专题04 因式分解（暑假复习讲义）新九年级数学新教材北师大版

专题04 因式分解 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 判断是否是因式分解 题型2 已知因式分解的结果求参数 题型3 提公因式法分解因式 题型4 公式法分解因式 题型5 综合提公因式和公式法分解因式 题型6 因式分解在有理数简算中的应用 题型7 十字相乘法分解因式 题型8 分组分解法分解因式 题型9 因式分解的应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 判断是否是因式分解 2. 已知因式分解的结果求参数 3. 提公因式法分解因式 4. 公式法分解因式 5. 综合提公因式和公式法分解因式 6. 因式分解在有理数简算中的应用 7. 十字相乘法分解因式 8. 分组分解法分解因式 9. 因式分解的应用 1. 固定题型分值布局 （1）选择、填空（基础保分，占42%分值） 1. 概念辨析：辨别因式分解、判断能否套平方差/完全平方； 1. 基础速分解：单一提公因式、单公式法； 1. 浅度含参：已知分解式求简单参数； 1. 简算填空：平方差速算大数。 （2）中档解答计算题（核心主力，占43%分值） 1. 纯分解大题（分值最高）：综合提公因式+公式法，4–6道分步分解； 1. 求值题：先分解再整体代换； 1. 纠错题型：展示错误分解步骤，找出漏提、没分解彻底、符号错误； 1. 十字相乘、分组分解中档计算题。 （3）压轴探究大题（拉分区分，15%分值） 1. 综合应用压轴：因式分解判定三角形形状、证明整除； 1. 新定义阅读题：如“智慧数”“完美平方式”，结合分解推理规律； 1. 配方最值、多步换元分层设问； 1. 少量数形结合：面积等式对应因式分解式子。 2. 五大核心命题大趋势 趋势1：“先提公因式再公式”是绝对主流，分解彻底硬性评分标准 阅卷强制要求：只要有公因式必须第一步提取，未提直接套公式直接对半扣分；最后必须分解到整式不能再拆，残留平方形式判不完全分解、不得满分。 趋势2：逆向恒等求参数常态化，中档生分水岭 参数题两大考法：①左右系数对应相等；②因式零点代入求值；常搭配符号陷阱、二次项系数不为0隐藏条件。 趋势3：整体换元思想渗透全题型，不局限单独换元题 多项式整体当作字母套公式是高频考法，比如直接套平方差，训练整体视角而非只看单字母。 趋势4：方法分层考查，基础保底、十字/分组做区分度 基础卷只考提公因式+公式；期末、培优卷必加十字相乘、分组分解；中考基础只考前两种，压轴大题隐性用十字分解二次方程。 趋势5：知识工具化，融合后续代数内容 本章不作为孤立考点，分式化简、一元二次方程求解全程依赖因式分解能力；应用题、几何边长判断都要用分解变形式子，属于终身代数工具。 考情解码： 1. 固化标准解题流程：一看公因式→二看几项定公式→三分解到底→四乘开检验； 2. 符号专项训练：遇到首项为负，第一步强制提取统一符号； 3. 公式对比背诵：平方差（两项异号）、完全平方（三项），结构特征死记区分； 4. 参数题两套方法备用：系数对应法通用，零点代入法快速验算； 5.十字、分组分类刷题：四项优先两两分组，二次三项固定十字拆解套路； 知识点一 因式分解 1. 定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，变形不可逆，和整式乘法互为逆运算。 2. 三大硬性要求 （1） 结果必须全是整式相乘，不能留有加减项； （2）每个因式不能再继续分解（分解彻底）； （3）首项符号一般为正，出现负号统一提取负号整理。 3. 判断正误关键点 · 整式乘法：积→多项式；因式分解：多项式→积，二者方向相反。 【易错提醒】 1. 变形方向混淆：把整式乘法（乘积展开成多项式）当成因式分解，因式分解必须是多项式化为整式乘积。 2. 分解不彻底：因式里还有能继续分解的多项式，比如只写到，没有拆成。 3. 结果含加减项：式子末尾还有 +、- 残留，没有完全化成纯乘积形式。 4. 出现分式/分母：因式里不能有分数分母，有分数系数要整体提取系数化为整数整式。 5. 首项符号杂乱：最终结果一般要求每个因式首项为正，负号统一提到最前面。 即时即练下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形需正确，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．式子左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意， B．式子右边是整式和的形式，不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意， C．式子左边是多项式，右边是整式的积的形式，且变形正确，属于因式分解，符合题意， D．式子左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意． 知识点二 提公因式法 1. 公因式的确定 ① 系数：取各项系数的最大公约数； ② 字母/整体：取各项都含有的相同字母（或多项式整体），指数取最低次幂。 2. 核心公式： 3.步骤 （1）找出全部公因式； （2）整体提取公因式； （3）括号内核对每一项，检查符号与项数。 （4）符号易错规则 多项式首项为负数时，整体提取负号： （5）拓展：公因式可以是多项式整体，如 当作整体提取。 【易错提醒】 1. 公因式找不全：只提字母不提系数，或只提系数漏掉低次字母；忽略多项式整体型公因式（如 (a-b)）。 2. 首项负号处理错：首项为负不整体提 -1，直接拆开变号，括号内符号全部混乱；例：-3x+6 错写成 -3(x+2)，正确 -3(x-2)。 3. 漏写常数项 1：某一项刚好等于公因式时，提取后括号内要留 1，不可空着；例：（错），正确 x(x+1)。 4. 括号内项数变少：原式几项，提取公因式后括号内依旧几项，不能丢项。 5. 互为相反数的整体不会变形：y-x=-(x-y)，不会转化统一公因式符号。 即时即练下列用提公因式法分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对每个选项提取公因式后，和选项给出的结果对比，即可得到正确答案． 【详解】解：A. ，本选项运算错误，不符合题意； B. ，本选项运算错误，不符合题意； C. ，分解结果正确，本选项运算正确，符合题意； D. ，本选项运算错误，不符合题意． 知识点三 公式法 1. 平方差公式（两项式专用） 适用条件：只有两项、两项都是平方形式、两项符号一正一负。 2. 完全平方公式（三项式专用） 适用条件：共三项；首尾两项是平方；中间一项是首尾底数乘积的 2 倍。 3.通用使用技巧 可把 、 这类多项式整体看成 或 换元套公式； 分解顺序口诀：先提公因式，再套公式。 【易错提醒】 1. 平方和不能分解，强行套用平方差； 2. 底数系数没整体平方：如误看成，不写成； 3. 中间项遗忘系数 2：写成 a^2±ab+b^2，不满足两倍乘积； 即时即练因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型1 判断是否是因式分解 例1. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的概念，即把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，对各选项依次判断即可得到答案. 【详解】解：A. ，属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，故此选项错误； B. ，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项错误； C. ，属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，故此选项错误； D. ，属于因式分解，符合题意. 例2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，称为因式分解． 【详解】解：A选项：，等式右边不是整式积的形式，不符合因式分解定义，错误； B选项：，变形方向为整式乘法，且等式本身不成立，不符合要求，错误； C选项：，左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，正确； D选项：，变形是整式乘法，不是因式分解，错误． 【易错警示】 1. 本质判定：多项式 → 几个整式乘积；和整式乘法互逆； 2. 排除陷阱：带加减残留、出现分式、左右不等、只变形没化成乘积都不是因式分解。 【变式训练1-1】下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式的右边不是积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意. 【变式训练1-2】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形就是因式分解，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，变形是整式乘法，由整式乘积得到多项式，不符合因式分解的定义，故A不符合题意； 选项B中，等式右边的不是整式，不符合因式分解的要求，故B不符合题意； 选项C中，等式右边 是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解的定义，故C不符合题意； 选项D中，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解的定义，故D符合题意． 题型2 已知因式分解的结果求参数 例3．若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， 对比等式两边对应项的系数可得． 故答案为：． 例4．关于的二次三项式因式分解的结果是，则______． 【答案】1 【分析】根据因式分解的定义，展开因式分解后的多项式，对比对应项的系数即可求解． 【详解】解：∵， ∴由题意得，， ∴． 【技巧总结】 1. 方法：左右两边多项式对应项系数相等（恒等变形），列方程解参数； 2. 拓展：已知一个因式，代入根求值法（因式为0时多项式值为0）。 【变式训练2-1】二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 【答案】 【分析】已知二次三项式的一个一次因式，可设出另一个一次因式，根据多项式乘法法则展开后，利用多项式相等对应项系数相等列方程求解． 【详解】设另一个因式为， 由题意得， 即， ，解得． 【变式训练2-2】若将多项式因式分解得，则的值为______． 【答案】 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ． 题型3 提公因式法分解因式 例5．先因式分解，再求值． (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 当，时， 原式； （2）解： 当， 原式． 例6．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】首先观察多项式各项，确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，两者相乘得到公因式；因为因式分解提公因式法的规则是将公因式提取到括号外，所以用多项式的每一项分别除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，整理后完成分解；如果多项式首项系数为负，那么先提取负号，使括号内首项系数为正，再对剩余部分提取公因式． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【技巧总结】 1. 公因式三部分：系数取最大公约数、字母取各项最低次幂、含整体多项式公因式； 2. 步骤：定公因式→整体提取→括号内核对项数与符号； 3. 易错：首项为负，整体提取负号变内部符号。 【变式训练3-1】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式训练3-2】先因式分解，再计算求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先利用互为相反数的平方相等变形，提取公因式完成因式分解，再代入、的值计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得， 原式． 题型4 公式法分解因式 例7. 因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接运用完全平方公式分解即可； （2）变形为平方差形式后，利用平方差公式分解，合并同类项后提取公因式即可得到结果． 【详解】（1）解： （2）解：原式 例8. 把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【易错警示】 1. 平方差：（两项、异号、平方形式） 2. 完全平方：（三项、首末平方、中间两倍乘积） 3. 整体换元：把(x+y)、(2m-n)等整体当作a、b套公式。 【变式训练4-1】分解因式： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用提公因式法分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式训练4-2】分解因式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型5 综合提公因式和公式法分解因式 例9．把下列各式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 例10．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）运用提公因式法进行因式分解，即可作答； （）先提取公因式，再对剩余的用平方差公式继续分解，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【技巧总结】 标准优先级：先提公因式，再套公式，分解到不能再分解为止。 【变式训练5-1】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练5-2】在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先提取公因式，再利用公式继续分解，直到每个因式都不能再分解． 【详解】（1） ； （2） ． 题型6 因式分解在有理数简算中的应用 例11．利用因式分解计算：_________． 【答案】4051 【分析】先利用平方差公式进行因式分解，然后再计算即可． 【详解】解：． 例12．______． 【答案】2025 【分析】先提取公因式2026，再利用裂项相消法拆分括号内的分数，抵消中间项后通过有理数运算求解． 【详解】解： ． 【技巧总结】 利用分解拆分大数、凑平方差/完全平方简化计算。 【变式训练6-1】由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，该表达式符合完全平方公式的形式，因此可转化为两数和的平方． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为 4. 【变式训练6-2】利用因式分解计算：_____． 【答案】36 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算，正确计算是解题的关键． 观察表达式，发现其符合完全平方公式的形式，通过完全平方公式进行因式分解简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 题型7 十字相乘法分解因式 例13. 分解因式：_____． 【答案】 【分析】此题考查了十字相乘法的分解因式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．根据十字相乘法分解因式即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 例14. 因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，准确的计算是解决本题的关键． 运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【易错警示】 1. 基础二次三项：拆常数q=m·n，m+n=p，写成(x+m)(x+n)； 2. 二次项带系数：十字交叉拆a、c，交叉乘积和等于一次项系数。 【变式训练7-1】因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：, 故答案为：． 【变式训练7-2】分解因式：______． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握运用十字相乘法分解因式是解题的关键．利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型8 分组分解法分解因式 例15．分解因式：___________． 【答案】 【详解】解： ． 例16．因式分解：____________． 【答案】 【分析】先分组提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至分解彻底． 【详解】解： ． 【技巧总结】 四项式分组套路：两两分组（提公因式）、一三分组（凑完全平方再平方差）；分组后必须出现新公因式才能继续分解。 【变式训练8-1】分解因式：______． 【答案】 【分析】利用分组分解法，先分解二次项部分，再提取公因式即可求解． 【详解】解： ． 【变式训练8-2】分解因式：________． 【答案】 【分析】运用分组分解法分解因式，将原式合理分组后，分别提取公因式，然后再次提取公因式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 题型9 因式分解的应用 例17．著名数学教育家波利亚曾说“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”，恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 例如：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即， ． 把作为整体，得：． 小强在小明的基础上，联想到了新的解题方法： 由得，则．即， ，把代入原式，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，将其两边平方并利用完全平方公式展开，得到，，进而可得出结论． 【详解】（1）解：由，， 则， ∴， ∴； （2）解：由得，则， ∴， ∴ ． 例18．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)若分解，则需应用上述方法______次，结果是______； (3)分解因式：（n为正整数），结果是______． (4)请利用以上规律计算：． 【答案】(1)提公因式法，2； (2)，； (3) (4) 【分析】（1）根据阅读因式分解的过程即可得结论； （2）结合（1）和阅读材料即可得结论； （3）根据阅读材料的计算过程进行解答即可； （4）利用规律进而得出答案即可． 【详解】（1）阅读因式分解的过程可知： 上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， （2）原式，则需应用上述方法次，结果是， 故答案为：，； （3） ． （4） 【技巧总结】 1. 代数式整体代入求值； 2. 判断三角形形状（三边式子分解后证等边/等腰/直角）； 3. 最值配方、整除证明、数字规律新定义题型。 【变式训练9-1】【初步感知】        (1)如图①，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的阴影部分再剪拼成一个如图②所示的长方形，根据阴影部分的面积关系，可以得到______；（结果写成因式分解的形式） (2)如图③，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为的小正方体，把余下的部分再切割拼成一个如图④所示的几何体，根据它们的体积关系，可以得到_______；（结果写成因式分解的形式） 【类比推理】 (3)因式分解：； 【拓展提升】 (4)如图⑤，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形ABCD，令，，且，若该直角三角形的两条直角边长分别为和，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)， 【分析】（1）根据阴影部分面积的不同计算方法即可写出； （2）图③的几何体的体积为一个大正方体挖去一个小的正方体，故剩下的体积为；图④的几何体由 3 个几何体拼接而成，故可得出体积为；再根据体积相等，故可写出等式． （3）利用分组法以及完全平方公式进行分解即可； （4）根据直角三角形短直角边为a，长直角边为b，一个直角三角形的面积为，个三角形的面积，大正方形边长，小正方形边长．由，求出．将分组为，提取公因式得．结合已知条件，代入得值即可． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为、图②阴影部分的面积为， ∴可以得到一个关于的等式； （2）解：如图③中的几何体的体积为； 图④的几何体体积为； 根据它们的体积关系得到关于的等式为：． （3）解： ． （4）解：∵直角三角形的短直角边为a，长直角边为b， ∴大正方形的边长为，面积；小正方形的边长为，面积，三角形的面积为，， ∵， ∴， 整理得：， ∴． ， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式． 【变式训练9-2】【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（     ）． A．8    B．10    C．14    D．17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 【答案】(1)C (2) 见解析 (3)2 【分析】（1）对因式分解，确定其因数，得到符合要求的选项； （2）利用平方差公式分解原式，化简后根据正整数的性质证明原式含因数24即可； （3）根据整除要求推导得到满足的条件，计算得到的最小值. 【详解】（1） 解：， 为正整数， 是整数， 一定能被14整除； （2）证明： ； 是正整数，和是连续正整数， 能被2整除， 能被整除， 能被24整除； （3）解：由（2）得， 能被36整除， 是整数，即能被3整除， 是正整数，和是连续正整数， 当时，，不能被3整除， 当时，，能被3整除， 的最小值为2. 1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解需满足两个条件：一是结果为几个整式的乘积形式，二是变形前后等式成立，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A．该变形是整式乘法，不是因式分解，错误； B．右边结果不是整式乘积的形式，不是因式分解，错误； C．，等式不成立，错误； D．提取公因式x得，是多项式化为整式乘积的形式，等式成立，符合因式分解的定义，正确． 2．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：州，爱，我，数，学，兰．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱兰州 B．爱兰州 C．我爱数学 D．兰州数学 【答案】A 【分析】先对多项式提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解，根据各因式对应密码得到最终信息，选出正确选项，正确分解因式是解题关键. 【详解】解：∵， 又∵ ∴ 根据题意，对应关系为：我，爱，州，兰， 因此结果呈现的密码信息可能为我爱兰州. 3．把多项式分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 4．已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 【答案】B 【分析】根据平方差公式，将进行因式分解，即可得出结论． 【详解】解： ， ∴能被65和63整除， ∴这两个整数是63和65． 5．若，，则_______． 【答案】 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ． 将代入得， ． 6．因式分解：=___________ 【答案】 【分析】将看成一个整体，利用十字相乘法进行分解，再对各因式进行分解． 【详解】解：原式 ． 7．已知，，则______． 【答案】 【分析】先将因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：，， ． 8．计算______． 【答案】 【详解】解： ． 9．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．因式分解： (1) (2) (3) (4)先因式分解再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3) (4)因式分解结果为，值为 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 当，时，原式． 11．【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将拆分为 “”）． 【解决问题】 (1)根据上述方法对多项式进行因式分解； (2)已知、为等腰三角形的边，且满足，求该等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用配方法将原式凑成完全平方式，再用平方差公式分解因式； （2）先对等式配方，根据平方的非负性求出的值，再分情况结合三角形三边关系判断，计算出符合条件的周长． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 即 若等腰三角形腰长为，底边长为，三边长为 ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去 若等腰三角形腰长为，底边长为，三边长为 ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形此时周长为 答：该等腰三角形的周长为． 12．如图，有①②③三种不同型号的卡片若干，其中型号①②分别是边长为a和b的正方形卡片，型号③是长为a、宽为b的长方形卡片． (1)请用这些卡片分别拼出面积为的长方形，并画出图形． (2)你能拼出面积为的长方形吗？如果能，请画出图形；如果不能，请说明理由． (3)请再提出一个问题，并加以解答． 【答案】(1)面积为, ∴长方形的长为，宽为a，如图所示； 面积为， ∴长方形的长和宽均是，如图所示： (2)能，， 长方形的长为，宽为，如图所示： (3)解：你能拼成一个面积为的长方形吗？画出图形，并计算出这个长方形的长和宽． ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 判断是否是因式分解 题型2 已知因式分解的结果求参数 题型3 提公因式法分解因式 题型4 公式法分解因式 题型5 综合提公因式和公式法分解因式 题型6 因式分解在有理数简算中的应用 题型7 十字相乘法分解因式 题型8 分组分解法分解因式 题型9 因式分解的应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 判断是否是因式分解 2. 已知因式分解的结果求参数 3. 提公因式法分解因式 4. 公式法分解因式 5. 综合提公因式和公式法分解因式 6. 因式分解在有理数简算中的应用 7. 十字相乘法分解因式 8. 分组分解法分解因式 9. 因式分解的应用 1. 固定题型分值布局 （1）选择、填空（基础保分，占42%分值） 1. 概念辨析：辨别因式分解、判断能否套平方差/完全平方； 1. 基础速分解：单一提公因式、单公式法； 1. 浅度含参：已知分解式求简单参数； 1. 简算填空：平方差速算大数。 （2）中档解答计算题（核心主力，占43%分值） 1. 纯分解大题（分值最高）：综合提公因式+公式法，4–6道分步分解； 1. 求值题：先分解再整体代换； 1. 纠错题型：展示错误分解步骤，找出漏提、没分解彻底、符号错误； 1. 十字相乘、分组分解中档计算题。 （3）压轴探究大题（拉分区分，15%分值） 1. 综合应用压轴：因式分解判定三角形形状、证明整除； 1. 新定义阅读题：如“智慧数”“完美平方式”，结合分解推理规律； 1. 配方最值、多步换元分层设问； 1. 少量数形结合：面积等式对应因式分解式子。 2. 五大核心命题大趋势 趋势1：“先提公因式再公式”是绝对主流，分解彻底硬性评分标准 阅卷强制要求：只要有公因式必须第一步提取，未提直接套公式直接对半扣分；最后必须分解到整式不能再拆，残留平方形式判不完全分解、不得满分。 趋势2：逆向恒等求参数常态化，中档生分水岭 参数题两大考法：①左右系数对应相等；②因式零点代入求值；常搭配符号陷阱、二次项系数不为0隐藏条件。 趋势3：整体换元思想渗透全题型，不局限单独换元题 多项式整体当作字母套公式是高频考法，比如直接套平方差，训练整体视角而非只看单字母。 趋势4：方法分层考查，基础保底、十字/分组做区分度 基础卷只考提公因式+公式；期末、培优卷必加十字相乘、分组分解；中考基础只考前两种，压轴大题隐性用十字分解二次方程。 趋势5：知识工具化，融合后续代数内容 本章不作为孤立考点，分式化简、一元二次方程求解全程依赖因式分解能力；应用题、几何边长判断都要用分解变形式子，属于终身代数工具。 考情解码： 1. 固化标准解题流程：一看公因式→二看几项定公式→三分解到底→四乘开检验； 2. 符号专项训练：遇到首项为负，第一步强制提取统一符号； 3. 公式对比背诵：平方差（两项异号）、完全平方（三项），结构特征死记区分； 4. 参数题两套方法备用：系数对应法通用，零点代入法快速验算； 5.十字、分组分类刷题：四项优先两两分组，二次三项固定十字拆解套路； 知识点一 因式分解 1. 定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，变形不可逆，和整式乘法互为逆运算。 2. 三大硬性要求 （1） 结果必须全是整式相乘，不能留有加减项； （2）每个因式不能再继续分解（分解彻底）； （3）首项符号一般为正，出现负号统一提取负号整理。 3. 判断正误关键点 · 整式乘法：积→多项式；因式分解：多项式→积，二者方向相反。 【易错提醒】 1. 变形方向混淆：把整式乘法（乘积展开成多项式）当成因式分解，因式分解必须是多项式化为整式乘积。 2. 分解不彻底：因式里还有能继续分解的多项式，比如只写到，没有拆成。 3. 结果含加减项：式子末尾还有 +、- 残留，没有完全化成纯乘积形式。 4. 出现分式/分母：因式里不能有分数分母，有分数系数要整体提取系数化为整数整式。 5. 首项符号杂乱：最终结果一般要求每个因式首项为正，负号统一提到最前面。 即时即练下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 知识点二 提公因式法 1. 公因式的确定 ① 系数：取各项系数的最大公约数； ② 字母/整体：取各项都含有的相同字母（或多项式整体），指数取最低次幂。 2. 核心公式： 3.步骤 （1）找出全部公因式； （2）整体提取公因式； （3）括号内核对每一项，检查符号与项数。 （4）符号易错规则 多项式首项为负数时，整体提取负号： （5）拓展：公因式可以是多项式整体，如 当作整体提取。 【易错提醒】 1. 公因式找不全：只提字母不提系数，或只提系数漏掉低次字母；忽略多项式整体型公因式（如 (a-b)）。 2. 首项负号处理错：首项为负不整体提 -1，直接拆开变号，括号内符号全部混乱；例：-3x+6 错写成 -3(x+2)，正确 -3(x-2)。 3. 漏写常数项 1：某一项刚好等于公因式时，提取后括号内要留 1，不可空着；例：（错），正确 x(x+1)。 4. 括号内项数变少：原式几项，提取公因式后括号内依旧几项，不能丢项。 5. 互为相反数的整体不会变形：y-x=-(x-y)，不会转化统一公因式符号。 即时即练下列用提公因式法分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点三 公式法 1. 平方差公式（两项式专用） 适用条件：只有两项、两项都是平方形式、两项符号一正一负。 2. 完全平方公式（三项式专用） 适用条件：共三项；首尾两项是平方；中间一项是首尾底数乘积的 2 倍。 3.通用使用技巧 可把 、 这类多项式整体看成 或 换元套公式； 分解顺序口诀：先提公因式，再套公式。 【易错提醒】 1. 平方和不能分解，强行套用平方差； 2. 底数系数没整体平方：如误看成，不写成； 3. 中间项遗忘系数 2：写成 a^2±ab+b^2，不满足两倍乘积； 即时即练因式分解： (1) (2) 题型1 判断是否是因式分解 例1. 下列从左到右的变形属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 例2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【易错警示】 1. 本质判定：多项式 → 几个整式乘积；和整式乘法互逆； 2. 排除陷阱：带加减残留、出现分式、左右不等、只变形没化成乘积都不是因式分解。 【变式训练1-1】下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 题型2 已知因式分解的结果求参数 例3．若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 例4．关于的二次三项式因式分解的结果是，则______． 【技巧总结】 1. 方法：左右两边多项式对应项系数相等（恒等变形），列方程解参数； 2. 拓展：已知一个因式，代入根求值法（因式为0时多项式值为0）。 【变式训练2-1】二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 【变式训练2-2】若将多项式因式分解得，则的值为______． 题型3 提公因式法分解因式 例5．先因式分解，再求值． (1)，其中，； (2)，其中，． 例6．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【技巧总结】 1. 公因式三部分：系数取最大公约数、字母取各项最低次幂、含整体多项式公因式； 2. 步骤：定公因式→整体提取→括号内核对项数与符号； 3. 易错：首项为负，整体提取负号变内部符号。 【变式训练3-1】分解因式： (1)； (2)． 【变式训练3-2】先因式分解，再计算求值：，其中，． 题型4 公式法分解因式 例7. 因式分解 (1) (2) 例8. 把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【易错警示】 1. 平方差：（两项、异号、平方形式） 2. 完全平方：（三项、首末平方、中间两倍乘积） 3. 整体换元：把(x+y)、(2m-n)等整体当作a、b套公式。 【变式训练4-1】分解因式： (1) (2) 【变式训练4-2】分解因式 (1) (2) 题型5 综合提公因式和公式法分解因式 例9．把下列各式分解因式： (1) (2) 例10．因式分解 (1) (2) 【技巧总结】 标准优先级：先提公因式，再套公式，分解到不能再分解为止。 【变式训练5-1】分解因式： (1)； (2)． 【变式训练5-2】在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 题型6 因式分解在有理数简算中的应用 例11．利用因式分解计算：_________． 例12．______． 【技巧总结】 利用分解拆分大数、凑平方差/完全平方简化计算。 【变式训练6-1】由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 【变式训练6-2】利用因式分解计算：_____． 题型7 十字相乘法分解因式 例13. 分解因式：_____． 例14. 因式分解：__________． 【易错警示】 1. 基础二次三项：拆常数q=m·n，m+n=p，写成(x+m)(x+n)； 2. 二次项带系数：十字交叉拆a、c，交叉乘积和等于一次项系数。 【变式训练7-1】因式分解：___________． 【变式训练7-2】分解因式：______． 题型8 分组分解法分解因式 例15．分解因式：___________． 例16．因式分解：____________． 【技巧总结】 四项式分组套路：两两分组（提公因式）、一三分组（凑完全平方再平方差）；分组后必须出现新公因式才能继续分解。 【变式训练8-1】分解因式：______． 【变式训练8-2】分解因式：________． 题型9 因式分解的应用 例17．著名数学教育家波利亚曾说“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”，恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 例如：已知，求代数式的值． 小明根据二次根式的性质：，联想到了以下的解题方法： 由得，则，即， ． 把作为整体，得：． 小强在小明的基础上，联想到了新的解题方法： 由得，则．即， ，把代入原式，得：． 请回答下列问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． 例18．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： (1)上述分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)若分解，则需应用上述方法______次，结果是______； (3)分解因式：（n为正整数），结果是______． (4)请利用以上规律计算：． 【技巧总结】 1. 代数式整体代入求值； 2. 判断三角形形状（三边式子分解后证等边/等腰/直角）； 3. 最值配方、整除证明、数字规律新定义题型。 【变式训练9-1】【初步感知】        (1)如图①，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的阴影部分再剪拼成一个如图②所示的长方形，根据阴影部分的面积关系，可以得到______；（结果写成因式分解的形式） (2)如图③，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为的小正方体，把余下的部分再切割拼成一个如图④所示的几何体，根据它们的体积关系，可以得到_______；（结果写成因式分解的形式） 【类比推理】 (3)因式分解：； 【拓展提升】 (4)如图⑤，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形ABCD，令，，且，若该直角三角形的两条直角边长分别为和，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【变式训练9-2】【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（     ）． A．8    B．10    C．14    D．17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 1．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：州，爱，我，数，学，兰．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱兰州 B．爱兰州 C．我爱数学 D．兰州数学 3．把多项式分解因式，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 5．若，，则_______． 6．因式分解：=___________ 7．已知，，则______． 8．计算______． 9．因式分解： (1)； (2)． 10．因式分解： (1) (2) (3) (4)先因式分解再求值：，其中，． 11．【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将拆分为 “”）． 【解决问题】 (1)根据上述方法对多项式进行因式分解； (2)已知、为等腰三角形的边，且满足，求该等腰三角形的周长． 12．如图，有①②③三种不同型号的卡片若干，其中型号①②分别是边长为a和b的正方形卡片，型号③是长为a、宽为b的长方形卡片． (1)请用这些卡片分别拼出面积为的长方形，并画出图形． (2)你能拼出面积为的长方形吗？如果能，请画出图形；如果不能，请说明理由． (3)请再提出一个问题，并加以解答． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $