专题02 一元一次不等式与一元一次不等式组（暑假复习讲义）新九年级数学新教材北师大版

专题02 一元一次不等式与一元一次不等式组 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 不等式的概念理解 题型2 不等式的基本性质 题型3 一元一次不等式（组）的定义 题型4 解一元一次不等式（组） 题型5 根据一元一次不等式的解集求参数 题型6 根据一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围 题型7 根据一元一次不等式组的解集情况求参数的取值范围 题型8 整式方程（组）与一元一次不等式（组）结合求参数的取值范围 题型9 一元一次不等式（组）与一次函数的综合问题 题型10 用一元一次不等式与不等式组的解决实际问题 题型11 不等式与不等式组中的新定义型问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.不等式的概念理解 2.不等式的基本性质 3.一元一次不等式（组）的定义 4.解一元一次不等式（组） 5.根据一元一次不等式的解集求参数 6.根据一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围 7.根据一元一次不等式组的解集情况求参数的取值范围 8.整式方程（组）与一元一次不等式（组）结合求参数的取值范围 9.一元一次不等式（组）与一次函数的综合问题 10.用一元一次不等式与不等式组的解决实际问题 11.不等式与不等式组中的新定义型问题 1. 题型分层固定布局 （1）选择、填空（基础保分） 1. 纯概念辨析：不等式性质变形对错、一元一次不等式定义判断； 1. 基础计算：直接求解集、数轴图像匹配、简单整数解； 1. 浅度含参：单一不等式求参数、简单无解情况判断； 1. 函数图像识图：直接看图读出不等式解集。 （2）中档解答题（核心主力） 1. 纯计算大题：解不等式+数轴表示、解不等式组并写出整数解； 1. 代数综合：方程组解代入不等式求参数范围； 1. 数形解答：画一次函数图像，利用图像解不等式、回答合算区间。 （3）压轴探究大题（拉分区分） 1. 含参压轴：不等式组整数解限制、无解/有解临界参数范围（端点极易漏等号）； 1. 方案应用压轴：多条件不等式组，多整数方案+最值计算； 1. 新定义创新题：现场转化不等关系，分层设问由浅入深； 1. 少数试卷搭配几何结合：三角形边长满足三边关系列不等式求值。 2. 五大核心命题大趋势 趋势1：性质3（乘负变号）全程贯穿，刻意设置陷阱 全章节所有计算、含参题目都会埋“系数为负”坑；只要系数化为1时除数是负数，不等号必须反向，是阅卷第一扣分点。 趋势2：含参数问题是中档与生分水岭，必考分类讨论 1. 系数含字母时，必须分讨论不等号方向； 1. 整数解、无解题型必须画数轴数形结合判断端点能否取等； 1. 阅卷标准：漏一种情况直接扣一半分数。 趋势3：数形结合常态化，不等式与一次函数深度绑定 1. 不单独考函数、不单独考不等式，二者捆绑出题； 1. 两种解法并行要求：代数纯计算法、图像观察法都要掌握； 1. 实际比价问题优先用函数建模再列不等式，贴合中考出题逻辑。 趋势4：应用题重建模、重实际约束，整数解必考查 1. 不再是简单列式计算，题干文字信息量大，需要自主提取“不少于、至多、不低于、超过”等不等关键词； 1. 未知数代表人数、件数、车辆，天然要求非负整数，算出范围后必须筛选整数方案； 1. 最后一问固定求最值（最少花费、最大利润）。 考情解码： 1.强制步骤习惯：系数化为1前先判断正负，负数立刻标注变号； 2.含参题目必画数轴：把参数标在数轴上，直观判断边界能不能取等号； 3.应用题三步模板：①设未知数 ②圈出不等关键词列不等式组 ③解范围筛整数 ④计算最值； 4.函数不等式双解法训练：先代数解，再画图验证，双向核对答案； 5.区分方程与不等式：方程等号无方向，不等式乘除负数必须换向，对比记忆减少混淆。 知识点一 不等式及其基本性质 （1）常用不等号： （2）不等式的解：单个满足条件的值 （3）不等式解集：所有解的整体范围 （5）加减不变向： 若 ，则 （6）乘正不变向： 若 ，则 （7）乘负必变向（重中之重） 若 ，则 【易错提醒】 即时即练若，则下列不等式中，不能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项，∵不等式两边同时加同一个常数，不等号方向不变，∴，A成立，不符合题意； B选项，∵，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得，不等式两边同时加，不等号方向不变，得，∴不成立，B符合题意； C选项，∵，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得，C成立，不符合题意； D选项，∵，不等式两边同时乘以，不等号方向不变，得，再两边同时减，不等号方向不变，得，D成立，不符合题意． 知识点二 一元一次不等式 （1）定义：只含一个未知数、次数为1、整式不等式 （2）标准形式： （3）解题步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 （4）数轴表示： · ：空心、不包含 · ：实心、包含 · 大于向右，小于向左 【易错提醒】 即时即练解不等式：，将解集在如图所示的数轴上表示出来，并写出它的非负整数解． 【答案】；画图见解析；非负整数解为0，1，2，3 【分析】先解不等式，求得，然后将解集在数轴上表示出来，由图即可求出非负整数解． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 化系数为1得：； 将解集表示在数轴上如图所示： 不等式的非负整数解为0，1，2，3． 知识点三 一元一次不等式与一次函数 设 1. ：图像在x轴上方对应的 2. ：图像在x轴下方对应的 3. ：直线1 高于 直线2的 范围 核心思想：看图像高低，定x取值范围 【易错提醒】 即时即练在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值；若此时图象经过点和点，试比较与的大小． (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）依据题意，由函数的图象由函数的图象平移得到，从而，将代入，得，则y随x的增大而增大，即可得与的大小； （2）在同一坐标系中画出，的图象，当时，，则，再结合图象即可求解． 【详解】（1）解：∵函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， 又∵函数过， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴； （2）解：由题意，结合（1）可得函数为，函数为， 在同一坐标系中画出，的图象如下： ∵当时，，，且当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值， ∴， ∴结合图象可得不能与平行， ∴． 知识点四 一元一次不等式组 （1）同大取大： （2）同小取小： （3）大小中间夹： （4）大大小小无解： 无解 （5）解题步骤：分别求解 → 数轴找公共部分 → 写解集、找整数解 【易错提醒】 即时即练解不等式组：并写出它的所有整数解； 【答案】；0，1，2，3，4 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∴原不等式组的所有整数解为0，1，2，3，4． 题型1 不等式的概念理解 例1. 下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：用等号连接，是等式，不是不等式； 选项B：是代数式，没有不等关系，不是不等式； 选项C：用不等号连接，表示不等关系，符合不等式的定义； 选项D：是单独的常数，属于代数式，不是不等式． 例2. 用适当的符号表示下列关系：是非负数___． 【答案】 【分析】根据非负数的定义，非负数是大于或等于的数，据此列出不等式即可. 【详解】解：因为非负数是指大于或等于的数，是非负数，所以可得. 【易错警示】 1. 识别不等符号：>、<、≥、≤、≠，有任意一个即为不等式； 2. 区分三个概念：解是单个数值，解集是全部解的集合，解不等式是计算解集的过程； 3. 判断数值是否为解：代入式子验算，式子成立就是不等式的解。 【变式训练1-1】下列不等式中，解不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：不成立，则不包含，故A符合题意； 成立，则包含，故B不符合题意； 成立，则包含，故C不符合题意； 成立，则包含，故D不符合题意． 【变式训练1-2】若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】由数轴可知，左边端点是空心圆，右边端点是实心点，所以不等式的解集是． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集是． 题型2 不等式的基本性质 例3．若，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A：∵不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴，故A错误； 对于选项B：∵不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ∴，故B正确； 对于选项C：∵不等式两边同时减，不等号方向不变， ∴，故C错误； 对于选项D：举例，当时，，故D错误． 例4．已知，则________（填“”“”或“”）． 【答案】< 【详解】解：， 不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得， 不等式两边同时加上，不等号方向不变，得． 【技巧总结】 1. 加减任意数，不等号方向永远不变； 2. 同乘/除以正数，不等号方向不变；同乘/除以负数，必须翻转不等号； 3. 比较大小变形题：逐个套用性质分步判断，重点标记乘数正负； 4. 传递推理：a>b，b>c，直接推出a>c。 【变式训练2-1】已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得，故A错误． B．不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得，故B正确． C．不等式两边先乘以，得，再两边同时减去，可得，故C错误． D．不等式两边同时除以，不等号方向不变，可得，故D错误． 【变式训练2-2】若，，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得， 不等式两边同时加1，得， 又∵， ∴． 题型3 一元一次不等式（组）的定义 例5．下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数次数是1，用不等号连接的整式不等式，逐一判断各式即可． 【详解】解：①，不含未知数，不是一元一次不等式； ②，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ③，含有一个未知数 ，未知数次数为1，是一元一次不等式； ④，是等式，不是不等式， 综上，一元一次不等式有②③，共2个． 例6．下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 【技巧总结】 1. 一元一次不等式三判断标准：整式形式、只含 1 个未知数、未知数次数为 1、未知数系数不为 0； 2. 不等式组判定：多个含有相同未知数的一元一次不等式联立； 3. 快速排除：出现平方、两个不同字母都不属于一元一次不等式。 【变式训练3-1】下列式子中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义判断各选项，一元一次不等式需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，左右两边为整式的不等式． 【详解】解：选项A 、 ，只含1个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式定义 选项B、 ，未知数次数为2，不符合定义 选项C 、 ，含有两个未知数，不符合定义 选项D 、 ，是分式，不是整式，不符合定义 ∴答案选A． 【变式训练3-2】下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 【答案】2 【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ③是一元一次不等式组； ④不是一元一次不等式组； ⑤，未知数的最高次数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有2个， 故答案为：2． 题型4 解一元一次不等式（组） 例7. 解不等式组：，并把解集表示在如图所示的数轴上； 【答案】， 【详解】解：由得：， 解不等式①得； 解不等式②得； ∴原不等式组的解集为； 数轴上表示解集：略． 例8. 解不等式组并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，再将解集表示在数轴上． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 数轴略 【易错警示】 1. 解单条不等式 步骤：去分母（每一项都乘公倍数）→去括号→移项（移项变号）→合并同类项→系数化为 1（负系数换向）； 2. 解不等式组 （1）分别求出两个不等式的解集； （2）画数轴标出两个范围，取重叠公共部分； （3）套用口诀：同大取大、同小取小、大小中间夹、大大小小无解； （4）数轴规范：>、<空心圈，≥、≤实心点，大于向右、小于向左。 【变式训练4-1】解不等式（组）． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解不等式的步骤，移项、合并同类项、系数化为1，解不等式即可； （2）分别解两个不等式，再取公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为：． 【变式训练4-2】下面是某同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得            第一步 去括号，得             第二步 移项，得              第三步 合并同类项，得               第四步 (1)任务一：以上解题过程从第__________步开始出现错误，这一步的正确写法应为__________； (2)任务二：请写出正确的解题过程，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】(1)一； (2)见解析 【分析】（1）根据解一元一次不等式的基本步骤进行判断即可； （2）按照解一元一次不等式的步骤求解，把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：以上解题过程从第一步开始出现错误，常数项1没有乘以10，正确写法应该是； （2）解： 由①去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； 由②移项得：， 解得：； 不等式组的解集为：； 将解集表示在数轴上，如图所示： 题型5 根据一元一次不等式的解集求参数 例9．如果不等式的解为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解集得到不等号方向的变化，即可判断系数的正负，进而求解的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解为，不等号方向发生改变， ∴， 解得． 例10．如果不等式的解集是，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，本题不等号方向改变，因此的系数小于，据此求解的取值范围． 【详解】解：移项整理原不等式得 ， 不等式的解集为，不等号方向发生改变， ， 解得：． 【技巧总结】 1. 正常化简不等式，把未知数单独放左边； 2. 对比已知解集，分两步：① 看不等号方向是否变化，判断未知数系数正负；② 等号对应数值列等式求参数； 3. 系数含字母时，必须分系数>0、<0两种情况讨论。 【变式训练5-1】已知不等式的解集是，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式两边同时除以同一个负数时，不等号方向改变，根据解集的不等号方向判断系数的正负即可求解． 【详解】解：∵ 不等式 的解集是，不等号方向发生改变． ∴ 根据不等式的基本性质，可得系数． 解得． 【变式训练5-2】若不等式两边同时除以，得，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式两边除以后不等号方向改变，可得为负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵不等式两边同时除以，不等号方向改变，得到， ∴， 解得． 题型6 根据一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围 例11．已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式组，得到，根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式；再解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解：， 由①得， ， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． ， 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 例12．若关于x的不等式组的整数解只有2个，则m的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先分别求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 因此不等式组的解集为， 由不等式组的整数解只有个，可得整数解为， 则的取值范围为． 【技巧总结】 1. 先正常解不等式组，写出不含参的解集区间； 2. 圈出题目限定的整数，画数轴定位整数位置； 3. 移动参数边界，试探临界值，重点检验端点能不能取等号； 4. 边界代入验证：取等时整数解变多变少，严格卡死范围。 【变式训练6-1】若整数使关于的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的整数的值之和为（   ） A．6 B．8 C．9 D．7 【答案】C 【分析】先求得不等式组的解集为，根据题意得到，据此求解即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有且只有3个整数解，即、0、1， ∴，解得， ∵是整数， ∴的取值为、0、1、2、3、4． ∴满足条件的整数的值之和为． 【变式训练6-2】若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数建立关于的不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 不等式组的解集为， 不等式组有且仅有4个整数解， 不等式组的个整数解为，，0，1， ． 题型7 根据一元一次不等式组的解集情况求参数的取值范围 例13. 已知关于x的不等式组的解集为，则的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，结合已知解集求出a和b的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 所以． 例14. 已知不等式组的解集为，则的值为______． 【答案】4 【分析】根据不等式组的解集求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组的解集为 ∴， ∴， ∴． 【易错警示】 分三类固定套路： 1. 解集为x>m：满足“同大取大”，参数满足小的边界≤大边界； 2. 不等式组无解：满足“大大小小”，左边下限≥右边上限； 3. 解集为a<x<b：保证下限数值小于上限数值； 全程搭配数轴直观判断端点等号取舍。 【变式训练7-1】若关于的不等式与不等式的解集相同，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别解两个不等式的解集，再根据两个解集相同，列式计算即可求出的值． 【详解】解：解不等式， ， ， ， ， ， 解不等式， ， ， ， ， ， 两个不等式的解集相同， ，解得． 【变式训练7-2】若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②：， ∵不等式组无解， ∴， 则． 题型8 整式方程（组）与一元一次不等式（组）结合求参数的取值范围 例15．若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤． 先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可． 【详解】解： 解方程组得， 根据题意得， 解得， ∴整数的最小值为1， 故选：C． 例16．已知关于、的方程组的解满足，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】根据加减消元法，得出，再结合，得到关于的不等式求解即可． 【详解】解：， 由得：， ， ， ， 【技巧总结】 1. 先解方程/方程组，用含参数的代数式表示未知数； 2. 把代数式代入题目给出的不等关系； 3. 解关于参数的新不等式，得到参数取值范围； 4. 额外限制：一元一次方程未知数系数不能为 0。 【变式训练8-1】若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 【变式训练8-2】若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用表示出和是解本题的关键． 方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围． 【详解】解： 得：，即， 得：， ∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式组， ∴ 解得：， 故答案为：． 题型9 一元一次不等式（组）与一次函数的综合问题 例17．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出此函数的图象；观察图象，当时，x的取值范围是 ； (3)若点C是y轴上一点，且的面积为2，求点C的坐标． 【答案】(1)这个一次函数的解析式是 (2)， (3)点C的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求出关系式即可； （2）先画出图象，再根据函数的增减性解答； （3）设点C的坐标，再根据面积公式得出方程，求出解． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， 所以一次函数关系式为； （2）解：如图所示， 当时，，解得； 当时，，解得， ∵一次函数，其中， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． 当时，， 即当时，； （3）解：设点，则，且， ∴， 解得或， ∴点或． 例18．如图，直线：与直线：相交于点，直线经过和 (1)求直线的解析式； (2)求出点坐标； (3)直接写出不等式的解集：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把和代入，即可得到函数解析式， （2）联立两个函数解析式，解方程组可得的坐标； （3）由函数图像的性质可得的解集． 【详解】（1）解：∵直线：经过和 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线直线交于点 ∴， 解得 ∴点的坐标为． （3）解：∵， 当时，则， 解得：， ∴与轴的交点坐标为：， ∵点的坐标为， ∴的解集是． 【技巧总结】 1. 单函数y=kx+b：kx+b>0取图像在 x 轴上方的x；kx+b<0取图像在 x 轴下方的x； 2. 双函数对比：找交点横坐标，取图像位置更高的一侧x范围； 3. 两种解法互通：图像观察法快速选答案，代数解不等式法精准计算。 【变式训练9-1】如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点与点． (1)求的值． (2)连接，求的面积． (3)根据图象，直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）把代入解析式，求出k的值，把点B的坐标求出m的值即可； （2）根据三角形面积公式，求结果即可； （3）求出直线的解析式，然后根据函数图象求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， ∴， 将代入，得： ， 解得：； （2）解：由（1）得， ∴， ； （3）解：设直线的解析式为， 将点A的坐标代入得，， 解得， ∴， 则，即为直线在x轴上方，且在直线下方， ∴不等式的解集为：． 【变式训练9-2】直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将点代入，即可求出的值，将点代入，即可求出的值； （2）由直线的图象在直线图象上时，的取值范围即为不等式的解集，结合图象及交点坐标即可解答； （3）先求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得，进而得到，此时，有最小值，最小值为的长，求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，则，解得； 将点代入，则，解得； （2）解：根据图象，得当时，直线的图象在直线图象上方， 则不等式的解集为； （3）解：由（1）知， 将代入，则， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ∴， ∴， 此时，有最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 题型10 用一元一次不等式与不等式组的解决实际问题 例19. 综合与实践 某校为表彰在数学文化节活动中表现优秀的学生，决定购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B种奖品3件，共需65元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少？ (2)学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买总费用不超过1140元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买总费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数关系式，并确定最少费用w的值． 【答案】(1)奖品的单价是元，奖品的单价是元； (2)，最少费用w的值是1125元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、不等式组的经济问题，正确理解题意是解题关键． （1）设、两种奖品的单价各是，由题意得：，据此即可求解； （2）由题意得：购买种奖品件，推出；根据即可确定最少费用的值． 【详解】（1）解：设、两种奖品的单价各是， 由题意得：， 解得：， ∴奖品的单价是元， 奖品的单价是元； （2）解：由题意得：购买种奖品件， 则； ∵，可得：， ∴当时， 例20. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元 (2)共有4种建造方案，方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩；方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩；方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； (3) 【分析】（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要1万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据“该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各建造方案； （3）分别求出选择各方案时新建充电桩的总占地面积，结合“在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择”，即可确定a的取值范围． 【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元，根据题意得： ， 解得：； 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.3万元，1个地下充电桩需要0.4万元； （2）解：设新建m个地上充电桩，则新建个地下充电桩，根据题意得： ， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为20，21，22，23， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建21个地上充电桩，39个地下充电桩； 方案3：新建22个地上充电桩，38个地下充电桩； 方案4：新建23个地上充电桩，37个地下充电桩； （3）解：选择方案1时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为； 选择方案4时新建充电桩的总占地面积为． ∵在（2）的条件下，若仅有一种方案可供选择， ∴． 【易错警示】 1. 审题标记关键词：至少(≥)、至多(≤)、大于(>)、小于(<)、不低于、不超过； 2. 标准四步：设未知数→列不等式 (组)→求解集→结合实际筛选整数解； 3. 方案问题：全部整数方案罗列后，代入式子计算最值（最低成本、最大利润）； 4. 隐含约束：人数、件数、车辆数必须是非负整数。 【变式训练10-1】兰州牛肉面作为金城兰州的城市名片，是国家级非物质文化遗产代表性项目，以“一清二白三红四绿五黄”的独特风味享誉全国，是西北饮食文化中极具代表性的经典美食，也是深受各地食客喜爱的大众面食．某牛肉面馆传承本土风味，面向市民推出两款实惠套餐：A套餐为单人餐：一碗牛肉面，两小份小菜，售价14元；B套餐为双人餐：两碗牛肉面，五小份小菜，售价31元． (1)求一碗牛肉面和一小份小菜的售价分别为多少元？ (2)已知每碗牛肉面毛利润为2元，每小份小菜毛利润为0.5元．面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐总份数不超过95份．若所有套餐均可全部售出，为使当日销售利润最大，该面馆每天应准备A套餐多少份？最大利润为多少元？ 【答案】(1)一碗牛肉面价格为8元，一小份小菜价格为3元 (2)面馆每天应准备25份A种套餐，最大利润为530元 【分析】（1）设一碗牛肉面的价格为元，一小份小菜的价格为元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设每天准备种套餐件，则准备B种套餐件，根据题意，列出不等式求出的范围，设当日总利润为，列出一次函数关系式，求最值即可. 【详解】（1）解：设一碗牛肉面的价格为元，一小份小菜的价格为元． 根据题意可得，解得，． 答：一碗牛肉面价格为8元，一小份小菜价格为3元． （2）解：设每天准备种套餐件，则准备B种套餐件，设当日总利润为． 根据题意可得， 解得：； 同时，A、B套餐数量为非负整数数，需满足，解得（m为整数）． 故（m为整数）； 则当日总利润：． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，元， ∴面馆每天应准备25份A种套餐，最大利润为530元． 【变式训练10-2】请根据以下素材，完成相关任务． 项目背景 云南昆明斗南花卉市场．被誉为“中国花卉第一镇”，现已发展成为亚洲最大的鲜切花交易市场，是著名的花都．游客小张计划购买A、B两种鲜花纪念品作为伴手礼赠予亲友． 项目素材 素材1 购买2件A种鲜花纪念品与3件B种鲜花纪念品需要85元； 素材2 购买3件A种鲜花纪念品与2件B种鲜花纪念品需要90元； 素材3 根据小张的亲友人数，小张需要购买A、B两种鲜花纪念品共60件，且B种鲜花纪念品数量不超过A种鲜花纪念品数量的3倍． 项目任务 (1)求A、B两种鲜花纪念品每件多少元？ (2)请帮小张给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 【答案】(1)每件种鲜花纪念品元，每件B种鲜花纪念品元 (2)当购买件种鲜花纪念品，件B种鲜花纪念品时，最少费用为元 【分析】（1）设每件种鲜花纪念品元，每件种鲜花纪念品元，根据“购买件种鲜花纪念品与件种鲜花纪念品需要元；购买3件种鲜花纪念品与件种鲜花纪念品需要元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买件种鲜花纪念品，则购买件种鲜花纪念品，根据购买种鲜花纪念品数量不超过种鲜花纪念品数量的3倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购买、两种鲜花纪念品共需元，利用总价单价×数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每件种鲜花纪念品元，每件种鲜花纪念品元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件种鲜花纪念品元，每件种鲜花纪念品元； （2）设购买件种鲜花纪念品，则购买件种鲜花纪念品， 根据题意得：， 解得：， 设购买、两种鲜花纪念品共需元，则， 即， ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值为，此时． 答：当购买15件种鲜花纪念品，45件种鲜花纪念品时，总费用最少，最少费用为975元． 题型11 不等式与不等式组中的新定义型问题 例3．对于任意实数，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．根据上述定义可知的解集为______． 【答案】 【分析】根据新定义求出，代入求解即可． 【详解】解：由新定义可得： ， ∵， ∴， ∴． 例4．新定义型阅读理解题：已知任意实数，，定义的含义为当时，，当时，． (1) (2)若，求的取值范围； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（）根据新定义的含义解答即可； （）根据新定义的含义建立不等式即可解答； （3）根据新定义的含义分情况讨论即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，解得， ， ②当时，解得， ∴， ∴， 综上所述，的最大值为． 【技巧总结】 1. 第一步精读题干，把陌生自定义运算、符号翻译成常规代数式； 2. 按照定义列出标准一元一次不等式（组）； 3. 套用常规不等式解法计算范围； 4. 严格遵循题目定义规则，不凭固有经验随意变形。 【变式训练2-1】对于任意实数a、b，定义一种运算：，请根据以上定义解决问题： （1）________ （2）若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】（1）根据新定义代入求值； （2）先根据新定义，变形不等式组，再求出不等式组的解，根据已知得出关于的不等式组，即可求出的范围． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， 解得：， ∵不等式组只有个整数解， ∴个整数解为，， ∴，解得：． 【变式训练2-2】定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解； （2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解； （3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：． （2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， 或． 或． （3）由题意，是的“相容不等式组”， ． ． 的整数解为，且和的整数解相同， ． ． ． 综上所述：． 1．已知，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，逐一判断各选项是否成立即可． 【详解】解：对于A， 两边加，得，故A错误，不符合题意； 对于B，两边加a，得，即，故B正确，符合题意； 对于C，两边乘，得，故C错误，不符合题意； 对于D，两边除以2，得，故D错误，不符合题意． 2．设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲，●，■这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（     ） A．■，●，▲ B．▲，■，● C．■，▲，● D．●，▲，■ 【答案】C 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴▲，●，■这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为■，▲，●． 3．下列说法正确的是（） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】A 【分析】先解出不等式的解集，再结合定义逐项判断即可． 【详解】解：首先解不等式，得，即， 对选项A，将代入不等式，得，不等式成立， ∴是该不等式的一个解，A正确； 对选项B，解集是不等式所有解的集合，只是一个解不是解集， ∴B错误； 对选项C，该不等式的解集为，不是， ∴C错误； 对选项D，该不等式的解集为，不是， ∴D错误． 4．不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组的解法计算即可． 【详解】解：不等式组， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 5．方程组的解满足，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】首先求出二元一次方程组的解，然后根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：方程组， ，得， 解得， ，得， 解得， ∴， 由③得， 由④得， ∴． 6．已知关于的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的整数解问题，能根据不等式组的整数解得到参数的取值范围是解答的关键，注意端点值的取舍．先求得不等式组的解集，再根据不等式组解集的情况，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 由不等式得， 由不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，且不等式组的最大整数解为， ∴， ∴． 故答案为：． 7．解不等式组，并在数轴上表示该不等式组的解集． 【答案】， 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 8．解不等式组：，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有非负整数解． 【答案】，，该不等式组的所有非负整数解是0，1，2 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为， 在数轴上表示该不等式组的解集，如图． 该不等式组的所有非负整数解是0，1，2． 9．“保护环境，人人有责”，为了更好地治理巴河，巴中市污水处理厂决定购买，两型污水处理设备，共10台，其信息如下表： 单价（万元/台） 每台处理污水量（吨/月） 型 12 240 型 10 200 (1)设购买型设备台，所需资金共为万元，每月处理污水总量为吨，试写出与，与的函数解析式； (2)经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过106万元，月处理污水量不低于2040吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案最省钱，需要多少资金？ 【答案】(1)（x为不大于10的自然数），（x为不大于10的自然数） (2)有三种方案：①型1台，型9台；②型2台，型8台；③型3台，型7台；当型1台，型9台时费用最少，最少需要102万元 【分析】（1）根据题意列出解析式即可； （2）根据题意列出不等式组求出，然后写出所有购买方案，根据一次函数的性质求出最省钱方案． 【详解】（1）解：根据题意得，（x为不大于10的自然数）， （x为不大于10的自然数）； （2）解：根据题意得， 解得， ∴有三种方案：①型1台，型9台；②型2台，型8台；③型3台，型7台； ∵中 ∴W随x的增大而增大 ∴时，取得最小值，为（万元）， ∴当型1台，型9台时费用最少，最少需要102万元． 10．某学校运动会需要购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需要60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少元； (2)学校计划购买A、B两种奖品，且A种奖品的数量比B种奖品数量的3倍少10件，设B种奖品购买m件，总费用为p元，求p与m之间的函数关系式； (3)若购买的总费用p不多于800元，求最多购买B种奖品多少件？ 【答案】(1)A种奖品10元/件，B种奖品15元/件 (2)（且为整数） (3)最多购买B种奖品20件 【分析】（1）设A种奖品x元/件，B种奖品y元/件，根据条件建立方程组求出其解即可； （2）根据总费用=两种奖品的费用之和表示出p与m的关系式； （3）列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设A种奖品x元/件，B种奖品y元/件，根据题意可列 ， 解得：． 答：A种奖品10元/件，B种奖品15元/件． （2）解：设B种奖品购买m件，则购买A种奖品件， 则， 由题意得，， 解得， 又m为整数， 且为整数， （且为整数）． （3）解：， ， 解得， 又且为整数， 所以最多购买B种奖品20件． 11．小明解不等式的过程如下： 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 两边同时除以，得…第四步 (1)小明的解法是从第_________步开始出错的，第四步的依据是_________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)三，不等式的基本性质（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变） (2)见解析 【分析】（）根据解不等式的基本步骤逐一判断即可； （）根据解不等式的基本步骤解答即可； 本题考查了解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：小明的解法是从第三步开始出错的，第四步的依据是不等式的基本性质（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）， 故答案为：三，不等式的基本性质（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同时除以，得． 12．【知识回顾】本册第二章教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．    【解决问题】 (1)如图1，观察图象，不等式的解集是 ． (2)如图2，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点B和点C结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围 ． 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴、轴分别交于点C、D，与直线交于点M，点P在直线上，过点P作轴，交直线于点Q．点B、点O恰好关于点D对称． ①如果线段的长为，求点P的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请直接写出所有符合条件的整点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①点坐标为或；②，，， 【分析】（1）观察两条直线可知从交点向右直线在上方，解答即可； （2）先求出两条直线的交点，可知从交点向右直线在上方，且在x以下，即可求出答案； （3）先求出直线的关系式，再设点，则点，可得，当求出解即可；分别求出和时的解，再根据在交点的两边都有符合题意的部分得出当或时，，然后求出整数解即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 所以不等式的解集是； （2）解：当时，， 解得， ∴当时，； 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， 即点， ∴当时，， ∴当时，， ∴当时，， 即自变量的取值范围是； （3）解：当时，， ∴点． ∵点B，点O恰好关于点D对称， ∴点． ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线：． 设点，则点， ∴． ①∵， ∴， 解得或，则或， ∴点P的坐标为或； ②时，解得或； 时，解得或， 则当或时，， 所以或，则， 整点P的坐标是，，，． 13．新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即当为非负整数时，若，则，反之，当为非负整数时，若，则． (1)根据上述定义填空：_______； (2)关于的不等式组的整数解恰好有个，求的取值范围； (3)若，求所有满足条件的实数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）根据定义解答即可求解； （）求出不等式组的解集，再根据不等式组解的情况可得，进而根据定义解答即可求解； （）由已知可设，为整数且，则 ，即得，进而根据定义可得，即得到或，再根据定义解答即可求解； 本题考查了不等式组的应用，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：解不等式组，得， ∵不等式组的整数解恰好有个， ∴， ∵为非负整数， ∴， ∴； （3）解：∵且为整数， ∴设 ，为整数且，则 ， ∴ ， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 14．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1)① (2)或 (3) 【分析】（1）求出两个不等式组的解集，根据定义进行判断即可； （2）根据定义得到关于a的不等式组，进而计算可以得解； （3）根据“相容不等式组”的定义求出的取值范围，再根据两个不等式组整数解相同求出的取值范围，取两个取值范围的公共部分即可． 【详解】（1）解：不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相容不等式组”． 故答案为：①． （2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， ∴或． ∴或 （3）解：∵不等式组是的“相容不等式组” ， 解得 的整数解为2，3，4，且和的整数解相同， ∴ ∴ 综上所述： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元一次不等式与一元一次不等式组 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 不等式的概念理解 题型2 不等式的基本性质 题型3 一元一次不等式（组）的定义 题型4 解一元一次不等式（组） 题型5 根据一元一次不等式的解集求参数 题型6 根据一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围 题型7 根据一元一次不等式组的解集情况求参数的取值范围 题型8 整式方程（组）与一元一次不等式（组）结合求参数的取值范围 题型9 一元一次不等式（组）与一次函数的综合问题 题型10 用一元一次不等式与不等式组的解决实际问题 题型11 不等式与不等式组中的新定义型问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.不等式的概念理解 2.不等式的基本性质 3.一元一次不等式（组）的定义 4.解一元一次不等式（组） 5.根据一元一次不等式的解集求参数 6.根据一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围 7.根据一元一次不等式组的解集情况求参数的取值范围 8.整式方程（组）与一元一次不等式（组）结合求参数的取值范围 9.一元一次不等式（组）与一次函数的综合问题 10.用一元一次不等式与不等式组的解决实际问题 11.不等式与不等式组中的新定义型问题 1. 题型分层固定布局 （1）选择、填空（基础保分） 1. 纯概念辨析：不等式性质变形对错、一元一次不等式定义判断； 1. 基础计算：直接求解集、数轴图像匹配、简单整数解； 1. 浅度含参：单一不等式求参数、简单无解情况判断； 1. 函数图像识图：直接看图读出不等式解集。 （2）中档解答题（核心主力） 1. 纯计算大题：解不等式+数轴表示、解不等式组并写出整数解； 1. 代数综合：方程组解代入不等式求参数范围； 1. 数形解答：画一次函数图像，利用图像解不等式、回答合算区间。 （3）压轴探究大题（拉分区分） 1. 含参压轴：不等式组整数解限制、无解/有解临界参数范围（端点极易漏等号）； 1. 方案应用压轴：多条件不等式组，多整数方案+最值计算； 1. 新定义创新题：现场转化不等关系，分层设问由浅入深； 1. 少数试卷搭配几何结合：三角形边长满足三边关系列不等式求值。 2. 五大核心命题大趋势 趋势1：性质3（乘负变号）全程贯穿，刻意设置陷阱 全章节所有计算、含参题目都会埋“系数为负”坑；只要系数化为1时除数是负数，不等号必须反向，是阅卷第一扣分点。 趋势2：含参数问题是中档与生分水岭，必考分类讨论 1. 系数含字母时，必须分讨论不等号方向； 1. 整数解、无解题型必须画数轴数形结合判断端点能否取等； 1. 阅卷标准：漏一种情况直接扣一半分数。 趋势3：数形结合常态化，不等式与一次函数深度绑定 1. 不单独考函数、不单独考不等式，二者捆绑出题； 1. 两种解法并行要求：代数纯计算法、图像观察法都要掌握； 1. 实际比价问题优先用函数建模再列不等式，贴合中考出题逻辑。 趋势4：应用题重建模、重实际约束，整数解必考查 1. 不再是简单列式计算，题干文字信息量大，需要自主提取“不少于、至多、不低于、超过”等不等关键词； 1. 未知数代表人数、件数、车辆，天然要求非负整数，算出范围后必须筛选整数方案； 1. 最后一问固定求最值（最少花费、最大利润）。 考情解码： 1.强制步骤习惯：系数化为1前先判断正负，负数立刻标注变号； 2.含参题目必画数轴：把参数标在数轴上，直观判断边界能不能取等号； 3.应用题三步模板：①设未知数 ②圈出不等关键词列不等式组 ③解范围筛整数 ④计算最值； 4.函数不等式双解法训练：先代数解，再画图验证，双向核对答案； 5.区分方程与不等式：方程等号无方向，不等式乘除负数必须换向，对比记忆减少混淆。 知识点一 不等式及其基本性质 （1）常用不等号： （2）不等式的解：单个满足条件的值 （3）不等式解集：所有解的整体范围 （5）加减不变向： 若 ，则 （6）乘正不变向： 若 ，则 （7）乘负必变向（重中之重） 若 ，则 【易错提醒】 即时即练若，则下列不等式中，不能成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点二 一元一次不等式 （1）定义：只含一个未知数、次数为1、整式不等式 （2）标准形式： （3）解题步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为1 （4）数轴表示： · ：空心、不包含 · ：实心、包含 · 大于向右，小于向左 【易错提醒】 即时即练解不等式：，将解集在如图所示的数轴上表示出来，并写出它的非负整数解． 知识点三 一元一次不等式与一次函数 设 1. ：图像在x轴上方对应的 2. ：图像在x轴下方对应的 3. ：直线1 高于 直线2的 范围 核心思想：看图像高低，定x取值范围 【易错提醒】 即时即练在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值；若此时图象经过点和点，试比较与的大小． (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 知识点四 一元一次不等式组 （1）同大取大： （2）同小取小： （3）大小中间夹： （4）大大小小无解： 无解 （5）解题步骤：分别求解 → 数轴找公共部分 → 写解集、找整数解 【易错提醒】 即时即练解不等式组：并写出它的所有整数解； 题型1 不等式的概念理解 例1. 下列各式中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 例2. 用适当的符号表示下列关系：是非负数___． 【易错警示】 1. 识别不等符号：>、<、≥、≤、≠，有任意一个即为不等式； 2. 区分三个概念：解是单个数值，解集是全部解的集合，解不等式是计算解集的过程； 3. 判断数值是否为解：代入式子验算，式子成立就是不等式的解。 【变式训练1-1】下列不等式中，解不包括的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 题型2 不等式的基本性质 例3．若，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 例4．已知，则________（填“”“”或“”）． 【技巧总结】 1. 加减任意数，不等号方向永远不变； 2. 同乘/除以正数，不等号方向不变；同乘/除以负数，必须翻转不等号； 3. 比较大小变形题：逐个套用性质分步判断，重点标记乘数正负； 4. 传递推理：a>b，b>c，直接推出a>c。 【变式训练2-1】已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】若，，则的取值范围是_____． 题型3 一元一次不等式（组）的定义 例5．下列式子：①；②；③；④其中一元一次不等式的个数为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 例6．下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是________（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【技巧总结】 1. 一元一次不等式三判断标准：整式形式、只含 1 个未知数、未知数次数为 1、未知数系数不为 0； 2. 不等式组判定：多个含有相同未知数的一元一次不等式联立； 3. 快速排除：出现平方、两个不同字母都不属于一元一次不等式。 【变式训练3-1】下列式子中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】下列不等式组：① ② ③ ④ ⑤．其中是一元一次不等式组的有________个． 题型4 解一元一次不等式（组） 例7. 解不等式组：，并把解集表示在如图所示的数轴上； 例8. 解不等式组并将其解集在数轴上表示出来． 【易错警示】 1. 解单条不等式 步骤：去分母（每一项都乘公倍数）→去括号→移项（移项变号）→合并同类项→系数化为 1（负系数换向）； 2. 解不等式组 （1）分别求出两个不等式的解集； （2）画数轴标出两个范围，取重叠公共部分； （3）套用口诀：同大取大、同小取小、大小中间夹、大大小小无解； （4）数轴规范：>、<空心圈，≥、≤实心点，大于向右、小于向左。 【变式训练4-1】解不等式（组）． (1)； (2)． 【变式训练4-2】下面是某同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得            第一步 去括号，得             第二步 移项，得              第三步 合并同类项，得               第四步 (1)任务一：以上解题过程从第__________步开始出现错误，这一步的正确写法应为__________； (2)任务二：请写出正确的解题过程，并把它的解集表示在数轴上． 题型5 根据一元一次不等式的解集求参数 例9．如果不等式的解为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例10．如果不等式的解集是，那么的取值范围是________． 【技巧总结】 1. 正常化简不等式，把未知数单独放左边； 2. 对比已知解集，分两步：① 看不等号方向是否变化，判断未知数系数正负；② 等号对应数值列等式求参数； 3. 系数含字母时，必须分系数>0、<0两种情况讨论。 【变式训练5-1】已知不等式的解集是，则满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】若不等式两边同时除以，得，则m的取值范围是______． 题型6 根据一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围 例11．已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 例12．若关于x的不等式组的整数解只有2个，则m的取值范围是_____． 【技巧总结】 1. 先正常解不等式组，写出不含参的解集区间； 2. 圈出题目限定的整数，画数轴定位整数位置； 3. 移动参数边界，试探临界值，重点检验端点能不能取等号； 4. 边界代入验证：取等时整数解变多变少，严格卡死范围。 【变式训练6-1】若整数使关于的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的整数的值之和为（   ） A．6 B．8 C．9 D．7 【变式训练6-2】若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围为______． 题型7 根据一元一次不等式组的解集情况求参数的取值范围 例13. 已知关于x的不等式组的解集为，则的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 例14. 已知不等式组的解集为，则的值为______． 【易错警示】 分三类固定套路： 1. 解集为x>m：满足“同大取大”，参数满足小的边界≤大边界； 2. 不等式组无解：满足“大大小小”，左边下限≥右边上限； 3. 解集为a<x<b：保证下限数值小于上限数值； 全程搭配数轴直观判断端点等号取舍。 【变式训练7-1】若关于的不等式与不等式的解集相同，则满足（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________． 题型8 整式方程（组）与一元一次不等式（组）结合求参数的取值范围 例15．若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 例16．已知关于、的方程组的解满足，则的取值范围是___． 【技巧总结】 1. 先解方程/方程组，用含参数的代数式表示未知数； 2. 把代数式代入题目给出的不等关系； 3. 解关于参数的新不等式，得到参数取值范围； 4. 额外限制：一元一次方程未知数系数不能为 0。 【变式训练8-1】若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 题型9 一元一次不等式（组）与一次函数的综合问题 例17．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出此函数的图象；观察图象，当时，x的取值范围是 ； (3)若点C是y轴上一点，且的面积为2，求点C的坐标． 例18．如图，直线：与直线：相交于点，直线经过和 (1)求直线的解析式； (2)求出点坐标； (3)直接写出不等式的解集：________． 【技巧总结】 1. 单函数y=kx+b：kx+b>0取图像在 x 轴上方的x；kx+b<0取图像在 x 轴下方的x； 2. 双函数对比：找交点横坐标，取图像位置更高的一侧x范围； 3. 两种解法互通：图像观察法快速选答案，代数解不等式法精准计算。 【变式训练9-1】如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点与点． (1)求的值． (2)连接，求的面积． (3)根据图象，直接写出关于的不等式组的解集． 【变式训练9-2】直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 题型10 用一元一次不等式与不等式组的解决实际问题 例19. 综合与实践 某校为表彰在数学文化节活动中表现优秀的学生，决定购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B种奖品3件，共需65元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少？ (2)学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买总费用不超过1140元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买总费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数关系式，并确定最少费用w的值． 例20. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，地上和地下每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需要1.1万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ (2)若该小区计划用不超过22万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于37个，则共有几种建造方案？并列出所有方案； (3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的前提下，若仅有1种方案可供选择，直接写出的取值范围． 【易错警示】 1. 审题标记关键词：至少(≥)、至多(≤)、大于(>)、小于(<)、不低于、不超过； 2. 标准四步：设未知数→列不等式 (组)→求解集→结合实际筛选整数解； 3. 方案问题：全部整数方案罗列后，代入式子计算最值（最低成本、最大利润）； 4. 隐含约束：人数、件数、车辆数必须是非负整数。 【变式训练10-1】兰州牛肉面作为金城兰州的城市名片，是国家级非物质文化遗产代表性项目，以“一清二白三红四绿五黄”的独特风味享誉全国，是西北饮食文化中极具代表性的经典美食，也是深受各地食客喜爱的大众面食．某牛肉面馆传承本土风味，面向市民推出两款实惠套餐：A套餐为单人餐：一碗牛肉面，两小份小菜，售价14元；B套餐为双人餐：两碗牛肉面，五小份小菜，售价31元． (1)求一碗牛肉面和一小份小菜的售价分别为多少元？ (2)已知每碗牛肉面毛利润为2元，每小份小菜毛利润为0.5元．面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐总份数不超过95份．若所有套餐均可全部售出，为使当日销售利润最大，该面馆每天应准备A套餐多少份？最大利润为多少元？ 【变式训练10-2】请根据以下素材，完成相关任务． 项目背景 云南昆明斗南花卉市场．被誉为“中国花卉第一镇”，现已发展成为亚洲最大的鲜切花交易市场，是著名的花都．游客小张计划购买A、B两种鲜花纪念品作为伴手礼赠予亲友． 项目素材 素材1 购买2件A种鲜花纪念品与3件B种鲜花纪念品需要85元； 素材2 购买3件A种鲜花纪念品与2件B种鲜花纪念品需要90元； 素材3 根据小张的亲友人数，小张需要购买A、B两种鲜花纪念品共60件，且B种鲜花纪念品数量不超过A种鲜花纪念品数量的3倍． 项目任务 (1)求A、B两种鲜花纪念品每件多少元？ (2)请帮小张给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 题型11 不等式与不等式组中的新定义型问题 例3．对于任意实数，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．根据上述定义可知的解集为______． 例4．新定义型阅读理解题：已知任意实数，，定义的含义为当时，，当时，． (1) (2)若，求的取值范围； (3)求的最大值． 【技巧总结】 1. 第一步精读题干，把陌生自定义运算、符号翻译成常规代数式； 2. 按照定义列出标准一元一次不等式（组）； 3. 套用常规不等式解法计算范围； 4. 严格遵循题目定义规则，不凭固有经验随意变形。 【变式训练2-1】对于任意实数a、b，定义一种运算：，请根据以上定义解决问题： （1）________ （2）若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是________． 【变式训练2-2】定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 1．已知，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲，●，■这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（     ） A．■，●，▲ B．▲，■，● C．■，▲，● D．●，▲，■ 3．下列说法正确的是（） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 4．不等式组的解集是________． 5．方程组的解满足，，则的取值范围是________． 6．已知关于的不等式组的最大整数解与最小整数解的差是3，则的取值范围是_____． 7．解不等式组，并在数轴上表示该不等式组的解集． 8．解不等式组：，将解集在数轴上表示出来，并写出它的所有非负整数解． 9．“保护环境，人人有责”，为了更好地治理巴河，巴中市污水处理厂决定购买，两型污水处理设备，共10台，其信息如下表： 单价（万元/台） 每台处理污水量（吨/月） 型 12 240 型 10 200 (1)设购买型设备台，所需资金共为万元，每月处理污水总量为吨，试写出与，与的函数解析式； (2)经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过106万元，月处理污水量不低于2040吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案最省钱，需要多少资金？ 10．某学校运动会需要购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需要60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少元； (2)学校计划购买A、B两种奖品，且A种奖品的数量比B种奖品数量的3倍少10件，设B种奖品购买m件，总费用为p元，求p与m之间的函数关系式； (3)若购买的总费用p不多于800元，求最多购买B种奖品多少件？ 11．小明解不等式的过程如下： 解：去分母，得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 两边同时除以，得…第四步 (1)小明的解法是从第_________步开始出错的，第四步的依据是_________； (2)请写出正确的解题过程． 12．【知识回顾】本册第二章教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．    【解决问题】 (1)如图1，观察图象，不等式的解集是 ． (2)如图2，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点B和点C结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围 ． 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴、轴分别交于点C、D，与直线交于点M，点P在直线上，过点P作轴，交直线于点Q．点B、点O恰好关于点D对称． ①如果线段的长为，求点P的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请直接写出所有符合条件的整点P的坐标． 13．新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即当为非负整数时，若，则，反之，当为非负整数时，若，则． (1)根据上述定义填空：_______； (2)关于的不等式组的整数解恰好有个，求的取值范围； (3)若，求所有满足条件的实数的值． 14．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $