一次函数、反比例函数与几何解答压轴题期末训练（海南） 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数、反比例函数与几何综合压轴题，通过待定系数法、分类讨论及几何模型构建解题体系，体现函数与几何的内在逻辑，发展几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数解析式|1-5,15-17|待定系数法|函数概念到坐标转化| |面积与坐标|2,3,5,19|分割法、坐标法|坐标与图形性质结合| |几何综合|7-9,13-14|全等模型、旋转性质|几何直观与推理应用| |存在性问题|4,16,20-21|分类讨论|动态问题中的模型意识|

一次函数、反比例函数与几何解答压轴题期末训练（海南） 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 1．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)当的面积是面积的时，是否存在整数点，若存在写出的坐标． 2．综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点，B，一次函数的图象经过点B，与x轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)如图2，D为线段上的动点，连接． ①当点D的纵坐标比横坐标的大7时，求的面积． ②若点D的横坐标为，E是直线上一点，且，请直接写出点E的坐标． 3．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线经过点，．点在该直线上（点不与点重合），其横坐标为，连接，以为邻边作． (1)求该直线对应的函数关系式． (2)当点在轴上时，的值为_____． (3)当的面积为10时，求的值． (4)当的面积被轴分成两部分时，直接写出的值． 4．平面直角坐标系中，线段的端点为，． (1)求所在直线的解析式； (2)有一动点，淇淇说：“无论a怎样变化，点P都在一条确定的直线上．”请对淇淇的说法进行说理； (3)在（2）的条件下，设线段分别交x轴，y轴于A，B两点． ①当取得最小值时，求a的值； ②若点P在的内部（不含边界），求a的取值范围． 5．如图，已知一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在该函数图象上，连接，求的面积； (3)若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点落在第三象限，请直接写出的取值范围． 6．如图，直线过点． (1)求点的值； (2)直线分别与，轴交于点，两点，求反比例函数的表达式； (3)在（2）的条件下，为双曲线上在第二象限内一点，过点作轴于点，轴于点．求四边形面积的最小值，并说明此时四边形形状． 7．小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，求点坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点在轴正半轴上，点的坐标是，连接，点是的中点，反比例函数的图象经过点． (1)点的坐标是______，的值是______； (2)反比例函数图象交于点，过点作轴，交于点，求点的坐标． 9．如图，一次函数的图象分别与x轴交于点A，与y轴交于点B，轴于点B，交反比例函数的图象于点C，于点A． (1)求点A，B的坐标及k的值； (2)将绕点B逆时针旋转，点A，C的对应点分别为D，E．将点D向右平移m个单位得到点F，若点F恰好在该反比例函数图象上，求m的值． 10．在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是． (1)求和的值： (2)已知对于函数，当时，都有，请直接写出的取值范围． 11．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线与x轴交于点，P是线段上的一个动点（与点A、B不重合），连接． (1)求直线的解析式； (2)求的面积： (3)当时，求函数的最大值和最小值之差； (4)当函数且线段的值最小时，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，请直接写出线段的值． 12．如图，直线与轴交于点， 与轴交于点， 直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值及直线的解析式． (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到，当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出 的取值范围． 13．综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)的长为_____，点的坐标是_____；直线与直线的位置关系是_____； (2)求点的坐标； (3)点是轴上一动点，若，求出点的坐标； (4)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，直线与直线相交于点． (1)求a，m的值； (2)求直线、与x轴所围成的三角形的面积； (3)平行于x轴的直线与直线、分别相交于点M，N，若，利用函数图象，直接写出k的取值范围． 16．如图，在平面直角坐标系中， 直线与x轴、y轴相交于， 两点， 点 C 在线段上，将线段绕着点 C 顺时针旋转得到，点 D 恰好落在直线上，过点 D 作轴于点 E． (1)求直线的函数表达式； (2)求证∶； (3)求点 D的坐标； (4)在平面内是否存在点 Q，使以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．    17．如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点． ①求的面积； ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的2倍，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)好奇心强的小陈同学深入思考后发现，直线上存在一点M．使为等腰直角三角形，富有热心肠的你帮小陈同学直接写出点M的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数解析式； (2)若P是线段上的一个动点，P不与A、C重合，动点P的横坐标为a，请将的面积S与a的函数关系式表示出来，并写出a的取值范围． (3)在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，直线与x轴、y轴分别交于成A，B，与函数的图像交于点． (1)求出k，b的值 (2)直接写出不等式组的解集． (3)求出的面积 (4)在x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图像于点C，D．若，求点P的坐标． 20．如图，直线与轴、轴分别交于点、，是线段上的一个动点与、点不重合，过点作轴于点点的坐标为，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)设动点的横坐标为，的面积为，写出与的函数关系式及自变量的取值范围； (3)当时，求点的坐标； (4)若点为线段的中点，在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求出此时点的坐标． 21．如图，直线y=x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴交于点C(3，0)，P是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点P作直线PQx轴，交直线BC于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F． (1)求直线BC的函数表达式； (2)设动点P的横坐标为t． ①当t=-2时，求四边形PEFQ的周长； ②当t为何值时，四边形PEFQ是正方形； ③在x轴上存在点M，使得四边形PMQB是平行四边形，请直接写出此时点M的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 一次函数、反比例函数与几何解答压轴题期末训练（海南） 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 1．(1) (2)存在；或 【分析】（1）利用待定系数法求解直线的解析式； （2）先求出点C的坐标，再求出的面积，进而求出的面积，求出边上的高为，即点M的横坐标为2，利用待定系数法求解直线的解析式，分情况讨论点的位置，从而求出点的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式是， 将、代入得： ， 解得：， 直线的解析式是； （2）解：在中，令，得， ， ， ， ， ， 边上的高为，即点M的横坐标为2， 设直线解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线解析式为， 当点M在上时： 将代入的：， 点M的坐标是， 当点M在上时： 将代入的：， 点M的坐标是， 综上所述，点M的坐标是或． 2．(1) (2)①；②点E的坐标为或 【分析】（1）先求出的值，进而求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①设出D点坐标，根据点D的纵坐标比横坐标的大7，列出方程进行求解，再利用分割法求出三角形的面积即可；②如图，点E的位置满足，过点D作交直线于点，过点D作轴交x轴于点F，分别过点，E作于点G，于点H，证明，设点，进而求出点的坐标，代入函数解析式，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，解得， ∴， ∴当时， ∴． ∵， ∴将点A，B的坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：①设点． ∵点D的纵坐标比横坐标的大7， ∴，解得， ∴点． ∵，， ∴， ∴． ②点E的坐标为或． 如图，点E的位置满足，过点D作交直线于点，过点D作轴交x轴于点F，分别过点，E作于点G，于点H． ∵点D的横坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴，点均为所求． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． 设点， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴，代入直线中得， ∴， ∴点E的坐标为或． 3．(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）根据平行四边形的性质和中点坐标公式，求出点的横坐标，代入解析式进行求解即可． （3）根据，代入，可得，结合点在直线上，横坐标为，即可求解或． （4）设交轴于点，当时，设与轴交于点，当时，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入， 得：，解得：， ∴该直线对应的函数关系式． （2）解：∵以为邻边作， ∴，分别为平行四边形的对角线， ∵，，点在轴上，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， ∵，的中点相同， ∴， ∴． （3）解：∵以为邻边作，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上，横坐标为 ∴当时，； 当时，； 故或． （4）∵点在直线上，横坐标为， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴轴，即轴， ∵的面积被轴分成两部分时， 设交轴于点，如图： 当时，则：， ∴，即：， ∴； ②设与轴交于点，如图： 当时，则：， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，    ∴， ∵，， 故可设直线的解析式为：， 把代入上式，得：， 把代入上式，得：，即， ∴， ∴； 综上：或． 4．(1) (2)解：淇淇的说法是正确的， 理由：设动点所在直线解析式为：， 将代入，可得， 当时，符合条件， 即动点所在直线解析式为； (3)①；② 【分析】（1）由题意直接利用待定系数法即可求解； （2）可设动点所在直线解析式为：，将代入即可得出结论； （3）①当动点在和的交点上时，取得最小值，联立和求出交点即可； ②由（2）得出点P在直线上，画出图形，求得直线与坐标轴的交点即可求解． 【详解】（1）解：设的解析式为：， ∵线段的端点为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为； （2）略 （3）解：如图当动点在和的交点上时， 取得最小值， 联立，解得， 即，此时； ②由（2）得出点P在直线上， 当时，； 当时，； ∴直线与坐标轴的两个交点为，， ∵点P在的内部 ∴点P在线段上（不含端点）， ∴． 5．(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出C点坐标，再求的面积即可； （3）分当轴时和当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时两种情况讨论，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， ； （2）解：将点代入一次函数得：， 解得， ， 的边上的高为， 又， ， 的面积为． （3）解：由题意可得：， ，由题意，有以下两个临界位置： ①如图，当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上， ∵点坐标为， ∴此时，解得；    ②如图，当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时，过点作轴于点， ， ∵点坐标为， ， 轴，， ， ， 由旋转的性质得：，， ， ， 在和中， ， （）， ， ，即， ∴由图知，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点能落在第三象限，此时． 6．(1) (2) (3)四边形面积的最小值为24，此时四边形是菱形 【分析】（1）将代入求解； （2）首先得到直线，然后将，代入求出，，然后求解即可； （3）设，表示出，，然后表示出，设，，利用得到，求出t的最小值为6，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵直线过点 ∴ ∴； （2）解：∵ ∴直线 ∵直线分别与，轴交于点，两点， ∴， ∴ ∴ ∴反比例函数的表达式为； （3）解：∵为双曲线上在第二象限内一点， ∴设 ∵轴于点，轴于点 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 设， ∴ ∴ ∴ 解得（舍去）或 ∴t的最小值为6， ∴的最小值为 ∴此时 解得 ∴， ∴， ∴与互相垂直平分 ∴ ∴此时四边形是菱形． 7．(1) (2) 【分析】第（1）小题根据点平移后坐标为，根据待定系数法代入即可求解； 第（2）小题先做，因为，，再把点纵坐标代入反比例函数解析式即可求得点坐标． 【详解】（1）解：由题意得，点平移后落在反比例函数图象上的坐标为， ，． ． （2）解：过点作于点E，如图所示， ∵四边形是矩形， ． ∴， 在中，， ． ，代入得． ． 8．(1)， (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式可求得点的坐标是，再利用待定系数法求解即可； （2）设，求得；求得直线的解析式为，由轴，设，代入直线的解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标是，点是的中点， ∴点的坐标是， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； （2）解：由（1）得，反比例函数解析式为， ∵四边形是正方形，点的坐标是，在上， ∴设， ∵反比例函数图象交于点， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为，将代入,得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴设， ∵点在直线上， ，即． 9．(1)，， (2) 【分析】（1）过点C作轴于点F，则四边形为矩形，设，则，根据勾股定理，得到，即可得到，求解即可； （2）过D作于点G，证明，得到；根据点D向右平移m个单位得到点F，设，根据点F在反比例函数的图象上，得到，求解即可． 【详解】（1）解： 点A，B在一次函数的图象上， 令， 解得， 令，解得， 如图1，过点C作轴于点F， 则四边形为矩形， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 在中，， 在中，， ， 即， 解得，即， 点C在反比例函数的图象上， ； （2）解：如图2，过D作于点G，则， 由题意得，， ∵， ∴， 在和中， ， ，， ； 点D向右平移m个单位得到点F， 设， 点F在反比例函数的图象上， 则， 解得， m的值为． 10．(1)，； (2)． 【分析】（1）将代入和，即可得和的值： （2）结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线的交点是， ∴， 解得． （2）解：在中， 当时，， ∴过点， 在中， 当时，， 把代入，得， 当时，直线与直线平行， ∵当时，， ∴． 11．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求解； （2）根据的顶点坐标求出底和高，利用三角形面积公式求解； （3）先判断一次函数图象增减性，进而求出最大值、最小值，作差即可； （4）当时，取最小值，利用三角形面积法求出，设，则，，根据求出m的值，即可求解． 【详解】（1）解：对于，当时，， 当时，，解得， ，， 设直线的解析式为，将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：，，， ，， ； （3）解：中，一次项系数， y随x的增大而增大， 在范围内，当时，函数取最小值，最小值为：， 当时，函数取最大值，最大值为：， 最大值和最小值之差为：； （4）解：如图，当时，取最小值，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，交x轴于点H， ，， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得， ，， ． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，勾股定理，垂线段的性质，解一元二次方程等，正确计算是解题的关键． 12．(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴交点问题，一次函数的平移，根据图象交点求不等式的解集； （1）先求得，然后根据待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得，设的横坐标为，则，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）根据平移得出，进而结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴ 将,代入 ∴ 解得： ∴ （2）解：∵直线与轴交于点， 与轴交于点， 当时，，则 当时，，则 ∵, ∴ ∴ ∴ 设的横坐标为，则 ∴ ∴ ∴或 （3）解：函数的图象向下平移个单位长度得到 当时， 代入，，解得： 如图，当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，． 13．(1)，； (2)，； (3)的函数表达式为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）由即可求出点的坐标为，点的坐标为，从而求解； （）根据“型全等”证明，则有点的坐标为，设解析式为，然后把，坐标代入求解即可； （）过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，证明，则有，设，则，，得出，最后通过待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， 令，解得，令，得，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴于，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴点的坐标为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 故答案为：，； （3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴设直线解析式为 ，解得， ∴的函数表达式为． 14．(1)5，，垂直 (2) (3)点的坐标为或 (4)第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或 【分析】（1）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，即可得到点D的坐标；由折叠的性质得到，结合，，即可得到，进而证明； （2）设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标； （3）先求出，设点的坐标为，则，根据列方程求出的值，即可得到点M的坐标； （4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，， ，， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可知，， ， 点的坐标是， 由折叠的性质得到， ，， ， ； 故直线与直线的位置关系是垂直， （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，即， 点的坐标为； （3）解：，， ，， 则， 则， 点是轴上一动点， 设点的坐标为， ， 则， 或－4， 点的坐标为或； （4）解：在第一象限内存在点，使为等腰直角三角形；理由如下： ①当，，则为等腰直角三角形， 如图1，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， ， 点的坐标为； ②当，，则为等腰直角三角形， 如图2，过点作轴于点， 同理可证，， ，， ， 点的坐标为； ③当，，则为等腰直角三角形， 如图3，过点作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ，， 设点的坐标为， ， ，， ， 解得：， 则点的坐标为， 综上可知，第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 15．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查求函数解析式、坐标与图形、一次函数图象与坐标轴的交点问题、解一元一次不等式等知识，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标满是函数解析式求解即可； （2）先求得两直线与x轴的交点坐标，进而利用坐标与图形和三角形的面积公式求解即可； （3）先求得M、N的坐标，利用坐标与图形，结合已知得到k的不等式，然后解不等式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，将代入中，得， ∴， 将代入中，得， ∴； （2）解：由（1）得，由得， ∴直线与x轴的交点为； 对于，由得， ∴直线与x轴的交点坐标为， ∴直线、与x轴所围成的三角形的面积为； （3）解：直线与直线的交点坐标为，与直线的交点坐标为， ∵直线平行于x轴，即轴， ∴， ∵， ∴，即， 当时，，解得； 当时，，解得， 故． 16．(1) (2)见解析 (3) (4)，或 【分析】本题主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征、三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）根据可证明； （3）设，则，代入直线的解析式可求出m的值，则求出D点坐标； （4）分两种情形：当为平行四边形的边时，当为平行四边形的对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 把，代入，得： ， 解得， 故直线的解析式为； （2）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （3）解：∵， ∴， 设， 又， ∴， ∵点D在直线上， 把代入上式得，， 解得， ∴； 故答案为：； （4）解：由（3）知 ∴ ∵， ∴存在点Q，使以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，如图， 可得将向右平移个单位，再向下平移个单位得点C的对应点的坐标为； 如图，将向左平移个单位，再向上平移个单位得点C的对应点的坐标为； ； 当为平行四边形的对角线时，如图， 设为的中点， ∵ ∴即， 设点的坐标为， ∵，则有： ，， 解得，， ∴, 综上，点的坐标为：，或 17．(1) (2)①6；②存在，或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及一次函数的图像和性质． （1）把，代入，求出k和b的值，即可得出直线l的表达式； （2）①把代入求出，则，根据的面积即可解答；②∵的面积是面积的2倍，②先得出面积为12，则，得出或，把和代入求出x的值，即可得出点P的坐标； （3）根据题意进行分类讨论①当时，②当时，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴直线l的表达式为； （2）解：①把代入得：， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积； ②∵的面积是面积的2倍， ∴面积， ∴， 解得：， ∴或， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 综上：或； （3）解：①当时，， 把代入得：， 解得：， ∴； ②当时，， ∴点M在的垂直平分线上， ∴点M的横坐标为， 把代入得：， ∴， 综上：或． 18．(1)，一次函数解析式为 (2) (3)或或 或 【分析】（1）先把点C坐标代入正比例函数解析式求出点C的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出P的纵坐标是，，再根据进行求解即可； （3）分①若，则，②若，则，③若，则，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数过， ， ， ∴点， 将，代入，得 ， ， ∴一次函数解析式为． （2）解：∵P在直线上， ∴P的纵坐标是， ∵， ∴， （3）解：设， 在中，令，则， ∴， ∴， ①若，则， 解得：或， ∴点M的坐标为或； ②若，则， ∴点M的坐标为， ③若，则， 解得， ∴点M的坐标为； 综上可得，点M的坐标为或或 或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数综合，等腰三角形的定义和性质，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 19．(1)；； (2) (3)5 (4)或 【分析】（1）把代入求得 ；再把代入求得b的值； （2）先求出，结合函数图像可得出不等式组的解集； （3）求出长，根据三角形面积的计算公式求解即可； （4）先确定点的坐标，得到的长，设则利用得然后求出从而求出点的坐标 【详解】（1）把代入求得 ； 把代入，得， 解得，； （2）由（1）知： 当时， 解得，， ∴ 又 ∴不等式组的解集为； （3）∵ ∴ 又 ∴； （4）当时， ∴ 如图， 设则 解得，， ∴点的坐标为或 故答案为：或 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，也考查了待定系数法一次函数的解析式 20．(1) (2) (3)点的坐标为 (4)点的坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）设，且，如图，过点作于点，根据即可得出答案； （3）利用等腰三角形性质“三线合一”可得，进而可得，由点的横坐标与点的横坐标相同，即可求得答案； （4）设，则，由点为线段的中点，可得，求出，，根据平行四边形性质可得，建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 则， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）设，且， 如图，过点作于点， 则， 、， ， ； （3）如图，，， ， 、， ， 点的横坐标与点的横坐标相同，且点在直线上， ， 点的坐标为； （4）由题意：点是轴上的点，设， ， ， 点为线段的中点， ， 轴， 点的纵坐标为， ， 解得：， ， ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ，， ， 解得：或， 点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，等腰三角形性质，平行四边形判定等，第（2）问用表示出是关键，第（3）问运用等腰三角形“三线合一”得出点的横坐标是关键，第（4）问利用平行四边形的判定得出是关键． 21．(1)y=-2x+6 (2)①12；②；③M(-1.5，0) 【分析】（1）根据直线y=x+6分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BC与x轴交于点C（3，0），可以得到点B的坐标，从而可以得到直线BC的函数表达式； （2）①根据题意，可以用含t的代数式表示出点P和点Q的坐标，进而利用矩形的周长公式求解即可；②正方形的判定得出PE=QF时，四边形PMQB是正方形，然后得出t+6=−t，求解即可；③设M（m，0），前面已知P（t，t+6），Q（-t，t+6），B（0，6）的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分，再利用中点坐标公式求解即可． 【详解】（1）∵直线y=x+6分别交x轴、y轴于A、B两点， 令x=0，y=6；令y=0，x=-6， ∴点A的坐标为（-6，0），点B的坐标为（0，6）， 设直线BC所对应的函数表达式为y=kx+b， 把B（0，6），C（3，0），代入得： ， 解得：， ∴直线BC的函数表达式是y=-2x+6； （2）①∵点P的横坐标为t，P在直线y=x+6上， ∴P（t，t+6）， ∵PQ∥x轴， ∴点P和点Q的纵坐标一样，点Q在直线y=-2x+6上， ∴Q（-t，t+6）， ∵PE⊥x轴，QF⊥x轴， ∴PE∥QF，∠PEF=90°， ∴四边形PEFQ为矩形， ∴PE=QF=t+6，PQ=EF=−t−t＝−t， ∴四边形PEFQ的周长=2(t+6−t)=12-t， ∴当t=-2时，四边形PEFQ的周长=12+2=14； ②由①得，PE=QF=t+6，PQ=EF=−t−t＝−t， ∵四边形PEFQ为矩形， ∴当有一组临边相等时，就是正方形， 即PQ=PE， ∴t+6=−t， 解得：t=-， ∴当t为−时，四边形PEFQ是正方形； ③如图， 由①知，P（t，t+6），Q（-t，t+6），B（0，6）， 设M（m，0）， ∵四边形PMQB是平行四边形， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为（-1.5，0）． 【点睛】本题是一道一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、正方形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $