第02讲 菱形的性质与判定（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学新教材北师大版

第02讲 菱形的性质与判定（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+3个知识归纳+13个题型+课后作业】 模块二 菱形的性质与判定 我们知道菱形具有平行四边形的所有性质．那么，菱形有哪些特殊的性质呢？ 【知识点1 菱形的性质】 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边都相等 角 对角相等 ， 对角线 对角线互相垂直平分 ，， 每条对角线平分一组对角 , 【知识点2 菱形面积的计算】 计算方法 符号表示 主要依据 菱形的面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形的面积=两条对角线乘积的一半 【知识点3 菱形的判定】 1．根据定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．根据对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 3．根据边：四边相等的平行四边形是菱形． 拓展：（1）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． （2）对角线平分一组内角的平行四边形是菱形． 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【例1】如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-1】如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1-2】如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，则，再由平行线的性质求出的度数，由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1-3】如图，在菱形中，，垂直平分，垂足为E，与对角线交于点F，连接，则的大小为________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接，利用菱形的性质得出相等的边和角，表示出相关的角，根据线段垂直平分线的性质得出，证明，得出，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 【例2】如图，菱形的两条对角线，相交于点O，点E在上，，，，则的长为（     ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出的长，利用勾股定理求出的长，进而得到的长；根据等角对等边得出，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， 在Rt中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-1】已知在菱形中，对角线的长为10，对角线的长为24，则的长为___________． 【答案】13 【分析】根据菱形的性质得出相关线段的长度和直角三角形，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， 由勾股定理得． 故答案为：13． 【变式2-2】如图，在菱形中，，E是的中点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作交延长线于点，构造的直角三角形，利用所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：作交延长线于点，如图所示， ∵， ∴， 在菱形中，， ∵E是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ， ∴． 故选：A． 【变式2-3】如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为__________ ． 【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理等知识点．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，，取中点，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点，，， ，，， ， ， 如图，取中点，连接， 点为的中点，点为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 【例3】如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．80 C．96 D．192 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后求出，则，得，进而可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ∴， ， ， ∴， 即， ， ∴． 故选：C． 【变式3-1】菱形的一条对角线是，周长是，则菱形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用菱形四条边相等、对角线互相垂直平分的性质，先求出菱形边长，再结合勾股定理求出另一条对角线的长度，最后根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积． 【详解】解：∵ 菱形周长为，菱形四条边相等， ∴ 菱形的边长为 ∵ 菱形对角线互相垂直平分，已知一条对角线长为， ∴ 该对角线的一半长为 由勾股定理，得另一条对角线的一半长为 ， ∴ 另一条对角线长为 ∵ 菱形面积等于两条对角线乘积的一半， ∴ ． 故选：B． 【变式3-2】如图，在菱形中，对角线、交于点O，点E在边上，连接，．若，，则菱形的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】根据等角对等边得出，结合菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线、的长，利用菱形面积公式求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ，， 菱形的面积． 故选：B． 【变式3-3】如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据菱形的性质可得，再由点、分别是，的中点，可得，，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点、分别是，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴与菱形的面积之比是． 故选：B． 【题型4 利用菱形的性质证明】 【例4】如图，在菱形中，于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形两锐角互余，掌握菱形对角线平分一组对角是解题关键．