专题03 图形的平移与旋转（暑假复习讲义）新九年级数学新教材北师大版

专题03 图形的平移与旋转 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 利用平移的性质求解 题型2 平移坐标的变换 题型3 平移或旋转作图 题型4 找旋转中心、旋转角、对应点 题型5 中心对称图形 题型6 旋转坐标的变化 题型7 利用旋转的性质求解 题型8 旋转中的规律性问题 题型9 根据中心对称的性质求解 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 利用平移的性质求解 2. 平移坐标的变换 3. 平移或旋转作图 4. 找旋转中心、旋转角、对应点 5. 中心对称图形 6. 旋转坐标的变化 7. 利用旋转的性质求解 8. 旋转中的规律性问题 9. 根据中心对称的性质求解 1. 固定题型分值布局 （1）选择、填空（基础保分） 1. 概念辨析：判断平移/旋转图案、区分轴对称&中心对称图形； 1. 坐标速算：平移、原点旋转 90°/180°坐标直接写答案； 1. 简单计算：平移距离、旋转角度、对称线段长度； 1. 周期小题：短周期旋转找第几次位置。 （2）中档解答作图题（核心基础） 1. 网格作图必考：平移作图、旋转作图、中心对称作图三选一或组合； 1. 作图后配套设问：写出变换后顶点坐标、求图形面积； 1. 简单证明：用平移/旋转性质证线段相等、两直线平行。 （3）压轴探究大题（拉分区分） 1. 旋转手拉手综合：等边、等腰直角三角形旋转，全等证明 + 长度/角度计算； 1. 动态旋转规律：多圈周期滚动、多次平移叠加坐标； 1. 几何融合：变换 + 平行四边形、勾股定理结合求值； 1. 少量新定义变换题型。 2. 五大核心命题趋势 趋势 1：坐标与变换深度绑定，数形结合必考 几乎所有基础题、中档题都放入平面直角坐标系；平移、旋转、中心对称全部搭配坐标运算；中考持续延续坐标变换考法，对接函数几何综合。 趋势 2：旋转是拔高核心，手拉手全等模型反复考 平移以基础计算、坐标为主，旋转承担区分度；等腰、等边、直角三角形共顶点旋转构造 SAS 全等是期末、中考几何经典模型；常考线段相等、夹角固定（60°、90°）。 趋势 3：作图规范硬性打分，步骤痕迹不能省 网格作图有固定扣分点：无辅助虚线、不标对应点、字母标错直接扣一半分；平移旋转作图步骤标准化阅卷。 趋势 4：知识融合化，极少单一考点出题 主流组合套路： 1. 平移坐标 + 图形面积； 2. 旋转性质 + 全等三角形证明； 3. 中心对称坐标 + 平行四边形判定； 4. 多次平移 + 旋转复合变换求最终坐标。 考情解码： 1. 坐标变换强制口诀默写：平移“左减右加横，上加下减纵”；旋转原点 90°公式单独整理背诵； 2. 旋转模型固化套路：看到共顶点等边/等腰直角，直接锁定手拉手 SAS 全等； 3. 作图固定四步模板：描顶点→画平移/旋转辅助线→描对应点→连线标字母； 4. 区分概念表格记忆：平移/旋转/中心对称、中心对称/中心对称图形成对对比； 5. 复杂绕定点旋转分步拆解：平移归零→原点旋转→平移还原，避免一步算错； 6. 规律周期题先算周期长度，再用总次数÷周期，看余数定位最终位置。 知识点一 图形的平移 1. 核心要素 平移方向、平移距离；平移只改变位置，图形形状、大小完全不变（平移前后全等）。 2. 平移性质 （1）对应线段平行（或共线）且长度相等，对应角大小相等； （2）所有对应点之间的连线互相平行（或共线）、长度相等。 3. 平面直角坐标变换 已知点 ： - 向右平移 个单位： - 向左平移 个单位： - 向上平移 个单位： - 向下平移 个单位： 口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标 4. 平移作图步骤 （1）提取图形全部顶点关键点； （2）逐个平移顶点，画出对应点； （3）按原图顺序连接对应顶点，标注字母、保留辅助虚线。 【易错提醒】 平移坐标极易记反加减；旋转顺、逆时针 坐标公式不要混淆 即时即练如图所示的图形是将坐标为的点用线段依次连接而成的． (1)将上述各“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将得到的点用线段依次连接起来，这样得到的图形与原图形相比有什么变化？如果原图形各“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别加3呢？ (2)将原图形向下平移3个单位长度，写出平移后图形各“顶点”的坐标．如果将原图形向左平移3个单位长度呢？ 【答案】(1)形状､大小相同，只是位置发生了变化：向右平移了3个单位长度；形状、大小相同，只是位置发生了变化：向上平移了3个单位长度． (2)，，，，，，，，；，，，，，，，， 【分析】本题考查坐标与图形的变化-平移等知识，解题的关键是理解题意，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）根据坐标的变化作出图形即可，再探究规律利用规律解决问题即可． （2）根据平移的性质的计算求得对应的点坐标即可． 【详解】（1）解：“顶点”的纵坐标不变，横坐标分别加3，再将得到的点用线段依次连接起来，这样得到的图形如图所示． 与原图形相比：形状､大小相同，原来图形向右平移三个单位可得到新图形． 如果原图形各“顶点”的横坐标不变，纵坐标分别加3，再将得到的点用线段依次连接起来，这样得到的图形如上图所示，形状、大小相同，只是位置发生了变化：向上平移了3个单位长度． （2）解：将原图形向下平移3个单位长度，则 ， 那么，，，，，，，，，； 将原图形向左平移3个单位长度，则 故，，，，，，，，． 知识点二 图形的旋转 1. 旋转三要素 旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度；旋转前后图形全等。 2. 旋转性质 （1）对应线段相等，对应角相等； （2）任意一组对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。 3. 找旋转中心方法 作两组对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心。 4. 绕原点旋转坐标变换 原始点 ： （1）逆时针旋转 ： （2）顺时针旋转 ： （3）旋转 ： 5. 旋转作图步骤 （1）连接旋转中心与图形各个顶点； （2）以中心为端点，将线段按指定角度、方向旋转，长度不变； （3）标记旋转后的顶点，顺次连接成图形。 【易错提醒】 旋转角是对应点与中心连线的夹角，不是图形内部内角 即时即练如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． (1)将绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后得到的． (2)将向上平移个单位，再向右平移个单位，画出平移后的． (3)若将绕原点旋转，的对应点的坐标是_________． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如（1）中图，即为所求． (3) 【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格特征，找出点、的对应点，顺次连接即可； （2）根据平移的性质，结合网格特征，找出点、、的对应点，顺次连接即可； （3）由旋转的性质及中心对称的定义得出点与关于原点中心对称，根据关于原点中心对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数即可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵将绕原点旋转，点的对应点为，， ∴点与关于原点中心对称， ∴的坐标为． 知识点三 中心对称与中心对称图形 1. 概念区分 （1）中心对称：两个独立图形，绕某一点旋转 后完全重合； （2）中心对称图形：单个图形自身绕中心点旋转 ，能与自身重合。 2. 中心对称性质 （1）一对对称点的连线经过对称中心，且被对称中心平分； （2）成中心对称的两个图形全等。 3. 坐标规律 点 关于原点中心对称的点： 4. 常见图形归类 · 中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆； · 非中心对称图形：等腰三角形、普通三角形、等腰梯形。 【易错提醒】 中心对称≠中心对称图形，一个描述两个图，一个描述单个图 即时即练如图，的三个顶点与点O均在正方形网格的格点上． (1)作，使得与关于点O成中心对称； (2)已知网格中小正方形的边长均为1，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别作出点关于点的对称点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：的面积． 知识点四 手拉手模型 1. 模型构成 两个等腰（等边/等腰直角）三角形拥有公共顶点，等长腰为旋转边。 2. 核心结论（以等边 、等边 共顶点 举例） （1）全等：（SAS 判定）； （2）线段相等：； （3）夹角固定：、 相交夹角等于顶角（等边夹角 ，等腰直角夹角 ）。 3. 通用证明思路 （1）由等腰得两组等线段； （2）公共角±同一个角，得到两组边的夹角相等； （3）用 SAS 证三角形全等，再推导边角等量关系。 4. 拓展 等腰直角三角形、顶角相等的任意等腰三角形都可构成手拉手旋转全等。 【易错提醒】 手拉手必须是共顶点、等腰长，无等腰不能直接套用全等结论 即时即练综合探究与应用 (1)如图1，在和中，，，，点B在上，连接．则与的关系为_____________． 【类比应用】 (2)如图2，在中，，，将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度（）得到线段，连接，过点A作的垂线，分别交与射线于点D，F，连接． ①线段绕点A旋转的过程中，的度数是否发生变化？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； ②直接写出、、这条线段的数量关系为________________； ③若，，请直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；②；③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理求直角三角形的边长，等腰三角形的性质等知识，综合性强． （1）与的关系为：，．通过证明，由全等三角形对应边相等，对应角相等可得，，再证，从而证得； （2）①，证明思路：先证明，是等腰三角形，通过已知条件，，结合三角形内角和定理，推导出， ，从而证得； ②，证明思路：过点A作交延长线于点H，先证 ，从而证明是等腰直角三角形，再证，由全等三角形的性质可得，结合等腰直角三角形性质，证得； ③先证，结合②的结论以及，得到，再求得，在中，由勾股定理可知，， 运用完全平方公式，变形得到，从而求得的值，最后求得的面积． 【详解】（1）解：与的关系为：，，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故，； （2）解：①，理由如下： ∵将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度得到线段， ∴，， 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 同理，在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ②，证明如下： 如图，过点A作交延长线于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 由①可知，， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③由②可知，，， ∴， 即． 由②可知，， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型1 利用平移的性质求解 例1. 如图，三角形沿方向平移，得到三角形，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得，再根据即可得解． 【详解】解：由题意知， ， ∴， ． 例2. 如图，在中，．将沿向右平移，得到，与交于点F，连接，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】24 【分析】利用平移的性质得到，，，从而可得，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵将沿向右平移，得到，与交于点F，连接，若，， ∴，，， ∴ ∵， ∴ ． 【易错警示】 1. 平移两要素：平移方向、平移距离； 2. 平移核心性质：对应线段平行（或共线）且相等、对应角相等、对应点连线平行且相等； 3. 应用：求线段长、角度、阴影面积、图形周长等量代换。 【变式训练1-1】如图，在中，，将沿方向平移，若，则平移距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质可知平移距离等于对应点间的距离，即，结合图形中线段的关系，利用已知条件建立方程求解即可． 【详解】解：设平移距离为， 沿方向平移得到， ， ， ， ， ， 解得， 即平移距离是． 【变式训练1-2】如图，将一块直角三角尺（，）沿射线方向平移到三角尺的位置，点的对应点为点．若，，则的长为________． 【答案】5 【分析】根据平移的性质得出，利用线段的和差关系求出的长，进而求得的长度，最后根据含角的直角三角形的性质求得的长． 【详解】解：∵直角三角尺沿射线方向平移到三角尺的位置，点的对应点为点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴． 题型2 平移坐标的变换 例3．已知三角形顶点坐标分别是，，，将三角形平移后顶点A的对应点的坐标是，则点B的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点A和平移后对应点的坐标找出三角形的平移规律，再据此计算点B的对应点的坐标即可. 【详解】解：∵点平移后的对应点为， 计算得横坐标平移量：，纵坐标平移量：， ∴向右平移了个单位长度，向上平移了个单位长度， ∵点B的坐标为， ∴点B的对应点的坐标为，即. 例4．如图，点A、C的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，得到，点O的对应点D在线段上，若，则点A的对应点B的坐标为 ________． 【答案】 【分析】由题意可得，从而得出，即，进而得出平移方式，由此即可得出结果． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵点O的对应点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴将沿x轴向右平移个单位长度，得到， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为，即． 【技巧总结】 1. 坐标变换口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标 点 (x,y) 向右平移 a：(x+a,y)；向左 a：(x-a,y)；向上 b：(x,y+b)；向下 b：(x,y-b) 2. 反向推导：已知平移前后坐标，反求平移方向距离；已知终点坐标求原坐标。 【变式训练2-1】将线段平移得到线段，点的对应点为，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】线段平移时所有点的平移规律一致，先根据点A及其对应点C得到平移规律，再计算点B的对应点D的坐标即可． 【详解】解：∵线段平移得到线段，点的对应点为． ∴平移规律为横坐标增加，纵坐标增加． ∵点的坐标为． ∴点的对应点的横坐标为，纵坐标为． 即的坐标为． 【变式训练2-2】在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，点A和点B的对应点分别是点和点，如果点的坐标是，那么点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据点平移的性质进行求解． 【详解】解：∵点的对应点为点， ∴可以看作点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴点的坐标为，即． 题型3 平移或旋转作图 例5．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．请按要求画图： (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出； (2)将以原点O为旋转中心，旋转后得到，画出． (3)若与关于点Q成中心对称，则点Q的坐标为_______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据平移的性质，即可获得答案； （2）根据旋转的性质，即可获得答案； （3）连接，则交点即为与的对称中心，结合图形确定点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，连接，则交点即为与的对称中心， 由图可知，． 例6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． (1)画出将先向下平移个单位；再向左平移个单位后所得的；（点、、的对应点分别为点、、） (2)画出将绕着原点顺时针旋转后所得的，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为点、） 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用平移的性质得出对应点，再顺次连接得即可； （2）确定绕点O按顺时针方向旋转的对应点，再顺次连接得；直接写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略，点的坐标． 【技巧总结】 1. 网格作图标准步骤：定点→找点对应位置→顺次连线； 2. 平移：每个顶点同步平移相同方向距离； 3. 旋转：每个顶点绕旋转中心转指定角度； 【变式训练3-1】如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)请画出绕O顺时针旋转后的，并写出点的坐标_________； (3)若将平移得到，使得点A与D对应，点B与E对应，点C与F对应，其中点D的坐标为，则平移的距离为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3) 【分析】（1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案； （2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案； （3）根据与得到平移方式，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，即为所求；． （3）解：∵平移后的对应点为，且， ∴将向右平移一个单位，再向下平移4个单位，得到， ∴平移的距离为． 【变式训练3-2】在平面直角坐标系中有，其中网格均为正方形且边长为1单位长度． (1)画出沿着y轴正方向移动2个单位，沿着x轴正方向移动5个单位的图形； (2)画出关于点O的中心对称图形； (3)的面积为_________． 【答案】(1)如图：即为所求， (2)如图：即为所求， (3) 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据成中心对称图形的性质作图即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图： 的面积为． 题型4 找旋转中心、旋转角、对应点 例7. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是_____ 【答案】点 【分析】根据旋转的性质，旋转点到旋转中心的距离相等即可求解． 【详解】解：观察图象，可知点对应点， 在点、、中，仅有， 故点H为旋转中心． 例8. 如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 【详解】解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 【易错警示】 1. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向（顺/逆时针）、旋转角度； 2. 找旋转中心方法：两组对应点连线的垂直平分线交点； 3. 旋转角：一组对应点与旋转中心连线的夹角； 4. 对应点到旋转中心距离必然相等。 【变式训练4-1】如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____． 【答案】G 【分析】分别连接两组对应点作它们的垂直平分线，确定两条垂直平分线的交点，该交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：分别作线段和的垂直平分线， ， 由图可得，旋转中心为点． 【变式训练4-2】如图，将经过旋转得到，则旋转中心是点________，此时，________，________，________． 【答案】 A D DE 3 【分析】本题考查了旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； 根据旋转的性质，确定旋转的中心，找出对应角和对应边． 【详解】解：观察图片可知旋转中心为A， 在旋转过程中，对应角相等，对应边相等； ∴，， ∴ 故答案为：A，D，DE，3 ． 题型5 中心对称图形 例9．下列图形，为中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，故此选项正确； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C． 例10．下列图标中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的概念：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各选项分析判断即可． 【详解】 解：A. 不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B. 是中心对称图形，故本选项符合题意； C. 不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D. 不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 【技巧总结】 1. 概念区分： （1）中心对称：两个图形关于一点对称； （2）中心对称图形：一个图形自身旋转 180°和自身重合； 2. 常见图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆；三角形、等腰梯形不是； 3. 坐标：点 (x,y) 关于原点中心对称点 (-x,-y)。 【变式训练5-1】北京时间2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射．下列和中国航天有关的部分图案中，属于中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 【变式训练5-2】下列图案中，是中心对称图形的是（     ） A．三叶玫瑰线 B．蝴蝶曲线 C．笛卡尔心形线 D．科克曲线 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，对各个选项进行判断即可 【详解】解：A、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形，故本选项符合题意． 题型6 旋转坐标的变化 例11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用旋转的性质，先证为等边三角形，再用含角的直角三角形性质求的长度，最后通过作辅助线构造含角的直角三角形，直接用边长关系求点的坐标． 【详解】解：过点作轴于点， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，． ∴是等边三角形， ∴． ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴． ∵，， ∴． ∴， 由勾股定理得：． ∴点的坐标为． 例12．如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解此题的关键．过点作轴于C点，由等边三角形的性质可得：，由旋转的性质可得：，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于C点， 是等边三角形， ， 由旋转可知：， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【技巧总结】 1.绕原点旋转 90°、180°坐标公式： （1）逆时针 90°：(x,y)→(-y,x) （2）顺时针 90°：(x,y)→(y,-x) （3）旋转 180°：(x,y)→(-x,-y) 2. 绕非原点定点旋转：先平移原点→旋转→平移还原坐标。 【变式训练6-1】如图，已知点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段．其中点的坐标是，点的坐标是，且点A与点是对应点，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转对称的知识点，准确分析作图是解题的关键． 连接，分别作的垂直平分线，交点即为点，由对应点连线的垂直平分线的交点为旋转中心即可求解． 【详解】解：如图，连接，分别作的垂直平分线，交点即为点， 由图象可知，点的坐标为． 故选：B． 【变式训练6-2】如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转，得到，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线构造出直角三角形． 过点C作轴于点E，由题意可得，，再利用含度直角三角形的性质，求解即可． 【详解】解：过点C作轴于点E， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 题型7 利用旋转的性质求解 例13. 平移、轴对称、旋转所具有的共同性质不包括（    ） A．变换前后两个图形重合 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应线段平行或在一条直线上 【答案】D 【分析】本题考查几何变换的类型，平行线的性质，利用平移，轴对称，旋转的性质一一判断即可． 【详解】解：平移、轴对称、旋转所具有的共同性质：变换前后两个图形重合，对应线段相等，对应角相等， 故选：D． 例14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴， ∴． 【易错警示】 1. 旋转核心性质：对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心距离相等； 2. 必考模型：等边/等腰直角三角形旋转，构造手拉手全等，证线段相等、角度 60°/90°。 【变式训练7-1】如图，是由绕点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．根据旋转的性质对各选项进行判断，即可解题． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，， ∴A、B、C正确，不符合题意； 不一定成立，D符合题意． 【变式训练7-2】如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，使点的对应点在边上，点的对应点为，则________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针方向旋转得到， ，， 点在边上， ， 在中，， ． 题型8 旋转中的规律性问题 例15．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】作轴，轴，垂足分别为， 由题意得，， ， ，， ，， ，， 如图，与关于原点对称，，，，，，，……， 观察可知，点到点为一个变换周期，，即点的坐标为． 例16．李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 【技巧总结】 1. 周期旋转：图形循环转动，找周期数，求第 n 次旋转后的坐标/位置； 2. 滚动旋转：三角形、正方形沿直线滚动，求顶点运动路程、坐标。 【变式训练8-1】如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 【答案】8105 【分析】观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2026除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴将绕点顺时针旋转到位置①时，， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②时，， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③时，， ……， 以此类推可知，每旋转3次为一个循环组，每一个循环长度增加12， ∵， ∴ ． 【变式训练8-2】如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意得出点坐标变化规律． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，, ∴, ∴, 将绕原点O逆时针旋转得到等腰直角三角形，且, ∴, , 依此规律， ∴每4次循环一周，... 总结规律得：横纵坐标的绝对值是， ∵， ∴与在同一象限，即第三象限， ∴点． 题型9 根据中心对称的性质求解 例17．如图，在等边中，为的中点，连接，，与B关于点成中心对称，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质和勾股定理求得，再根据中心对称的性质，即可得． 【详解】解：∵等边中，为的中点， ∴，，， ， ∵， ∴， 解得（负值已经舍去）， ∵与关于点成中心对称， ∴． 例18．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键，根据中心对称图形的特点得到，，，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，． ． ， ． 故选：C ． 【技巧总结】 1. 性质：对称点连线经过对称中心，且被中心平分； 2. 应用：求线段长度、坐标、图形全等证明、平行四边形判定。 【变式训练9-1】如图，与关于点成中心对称，若，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得点是和的中点，从而求出的长，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长，进而求出的长； 【详解】解：与关于点成中心对称， 点是和的中点， ， ， ， ， 是直角三角形， 在直角三角形中，， 由勾股定理得：， ． 【变式训练9-2】如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及矩形的面积公式即可解答． 【详解】解：直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点， 如下图，过点作于点，则阴影部分面积等于矩形的面积， ，， ， 阴影部分的面积之和为． 故答案为：． 1．未来将是一个可以预见的时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，图标是中心对称图形的是（     ） A．豆包 B． C．讯飞星火 D．智谱清言 【答案】B 【详解】解：A、不是中心对称图形； B、是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、不是中心对称图形. 2．点向下平移1个单位长度后所得点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平移规律为：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减．本题仅向下平移，横坐标不变，只需要计算平移后的纵坐标即可． 【详解】解：∵将点，向下平移1个单位长度，没有左右平移， ∴横坐标不变，仍为， ∴平移后的纵坐标为， ∴平移后所得点的坐标为． 3．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 【答案】B 【分析】由平移的性质可得，，，则，再结合，计算即可得出结果． 【详解】解：由平移的性质可得：，，， ∴，， ∴． 4．将点平移到称为将点P进行“t型平移”，将图形上的所有点进行“t型平移”称为将图形进行“t型平移”．已知点和点，若线段进行“t型平移”后与y轴有公共点，则t的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“t型平移”的定义，得出关于t的不等式组，据此进行计算即可． 【详解】解：由题知，点A和点B进行“t型平移”后对应点的坐标分别为和， ∵线段进行“t型平移”后与y轴有公共点， ∴点A和点B“t型平移”后的对应点在y轴两侧（包括y轴上）， ∵， ∴， 解得：. 5．如图，在中，，将沿的方向平移得到，其中的对应点分别是点．若点是的中点，，则点与点之间的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，平移的性质；根据勾股定理求得的长，进而根据平移的性质可得，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 将沿方向平移得到，点是的中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ． 6．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为____． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，可得和的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， 根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得，， ∴． 7．在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为，则点D坐标为 __________ ． 【答案】 【详解】解：∵点的对应点C的坐标为， ，， ∴平移规律为向右平移6个单位，向下平移3个单位， ∴的对应点D的坐标为，即． 8．如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点O在原点，顶点B在x轴上，已知，，将等腰三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第100次旋转后，点A的坐标为______． 【答案】 【分析】过点A作轴于C．由等腰三角形的性质可得；再根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得；再根据旋转的性质并画出图形得到，，，，，，…，6次一个循环，然后再求第100次旋转后，点A的坐标即可． 【详解】解：过点A作轴于点C． ∵，， ∴， 在中，，，即， ∴，， ∴， ∴， ∵将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转， ∴、在y轴上，易得，； 与A关于y轴对称，则； 与关于x轴对称，则； 与关于y轴对称，则， 与A重合，即； ∴，，，，，，…，6次一个循环， ∵， ∴． 9．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到．点A，B，C的对应点分别为D，O，E． (1)请在图中画出； (2)若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据点B的对应点为O找出平移规律，进而作图即可； （2）根据平移规律可知Q的坐标． 【详解】（1）解：点的对应点为， ∴将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到， 如图，即为所求； （2）解：∵将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到， ∴点P在内的对应点Q的坐标为． 10．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形） (1)若和关于原点O成中心对称图形，画出； (2)将绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的； (3)在x轴上存在一点P，满足点到点与点距离之和最小，标出点P的位置，并直接写出的最小值为____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图形见解析， 【分析】（1）根据中心对称图形的定义画图即可； （2）根据旋转的定义画图即可； （3）如图所示，过点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据的最小值为，进行计算即可． 【详解】（1）解：如图为所作图形： （2）解：如图为所作图形： （3）解：如图所示，过点关于轴的对称点，连接交轴于点， ， 的最小值为． 11．问题情境：数学活动课上，同学们以“三角形旋转”为主题开展探究活动，其中旋转角．已知中，，，点为内部一点，且，连接． (1)旋转作图：将绕点逆时针旋转，使得旋转后点的对应点是点．在图1中画出旋转后的图形，点的对应点记为点，连接，交于点．（作图工具不限） (2)初步分析：慧眼小组聚焦研究“旋转变化中的不变性”．他们发现，在图1中，当点位置发生变化时，和的形状和大小都发生了改变，但是和的数量关系和位置关系都不发生改变．你同意该小组发现的结论吗？若同意，请写出和的数量关系和位置关系，并证明；若不同意，请说明理由． (3)深入探究：善思小组聚焦研究“旋转到特殊位置时产生的新结论”．在（1）的条件下，他们改变点的位置，提出如下问题，请你直接写出结果． ①当旋转到恰好是等腰三角形时，________． ②如图2，当旋转到点、、恰好在一条直线上时，线段的长度为________． 【答案】(1)解：用量角器在右侧画，且，连接交于，作图如下： (2)解：，，理由如下： 如图，延长交于， 由旋转可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)①或；② 【分析】（1）用量角器在右侧画，且，连接交于，从而可完成作图． （2）如图，延长交于，由旋转可得：，可得，，再证明即可． （3）如图，当三点共线时，结合旋转可得：，，，过作于，可得，进一步结合勾股定理可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①由旋转可得：，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴不符合题意，舍去， 综上：或. ②如图，当三点共线时， 由旋转可得：，，，， ∴，， 过作于， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴. 12．探究与应用： (1)【问题提出】如图1，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在内部，连接． ①求证：； ②若，求证：； (2)【问题探究】如图2，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在外部，连接，若仍然成立，求的度数； (3)【问题拓展】如图3，和都是等腰直角三角形，，将绕点A旋转，使点D落在外部，连接，若，，，请直接写出的长． 【答案】(1)①证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 在中，由勾股定理得：， 由①知， ∴； (2)的度数为 (3) 【分析】（1）①证明即可证明结论；②证明，根据即可得出结论； （2）证明，得出是直角三角形，且，即可求出结论； （3）证明，得出是等腰直角三角形，求出，再根据勾股定理求出结论； 【详解】（1）略 （2）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ∴的度数为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的平移与旋转 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 利用平移的性质求解 题型2 平移坐标的变换 题型3 平移或旋转作图 题型4 找旋转中心、旋转角、对应点 题型5 中心对称图形 题型6 旋转坐标的变化 题型7 利用旋转的性质求解 题型8 旋转中的规律性问题 题型9 根据中心对称的性质求解 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 利用平移的性质求解 2. 平移坐标的变换 3. 平移或旋转作图 4. 找旋转中心、旋转角、对应点 5. 中心对称图形 6. 旋转坐标的变化 7. 利用旋转的性质求解 8. 旋转中的规律性问题 9. 根据中心对称的性质求解 1. 固定题型分值布局 （1）选择、填空（基础保分） 1. 概念辨析：判断平移/旋转图案、区分轴对称&中心对称图形； 1. 坐标速算：平移、原点旋转 90°/180°坐标直接写答案； 1. 简单计算：平移距离、旋转角度、对称线段长度； 1. 周期小题：短周期旋转找第几次位置。 （2）中档解答作图题（核心基础） 1. 网格作图必考：平移作图、旋转作图、中心对称作图三选一或组合； 1. 作图后配套设问：写出变换后顶点坐标、求图形面积； 1. 简单证明：用平移/旋转性质证线段相等、两直线平行。 （3）压轴探究大题（拉分区分） 1. 旋转手拉手综合：等边、等腰直角三角形旋转，全等证明 + 长度/角度计算； 1. 动态旋转规律：多圈周期滚动、多次平移叠加坐标； 1. 几何融合：变换 + 平行四边形、勾股定理结合求值； 1. 少量新定义变换题型。 2. 五大核心命题趋势 趋势 1：坐标与变换深度绑定，数形结合必考 几乎所有基础题、中档题都放入平面直角坐标系；平移、旋转、中心对称全部搭配坐标运算；中考持续延续坐标变换考法，对接函数几何综合。 趋势 2：旋转是拔高核心，手拉手全等模型反复考 平移以基础计算、坐标为主，旋转承担区分度；等腰、等边、直角三角形共顶点旋转构造 SAS 全等是期末、中考几何经典模型；常考线段相等、夹角固定（60°、90°）。 趋势 3：作图规范硬性打分，步骤痕迹不能省 网格作图有固定扣分点：无辅助虚线、不标对应点、字母标错直接扣一半分；平移旋转作图步骤标准化阅卷。 趋势 4：知识融合化，极少单一考点出题 主流组合套路： 1. 平移坐标 + 图形面积； 2. 旋转性质 + 全等三角形证明； 3. 中心对称坐标 + 平行四边形判定； 4. 多次平移 + 旋转复合变换求最终坐标。 考情解码： 1. 坐标变换强制口诀默写：平移“左减右加横，上加下减纵”；旋转原点 90°公式单独整理背诵； 2. 旋转模型固化套路：看到共顶点等边/等腰直角，直接锁定手拉手 SAS 全等； 3. 作图固定四步模板：描顶点→画平移/旋转辅助线→描对应点→连线标字母； 4. 区分概念表格记忆：平移/旋转/中心对称、中心对称/中心对称图形成对对比； 5. 复杂绕定点旋转分步拆解：平移归零→原点旋转→平移还原，避免一步算错； 6. 规律周期题先算周期长度，再用总次数÷周期，看余数定位最终位置。 知识点一 图形的平移 1. 核心要素 平移方向、平移距离；平移只改变位置，图形形状、大小完全不变（平移前后全等）。 2. 平移性质 （1）对应线段平行（或共线）且长度相等，对应角大小相等； （2）所有对应点之间的连线互相平行（或共线）、长度相等。 3. 平面直角坐标变换 已知点 ： - 向右平移 个单位： - 向左平移 个单位： - 向上平移 个单位： - 向下平移 个单位： 口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标 4. 平移作图步骤 （1）提取图形全部顶点关键点； （2）逐个平移顶点，画出对应点； （3）按原图顺序连接对应顶点，标注字母、保留辅助虚线。 【易错提醒】 平移坐标极易记反加减；旋转顺、逆时针 坐标公式不要混淆 即时即练如图所示的图形是将坐标为的点用线段依次连接而成的． (1)将上述各“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别加3，再将得到的点用线段依次连接起来，这样得到的图形与原图形相比有什么变化？如果原图形各“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别加3呢？ (2)将原图形向下平移3个单位长度，写出平移后图形各“顶点”的坐标．如果将原图形向左平移3个单位长度呢？ 知识点二 图形的旋转 1. 旋转三要素 旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度；旋转前后图形全等。 2. 旋转性质 （1）对应线段相等，对应角相等； （2）任意一组对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。 3. 找旋转中心方法 作两组对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心。 4. 绕原点旋转坐标变换 原始点 ： （1）逆时针旋转 ： （2）顺时针旋转 ： （3）旋转 ： 5. 旋转作图步骤 （1）连接旋转中心与图形各个顶点； （2）以中心为端点，将线段按指定角度、方向旋转，长度不变； （3）标记旋转后的顶点，顺次连接成图形。 【易错提醒】 旋转角是对应点与中心连线的夹角，不是图形内部内角 即时即练如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． (1)将绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后得到的． (2)将向上平移个单位，再向右平移个单位，画出平移后的． (3)若将绕原点旋转，的对应点的坐标是_________． 知识点三 中心对称与中心对称图形 1. 概念区分 （1）中心对称：两个独立图形，绕某一点旋转 后完全重合； （2）中心对称图形：单个图形自身绕中心点旋转 ，能与自身重合。 2. 中心对称性质 （1）一对对称点的连线经过对称中心，且被对称中心平分； （2）成中心对称的两个图形全等。 3. 坐标规律 点 关于原点中心对称的点： 4. 常见图形归类 · 中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆； · 非中心对称图形：等腰三角形、普通三角形、等腰梯形。 【易错提醒】 中心对称≠中心对称图形，一个描述两个图，一个描述单个图 即时即练如图，的三个顶点与点O均在正方形网格的格点上． (1)作，使得与关于点O成中心对称； (2)已知网格中小正方形的边长均为1，求的面积． 知识点四 手拉手模型 1. 模型构成 两个等腰（等边/等腰直角）三角形拥有公共顶点，等长腰为旋转边。 2. 核心结论（以等边 、等边 共顶点 举例） （1）全等：（SAS 判定）； （2）线段相等：； （3）夹角固定：、 相交夹角等于顶角（等边夹角 ，等腰直角夹角 ）。 3. 通用证明思路 （1）由等腰得两组等线段； （2）公共角±同一个角，得到两组边的夹角相等； （3）用 SAS 证三角形全等，再推导边角等量关系。 4. 拓展 等腰直角三角形、顶角相等的任意等腰三角形都可构成手拉手旋转全等。 【易错提醒】 手拉手必须是共顶点、等腰长，无等腰不能直接套用全等结论 即时即练综合探究与应用 (1)如图1，在和中，，，，点B在上，连接．则与的关系为_____________． 【类比应用】 (2)如图2，在中，，，将线段绕点A按逆时针方向旋转一个角度（）得到线段，连接，过点A作的垂线，分别交与射线于点D，F，连接． ①线段绕点A旋转的过程中，的度数是否发生变化？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由； ②直接写出、、这条线段的数量关系为________________； ③若，，请直接写出的面积． 题型1 利用平移的性质求解 例1. 如图，三角形沿方向平移，得到三角形，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 例2. 如图，在中，．将沿向右平移，得到，与交于点F，连接，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【易错警示】 1. 平移两要素：平移方向、平移距离； 2. 平移核心性质：对应线段平行（或共线）且相等、对应角相等、对应点连线平行且相等； 3. 应用：求线段长、角度、阴影面积、图形周长等量代换。 【变式训练1-1】如图，在中，，将沿方向平移，若，则平移距离是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】如图，将一块直角三角尺（，）沿射线方向平移到三角尺的位置，点的对应点为点．若，，则的长为________． 题型2 平移坐标的变换 例3．已知三角形顶点坐标分别是，，，将三角形平移后顶点A的对应点的坐标是，则点B的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 例4．如图，点A、C的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，得到，点O的对应点D在线段上，若，则点A的对应点B的坐标为 ________． 【技巧总结】 1. 坐标变换口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标 点 (x,y) 向右平移 a：(x+a,y)；向左 a：(x-a,y)；向上 b：(x,y+b)；向下 b：(x,y-b) 2. 反向推导：已知平移前后坐标，反求平移方向距离；已知终点坐标求原坐标。 【变式训练2-1】将线段平移得到线段，点的对应点为，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，点A和点B的对应点分别是点和点，如果点的坐标是，那么点的坐标是______． 题型3 平移或旋转作图 例5．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为．请按要求画图： (1)将先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出； (2)将以原点O为旋转中心，旋转后得到，画出． (3)若与关于点Q成中心对称，则点Q的坐标为_______． 例6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． (1)画出将先向下平移个单位；再向左平移个单位后所得的；（点、、的对应点分别为点、、） (2)画出将绕着原点顺时针旋转后所得的，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为点、） 【技巧总结】 1. 网格作图标准步骤：定点→找点对应位置→顺次连线； 2. 平移：每个顶点同步平移相同方向距离； 3. 旋转：每个顶点绕旋转中心转指定角度； 【变式训练3-1】如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点对称的； (2)请画出绕O顺时针旋转后的，并写出点的坐标_________； (3)若将平移得到，使得点A与D对应，点B与E对应，点C与F对应，其中点D的坐标为，则平移的距离为_________． 【变式训练3-2】在平面直角坐标系中有，其中网格均为正方形且边长为1单位长度． (1)画出沿着y轴正方向移动2个单位，沿着x轴正方向移动5个单位的图形； (2)画出关于点O的中心对称图形； (3)的面积为_________． 题型4 找旋转中心、旋转角、对应点 例7. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是_____ 例8. 如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【易错警示】 1. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向（顺/逆时针）、旋转角度； 2. 找旋转中心方法：两组对应点连线的垂直平分线交点； 3. 旋转角：一组对应点与旋转中心连线的夹角； 4. 对应点到旋转中心距离必然相等。 【变式训练4-1】如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转变化得到，则旋转中心为点_____． 【变式训练4-2】如图，将经过旋转得到，则旋转中心是点________，此时，________，________，________． 题型5 中心对称图形 例9．下列图形，为中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 例10．下列图标中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1. 概念区分： （1）中心对称：两个图形关于一点对称； （2）中心对称图形：一个图形自身旋转 180°和自身重合； 2. 常见图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆；三角形、等腰梯形不是； 3. 坐标：点 (x,y) 关于原点中心对称点 (-x,-y)。 【变式训练5-1】北京时间2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射．下列和中国航天有关的部分图案中，属于中心对称图形的是（     ） A．B． C． D． 【变式训练5-2】下列图案中，是中心对称图形的是（     ） A．三叶玫瑰线 B．蝴蝶曲线 C．笛卡尔心形线 D．科克曲线 题型6 旋转坐标的变化 例11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，点，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在上，点，的对应点分别为，．若，则点的坐标为（） A． B． C． D． 例12．如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为_______． 【技巧总结】 1.绕原点旋转 90°、180°坐标公式： （1）逆时针 90°：(x,y)→(-y,x) （2）顺时针 90°：(x,y)→(y,-x) （3）旋转 180°：(x,y)→(-x,-y) 2. 绕非原点定点旋转：先平移原点→旋转→平移还原坐标。 【变式训练6-1】如图，已知点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段．其中点的坐标是，点的坐标是，且点A与点是对应点，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转，得到，则点的坐标是_______． 题型7 利用旋转的性质求解 例13. 平移、轴对称、旋转所具有的共同性质不包括（    ） A．变换前后两个图形重合 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应线段平行或在一条直线上 例14. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．若已知旋转角为，，则的度数为______． 【易错警示】 1. 旋转核心性质：对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心距离相等； 2. 必考模型：等边/等腰直角三角形旋转，构造手拉手全等，证线段相等、角度 60°/90°。 【变式训练7-1】如图，是由绕点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，使点的对应点在边上，点的对应点为，则________． 题型8 旋转中的规律性问题 例15．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 例16．李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1. 周期旋转：图形循环转动，找周期数，求第 n 次旋转后的坐标/位置； 2. 滚动旋转：三角形、正方形沿直线滚动，求顶点运动路程、坐标。 【变式训练8-1】如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________． 【变式训练8-2】如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 题型9 根据中心对称的性质求解 例17．如图，在等边中，为的中点，连接，，与B关于点成中心对称，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D． 例18．如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1. 性质：对称点连线经过对称中心，且被中心平分； 2. 应用：求线段长度、坐标、图形全等证明、平行四边形判定。 【变式训练9-1】如图，与关于点成中心对称，若，，，则的长为_____． 【变式训练9-2】如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为________． 1．未来将是一个可以预见的时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，图标是中心对称图形的是（     ） A．豆包 B． C．讯飞星火 D．智谱清言 2．点向下平移1个单位长度后所得点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 4．将点平移到称为将点P进行“t型平移”，将图形上的所有点进行“t型平移”称为将图形进行“t型平移”．已知点和点，若线段进行“t型平移”后与y轴有公共点，则t的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，将沿的方向平移得到，其中的对应点分别是点．若点是的中点，，则点与点之间的距离为______． 6．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为____． 7．在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到线段（点A对应点C，点B对应点D），已知点C坐标为，则点D坐标为 __________ ． 8．如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点O在原点，顶点B在x轴上，已知，，将等腰三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，第100次旋转后，点A的坐标为______． 9．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到．点A，B，C的对应点分别为D，O，E． (1)请在图中画出； (2)若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标为 ． 10．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形） (1)若和关于原点O成中心对称图形，画出； (2)将绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的； (3)在x轴上存在一点P，满足点到点与点距离之和最小，标出点P的位置，并直接写出的最小值为____． 11．问题情境：数学活动课上，同学们以“三角形旋转”为主题开展探究活动，其中旋转角．已知中，，，点为内部一点，且，连接． (1)旋转作图：将绕点逆时针旋转，使得旋转后点的对应点是点．在图1中画出旋转后的图形，点的对应点记为点，连接，交于点．（作图工具不限） (2)初步分析：慧眼小组聚焦研究“旋转变化中的不变性”．他们发现，在图1中，当点位置发生变化时，和的形状和大小都发生了改变，但是和的数量关系和位置关系都不发生改变．你同意该小组发现的结论吗？若同意，请写出和的数量关系和位置关系，并证明；若不同意，请说明理由． (3)深入探究：善思小组聚焦研究“旋转到特殊位置时产生的新结论”．在（1）的条件下，他们改变点的位置，提出如下问题，请你直接写出结果． ①当旋转到恰好是等腰三角形时，________． ②如图2，当旋转到点、、恰好在一条直线上时，线段的长度为________． 12．探究与应用： (1)【问题提出】如图1，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在内部，连接． ①求证：； ②若，求证：； (2)【问题探究】如图2，和都是等边三角形，将绕点C旋转，使点D落在外部，连接，若仍然成立，求的度数； (3)【问题拓展】如图3，和都是等腰直角三角形，，将绕点A旋转，使点D落在外部，连接，若，，，请直接写出的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $