无解，其增根为． 8．李商隐《洞庭鱼》的诗句“洞庭鱼可拾，不假更垂罾．”生动描绘了洞庭湖鱼类繁盛的景象．洞庭湖地区某水产养殖专业户为了估计池塘里鱼的数目，第一次捕捞了100条鱼，将这些鱼都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了3000条鱼，发现其中有15条鱼身上有标记，由此可估计该池塘里有_______条鱼． 【答案】20000 【分析】本题考查用样本估计总体的统计方法，解题思路为利用总体中标记鱼的比例与样本中标记鱼的比例相等，列方程求解池塘鱼的总数． 【详解】解：设该池塘里共有条鱼， 根据题意可得 ， 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合实际意义． 9．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：， 方程两边同时乘以，得， 整理得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解． 10．“才人相见都相赏，天下风流是此花”，月季被称为“花中皇后”，为常绿、半常绿低矮灌木，四季开花．某苗圃培育了两个品种月季花，已知每棵A品种月季花的售价比每棵B品种月季花的售价多10元，用6000元购买A品种月季花与用4800元购买B品种月季花的数量相等． (1)每棵A品种月季花和B品种月季花的售价分别是多少元？ (2)5月份该苗圃共售卖月季花300棵，A品种月季花的销售量不高于B品种月季花的2倍，且销售收入不低于13900元，则一共有多少种售卖方案？（不需要写出具体方案） 【答案】(1)每棵A品种月季花的售价是50元，每棵B品种月季花的售价是40元 (2)11种 【分析】（1）设每棵A品种月季花的售价是x元，则每棵B品种月季花的售价是元，因为两种购买方式对应的花卉数量相等，所以可依据“数量=总价÷单价”的公式列分式方程求解． （2）设5月份该苗圃售卖a棵A品种月季花，则售卖棵B品种月季花，结合“A品种销量不高于B品种的2倍”，“销售收入不低于13900元”两个条件，列出一元一次不等式组，求解得到未知数的取值范围，根据未知数为正整数的属性确定取值个数，即可得到售卖方案的数量． 【详解】（1）解：设每棵A品种月季花的售价是x元，则每棵B品种月季花的售价是元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：每棵A品种月季花的售价是50元，每棵B品种月季花的售价是40元． （2）解：设5月份该苗圃售卖a棵A品种月季花，则售卖棵B品种月季花， 根据题意得， 解得， 又为整数，（种）， 答：一共有11种售卖方案． 11．在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间． (1)根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如表所示．下列说法不正确的是（　　） 小刚： 小强： A．表示规定时间   B．表示慢马的速度        C．表示         D．表示 (2)从（1）中小刚和小强列出的不完整方程中选择其中的一种将它补全，并完成剩余的解答过程． 【答案】(1)D (2)选择补全小刚：， 具体解答过程如下： 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， ， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 答：规定时间为天． 选择补全小强：， 具体解答过程如下： 去分母得， 移项、合并同类项得， ， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 则规定时间为， 答：规定时间为天． 【分析】（1）由题意，结合小刚和小强分别列出的尚不完整的方程分析求解即可； （2）由（1）中分析补全小刚和小强列出的分式方程求解即可． 【详解】（1）解：根据小刚列出的方程，结合若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，可知表示规定时间，A选项正确； 从而由题意可补全方程为，则表示，D选项错误； 根据小强列出的方程，结合若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，可知表示慢马的速度，C选项正确； 从而由题意可补全方程为，则表示，C选项正确； 综上所述，说法不正确的是D选项； （2）略 12．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成．则该工程施工费用是多少？ 【答案】(1)30天 (2)180000元 【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合作15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可． （2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是x天， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解且符号题意． 答：这项工程的规定时间是30天． （2）解：该工程由甲、乙队合作完成，所需时间为：（天）， 则该工程施工费用是：（元）． 答：该工程的费用为180000元． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分式方程 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 分式方程的定义 题型2 解分式方程 题型3 分式方程的增根问题 题型4 分式方程无解问题 题型5 分式方程的实际应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 分式方程的定义 2. 解分式方程 3. 分式方程的增根问题 4. 分式方程无解问题 5. 分式方程的实际应用 6. 根据解的限制求参数范围 1. 固定题型分值布局 （1）选择、填空（基础保分，约38%分值） 1. 概念辨析：判断分式方程、识别增根数值； 1. 浅度参数：已知增根求简单字母值； 1. 基础判断：方程有无解、解正负快速判定； 1. 微小应用题空：直接列分式方程式子。 （2）中档解答计算题（核心主力，约47%分值） 1. 基础解方程大题（必考）：2–3道常规分式方程，无检验步骤直接扣2–3分； 1. 基础参数题：增根求参数、解为正数求范围； 1. 纠错题型：展示错误解方程步骤，找出去分母漏乘、忘检验等漏洞； 1. 简单应用题：单等量关系工程/行程列式求解。 （3）压轴探究大题（拉分区分，15%分值） 1. 无解双情况分类求参数（期末、中考压轴高频）； 1. 解为整数的多约束参数筛选； 1. 多条件复杂应用题：双等量、对比方案择优； 1. 新定义题型：自定义分式方程运算，转化常规方程求解。 2. 四大核心命题大趋势 趋势1：检验是硬性评分红线，全程设置无检验扣分陷阱 阅卷统一标准：解方程、应用题必须书写检验行，只计算不检验直接大幅扣分；增根、无解题型必须写出检验推理过程，口头判断不算得分步骤。 趋势2：无解双分类是核心区分点，刻意只给单一情况挖坑 多数学生只记得“增根=无解”，忽略整式方程本身无解的第二种情况，命题固定设置两类答案，漏一种直接丢一半分数。 趋势3：应用题贴合真实生活场景，等量关系隐蔽化 不再直白给等式，需要自主提炼“时间差、效率差、单价差”建立分式等量；未知数默认代表人数、天数、速度，隐含取值必须为正，检验时同步筛除不合理数值。 趋势4：参数题捆绑双重限制，多条件叠加考查逻辑 求参数时同时限制“解为正+不能是增根”“解为整数+排除增根”，必须多层不等式约束，缺一不可。 考情解码： 1. 固化解方程四步模板：去分母→解整式方程→代入公分母检验→书写最终结论； 2. 无解题型强制分两步书写：①增根情况计算 ②整式方程无解方程计算，最后合并； 3. 参数求值验算习惯：算出参数后代回原方程，验证是否匹配增根/正负要求； 4.应用题建模三步法：圈出比率量（速度/效率）→找时间/工作量等量差→列式、双检验； 知识点一 分式方程的定义 1. 定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 区分：分母只有常数、 的是整式方程，不是分式方程。 【易错提醒】 未知数必须在分母，分子含未知数不是判断标准。 即时即练下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 知识点二 解分式方程 1. 去分母：两边同乘最简公分母，化为整式方程 2. 解整式方程 3. 检验（重中之重）：把解代入最简公分母 - 公分母 ：是原方程的解 - 公分母 ：是增根，舍去 4. 写出最终结论 【易错提醒】 （1）去分母时常数项必须乘公分母，最容易漏乘！ （2）分子是多项式，去分母必须加括号。 （3）不检验直接扣分，分式方程检验是固定步骤。 即时即练解方程：． 知识点三 分式方程无解问题 分式方程无解分两种情况 1. 情况 1：有增根 整式方程有解，但该解使原分母为 0（增根），原方程无解。 2. 情况 2：整式方程本身无解 化为 后，，，整式方程直接无解。 【易错提醒】 增根只是无解其中一种情况；无解包含两类：①整式方程的解是增根；②整式方程自身无解（一元一次ax=b中a=0,b≠0），做题必须分两类完整讨论，只算增根会漏答案。 即时即练已知关于的分式方程无解，求的值． 知识点四 分式方程的应用 1. 常见题型：工程问题、行程问题、销售单价问题 2. 解题步骤：设未知数→列方程→解方程→双重检验 ① 检验是否为增根 ② 检验是否符合实际（正数、整数） 【易错提醒】 （1）必须双重检验：验增根 + 验实际意义 （2）时间、速度、效率不能为负数、不能为 0 即时即练2025年11月5日，我国第一艘电磁弹射型航空母舰——福建舰正式入列，不仅标志着中国海军进入“三航母时代”，更是一次战斗力的质的飞跃，深刻影响着中国海军的战略运用和未来发展．福建舰的电磁弹射系统包含A，B两款适配歼舰载机的弹射器，单次弹射歼的总耗能约为120兆焦耳，已知A款弹射器每秒消耗的能量是B款弹射器的1.5倍，且A款弹射器完成一次弹射的时间比B款弹射器少1秒，求A，B两款弹射器每秒消耗的能量各是多少？ 题型1 分式方程的定义 例1. 下列方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 例2. 有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是_____．（填序号） 【易错警示】 1. 判定标准：分母含有未知数的方程；分母只有常数、π的属于整式方程； 2. 易混区分：整式方程（分母无未知数）、分式方程（分母含未知数）。 【变式训练1-1】下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】下列关于x的式子是分式方程的是________．（请填写序号） ①；②；③；④． 题型2 解分式方程 例3．解分式方程：． 例4．解方程． (1)； (2)． 【技巧总结】 1. 一化：两边同乘最简公分母，消分母转化为一元一次整式方程； 2. 二解：按整式方程步骤求解； 3. 三检验（必写步骤）：解代入最简公分母 公分母≠0：是原方程有效根； 公分母=0：该根为增根，直接舍去； 4. 收尾规范：标注方程的解或“原方程无解”。 【变式训练2-1】解分式方程：． 【变式训练2-2】解分式方程： (1)； (2)． 题型3 分式方程的增根问题 例5．对于关于的分式方程，以下说法错误的是（    ） A．分式方程的增根是或 B．若分式方程有增根，则 C．若分式方程无解，则或 D．分式方程的增根是 例6．关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【技巧总结】 1. 增根双条件：①是去分母后整式方程的解；②使原分式最简公分母=0； 2. 已知增根求参数步骤： ①令最简公分母=0，算出增根数值； ②增根代入整式方程，求解字母参数。 【变式训练3-1】如果关于的分式方程有增根，那么增根可能是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式训练3-2】已知是关于的方程，若方程有增根，方程的增根为______． 题型4 分式方程无解问题 例7. 若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B． C． D． 例8. 如果关于的分式方程无解，那么实数的值为________． 【易错警示】 无解分两类，必须完整讨论： 1. 类型1：整式方程有解，但解是增根； 2. 类型2：整式方程本身无解（形如ax=b，a=0、b≠0时无实数解）； 两类情况分别算出参数，最后合并取值。 【变式训练4-1】设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的值为（     ） A．4 B．2 C．1 D．2或0 【变式训练4-2】若关于x的分式方程 无解，则m的值为________ ． 题型5 根据解的限制求参数范围 例9．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______． 例10．已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 【技巧总结】 1. 解为正数/负数：先解整式方程，用参数表示未知数，列不等式，额外排除增根对应的参数值； 2. 解为整数：用参数表示未知数，结合整数整除条件，筛选整数参数，同步剔除增根情况。 【变式训练5-1】若关于x的分式方程有正整数解，若m为正整数，则______． 【变式训练5-2】已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是__________． 题型6 分式方程的实际应用 例11．列方程解下列问题． 重庆作为“世界摩托之都”，摩托车产业享誉全球，张雪机车更是以领先第二名近4秒的成绩勇夺中量级冠军，彰显重庆制造的品质．某机车制造厂生产标准机车和高速机车两种车型，已知该厂每天生产高速机车的数量比生产标准机车的数量多44台，3天生产标准机车的数量和1天生产高速机车的数量一样多． (1)求该厂每天生产标准机车、高速机车数量分别是多少台？ (2)由于市场需求量增加，工厂升级了生产线，升级后每天只生产一种机车，日产量提高．每天生产高速机车的增加数量是生产标准机车的增加数量的3倍．已知生产240台标准机车、360台高速机车共用时8天．求每天生产标准机车的增加数量． 例12．人工智能的广泛应用，正深刻改变着我们的工作与生活方式．某图书馆计划购进一批图书分拣机器人和搬运机器人，已知分拣机器人的单价比搬运机器人的单价少3万元，且用12万元购买分拣机器人的数量是用18万元购买搬运机器人的数量的2倍． (1)分拣机器人和搬运机器人的单价各是多少？ (2)若该图书馆计划购进两种机器人共30台，每台分拣机器人每小时能分拣2000册图书，每台搬运机器人每小时能搬运1000册图书．图书的分拣和搬运需两种机器人协同工作，为确保系统流畅运行，在30台机器人一起投入使用的情况下，需满足分拣与搬运同一批图书所用的时间相等，应该怎样购进这两种机器人？ 【技巧总结】 1. 三大经典模型：工程问题（工作效率）、行程问题（速度时间）、销售利润单价问题； 2. 五步解题流程：审题→设未知数→列分式方程→解方程→双重检验（方程根无增根、实际数量为正整数）→作答。 【变式训练6-1】某工程队承接一项隧道工程，在挖掘一条200米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.2倍，结果提前了6天完成了其中180米的隧道挖掘任务． (1)求实际每天挖掘多少米； (2)由于天气等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过32天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，每天至少应多挖掘多少米？ 【变式训练6-2】随着“健康生活年”三年行动的实施，全民健康意识逐步提升．某健身房要采购A、B两种型号的健身器材以满足会员的健身需求．据了解，A型健身器材的单价比B型健身器材的单价低元，用元购买A型健身器材的数量和用元购买B型健身器材的数量相同． (1)求A、B两种型号健身器材的单价各是多少元； (2)该健身房计划购买A、B两种型号的健身器材共台，且A型健身器材的购买数量不超过B型健身器材购买数量的倍，购买A型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 1．解分式方程时，去分母正确的是（   ） A．B． C． D． 2．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A．1 B．1或 C． D．或 3．将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ）． A． B． C． D． 4．随着旧城改造项目的加速推进，翻新过后的南宁中山路夜市迅速成了热门打卡地．某校八年级学生小苏和小霞相约前往距离学校的中山路夜市，小苏骑自行车先走20分钟，小霞乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑行速度的2倍，设小苏骑行的速度为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 5．将分式方程化为整式方程为________． 6．关于的不等式组有解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为___________． 7．如果方程有增根，那么增根为________． 8．李商隐《洞庭鱼》的诗句“洞庭鱼可拾，不假更垂罾．”生动描绘了洞庭湖鱼类繁盛的景象．洞庭湖地区某水产养殖专业户为了估计池塘里鱼的数目，第一次捕捞了100条鱼，将这些鱼都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了3000条鱼，发现其中有15条鱼身上有标记，由此可估计该池塘里有_______条鱼． 9．解方程： (1)； (2)． 10．“才人相见都相赏，天下风流是此花”，月季被称为“花中皇后”，为常绿、半常绿低矮灌木，四季开花．某苗圃培育了两个品种月季花，已知每棵A品种月季花的售价比每棵B品种月季花的售价多10元，用6000元购买A品种月季花与用4800元购买B品种月季花的数量相等． (1)每棵A品种月季花和B品种月季花的售价分别是多少元？ (2)5月份该苗圃共售卖月季花300棵，A品种月季花的销售量不高于B品种月季花的2倍，且销售收入不低于13900元，则一共有多少种售卖方案？（不需要写出具体方案） 11．在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间． (1)根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如表所示．下列说法不正确的是（　　） 小刚： 小强： A．表示规定时间   B．表示慢马的速度        C．表示         D．表示 (2)从（1）中小刚和小强列出的不完整方程中选择其中的一种将它补全，并完成剩余的解答过程． 12．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成．则该工程施工费用是多少？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $