深圳市南山区2025-2026学年八年级下学期数学专项练习 专题四 几何证明(1)

**基本信息** 聚焦几何证明系统性训练，以三角形性质为基础，递进式整合变换与四边形知识，强化逻辑推理与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形角度|2题|内角和证明/角平分线计算|从平行线性质到角平分线模型，构建角度转化逻辑| |角平分线与垂直平分线|3题|性质应用/综合证明|结合直角三角形性质，强化全等与面积法应用| |平移与旋转|5题|变换计算/旋补新定义|以变换性质为核心，衔接动态几何与创新探究| |平行四边形|4题|性质判定/综合应用|基于三角形全等，延伸四边形判定与性质体系|

深圳市南山区2025-2026学年第二学期八下数学专题四几何证明 参考答案与试题解析 类型一．三角形角度相关问题 1．证明“三角形内角和定理”的方法有很多．除了教材中提到的两种方法外，下面三种同样可以证明： 在BC边上任取一点F，并分别作其余两边的平行线 在三角形内任取一点D，分别作三边的平行线 同时过三角形的三个顶点作三条互相平行的直线 （1）请从上面三种方法中任选一种进行证明； （2）在第二种方法中：若点D为三角形外一点，是否同样可以完成该定理的证明？　可以　 （填“可以”或“不可以”）． 【分析】（1）根据平行线的性质进行角的转换即可进行论证； （2）过点D作DM∥BC，DN∥AC，DH∥AB，由DM∥BC，DN∥AC，DH∥AB，得∠6＝∠2，∠B＝∠5，∠C＝∠6，∠A＝∠4，∠5＝∠1，∠4＝∠3，由平角定义得∠1+∠2+∠3＝180°，即三角形的内角和是180°． 【解答】（1）选第一种： 证明：过点F作FN∥AB，FE∥AC， ∴∠A＝∠BEF，∠BEF＝∠EFN，∠EFB＝∠C，∠NFC＝∠B， ∴∠EFN＝∠A， ∵∠EFB+∠EFN+∠NFC＝180°， ∴∠C+∠A+∠B＝180°， 即：三角形的内角和是180°； 选第二种： 过三角形内任取一点D作DM∥BC，MN∥AB，MP∥AC， ∵DM∥BC， ∴∠2＝∠3，∠1＝∠4， ∵MN∥AB， ∴∠6＝∠5，∠B＝∠1， ∵MP∥AC， ∴∠C＝∠2，∠6＝∠A， ∴∠B＝∠4，∠C＝∠3，∠A＝∠5， ∵∠3+∠4+∠5＝180°， ∴∠C+∠B+∠A＝180°， 即：三角形的内角和为：180°； 选第三种： 如图所示，AP∥CN∥BM， ∵AP∥CN， ∴∠4＝∠3， ∵CN∥BM， ∴∠2＝∠1， ∵∠2+∠3＝∠1+∠4， ∴∠ACB＝∠2+∠3， ∵AP∥BM， ∴∠5＝∠ABM＝∠1+∠ABC， ∵∠4+∠5+∠BAC＝180°， ∴∠ABC+∠2+∠BAC+∠3＝180°， ∴∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， 即：三角形的内角和为：180°； （2）可以，过点D作DM∥BC，DN∥AC，DH∥AB， ∵DN∥AC， ∴∠C＝∠6，∠A＝∠4， ∵DH∥AB， ∴∠5＝∠1，∠4＝∠3， ∵DM∥BC， ∴∠6＝∠2，∠B＝∠5， ∵∠1+∠2+∠3＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°， 即：三角形的内角和是180°． 2．在△ABC中，∠BAC＞∠ABC，三个内角的平分线交于点O． （1）填空：如图1，若∠ACB＝70°，则∠AOB的大小为　125　 度； （2）如图1，过点O作OD⊥OC，交AC于点D，证明：∠ADO＝∠AOB； （3）如图2，CO的延长线交AB于点E．点M是AB边上的一动点（不与点E重合），过点M作MN⊥CE于点N，请直接写出∠AMN、∠ABC、∠BAC三者之间的数量关系． 【分析】（1）先由三角形内角和定理求出∠BAC+∠ABC＝110°，再根据角平分线的定义求得，即可由三角形内角和定理求解； （2）先由三角形内角和定理以及角平分线定义求得，从而得到∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠ABO）＝90°+∠ACO，再由OD⊥OC，可得∠ADO＝180°﹣∠ODC＝90°+∠ACO，即可得出结论； （3）分两种情况：当点M在线段BE上时；当点M在线段BE上时，画出图形，分别求解即可． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝70°， ∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣70°＝110°， ∵三个内角的平分线交于点O， ∴OA、OB分别是∠ABC、∠BAC的平分线， ∴，， ∴， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠ABO）＝180°﹣55°＝125°， 故答案为：125； （2）∵OA、OB、OC分别是∠ABC、∠BAC、∠ACB的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵OD⊥OC，即∠COD＝90°， ∴∠ODC＝180°﹣（∠COD+∠ACO）＝90°﹣∠ACO， ∴∠ADO＝180°﹣∠ODC＝180°﹣（90°﹣∠ACO）＝90°+∠ACO， ∴∠ADO＝∠AOB； （3）如图，当点M在线段AE上时， ∵∠AEN+∠BEC＝180°，∠ABC+∠BCO+∠BEC＝180°， ∴ ， ∵MN⊥CE，即∠MNE＝90°， ∵∠AEN+∠MNE+∠EMN＝180°，∠AMN+∠EMN＝180°， ∴， 即2∠AMN＝∠ABC﹣∠BAC+360°； 当点M在线段BE上时，如图， 同理， ∵MN⊥CE，即∠MNE＝90°， ∴ 即2∠AMN＝∠BAC﹣∠ABC； 综上所述，∠AMN、∠ABC、∠BAC三者之间的数量关系为2∠AMN＝∠ABC﹣∠BAC+360°或2∠AMN＝∠BAC﹣∠ABC． 类型二：角平分线与线段垂直平分线应用 3．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，BC于点E，F，FG⊥AB，垂足为G． （1）求证：CE＝FG； （2）若AC＝9，AB＝15，CE＝4.5，求△ABC的面积． 【分析】（1）由角平行线的性质推出FG＝FC，由等角对等边得到CE＝CF，即可证明CE＝FG． （2由勾股定理求出BC12，即可求出△ABC的面积． 【解答】（1）证明：∵AF平分∠BAC，FG⊥AB，FC⊥AC， ∴FG＝FC， ∵CD是AB的高， ∴∠EDA＝∠ACF＝90°， ∵∠EAD＝∠CAF， ∴∠AED＝∠AFC， ∵∠CEF＝∠AED， ∴∠CEF＝∠AFC， ∴CE＝CF， ∴CE＝FG． （2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝9，AB＝15， ∴BC12， ∴△ABC的面积AC×BC9×12＝54． 4．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由． 【分析】（1）由角平分线的性质推出∠EAD＝∠DAF，由等腰三角形的性质得到∠EDA＝∠EAD，因此∠DAF＝∠EDA，即可证明DE∥AC； （2）由垂直的定义得到∠AOE＝∠AOF＝90°，而∠OAE＝∠OAF，由三角形内角和定理推出∠AEO＝∠AFO，判定△AEF是等腰三角形，由平行线的性质推出∠EAF＝∠BED＝60°，判定△AEF是等边三角形． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠DAF， ∵EF是AD的垂直平分线， ∴AE＝DE， ∴∠EDA＝∠EAD， ∴∠DAF＝∠EDA， ∴DE∥AC； （2）△AEF是等边三角形，理由如下： ∵EF⊥AD， ∴∠AOE＝∠AOF＝90°， 由（1）知：∠OAE＝∠OAF， ∴∠AEO＝∠AFO， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等腰三角形， ∵DE∥AC， ∴∠EAF＝∠BED＝60°， ∴△AEF是等边三角形． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．以点A为圆心，AB的长为半径作弧；再以点C为圆心，BC的长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接AD，BD，CD，BD与AC交于点O． （1）求证：AC⊥BD； （2）若AB＝1，BC＝2，求BD的长． 【分析】（1）由尺规作图可知AD＝AB，CB＝CD，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知AC垂直平分BD，即AC⊥BD； （2）利用勾股定理可以求出，根据三角形的面积公式即可求出OB的长度，根据即可求出BD的长度． 【解答】（1）证明：由作图可知，AD＝AB，CB＝CD， ∴AC垂直平分BD， 即AC⊥BD； （2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵AC垂直平分BD， ∴， ∴． 类型三：平移与旋转 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，将△ABC向左平移3cm得到△A′B′C′，A′B′交AC于点D，DC＝4cm． （1）BB′＝　3　 cm； （2）AB与A′B′之间的关系是AB＝A′B′且AB∥A′B′　 ； （3）计算图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据平移的定义和性质进行解答即可； （2）根据平移的定义和性质进行解答即可； （3）根据平移的定义和性质得到四边形A′B′BA是平行四边形，AA′＝BB′＝CC′＝3cm，AA′∥BB′，AB∥A′B′，AC＝A′C′＝4cm，AD＝2cm，再根据S阴影部分＝S平行四边形﹣S△A′AD进行计算即可． 【解答】解：（1）由平移的性质可知，BB′的长就是平移的距离，所以BB′＝3cm， 故答案为：3； （2）由平移的性质可知，AB＝A′B′且AB∥A′B′， 故答案为：AB＝A′B′且AB∥A′B′； （3）如图，连接AA′，由平移的性质可知，AA′＝BB′＝CC′＝3cm，AA′∥BB′，AB∥A′B′，AC＝A′C′＝4cm， ∴四边形A′B′BA是平行四边形，AD＝AC﹣CD＝6﹣4＝2， ∴S阴影部分＝S平行四边形﹣S△A′AD ＝3×63×2 ＝15． 7．【定义新知】 如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AD，把AC绕点A逆时针旋转β得到AE，连接DE，当α+β＝180°时，我们称是△ADE是△ABC的“旋补三角形”，边DE上的中线AF叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）如图2，△ADE是△ABC的“旋补三角形”，AF是△ABC的“旋补中线”，点A是“旋补中心”，若△ABC为等边三角形，请判断AF与BC的数量关系，并说明理由； 【迁移探究】 （2）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，△ADE是△ABC的“旋补三角形”，AF是△ABC的“旋补中线”，点A是“旋补中心”，请你判断（1）中AF与BC的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 【分析】（1）根据△ABC是等边三角形，得出AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°．根据△ADE是△ABC的“旋补三角形”，得出∠BAD+∠CAE＝180°，AB＝AD，AC＝AE，结合三角形内角和定理即可得∠DAE＝120°，AD＝AE＝AB＝AC＝BC，∠D＝∠E＝30°．根据等腰三角形的性质得出AF⊥DE，在△ADF中，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD＝2AF，即可得出BC＝2AF． （2）根据△ADE是△ABC的“旋补三角形”，得出∠BAD+∠CAE＝180°，AB＝AD，AC＝AE，即可得∠DAE＝90°，证明△ABC≌△ADE，得出BC＝DE．在Rt△ADE中，根据直角三角形的性质得出DE＝2AF，即可得BC＝2AF． 【解答】解：（1）AF与BC的数量关系是BC＝2AF． 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°， ∵△ADE是△ABC的“旋补三角形”， ∴∠BAD+∠CAE＝180°，AB＝AD，AC＝AE， ∴∠DAE＝120°，AD＝AE＝AB＝AC＝BC， ∴∠D＝∠E＝30°， ∵点F为DE的中点， ∴AF⊥DE，即∠AFD＝90°， 在△ADF中，∠AFD＝90°，∠D＝30°， ∴AD＝2AF， ∴BC＝2AF； （2）（1）中AF与BC的数量关系仍然成立． 理由：∵△ADE是△ABC的“旋补三角形”， ∴∠BAD+∠CAE＝180°，AB＝AD，AC＝AE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAE＝90°， ∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，AC＝AE， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴BC＝DE． ∵在Rt△ADE中，AF为DE边上的中线， ∴DE＝2AF， ∴BC＝2AF． 即（1）中AF与BC的数量关系仍然成立． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF． （1）若∠BAC＝40°．则∠BAF的度数为 　65°　 ； （2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝50°，根据旋转的性质得到∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到AB＝10，根据旋转的性质得到BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°， ∴∠ABC＝50°， ∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF， ∴∠BAF＝∠BFA（180°﹣50°）＝65°， 故答案为：65°； （2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝10， ∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE， ∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8， ∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4， ∴AF4． 9．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB． （1）旋转角为 　60　 度； （2）求点P与点Q之间的距离； （3）求∠BPC的度数； （4）求△ABC的面积S△ABC． 【分析】（1）根据旋转角度的定义进行解答便可； （2）连接PQ，根据等边三角形的性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断△PBQ是等边三角形，所以PQ＝PB＝4； （3）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可； （4）由直角三角形的性质可求CH，PH的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解． 【解答】解：（1）∵将△APB绕点B逆时针旋转， ∴∠PBQ＝∠ABC， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠PBQ＝∠ABC＝60°， ∴旋转角度为60°， 故答案为：60； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，BA＝BC， ∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的， ∴△QCB≌△PAB， ∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5， ∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°， ∴△PBQ是等边三角形， ∴PQ＝PB＝4； （3）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4， 而32+42＝52， ∴PC2+PQ2＝CQ2， ∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°， ∵△PBQ是等边三角形， ∴∠BPQ＝60°， ∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°； （4）如图，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H， ∵∠BPC＝150°， ∴∠CPH＝30°， ∴CHPC，PHHC， ∴BH＝4， ∴BC2＝BH2+CH2（4）2＝25+12， ∵S△ABCBC2， ∴S△ABC（25+12）9． 10．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA＝OB＝4，OC＝OD＝2，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°） （1）当OC∥AB时，旋转角α＝　60或240　 度，OC⊥AB时旋转角α＝　150或330　 度． 发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明． 应用：（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长． 拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的最大值与最小值． 【分析】（1）如图1中，易知当点D在线段AO和线段AO的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α＝60°或240°，同法可求OC⊥AB时的旋转角； （2）结论：AC＝BD．只要证明△AOC≌△BOD即可． （3）在图3、图4中，分别求解即可． （4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值＝6，PC的最小值＝22． 【解答】解：（1）如图1中， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠AOB＝∠COD＝60°， ∴当点D在线段AO和线段AO的延长线上时，OC∥AB， 此时旋转角α＝60°或240°， 同法可得：OC⊥AB时，α＝150°或330°， 故答案为60或240；或150或330； （2）结论：AC＝BD，理由如下： 如图2中， 由旋转的性质可知：∠COD＝∠AOB＝60°， ∴∠COA＝∠DOB， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD， ∴AC＝BD； （3）①如图3中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H． 在Rt△COH中，∵OC＝2，∠COH＝30°， ∴CH＝HD＝1，OH， 在Rt△AOH中， AH， ∴BD＝AC＝CH+AH＝1． ②如图4中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H． 易知AC＝BD＝AH﹣CH1， 综上所述，当A、C、D三点共线时，BD的长为1或1； （4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，2为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值＝6，PC的最小值＝22． 类型四．平行四边形的性质宇判定 11．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠CBD＝30°，AC⊥AD，AO＝4． （1）求证：AC＝OD； （2）求▱ABCD的周长． 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可知AC＝2 AO＝8，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得OD＝2AO＝8； （2）利用勾股定理分别求得AD，CD的长度即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AC＝2 AO＝8． ∴∠ADO＝∠CBD＝30°． 又AC⊥AD， ∴OD＝2AO＝8． ∴AC＝OD； （2）在Rt△AOD中， ． 在Rt△ACD中， ． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，． ∴▱ABCD的周长． 12．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，连接BF，DE．若　①或③　 ，则AE＝CF．请从①∠ADE＝∠CBF；②DE＝BF；③DE∥BF这三个选项中选择一个合适的条件，使结论成立，并说明理由． 【分析】选择①，由四边形ABCD是平行四边形，可得AD＝CB，AD∥CB，则∠DAE＝∠BCF，再由∠ADE＝∠CBF，可得△ADE≌△CBF，即可得AE＝CF； 选择②无法得出AE＝CF； 选择③，由四边形ABCD是平行四边形，可得AD＝CB，AD∥CB，则∠DAE＝∠BCF，再由DE∥BF，可得∠AED＝∠CFB，可得△ADE≌△CBF，即可得AE＝CF； 【解答】解：选择①， 理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在对角线AC上， ∴AD＝CB，AD∥CB， ∴∠DAE＝∠BCF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AE＝CF． 选择③， 理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥CB， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵DE∥BF， ∴∠DEO＝∠BFO， ∴∠AED＝∠CFB， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF． 选择②无法得出AE＝CF． 故答案为：①或③． 13．问题情境：如图，某校“几何之美”社团利用四根木条钉制了一个平行四边形框架ABCD．已知边AD＝10，小华同学将一根细绳AF固定在顶点A，且始终经过边CD的中点E，绳子另一端恰好落在边BC的延长线上的点F处． （1）【模型探究】：请证明：△ADE≌△FCE，并求出线段CF的长度； （2）【拓展提升】：当细绳AF与边AB垂直（即∠BAF＝90°）时，测得CE＝6，求此时细绳AF的长． 【分析】（1）利用ASA可证明△ADE≌△FCE，即可得到CF＝AD＝10； （2）利用勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC， ∴∠D＝∠ECF， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴CF＝AD＝10； （2）解：在▱ABCD中，CE＝6，AD＝10，E是CD的中点， ∴AB＝CD＝12，AD＝BC＝10， 由（1）得CF＝10， 在直角三角形ABF中，∠BAF＝90°， 由勾股定理得：． 14．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长． 【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形； （2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解． 【解答】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，BC＝2DE， ∵CF＝3BF， ∴BC＝2BF， ∴DE＝BF， ∴四边形DEFB是平行四边形； （2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形， ∴BD＝EF， ∵D是AC的中点，AC＝12cm， ∴CDAC＝6（cm）， ∵∠ACB＝90°， ∴BD10（cm）， ∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市南山区2025-2026学年第二学期八下 数学 专题四 几何证明 类型一．三角形角度相关问题 1．证明“三角形内角和定理”的方法有很多．除了教材中提到的两种方法外，下面三种同样可以证明： 在BC边上任取一点F，并分别作其余两边的平行线 在三角形内任取一点D，分别作三边的平行线 同时过三角形的三个顶点作三条互相平行的直线 （1）请从上面三种方法中任选一种进行证明； （2）在第二种方法中：若点D为三角形外一点，是否同样可以完成该定理的证明？　 　 （填“可以”或“不可以”）． 2．在△ABC中，∠BAC＞∠ABC，三个内角的平分线交于点O． （1）填空：如图1，若∠ACB＝70°，则∠AOB的大小为　 　 度； （2）如图1，过点O作OD⊥OC，交AC于点D，证明：∠ADO＝∠AOB； （3）如图2，CO的延长线交AB于点E．点M是AB边上的一动点（不与点E重合），过点M作MN⊥CE于点N，请直接写出∠AMN、∠ABC、∠BAC三者之间的数量关系． 类型二：角平分线与线段垂直平分线应用 3．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，BC于点E，F，FG⊥AB，垂足为G． （1）求证：CE＝FG； （2）若AC＝9，AB＝15，CE＝4.5，求△ABC的面积． 4．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB、AC的于点E、F，连结DE． （1）求证：DE∥AC； （2）若∠BED＝60°，试判断△AEF的形状，并说明理由． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．以点A为圆心，AB的长为半径作弧；再以点C为圆心，BC的长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接AD，BD，CD，BD与AC交于点O． （1）求证：AC⊥BD； （2）若AB＝1，BC＝2，求BD的长． 类型三：平移与旋转 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，将△ABC向左平移3cm得到△A′B′C′，A′B′交AC于点D，DC＝4cm． （1）BB′＝　 　 cm； （2）AB与A′B′之间的关系是　 　 ； （3）计算图中阴影部分的面积． 7．【定义新知】 如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AD，把AC绕点A逆时针旋转β得到AE，连接DE，当α+β＝180°时，我们称是△ADE是△ABC的“旋补三角形”，边DE上的中线AF叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 【特例感知】 （1）如图2，△ADE是△ABC的“旋补三角形”，AF是△ABC的“旋补中线”，点A是“旋补中心”，若△ABC为等边三角形，请判断AF与BC的数量关系，并说明理由； 【迁移探究】 （2）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，△ADE是△ABC的“旋补三角形”，AF是△ABC的“旋补中线”，点A是“旋补中心”，请你判断（1）中AF与BC的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF． （1）若∠BAC＝40°．则∠BAF的度数为 　 　 ； （2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长． 9．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB． （1）旋转角为 　 　 度； （2）求点P与点Q之间的距离； （3）求∠BPC的度数； （4）求△ABC的面积S△ABC． 10．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA＝OB＝4，OC＝OD＝2，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°） （1）当OC∥AB时，旋转角α＝　 　 度，OC⊥AB时旋转角α＝　 　 度． 发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明． 应用：（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长． 拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的最大值与最小值． 类型四．平行四边形的性质宇判定 11．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠CBD＝30°，AC⊥AD，AO＝4． （1）求证：AC＝OD； （2）求▱ABCD的周长． 12．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，连接BF，DE．若　 　 ，则AE＝CF．请从①∠ADE＝∠CBF；②DE＝BF；③DE∥BF这三个选项中选择一个合适的条件，使结论成立，并说明理由． 13．问题情境：如图，某校“几何之美”社团利用四根木条钉制了一个平行四边形框架ABCD．已知边AD＝10，小华同学将一根细绳AF固定在顶点A，且始终经过边CD的中点E，绳子另一端恰好落在边BC的延长线上的点F处． （1）【模型探究】：请证明：△ADE≌△FCE，并求出线段CF的长度； （2）【拓展提升】：当细绳AF与边AB垂直（即∠BAF＝90°）时，测得CE＝6，求此时细绳AF的长． 14．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF． （1）求证：四边形DEFB是平行四边形； （2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $