第01讲 三角形的证明（思维导图+8知识点+10考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第01讲 三角形的证明 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 知识点2.等腰三角形的判定 （1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形； （2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边) 知识点3.等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 知识点4.等边三角形的判定 （1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形； （3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形. 知识点5.直角三角形全等的判定 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L） 在中，， 知识点6.直角三角形的性质定理及推论 定理1 直角三角形的两个锐角互余； 定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于. 知识点7.线段的垂直平分线 知识点8.角的平分线 考点一：等腰三角形中求角度、边长 例1．（2025·云南昆明·一模）如图，在等腰三角形中，，若腰，则的底边长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键． 过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，即可求出的度数，的长，再根据勾股定理即可求出的长，于是得出的长． 【详解】如图，过点A作于点， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得 ， ， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）一个等腰三角形一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长是 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系，验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰为时，，不能构成三角形； 当腰为时，，能构成三角形， 周长是：， 故答案为：． 【变式1-2】（2025·广东广州·一模）如图，在中，，，若是的角平分线，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等边对等角 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．根据等边对等角和三角形内角和定理求出，由角平分线得到，由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是 ． 【答案】/105度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角，根据等边对等角，求出，外角的性质，得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 考点二：等腰三角形的判定和性质 例2.（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理和平行线的性质： （1）角平分线的性质，平行线的性质，推出，即可得出结论； （2）三角形的内角和定理，求出的度数，平行线的性质，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 【变式2-1】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图，是等腰的底边上的中线，过点作，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质： （1）由三线合一定理得到，，由平行线的性质得到，据此证明，即可证明， （2）根据和三线合一定理得到，根据等角对等腰得到，则可证明． 【详解】（1）证明：是中线，， ，． ， ， ，即为等腰三角形． （2）证明：， ． 【变式2-2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到，再根据平行线得到，，则，即可证明； （2）根据三合一得到，结合三角形内角和定理以及等边对等角即可求解． 【详解】（1）证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：如上图：∵， ∴ ∴ ∵ ∴， 由（1）可知， ∴． 【变式2-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F，点G在边上，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】本题考查了平行线性质，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）结合平行线性质得到，即可证明是等腰三角形； （2）连接，根据等腰三角形性质得到，利用平行线性质推出，再结合直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：连接， ，E是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 考点三：等边三角形中求角度、边长 例3. （2025·黑龙江佳木斯·二模）如图是等边三角形，点D是边上一点，以为边作等边，连接．若，，则 ． 【答案】4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式3-1】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边上，且，与交于点F，则的度数为 ． 【答案】/60度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 先根据等边三角形的性质证明可得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求得，，，再由等边三角形的边长为4，得出的长．掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：为等边三角形，， ，， ，， ， ， ，， 点是的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 【变式3-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为等边三角形，于，点E为边的中点，点P为上一个动点，当的值最小时，线段的长为 ． 【答案】4 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，则的长度即为与和的最小值．利用直角三角形三角形的性质和勾股定理求得，推导出，再利用利用直角三角形三角形的性质和勾股定理求得，进而得到． 【详解】解：如连接，与交于点，此时最小， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即就是的最小值， ∵是等边三角形， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 故答案为：4． 考点四：等边三角形的判定和性质 例4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点在内部，连接、、，，，点在外部，连接、、，，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定定理． （1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判定出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）根据给出的条件判定出，得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ； （2）证明：， ，即， ，且由（1）得， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形． 【变式4-1】（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）在等边中，F为边上的点，作，延长与交于点D，截取，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边对等角，等边三角形的判定， 对于（1），根据“边角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（2），先根据全等三角形的性质得，，再根据“等边对等角”得，则答案可证； 对于（3），根据全等三角形的对应角相等得，进而得出， 再根据“有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形”得出答案. 【详解】（1）证明：在和中，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴平分； （3）证明：∵， ∴， ∴. 又∵， ∴为等边三角形． 【变式4-2】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，已知，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求的度数； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或或，是等腰三角形． 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，根据题意求出，根据三角形内角和定理计算； （3）分三种情况，根据等腰三角形的判定定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当时，， ∴， ②当时，， ∴， ③当时，， ∴， 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了是全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关的判定定理是解题的关键． 【变式4-3】（24-25八年级下·广东中山·阶段练习）定义：若是的三边，且（即三角形的任意两边的平方和等于第三边平方的2倍），则称为“方倍三角形”． (1)若是“方倍三角形”，其中，则为 ． (2)如图1，是“方倍三角形”，且，求证：为等边三角形． (3)如图2，中，，，是边上一点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，，若为“方倍三角形”，且，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)， 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质： （1）根据“方倍三角形”定义，设其余两条边为a，b，满足，进而可得的值； （2）利用“方倍三角形”的定义即可解决问题； （3）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点E，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得． 【详解】（1）解：解：根据“方倍三角形”定义，得：， 故答案为：； （2）证明：∵是“方倍三角形”，且， 则， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：∴， 根据“方倍三角形”定义可知：， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 延长交于点E，如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点五：全等的性质和HL综合 例5.（2025·湖南怀化·三模）如图，在中，为边上的高，垂足为，为上一点，且，，延长交于点. (1)求证：； (2)若，，求的长. 【答案】(1)见解析 (2)14 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法. （1）根据即可证明； （2）由勾股定理求出，再根据线段的和差即可求解. 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ∴； （2）解：在中，， ， . 【变式5-1】（24-25八年级下·贵州毕节·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理： （1）先证，再证即可； （2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：，， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式5-2】（22-23八年级上·广西河池·期末）如图，，，是上的一点，且，． (1)证明： ； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)是等腰直角三角形，理由见解析． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定，掌握全等三角形的性质定理和判定定理是解题的关键． （）先由等腰三角形的判定可得，然后证明，根据“”证明即可； （）由（）可知，，再通过全等三角形的性质得出，然后求出，即有，最后通过等腰三角形的定义即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由： 如图， 由（）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【变式5-3】（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且． (1)求证：； (2)若，，请求出的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出，结合其性质及等量代换确定，即可证明； （2）根据全等三角形的性质结合图形即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ． ，， ， ，即， ． （2）解：由（1）得，， ， ． 而，，， ， 答：的长为3． 考点六：与等腰三角形，直角三角形有关的多解题 例6. （24-25八年级下·江西萍乡·期中）如图，在中，，点P为射线上一点．则当是等腰三角形时，的长为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理， 分三种情况：当时，直接得出答案；当时，根据等腰三角形的性质得出答案；当时，设，表示，再根据勾股定理求出答案． 【详解】解：∵， ∴． 当时，可知； 当时， ∵， ∴； 当时，设，则， 根据勾股定理，得， 即， 解， 所以． 综上所述，的长为5或8或． 故答案为：5或8或． 【变式6-1】（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，，，，点为的中点，点在射线上运动，连接、，当为等腰三角形时，则线段的长是 ． 【答案】或 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的定义，先证明为等边三角形，然后分当，当时，两种情况分析即可，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， 当，如图，过作于， ∴， ∴， 在中，， ∴， 当，如图，过作，交延长线于， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 综上可知：的长为或． 【变式6-2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由三角形的内角和定理求出，然后分当时和当时两种情况分析即可． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，当时， ∴； 如图，当时， ∴， ∴； 故答案为：或． 【变式6-3】（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、折叠问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形和折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再分情况讨论：（1）当点在射线的下方时，①，②和③；（2）当点在射线的上方时，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，． （1）当点在射线的下方时， ①如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ②如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； ③如图，当时，是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； （2）如图，当点在射线的上方时， ∴， ∴此时要使是等腰三角形，只能是， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 考点七：利用线段的垂直平分线的性质求解 例7．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，过点C作，再分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别交，，于点D，O，E，连接，若，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质，连接，根据勾股定理求出，由题意可知，为线段的垂直平分线，则，，，根据得，根据证明，可得出；由得，由，得，可得出，得出，由勾股定理得出． 【详解】解：连接，如图， 在中，，，， ． 由题意可知，为线段的垂直平分线，则，，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴ ∴， 在中，， 故答案为：3． 【变式7-1】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质回答即可． 【详解】解: 直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， ， 故答案为：． 【变式7-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知的周长是，，则的周长是 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到，再结合求解，即可解题． 【详解】解：为的垂直平分线，， ， ， 则 ； 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边BC于点D．若，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查作图一基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，勾股定理是解答本题的关键． 连接，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，由题意得．设，则，在中，由勾股定理得，，代入求出的值即可． 【详解】解：连接， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， 设，则， 在中，由勾股定理得，，即， 解得， ∴的长为3． 故答案为：3． 考点八：利用角平分线的性质求解 例8.（2025年湖南省怀化市初中学业水平考试模拟数学试卷）如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点，射线交于点．若，则 °． 【答案】 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了尺规作图角平分线，三角形的内角和定理和外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由等边对等角以及角平分线，设，则，在中，由三角形内角和定理建立方程求解，再由三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25九年级下·重庆南岸·自主招生）如图，在中，，平分，点D在边上，，，，，则 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟记全等三角形的判定与性质、角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线性质求出，利用证明、，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，平分，点P在上，于，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线的性质可得，则，再根据角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短，即可进行解答． 本题主要考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短． 【详解】解：，平分， ， ， ∴， 过点P作于点E'， 平分， ， 的最小值为． 故答案为：． 【变式8-3】（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）如图，，，以点圆心任意长为半径画弧交，分别于点，，再以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，作射线，D为射线上一点，若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图—作角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角，根据等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，分，，，三种情况进行讨论求解即可，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论进行求解，是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况：如图： ①当时，则：，此时点为与的交点， ∴； ②当时，则：，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴； ③当时，则：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或或； 故答案为：或或． 考点九：线段的垂直平分线的判定和性质 例9. （24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出； （2）由，得出．根据题意又易证，结合，可证，即得出，即，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，即， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∴垂直平分． 【变式9-1】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在中，，于点，是上一点，连接，与相交于点，连接，，且． (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据，得出点在线段的垂直平分线上，根据，说明点在线段的垂直平分线上，即可证明垂直平分； （2）根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，，证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 垂直平分． （2）解：， ， 是等边三角形， ，． 垂直平分， 为中点， ， ， ， ， 是等边三角形． 【变式9-2】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点P，作直线． (1)求证：垂直平分； (2)若，，计算的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理；利用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，利用线段垂直平分线的判定即可证明； （2）由勾股定理求出，利用面积关系求得，即可求得． 【详解】（1）证明：∵直线分别为的垂线， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点A，P都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：设交于点D， 在中，，， 由勾股定理得：； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【变式9-3】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，是等边三角形，点D，E，F分别在，，AC上，且，，． (1)若，求线段的长； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三角形、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形和等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和三线合一是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质，求出，再根据三线合一得到的长，最后在中，运用勾股定理求出的长． （2）先依据等腰三角形三线合一得出 ，用证明 ，得到， ，根据线段垂直平分线的判定得出结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 在中， ； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴A、D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 考点十：角平分线的判定和性质 例10. （24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积为15 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点作于点，作于点，利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可． （3）设，利用，求出，从而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点，作于点， ∵平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ，， ， ， 又点在的内部， 平分； （3）解：如上图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴的面积为． 【变式10-1】（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）如图：过点D作于点F，证明得到，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明得到，由（1）知，，得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：如图：过点D作于点F， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点D在的平分线上， ∴平分． （2）解：，理由如下： 由（1）知，平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴． 【变式10-2】（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，于E，于F，若， (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的判定； （1）先证明，再证明，再结合全等三角形的判定与角平分线的判定可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）证明：，， ， ∴在和中，， ， ， ， ∴平分； （2）解：，，， ， ， ， ， ． 【变式10-3】（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角中，，点E为上一点，于点M，交于点D，于点H，交于点G，连接． (1)若，求证：垂直平分； (2)若点E在线段上运动． ①请判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：平分． 【答案】(1)证明见解析； (2)①，理由见解析；②证明见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定、角平分线的判定定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，于点，根据等腰三角形的三线合一得，即可得出结论； （2）①证明，即可得出答案； ②过点H作于点J，于点K，证明，得到，再根据，利用角平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵于点M， ∴， ∴垂直平分； （2）解：①解：，理由如下： ∵， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和△中， ， ∴， ∴； ②证明：过点H作于点J，于点K， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）一等腰三角形两边长分别为、，则该等腰三角形的周长为（　　） A． B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义及三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义和三角形三边关系． 【详解】解：当三边的长为，，，不能构成三角形，不符合题意； 当三边的长为，，，能构成三角形，符合题意； ∴周长为， 故选：． 2．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，的角平分线交于点，若，，，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，含角的直角三角形等知识，过点作，交延长线于点，过点作，分别交于点，根据角平分线平分线的性质得到，，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，再根据勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作，交延长线于点，过点作，分别交于点，如图： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴ 解得：（负值已舍去）， ∴， 故选：D． 3．（2025·湖南岳阳·一模）如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若点到的距离为4，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线的性质等知识点，掌握角平分线的尺规作图方法成为解题的关键． 根据作图过程可得，平分，如图：过F作，根据角平分线的性质定理可得，据此即可解答． 【详解】解：根据作图过程可知：平分， 如图：过F作， ∵点到的距离为4， ∴， ∵，，平分， ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】证明得，由三角形外角性质推出即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形外角性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，点E、D分别在的延长线上，与的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，下列结论：①；②平分；③垂直平分，其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． ①根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；②过P作于M，于N，于S，利用证明和，得出，，即可得出，再利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得证；③利用证明，根据全等三角形的性质得出，，即可得证． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②过P作于M，于N，于S， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即平分；故②正确； ③∵平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴垂直平分，故③正确； 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线，，若，则 【答案】55 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，属于中考常考题．掌握平行线性质是解题关键． 根据垂直的定义和余角的定义计算得到，再根据两直线平行，内错角相等可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：55 7．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．由等腰三角形的性质可得，，最后根据，即可求解． 【详解】解：在中，，平分交于点， ，， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，，点D为AC边上一点，连接，过点D作于点E，且，则的度数为 °． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用角平分线的判定方法判定出平分，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 故答案为：． 9．（2025·江西景德镇·一模）如图，是等腰三角形，，点在边上，，，点为边上一动点，连接，将延翻折，得到，当与腰垂直时，则 ． 【答案】或或 【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】根据等腰三角形的性质先求出，分，，两种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， 当时，设交于点H， 如图，当点在上方时， 则， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 如图，当点在下方时， 则， 同理得， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 时，设交于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点三点共线， ∴， ∴； 综上，或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，正确理解题意，画出示意图是解题的关键． 10．（24-25八年级下·江西九江·期中）在中，，，，若是三边所在直线上的一点，且，则的长为 ． 【答案】或10或5． 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并得到点的两种情况是解题的关键．先根据勾股定理逆定理得到，然后由垂直平分线的性质和是三边所在直线上的一点，推出点在线段的中点或者在线段的垂直平分线和直线和的交点上，当点在线段上时，易得的长；当点在上时，利用勾股定理和三角形面积法即可求得的长；当点在上时， 利用勾股定理即可求解． 【详解】解：，，， ，，， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 又是三边所在直线上的一点， 如图所示，点、、符合题意， ①当点在上时，如上图点， ，， ； ②当点在上时，如上图点， 为线段的垂直平分线， ， 设，则， ， ，即， 解得，（负值已舍去） ， ③当点在上时，如上图点， 设，那么， ，， ， ， ． 综上所述，的长为或10或． 三、解答题 11．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，，是的垂直平分线，交、于点D、E连接、．求证： (1)是等边三角形； (2)点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，经平分线的性质，垂直平分线的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，根据是的垂直平分线，可得，即可证明是等边三角形； （2）根据垂直平分线的性质可得，进而可得平分，根据角平分线的性质可得，根据等边三角形的性质可得，然后即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上． 12．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，过点B作于点平分交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理、含30度直角三角形的性质及等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理、含30度直角三角形的性质及等腰三角形的判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据“等角的余角相等”可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，由（1）可得，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、等边三角形的判定、两直线平行内错角相等、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线定义得到 即可证明，从而证明； （2）根据直角三角形的性质求出，，，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题的关键． 14．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，是的角平分线，与交于点，过点分别作，，交、于点、，连接，交于点． (1)试说明垂直平分； (2)若，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，，根据公共边，即可证明得出，根据三线合一即可证明垂直平分； （2）根据三角形内角和可得，根据含度角的直角三角形的性质得出，在中，则，根据，得出，即可求解． 【详解】（1）（1）解：平分，，， ， 又   （） ， 又平分， 垂直平分； （2）， 在中，， 平分 ， ， ， ， 在中，， ∴， ∴， 由（1）知垂直平分， ， 在中，， ， ， 又， ， ， 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，边、的垂直平分线分别交于点、，直线、交于点． (1)求证：点在边的垂直平分线上； (2)若，则的大小为 度． 【答案】(1)证明见详解 (2)20 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段平分线的判定和性质． （1）构造辅助线，利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上进行证明即可； （2）利用线段垂直平分线的性质得出等边对等角，再利用三角形的内角和定理即可求出角的度数． 【详解】（1）证明： 如图，连接， ∵垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ， ∴点在边的垂直平分线上； （2）解： ∵垂直平分线段，垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ∴的大小为， 故答案为：20． 16．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）证明：过点作交于点，交于点，如图所示： ，， ， 由（1）可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 17．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且． 【问题发现】 （1）如图①，当D为的中点时，探究线段与的数量关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”） 【类比探究】 （2）如图②，当点D为边上任意一点时，探究线段与的数量关系，并写出证明过程； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知D是等边三角形的边的中点，，P、Q分别为射线、射线上的动点，且，若，直接写出的长． 【答案】（1）=；（2），证明见解析过程；（3）的长为9或1 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出； （2）过点D作，交于点M，结合等边三角形的判定与性质，证明即可得证； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：=； （2），证明如下： 如图②，过点D作，交于点M， ， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交于点M， ， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，, ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 18．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，其中，，，绕点旋转． (1)如图1，当在的外部时，连接，交于点，求证：； (2)如图2，当旋转到顶点在的内部时，连接，，若，求证：； (3)若，，绕点旋转的过程中，当时，直线与直线交于点． ①如图3，当在的外侧时，求的长； ②如图4，当在的内部时，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①；② 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明得出，设与交于点，得出，再由勾股定理即可得证； （2）连接，证明得出，求出，再由勾股定理即可得证； （3）①过作于点，求出，得出，证明，求出，，再由计算即可得解；②过作于，同理，得出，求出得到，从而得出，由计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ，即， ，， ， ， 设与交于点， ， ， 在中，； （2）证明：如图1，连接， ， ∴，即， ，． ， ， ，， ， ， ． 在中，， ． 在中，， ， ； （3）解：①如图2，过作于点， ， ， ， ， ， ． ，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ． ， ． ， ； ②过作于， 同理， ， ， ， ， ， ． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 三角形的证明 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 知识点2.等腰三角形的判定 （1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形； （2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边) 知识点3.等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 知识点4.等边三角形的判定 （1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形； （3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形. 知识点5.直角三角形全等的判定 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L） 在中，， 知识点6.直角三角形的性质定理及推论 定理1 直角三角形的两个锐角互余； 定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于. 知识点7.线段的垂直平分线 知识点8.角的平分线 考点一：等腰三角形中求角度、边长 例1．（2025·云南昆明·一模）如图，在等腰三角形中，，若腰，则的底边长为 ． 【变式1-1】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）一个等腰三角形一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长是 ． 【变式1-2】（2025·广东广州·一模）如图，在中，，，若是的角平分线，则的度数为 ． 【变式1-3】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是 ． 考点二：等腰三角形的判定和性质 例2.（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是的角平分线，在上取点使． (1)求证：是等腰三角形 (2)若，，求的度数． 【变式2-1】（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）如图，是等腰的底边上的中线，过点作，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)求证：． 【变式2-2】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的度数． 【变式2-3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F，点G在边上，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，若，求的长． 考点三：等边三角形中求角度、边长 例3. （2025·黑龙江佳木斯·二模）如图是等边三角形，点D是边上一点，以为边作等边，连接．若，，则 ． 【变式3-1】（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边上，且，与交于点F，则的度数为 ． 【变式3-2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为 ． 【变式3-3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为等边三角形，于，点E为边的中点，点P为上一个动点，当的值最小时，线段的长为 ． 考点四：等边三角形的判定和性质 例4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，点在内部，连接、、，，，点在外部，连接、、，，． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【变式4-1】（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）在等边中，F为边上的点，作，延长与交于点D，截取，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：是等边三角形． 【变式4-2】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，已知，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求的度数； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【变式4-3】（24-25八年级下·广东中山·阶段练习）定义：若是的三边，且（即三角形的任意两边的平方和等于第三边平方的2倍），则称为“方倍三角形”． (1)若是“方倍三角形”，其中，则为 ． (2)如图1，是“方倍三角形”，且，求证：为等边三角形． (3)如图2，中，，，是边上一点，将沿进行折叠，点落在点处，连接，，若为“方倍三角形”，且，求的长． 考点五：全等的性质和HL综合 例5.（2025·湖南怀化·三模）如图，在中，为边上的高，垂足为，为上一点，且，，延长交于点. (1)求证：； (2)若，，求的长. 【变式5-1】（24-25八年级下·贵州毕节·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式5-2】（22-23八年级上·广西河池·期末）如图，，，是上的一点，且，． (1)证明： ； (2)判断的形状，并说明理由． 【变式5-3】（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且． (1)求证：； (2)若，，请求出的长． 考点六：与等腰三角形，直角三角形有关的多解题 例6. （24-25八年级下·江西萍乡·期中）如图，在中，，点P为射线上一点．则当是等腰三角形时，的长为 ． 【变式6-1】（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在中，，，，点为的中点，点在射线上运动，连接、，当为等腰三角形时，则线段的长是 ． 【变式6-2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为 ． 【变式6-3】（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若是等腰三角形，则的度数为 ． 考点七：利用线段的垂直平分线的性质求解 例7．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，过点C作，再分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别交，，于点D，O，E，连接，若，，则的长为 ． 【变式7-1】（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接．若，，则的长为 ． 【变式7-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知的周长是，，则的周长是 ． 【变式7-3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边BC于点D．若，则的长为 ． 考点八：利用角平分线的性质求解 例8.（2025年湖南省怀化市初中学业水平考试模拟数学试卷）如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点，射线交于点．若，则 °． 【变式8-1】（24-25九年级下·重庆南岸·自主招生）如图，在中，，平分，点D在边上，，，，，则 ． 【变式8-2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知，平分，点P在上，于，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 【变式8-3】（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）如图，，，以点圆心任意长为半径画弧交，分别于点，，再以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点，作射线，D为射线上一点，若为等腰三角形，则的度数为 ． 考点九：线段的垂直平分线的判定和性质 例9. （24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 【变式9-1】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在中，，于点，是上一点，连接，与相交于点，连接，，且． (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：是等边三角形． 【变式9-2】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点P，作直线． (1)求证：垂直平分； (2)若，，计算的长． 【变式9-3】（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，是等边三角形，点D，E，F分别在，，AC上，且，，． (1)若，求线段的长； (2)求证：垂直平分． 考点十：角平分线的判定和性质 例10. （24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 【变式10-1】（23-24八年级上·吉林白山·期末）如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 【变式10-2】（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，于E，于F，若， (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【变式10-3】（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，等腰直角中，，点E为上一点，于点M，交于点D，于点H，交于点G，连接． (1)若，求证：垂直平分； (2)若点E在线段上运动． ①请判断与的数量关系，并说明理由； ②求证：平分． 一、单选题 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）一等腰三角形两边长分别为、，则该等腰三角形的周长为（　　） A． B．或 C． D． 2．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，的角平分线交于点，若，，，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D． 3．（2025·湖南岳阳·一模）如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若点到的距离为4，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，点E、D分别在的延长线上，与的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，下列结论：①；②平分；③垂直平分，其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 6．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线，，若，则 7．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，，，则的面积为 ． 8．（24-25八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，，点D为AC边上一点，连接，过点D作于点E，且，则的度数为 °． 9．（2025·江西景德镇·一模）如图，是等腰三角形，，点在边上，，，点为边上一动点，连接，将延翻折，得到，当与腰垂直时，则 ． 10．（24-25八年级下·江西九江·期中）在中，，，，若是三边所在直线上的一点，且，则的长为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，，是的垂直平分线，交、于点D、E连接、．求证： (1)是等边三角形； (2)点E在线段的垂直平分线上． 12．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，过点B作于点平分交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 13．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 14．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，是的角平分线，与交于点，过点分别作，，交、于点、，连接，交于点． (1)试说明垂直平分； (2)若，，则的长为多少？ 15．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，边、的垂直平分线分别交于点、，直线、交于点． (1)求证：点在边的垂直平分线上； (2)若，则的大小为 度． 16．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，，且，求的面积． 17．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且． 【问题发现】 （1）如图①，当D为的中点时，探究线段与的数量关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”） 【类比探究】 （2）如图②，当点D为边上任意一点时，探究线段与的数量关系，并写出证明过程； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知D是等边三角形的边的中点，，P、Q分别为射线、射线上的动点，且，若，直接写出的长． 18．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，其中，，，绕点旋转． (1)如图1，当在的外部时，连接，交于点，求证：； (2)如图2，当旋转到顶点在的内部时，连接，，若，求证：； (3)若，，绕点旋转的过程中，当时，直线与直线交于点． ①如图3，当在的外侧时，求的长； ②如图4，当在的内部时，直接写出的长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$