根据菱形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余，得到，可判断A 选项；再根据A选项结论判断其余选项即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是菱形的对角线， ， ， ， ， ，A选项正确； 若，则，即，，题目中没有说明，无法推出，B选项错误； 若，则，即，题目中没有说明，无法推出，C选项错误； 若，则，即，，题目中没有说明，无法推出，D选项错误； 故选：A． 【变式4-1】如图，点，分别在菱形的边，上，且．求证：． 【分析】由菱形的性质可得，，结合可得，从而证明，则，因此． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． 【变式4-2】如图，菱形中，点E、F、G分别是、、的中点，有下面两个结论：①；②．则这两个结论（   ） A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理．根据菱形的性质，三角形中位线定理即可判断． 【详解】解：连接，， ∵点E、F、G分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，， ， ∵菱形， ∴， ∴，即； 而与不一定相等， ∴， ∴①对②错， 故选：C． 【变式4-3】如图，在菱形中，，点、分别在、上，连接、、、、是等边三角形．试判断与的数量关系，并说明理由． 【分析】由菱形的性质得，，推出和都是等边三角形，再证，即可得出结论． 【详解】解：，理由如下， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型5 证明四边形是菱形】 【例5】如图，在中，，，点、分别是、的中点．求证：四边形是菱形． 【分析】根据平行四边形的性质可得，，结合线段中点的定义可证明四边形是平行四边形，证明是等边三角形，得到，即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形． 【变式5-1】如图，在中，，，，把绕点旋转后得到，连接．求证：四边形是菱形． 【分析】根据勾股定理逆定理得到，根据旋转的性质得到，，可知，即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵把绕点旋转后得到， ∴，，即A、O、C共线，B、O、D共线， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是菱形． 【变式5-2】如图，在四边形中，，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是菱形． 【分析】由三角形中位线定理可得，即可证四边形是菱形． 【详解】解：∵，是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【变式5-3】如图，在中，点，分别在，上，且． （1）若是菱形，求证：； （2）若，求证：是菱形． 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，解题的关键是利用全等三角形的性质和平行四边形的性质，通过证明角相等推导出邻边相等，进而完成证明． （1）利用菱形四边相等，通过证明，得； （2）连接，用证明，得，从而得,从而判定平行四边形为菱形． 【详解】（1）证明 四边形是菱形， ． ， ．在和中， ， ． （2）证明：连接， 在和中， ， ， ． 四边形是平行四边形， 是菱形． 【题型6 添一个条件使四边形是菱形】 【例6】如图，在中，平分交于点，过点作交于点，点在线段上，连接．请你添加一个条件________，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据角平分线的定义以及平行线的性质得，故，再进行补充条件，使得四边形是平行四边形．又根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当添加条件是， ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形． 或添加条件是， ∵ ∴四边形是平行四边形． ∵ ∴四边形是菱形． 【变式6-1】在四边形中，，，则添加下列条件，能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件判定四边形是平行四边形，再结合菱形的判定定理判断选项即可． 【详解】解：∵在四边形中，，，四边形内角和为， ∴，即， 可得，同理可得， ∴四边形是平行四边形， 对各选项分析如下： 选项A：若，平行四边形是矩形，不能判定为菱形； 选项B： ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故平行四边形是菱形，符合要求； 选项C：若，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定为菱形； 选项D：平行四边形对边本来相等，是平行四边形的固有性质，无法判定为菱形． 故选：B． 【变式6-2】如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 【答案】5 【分析】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形． 【详解】解：当时，四边形是菱形，理由如下： 四边形是平行四边形，，， ， ， 又， ， 是直角三角形，且． ， 平行四边形是菱形． 故答案为：5． 【变式6-3】如图，在四边形中，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形应满足的条件是______． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质和判定，中位线定理，利用三角形中位线定理证得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理，由邻边相等推导出原四边形对角线的关系即可． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵，分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ 当时 ∴ ∴平行四边形是菱形． ∴当时,四边形是菱形． 故答案为：． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 【例7】如图，在四边形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形外角的性质，根据题意得出四边形是菱形是解题关键．由三角形中位线定理，推出四边形是菱形，得到，根据平行线的性质和三角形外角的性质，得出，即可求出的大小． 【详解】解：如图，令与的交点为， 、分别是、的中点，、分别是、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ，， ， ， ， 故选：C. 【变式7-1】如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据题意得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，得到的度数，再由,即可得到的度数，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：在四边形中，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式7-2】如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出，故可得出为菱形，根据菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图：    ，， 四边形为平行四边形， ，， 是的角平分线， ， ， 为菱形． ，即． 故答案为：90． 【变式7-3】如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【分析】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由菱形的性质得 则即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例8】如图在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称，过点D作的垂线交延长线于点E．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据对称的性质和可推得，从而得四边形为平行四边形，根据对称的性质得，则平行四边形为菱形，根据菱形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ 点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形， ， 则， 在中，， 在中，， 则， 在中，． 故选：B． 【变式8-1】在中，两条对角线与相交于点O，．求的周长． 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理逆定理、菱形的判定与性质．首先利用平行四边形对角线互相平分，并结合勾股定理逆定理得到对角线互相垂直，进而求出的长度，最后计算的周长即可． 【详解】解：如图，∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴， ． ∵， ∴在中， ， ∴ ， ∴ ， ∴是菱形 ， ∴ ， ∴的周长为． 【变式8-2】如图，在中，点是边上一点，过点分别作交于点交于点，连接平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 【分析】（1）利用，证明四边形是平行四边形，再利用角平分线和平行线的性质，证得，证得结果； （2）利用菱形的性质与证得三角形是等边三角形，再利用菱形的对角线互相平分和垂直解出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， 则， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴三角形是等边三角形，， 又∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴． 【变式8-3】如图，在中，，分别为，的中点，点在的延长线上，且，点在边上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，，求的长． 【分析】（1）根据三角形中位线定理先得到，然后即可证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可证明其为菱形； （2）连接与交于点，先根据三角形中位线定理求解，即可求解，然后根据菱形得到，，再根据角直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，分别为，的中点， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接与交于点， ∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 【例9】如图，在四边形中， ，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为18，求菱形的面积． 【分析】（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，所以，可推出，可先证四边形是平行四边形，再结合，证得是菱形； （2）先根据的周长和的长度，求出的长度；因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出对角线的一半长度，进而得到的长度；最后根据菱形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵，的周长为18， ∴， ∴． 在中，， ∴． ∴菱形的面积为． 【变式9-1】如图，中，平分交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，，求菱形的面积． 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合角平分线的定义，平行线的性质推出，进而得到，即可得证； （2）过点作，证明为等边三角形，利用三线合一结合勾股定理求出的长，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作， ∵四边形是菱形； ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 【变式9-2】如图，在四边形中，，点E，F在直线上，且，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，，求四边形的面积． 【分析】（1）先证明，得到，进一步推得，所以，结合，可证明结论； （2）连接交于点，先证明四边形是菱形，得到，根据直角三角形的性质可逐步求得，，，即可求得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，连接交于点， 由（1）得四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积为． 【变式9-3】如图，中，，平分，点，分别是，的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，如果四边形的周长为，求四边形的面积． 【分析】（1）根据中位线可知四条边相等，即可证明是菱形； （2）设，根据勾股定理可构造等量关系，从而可得，即可得面积． 【详解】（1）证明：平分， ，且点是的中点． 点分别是的中点， 在中，， 在中，． 又，点，分别是的中点， ， ， 四边形是菱形． （2）解：菱形的周长为20， ， 设，则，即． ①， 于点， 在中，， ②， 把②代入①，可得， 菱形的面积为． 【题型10 与菱形有关的作图问题】 【例10】如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点．若，，则_____． 【答案】 【分析】由作图过程可知，，为的平分线，则，，，结合平行四边形的性质以及菱形的判定可证明四边形为菱形，则，，根据，可得，再由，可得，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，，为的平分线， ∴，， ∴， 四边形为平行四边形， ∴， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式10-1】如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②连接直线，直线恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用垂直平分线和菱形的性质，用勾股定理求出的长度，再结合平行线的性质推出，最后用勾股定理算出的长． 【详解】解：根据题意可知，为的垂直平分线，则，， 四边形为菱形， ， ， ， ，， ， 在中，． 故选：D． 【变式10-2】如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 【变式10-3】如图，在中，为对角线，按下列要求作图： ①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q； ②作直线，分别交，，于点O，E，F，连结，． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若平分，，，，求的面积． 【分析】（1）由 垂直平分 得 ，，结合平行四边形得 及全等证 ，从而四边相等得四边形是菱形； （2）利用菱形对角线垂直及角平分线性质，分别求出 和 的面积，相加得 面积，进而求出平行四边形面积． 【详解】（1）四边形是菱形．理由如下： 由题意得，垂直平分， ，，， 在中，， ． 又，， （ASA）， ， ， 四边形是菱形． （2）如图，过点F作于点H． 四边形是菱形， ， ， ， ． 平分，，， ， ， ， ． 【题型11 与菱形有关的最值问题】 【例11】四边形为菱形，E为边上的中点，P为对角线上一点，要使最小，则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，轴对称解决线段和最小问题，全等三角形的判定和性质．连接，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，根据菱形的性质，可得：，进而得到，得到，即可． 【详解】解：连接， ∵菱形， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，如图， ∵， ∴， ∴，即：； ∴当时，最小； 故选：D． 【变式11-1】如图，将两张完全一样的长为，宽为的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形周长最大，则这个最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要使重叠部分的四边形周长最大，则重叠部分的边长就要最大，求出重叠部分的边长最大值即可． 【详解】解：如图，重叠部分为菱形，要使周长最大，则边长应最大， 设， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即，解得：， ∴重叠部分的四边形周长最大． 故选：C． 【变式11-2】如图，在菱形中，，，E是的中点，若F为对角线上的一点，连接，且的周长最小，则的周长最小值为________． 【答案】/ 【分析】连接，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，得出的周长最小值为，然后利用菱形的性质得出相关线段的长度和角的度数，利用含角的直角三角形的性质以及勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点，连接，过点作，交的延长线于点， 在菱形中，点与点关于对角线对称， ∴，此时点满足的周长最小， 的周长最小值为． 是的中点，， ，． ，（菱形的对边平行） ， ， ， ，． 在中，， 的周长最小值为． 故答案为：． 【变式11-3】如图，在菱形中，．折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与，交于点E，F．在点M的位置变化的过程中，当最大时，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，由折叠可得，，，根据，得当时，最小，最大，此时， 过作交延长线于，则，，代入计算即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴，， ∵折叠该菱形， ∴，，， ∴， ∴当最小时，最大， 根据垂线段最短可得，当时，最小，最大， ∴，， ∴， ∴， 过作交延长线于， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【题型12 与菱形有关的坐标问题】 【例12】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．连接，可得：与垂直平分，轴，得到轴，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，交于点，则：与垂直平分， ∵点，， ∴轴，， ∴轴，， ∴， ∵菱形的边长为13，即， ∴， ∴，即， 故选：D． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质和坐标几何的知识，通过坐标确定菱形的边长是解题的关键． 首先根据A、B两点坐标求出菱形的边长，再通过菱形的性质即可求出点C的坐标． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段平移到线段，若点的坐标为，四边形是面积为12的菱形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交x轴于点M，根据菱形的性质得出，点A、的横坐标为：，再由菱形的面积得出，确定，即可求解 【详解】解：连接交x轴于点M，如图所示： ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点A、的横坐标为：，， ∵四边形是面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为 故选：C． 【变式12-3】如图，O是坐标原点，菱形的顶点B的坐标为，顶点A的坐标为，则顶点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键． 利用菱形性质确定边长，过作轴，则，根据勾股定理算出，进而得，结合位置求出，即 ．依据菱形且，点向右平移个单位得到，横坐标为，纵坐标不变为，即 ． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴． 过点A作轴于点D， ∵， ∴ ∴． ∴ ∴在轴负半轴， ∴，即 ． ∵四边形是菱形，且，，在轴上， ∴点坐标是点向右平移个单位 ∴的横坐标为，纵坐标不变为， ∴． 故选：D． 【题型13 与菱形有关的动点问题】 【例13】如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ （2）只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 【分析】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算得出当时，在边上，此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，再分两种情况：当四边形时平行四边形时；当四边形是平行四边形时；分别根据平行四边形的判定定理得出方程，求解即可； （2）设的速度为，由（1）可得，在边上，此时四边形可为菱形，结合，得出只需满足即可，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发，以的速度向终点运动， ∴秒时，， ∵， ∴， ∵， ∴点在上运动时间为（秒）， ∵， ∴点运动时间最长为（秒）， ∴当时，在边上，此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形， 分两种情况：当四边形时平行四边形时，如图： ， ∵，即， ∴只需要即可， ∵动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动， ∴秒时，， ∴， 解得：； 当四边形是平行四边形时，如图， ， 同理：， ∴只需即可， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或秒时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （2）解：设的速度为， 由（1）可得，在边上，此时四边形可为菱形， ∵， ∴只需满足即可， 由（1）可得：，， ∴，， 解得：，， ∴的速度为时，四边形可为菱形． 【变式13-1】如图，在菱形中，，．点E从A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动．在此过程中，若，则t的值为______________． 【答案】2 【分析】根据菱形的性质求出的度数和的长，用含的代数式表示，，的长，根据判定为等腰三角形，利用等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质建立关于的方程求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， 是菱形的对角线， ， 如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ，， 在中，，， ， ∴， ， 由题意得：，， ， ，， ， ， 过点作于点， ，， ， 在中，， ∴， ， ， ， 解得， 当时，，，符合题意． 故答案为：2． 【变式13-2】如图，在平行四边形中，为锐角，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． （1）点在上运动时，______；点在上运动时，______．（用含的代数式表示） （2）点在上，时，求的值． （3）当直线平分平行四边形的面积时，求的值． （4）若点的运动速度改变为每秒个单位．当，平行四边形的某两个顶点与、所围成的四边形为菱形时，直接写出的值． 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置． （1）根据题意：当点在上运动时，，点在上运动时，； （2）点在上，时，，即可求得； （3）根据题意求得，然后根据点和点在各边上的情况分类讨论即可求得的值； （4）当时，则为菱形或菱形，据此可求得的值． 【详解】（1）解：当点P在上时， ∵， ∴， 当点P在上时， ， 故答案为：，； （2）解：当点在上，时，点在上，且， ， ， 解得：， 的值为：9； （3）解：当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、， 当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、， 由于当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ； 当，点在上，点在上时，直线平分平行四边形的面积， ，即， 解得：， 当，点在上，点在上时，直线平分平行四边形的面积， ，即， 解得：， 综上所述：当直线平分平行四边形的面积时，的取值为：或； （4）解： ， ， 点P在上，点Q在上， ①当四边形为菱形时， 此时， ∴， ∴， ②当四边形为菱形时， 此时， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【变式13-3】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在第二象限，顶点B、C的坐标分别为，，点D在y轴的正半轴上，． （1）直接写出菱形顶点A的坐标______． （2）连接对角线，动点P从点C出发，以每秒个单位速度沿着向终点A运动，连接，设点P运动时间为t（单位为秒），的面积为，用含t的式子表示S； （3）在（2）的条件下，在点P运动的同时，另一个动点Q从点A出发，以每秒个单位速度沿着对角线运动，当点Q到达终点C时，点P也停止运动，在P、Q两点运动过程中，过点P作的垂线交边于点E，过点E作x轴的垂线交边点F，连接，当是以为直角边的直角三角形时，求S值及的长． 【分析】（1）根据菱形得到，可得，然后根据角直角三角形的性质以及勾股定理求解； （2）过点作轴于点，先用的代数式表示，利用角的直角三角形的性质表示出高，再由三角形的面积公式即可求解； （3）延长交轴于点，过点作轴于点，分别通过角直角三角形的性质以及勾股定理表示出的坐标，再分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作轴于点， ∵，， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作轴于点， 由题意得：， 由（1）知， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， 那么点从点到点用时：秒， ∴； （3）解：如图，延长交轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵，， 同理可得：， ∴， ∴， 同（1）可得：， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴①， 则， ∴， 解得：， ∴，，， ∴； ②时，则点在直线上，不成立，舍去， ∴，． 模块三 课后作业 1．如图，在中，，交于点，点，在上，．要使四边形为菱形，还需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，结合菱形的判定定理，对各选项进行分析即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 选项B由已知可得，不需要添加， ∵， ∴，即， 选项A由已知可得，不需要添加， ∴四边形是平行四边形， 添加选项C，无法证得四边形为菱形， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴． 若添加选项D， ∵， ∴． ∴， ∴四边形为菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 故选． 2．如图，在菱形中，，，相交于点，点为线段上一点（可与点重合，不与点重合），，的平分线交于点，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质，得到对角线平分内角、对角线互相垂直，进而求出、的度数；再结合角平分线的定义，用表示出，最后根据的取值范围确定的可能值． 【详解】解：在菱形中，，平分，， ， ， 平分， ， 点为上一点（可与点重合，不与点重合）， ， 平分， ， ， ． 故选． 3．如图，在边长为5的菱形中，对角线相交于点O，点E在上，．若，则的长为（     ） A．2.5 B． C． D． 【答案】D 【分析】过点O作于点F，由勾股定理得，再求得，再用面积法和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，边长为，对角线交于点 ∴在中，由勾股定理得 ∵四边形是菱形 ∴平分，即 ∵点在上，与是同一个角 ∴是等腰三角形， 过点O作于点F ∵是等腰三角形， ∴是的中点，即 在中，利用面积法求斜边上的高： 在中，由勾股定理得： ． 故选． 4．如图，菱形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，点A的坐标为，点C的坐标为，则点D的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，坐标与图形；连接相交于点E，根据题意得到，得到，写出坐标即可． 【详解】解：连接相交于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点B在x轴上，顶点C在y轴上，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴轴， ∴，轴， ∴，     ∴点D的坐标为：． 故答案为：． 5．如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为________． 【答案】 【分析】由菱形的性质得到，，，，进而得到，从而是等边三角形，因此，，再由勾股定理求出，得到，再由菱形面积的计算方法求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴，，， ， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图所示，E，F分别在和上，，则________． 【答案】80 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四边形内角和，平行线的判定与性质，根据已知可判定出四边形为菱形，得到，，根据平行线性质，等边对等角可得到，根据等边三角形的判定与性质可得，利用四边形内角和求出，利用平行线性质即可求出结果． 【详解】解：， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 又， ， 同理， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：80． 7．如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，的最小值为，则长为______． 【答案】 【分析】连接，根据中位线定理，可得，再根据“垂线段最短”，可得当时，有最小值，即有最小值，利用的直角三角形和勾股定理，可得，从而求出，最后根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， G、H分别为、的中点， 是的中位线， ， 当时，有最小值，即有最小值， ∵的最小值为， 的最小值为， ∵，， ， ， 在中，， ， ，， ∵四边形是菱形， ， 故答案为：． 8．如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且，． （1）证明：四边形为菱形； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，再证明，则可证明四边形为平行四边形；由直角三角形的性质得到，据此可证明平行四边形为菱形； （2）由平行四边形的性质得到，求出，证明，，可得到，，则；可证明，，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．如图，在平行四边形中，，点分别是、的中点，交于点，连接， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明其邻边相等即可； （2）过点O作于点G，先求，再求，最后根据勾股定理求． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：过点O作于点G， ∵E是的中点，， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在菱形中，是的中点，，的延长线交于点，连接，． （1）求证：； （2）连接，请判断与的位置关系，并说明理由； （3）当菱形满足______时，四边形是菱形． 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （3）根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明∶∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵是的中点， ∴， 在与中． ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图， ∵四边形是菱形 ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：当菱形满足时，四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是菱形 ∴． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是菱形． 故答案为：． 11．如图，在平行四边形中，按下列步骤作图：以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；作射线交于；过点作交于点，交于点；连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的面积． 【分析】（1）根据作图由作图知，由四边形是平行四边形，则，所以，则有，然后证明，得，所以，可得四边形是平行四边形，又，从而有四边形是菱形； （2）作于，则，由四边形是菱形，得，，所以，是等边三角形，则有，，然后通过直角三角形的性质可得，由勾股定理得出，最后通过的面积为计算即可． 【详解】（1）证明：由作图知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，作于，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒），若以A，B，Q，P四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； （2）若点M在x轴上，在平面内存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标． 【分析】（1）先求出，再分类讨论：①若点在点的左侧，②若点在点的右侧，逐项分析求解即可； （2）先求出，再分类讨论：①以为边，四边形是菱形，②以为边，四边形是菱形，③以为边，四边形是菱形，④以为对角线，四边形是菱形，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ①若点在点的左侧，如图 ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得， ②若点在点的右侧，如图 ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ， 解得， 综上所述，或3时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； （2）解：点的坐标为或或或．理由如下： 点，， ，， ， ①如图，以为边，四边形是菱形， ∵， ； ②如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； ③如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； ④如图，以为对角线，四边形是菱形， 设， ， ， ， ， ， ； 综上所述，以、、、为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或或． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 菱形的性质与判定（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+3个知识归纳+13个题型+课后作业】 模块二 菱形的性质与判定 我们知道菱形具有平行四边形的所有性质．那么，菱形有哪些特殊的性质呢？ 【知识点1 菱形的性质】 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边都相等 角 对角相等 ， 对角线 对角线互相垂直平分 ，， 每条对角线平分一组对角 , 【知识点2 菱形面积的计算】 计算方法 符号表示 主要依据 菱形的面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形的面积=两条对角线乘积的一半 【知识点3 菱形的判定】 1．根据定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．根据对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 3．根据边：四边相等的平行四边形是菱形． 拓展：（1）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． （2）对角线平分一组内角的平行四边形是菱形． 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【例1】如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在菱形中，点E是对角线上一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在菱形中，，垂直平分，垂足为E，与对角线交于点F，连接，则的大小为________．（用含的代数式表示） 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 【例2】如图，菱形的两条对角线，相交于点O，点E在上，，，，则的长为（     ） A．15 B．14 C．13 D．12 【变式2-1】已知在菱形中，对角线的长为10，对角线的长为24，则的长为___________． 【变式2-2】如图，在菱形中，，E是的中点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为__________ ． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 【例3】如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．80 C．96 D．192 【变式3-1】菱形的一条对角线是，周长是，则菱形面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在菱形中，对角线、交于点O，点E在边上，连接，．若，，则菱形的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【变式3-3】如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【题型4 利用菱形的性质证明】 【例4】如图，在菱形中，于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，点，分别在菱形的边，上，且．求证：． 【变式4-2】如图，菱形中，点E、F、G分别是、、的中点，有下面两个结论：①；②．则这两个结论（   ） A．①②均对 B．①②均错 C．①对②错 D．①错②对 【变式4-3】如图，在菱形中，，点、分别在、上，连接、、、、是等边三角形．试判断与的数量关系，并说明理由． 【题型5 证明四边形是菱形】 【例5】如图，在中，，，点、分别是、的中点．求证：四边形是菱形． 【变式5-1】如图，在中，，，，把绕点旋转后得到，连接．求证：四边形是菱形． 【变式5-2】如图，在四边形中，，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是菱形． 【变式5-3】如图，在中，点，分别在，上，且． （1）若是菱形，求证：； （2）若，求证：是菱形． 【题型6 添一个条件使四边形是菱形】 【例6】如图，在中，平分交于点，过点作交于点，点在线段上，连接．请你添加一个条件________，使四边形是菱形． 【变式6-1】在四边形中，，，则添加下列条件，能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 【变式6-3】如图，在四边形中，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形应满足的条件是______． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 【例7】如图，在四边形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，，，，则的大小是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 【变式7-3】如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例8】如图在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称，过点D作的垂线交延长线于点E．若，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】在中，两条对角线与相交于点O，．求的周长． 【变式8-2】如图，在中，点是边上一点，过点分别作交于点交于点，连接平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 【变式8-3】如图，在中，，分别为，的中点，点在的延长线上，且，点在边上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，，求的长． 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 【例9】如图，在四边形中， ，平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为18，求菱形的面积． 【变式9-1】如图，中，平分交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，，求菱形的面积． 【变式9-2】如图，在四边形中，，点E，F在直线上，且，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，，，求四边形的面积． 【变式9-3】如图，中，，平分，点，分别是，的中点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，如果四边形的周长为，求四边形的面积． 【题型10 与菱形有关的作图问题】 【例10】如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点．若，，则_____． 【变式10-1】如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②连接直线，直线恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【变式10-3】如图，在中，为对角线，按下列要求作图： ①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，Q； ②作直线，分别交，，于点O，E，F，连结，． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）若平分，，，，求的面积． 【题型11 与菱形有关的最值问题】 【例11】四边形为菱形，E为边上的中点，P为对角线上一点，要使最小，则应满足（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，将两张完全一样的长为，宽为的矩形纸条交叉，使重叠部分的四边形周长最大，则这个最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，在菱形中，，，E是的中点，若F为对角线上的一点，连接，且的周长最小，则的周长最小值为________． 【变式11-3】如图，在菱形中，．折叠该菱形，使点A落在边上的点M处，折痕分别与，交于点E，F．在点M的位置变化的过程中，当最大时，的值为______． 【题型12 与菱形有关的坐标问题】 【例12】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为______． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段平移到线段，若点的坐标为，四边形是面积为12的菱形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式12-3】如图，O是坐标原点，菱形的顶点B的坐标为，顶点A的坐标为，则顶点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型13 与菱形有关的动点问题】 【例13】如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）当为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ （2）只改变点的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点的运动速度应为多少？ 【变式13-1】如图，在菱形中，，．点E从A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动．在此过程中，若，则t的值为______________． 【变式13-2】如图，在平行四边形中，为锐角，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． （1）点在上运动时，______；点在上运动时，______．（用含的代数式表示） （2）点在上，时，求的值． （3）当直线平分平行四边形的面积时，求的值． （4）若点的运动速度改变为每秒个单位．当，平行四边形的某两个顶点与、所围成的四边形为菱形时，直接写出的值． 【变式13-3】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在第二象限，顶点B、C的坐标分别为，，点D在y轴的正半轴上，． （1）直接写出菱形顶点A的坐标______． （2）连接对角线，动点P从点C出发，以每秒个单位速度沿着向终点A运动，连接，设点P运动时间为t（单位为秒），的面积为，用含t的式子表示S； （3）在（2）的条件下，在点P运动的同时，另一个动点Q从点A出发，以每秒个单位速度沿着对角线运动，当点Q到达终点C时，点P也停止运动，在P、Q两点运动过程中，过点P作的垂线交边于点E，过点E作x轴的垂线交边点F，连接，当是以为直角边的直角三角形时，求S值及的长． 模块三 课后作业 1．如图，在中，，交于点，点，在上，．要使四边形为菱形，还需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，，相交于点，点为线段上一点（可与点重合，不与点重合），，的平分线交于点，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在边长为5的菱形中，对角线相交于点O，点E在上，．若，则的长为（     ） A．2.5 B． C． D． 4．如图，菱形的顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，点A的坐标为，点C的坐标为，则点D的坐标为_______． 5．如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为________． 6．如图所示，E，F分别在和上，，则________． 7．如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，的最小值为，则长为______． 8．如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且，． （1）证明：四边形为菱形； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 9．如图，在平行四边形中，，点分别是、的中点，交于点，连接， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 10．如图，在菱形中，是的中点，，的延长线交于点，连接，． （1）求证：； （2）连接，请判断与的位置关系，并说明理由； （3）当菱形满足______时，四边形是菱形． 11．如图，在平行四边形中，按下列步骤作图：以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；作射线交于；过点作交于点，交于点；连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的面积． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）若动点P从原点O出发，以每秒2个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒），若以A，B，Q，P四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； （2）若点M在x轴上，在平面内存在点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $