暑假作业05 平面直角坐标系（巩固培优，18大题型+能力培优练+创新拓展练）七年级数学新教材人教版

**基本信息** 以平面直角坐标系概念为起点，构建从基础定义到特殊位置特征、距离计算、平移规律的完整知识链，题型覆盖坐标表示、象限判断、平移变换等中考核心考点，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|6个知识点|填空式定义梳理|从坐标系构成到点坐标定义，建立坐标表示的基本框架| |坐标应用|18类题型|涵盖坐标确定、距离计算、象限判断、平移变换、规律探索等|按"概念理解-特征应用-综合拓展"递进，实现知识从单一到综合的迁移|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 平面直角坐标系 【知识点1 平面直角坐标系】 定义：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 ·水平的数轴称为 （ ），习惯上取向右为正方向； ·竖直的数轴称为 （ ），习惯上取向上为正方向； ·两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 【知识点2 点的坐标】 定义：对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫 做点P的 、 ，有序数对(a，b)叫做点P的坐标，记作P(a，b)。 注：坐标的书写顺序是先横后纵，括号括起，逗号隔开。 【知识点3 象限与坐标轴上点的坐标特征】 1.象限划分： 平面被坐标轴分成四个部分，每个部分称为一个象限，按逆时针方向依次为： ①第一象限： ②第二象限： ③第三象限： ④第四象限： 2.坐标轴上的点： ①x轴上的点：纵坐标为0，即 ; ②y轴上的点：横坐标为0，即 ; ③原点坐标：(0,0)。 注：坐标轴上的点不属于任何象限。 【知识点4 特殊位置点的坐标特征】 1.平行于坐标轴的直线上的点： 平行于x轴的直线上的点：纵坐标 ； 平行于y轴的直线上的点：横坐标 。 2.对称点的坐标特征： 关于x轴对称横坐标不变， 互为相反数，即 关于y轴对称：纵坐标不变， 互为相反数，即 关于原点对称：横、纵坐标都互为 ，即 3.象限角平分线上的点： 一、三象限角平分线上的点：横、纵坐标相等，即; 二、四象限角平分线上的点：横、纵坐标互为相反数，即 【知识点5 点到坐标轴的距离】 ·点P(a，b)到x轴的距离是 (纵坐标的绝对值）； ·点P(a，b)到y轴的距离是 （横坐标的绝对值）； ·点P(a，b)到原点的距离是。 【知识点6 用坐标表示平移】 在平面直角坐标系中，点的平移规律： 左右平移：横坐标“ ”，纵坐标 ； 向右平移m个单位： 向左平移m个单位： 上下平移：纵坐标“ ”，横坐标 ； 向上平移n个单位： 向下平移n个单位： 【题型1 写出直角坐标系中点的坐标】 1．如图，被遮挡住的点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 2．下图平面直角坐标系中点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，将庆阳市部分旅游景点放在平面直角坐标系中，则公刘庙所在位置点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 4．《望天门山》一诗通过对天门山景色的描绘，不仅展现了大自然的神奇壮丽，更体现了李白诗歌中情景交融的艺术境界，诗的前两句为“天门中断楚江开，碧水东流至此回”．小冉将“碧”“水”“东”“流”写在如图所示的网格中．若建立平面直角坐标系，使“碧”“水”的坐标分别为，，则“东”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据点到坐标轴的距离求点坐标】 1．点P在y轴左方、x轴上方，距x轴、y轴分别为1个和2个单位长度，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知点在轴的右侧，点到轴的距离为，且它到轴的距离是到轴距离的一半，则点的坐标是（     ） A． B．或 C．或 D． 3．在平面直角坐标系中，点在第二象限，它到轴、轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．点在轴的左侧，到轴、轴的距离分别是和，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【题型3 已知点到坐标轴的距离求参数】 1．平面直角坐标系中，第二象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为________． 2．如果点到两坐标轴的距离相等，则m的值是________． 3．已知点的坐标为，且点到轴的距离为，则的值为________． 4．已知第四象限的点到轴的距离是到轴距离的3倍，则的值是______． 5．在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，到两坐标轴的距离相等，则的值为___________． 【题型4 判断点所在的象限】 1．在平面直角坐标系中，点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，点在第二象限，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若点M在第二象限，则点N所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．在平面直角坐标系中，已知点，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型5 根据坐标轴上点的特点求参数】 1．已知点在轴上，则的值为_________． 2．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为_____． 3．已知点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为______． 4．在平面直角坐标系中，点落在轴上，则点的坐标为_____________． 【题型6 与坐标轴平行的直线上点的特点】 1．已知轴，且点A的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则________． 3．平面直角坐标系中，已知直线轴，且，，则点A的坐标为________． 4．已知点，点的坐标为，直线轴．则的坐标是_____． 5．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，且轴，则线段的长度为_____． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，顶点A的坐标是，轴，点B，C在第一象限，则顶点C的坐标是________． 【题型7 平面直角坐标系中角平分线上点的特点】 1．已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在第二、四象限的角平分线上； (2)点在过点，且与轴平行的直线上． 2．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第一、三象限的角平分线上，求的值． 3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴的距离减去点P到y轴的距离称为点P的“横纵距差”，记作． (1)若，则____；若点B在一、三象限角平分线上，则____； (2)若点且，求点C的坐标 4．已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点在第二、四象限的角平分线上． 【题型8 平面直角坐标系中点的特点综合求解】 1．已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在y轴上，求m的值； (2)若点Q的坐标为且轴，求点P的坐标； (3)若点P到x轴，y轴的距离相等，且点P在第一象限，求点P的坐标． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若是第一象限内的一点，且到轴、轴的距离相等，求的值． (3)若Q的坐标为，轴，则的值为 ，此时= ． 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． (3)若点在第二、第四象限的角平分线上，直接写出点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求点P的坐标． (2)若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标． (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 5．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点M在y轴上，求点M的坐标； (2)存在点，当轴时，求点M的坐标； (3)若点M在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为4，求点M的坐标． 【题型9 坐标系中描点】 1．某公园有6个景点．如图所示是景点在平面直角坐标系中的分布示意图，景点A的坐标是，景点B的坐标是． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在图中的平面直角坐标系中描出点D，E，F． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出三角形； (2)将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，在图中画出平移后得到的三角形，并写出点，的坐标． 3．中华传统文化是中华民族五千多年历史积淀的智慧结晶．某景区以中国经典文化元素为主题，打造了活字工坊、匠心体验、典籍之光、节气食肆等主题区域．如图是某些主题区域的分布示意图，小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对活字工坊和匠心体验的位置做出如下描述：小珂；“活字工坊的坐标是”．妈妈：“匠心体验的坐标为”． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系； (2)请写出典籍之光和节气食肆的坐标； (3)已知该景区的汉服体验中心的坐标为，请在图中标出汉服体验中心的位置． 4．在平面直角坐标系中描出下列各点，顺次用线段将这些点连起来，并将最后一个点与第一个点连起来，看看得到的是什么图形？ ，，，，， ，，，， ，，，． 5．已知：， (1)请在图中坐标系的格点（网格线的交点称为格点）中描出5个点P的位置，使得点P的横坐标比纵坐标大2． ①请直接写出a，b满足的等式：________； ②这五个点是在同一条直线上？_____（填“是”或者“否”）； (2)在（1）的条件下，若点、，，求点P的坐标； (3)在（1）的条件下，若点、，．求点P的坐标． 【题型10 实际问题中用坐标表示位置】 1．云南省部分城市在地图中的位置如图所示，临沧市位置的坐标为，昭通市位置的坐标为，则坐标原点表示的位置是（     ） A．曲靖市 B．昆明市 C．丽江市 D．文山市 2．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．瓮安欢乐谷坐落于草塘石林公园处，周末小星和小丽相约到欢乐谷游玩，游玩结束后，他们绘制了欢乐谷部分平面示意图，其中碰碰车的坐标为，大摆锤的坐标． (1)请你根据上述信息，在图中画出平面直角坐标系； (2)写出图中海盗船的坐标； (3)若在欢乐谷新建一个游客中心，请你在图中画出游客中心的位置． 4．如图，在正方形网格中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表1个单位长度．已知学校的坐标为，体育馆的坐标为． (1)请在图中画出这个平面直角坐标系； (2)请直接写出超市和电影院所在位置的坐标． 5．中华传统文化是中华民族五千多年历史积淀的智慧结晶．某景区以中国经典文化元素为主题，打造了活字工坊、匠心体验、典籍之光、节气食肆等主题区域．如图是某些主题区域的分布示意图，小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对活字工坊和匠心体验的位置做出如下描述：小珂：“活字工坊的坐标是”．妈妈：“匠心体验的坐标为”． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系； (2)请写出典籍之光和节气食肆的坐标； (3)已知该景区的汉服体验中心的坐标为，请在图中标出汉服体验中心的位置． 【题型11 用方向角和距离确定物体的位置】 1．如图，在一次活动中，位于A处的佳佳准备前往相距的B处与琪琪会合．请你用方向和距离描述佳佳相对于琪琪的位置，其中描述正确的是（    ） A．佳佳在琪琪的北偏东，处 B．佳佳在琪琪的北偏东，处 C．佳佳在琪琪的南偏西，处 D．佳佳在琪琪的南偏西，处 2．小华家在学校北偏东方向200米处，那么学校在小华家的（    ） A．北偏东方向200米处 B．南偏西方向200米处 C．西偏南方向200米处 D．北偏西方向200米处 3．根据指令（，单位：，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再面向旋转后角度的方向，沿直线行走s个单位，如表示机器人由点运动到点（如图1）． (1)如图2，若机器人从运动到，则机器人收到一个什么指令？ (2)若机器人接到指令运动到点处，请你在图3中画出机器人从到的运动路径． 4．2026年春节期间，开封清明上河园接待游客万人次，旅游收入亿元，位列河南省春节景区接待量第1名．为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”，B组在九龙桥观看“东京保卫战”，C组在虹桥西侧观看“火神冲浪”，最后一起到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为了描述集合地点，同学们想出了不同的方法． (1)小明同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为． ①请在图1中建立合适的平面直角坐标系； ②大宋校场的坐标为_____，虹桥的坐标为_____； (2)小华同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，大宋校场在文房博物馆的北偏东方向，距离处，则大宋校场的位置记为（北偏东），若九龙桥与文房博物馆的距离和大宋校场与文房博物馆的距离相等，文房博物馆在九龙桥的北偏西方向，那么以文房博物馆为基准点，九龙桥的位置应记为_____． 5．如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系： (1)一般地，可以用表示方向的角和距离描述各地点相对于图书馆的位置，如“保龙仓在图书馆西偏南方向上，且距离图书馆”，请以图书馆为参照物，用方向角和图中所标的距离分别表示中国银行和餐馆的位置； (2)火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置． 【题型12 求沿x轴、y轴平移后点坐标】 1．将点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的点的坐标为______． 2．将点向左平移3个单位长度后落在轴上，则的值为________． 3．在直角坐标系中把点向左平移2个单位长度，得点的坐标____________；再向上平移5个单位长度得点的坐标______________ 4．将点向左平移2个单位长度，向上平移2个单位长度得到点，点的坐标为，则__________． 5．将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，若内一点的坐标是，则点在内的对应点的坐标是__________． 6．在平面直角坐标系中，若点向上平移4个单位长度后得到的点在x轴上，则m的值为________． 【题型13 由平移前后点的坐标判断平移方式】 1．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形平移，得到三角形，其中任意一点平移后的对应点为． (1)画出三角形，并写出点的坐标为______； (2)写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式． 2．在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出A，的坐标：A ， ； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到； (3)若是三角形内部的一点，经过平移后，点M在三角形中的对应点的坐标为，求m和n的值． 3．在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)点A的坐标为______，点的坐标为______； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 4．如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，． (1)画； (2)如图，是由经过平移得到的．已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标是_____． (3)求面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．将三角形平移，使点A平移到点处，得到三角形其中点B，C的对应点分别为，． (1)画出三角形； (2)若三角形内一点平移后的对应点为，求点P的坐标． 【题型14 已知平移后点的坐标求平移前的】 1．在平面直角坐标系中有点，将它向右平移个单位长度后，对应点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为______． 2．在平面直角坐标系中，若将点向左平移可得到点，若将向下平移可得到点，则点的坐标为_____． 3．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是________． 4．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________． 5．在平面直角坐标系中，若将点向左平移可以得到，向下平移可以得到则点的坐标为________． 【题型15 中点坐标】 1．在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 4．在平面直角坐标系中，点和点的中点坐标为 ______． 5．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，连接BF，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为________． 【题型16 点坐标规律探索】 1．如图，正方形，正方形，正方形，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为，，，，，，，，，，，…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A2026的坐标为_________． 2．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，，，，，，，，以此规律进行下去，则的横坐标为________． 3．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，……，按这样的运动规律，点的坐标是_____． 4．如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…．照此规律，的坐标是__________． 5．在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1），，，，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分别为2，4，6，，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，点的坐标为________． 【题型17 平面直角坐标系中新定义类】 1．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．如：点的“长距”为2，点称为“完美点”． (1)若点是“完美点”，求的值； (2)若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 2．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且），例如，点的“2级关联点”为，即． (1)若点P的坐标为，则它的“1级关联点”的坐标为______； (2)若点的“3级关联点”的坐标为，求的值； (3)若点Q是点的“级关联点”，且点Q位于坐标轴上，求m的值． 3．定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点，若点，则称点Q是点P的“双生点”． (1)若，求点P的“双生点”； (2)若点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，与点的“双生点”重合，求点P的坐标； (3)若点P在坐标轴上，点Q是点P的“双生点”，且的面积为4，求点P的坐标． 4．在平面直角坐标系中，规定某一点到轴、轴距离的较小值称为该点的“短距”．若某点到轴，轴距离相等，则称该点为“完美点”． (1)点的“短距”是________； (2)若点是“完美点”，求点的坐标； (3)若坐标系第三象限内存在一点，且它的“短距”是5，现有一点，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 5．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“灵动距离”，定义如下：若，则“灵动距离”为；若，则“灵动距离”为． (1)已知点，，则点M与点N的“灵动距离”是______ (2)已知点，B为坐标系内的一个动点． ①若点A与点B的“灵动距离”为5，且B点的横坐标与纵坐标相等；求满足条件的点B的坐标； ②若点B在y轴上，求点A与点B的“灵动距离”的最小值． 【题型18 平面直角坐标系中综合压轴】 1．已知，为4的算术平方根，在平面直角坐标系中，点，，，且． (1)直接写出______，______，______； (2)如图①，当点在直线上时，连接，求三角形的面积； (3)平移线段，使点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为（秒）． ①如图②，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接，． (1)直接写出A，B，C，D四个点的坐标． (2)如图2，点M是线段上的一个动点，点N是线段上的一个定点，连接，，当点M在线段上移动时（不与A，C重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)在y轴上存在点P，使的面积与的面积相等，直接写出点P的坐标． 3．在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 4．如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）． (1)连接，，，，求的度数． (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由． 5．如图1，点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接、． (1)请直接写出点C的坐标是_______，点D的坐标_______； (2)连接交于点E，若点G在线段上，且三角形面积为3，求G点坐标； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，轴，且点B的纵坐标为2m，则下列说法正确的是（     ） A．当点B在第三象限时，存在 B．当时，m的值为或 C．无论m取何值，点B不可能在y轴上 D．无论何时，m的值不可能是 2．在平面直角坐标系中，一个点从开始按图中箭头所示方向运动，即点的坐标依次为 ，由此规律可得点的坐标为（  ） A． B． C． D． 3．如图，直线轴，且直线经过点，点的坐标为，为直线上的一动点，为的中点，点从点出发，沿着直线向轴负方向移动，则在移动过程中，三角形的面积（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大再变小 D．不变，面积始终为 4．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别是，，，，直线交边于点D，点E在边上．若，则的长为___________． 5．如图，的顶点B，C的坐标分别为，，将沿方向平移得到，若点A的对应点D的坐标是，则点A的坐标为________． 6．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为． (1)求a，b的值及； (2)若点M在x轴上，且，试求点M的坐标． 7．新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“优美点”，例如，如图1，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值均为16，则点是“优美点”． (1)判断点是否是“优美点”?说明理由； (2)若点是“优美点”，求的值； (3)已知点是“优美点”，过点作轴于点，点在线段上，且，求点的坐标． 1．问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点，点是线段的中点，则点的坐标为．如：已知点，则线段的中点的坐标：，，故点的坐标为．解决问题： (1)已知点，，则线段的中点的坐标是_____． (2)若已知点，且线段的中点坐标为，求点的坐标． (3)已知三点，，，若第四个点与、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 2．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ______； ______；点B的坐标为______； (2)在移动过程中，当点P移动3秒时，求三角形的面积； (3)当点P移动11秒时，坐标轴上是否存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 平面直角坐标系 【知识点1 平面直角坐标系】 定义：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 ·水平的数轴称为x轴（横轴），习惯上取向右为正方向； ·竖直的数轴称为y轴（纵轴），习惯上取向上为正方向； ·两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 【知识点2 点的坐标】 定义：对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫 做点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a，b)叫做点P的坐标，记作P(a，b)。 注：坐标的书写顺序是先横后纵，括号括起，逗号隔开。 【知识点3 象限与坐标轴上点的坐标特征】 1.象限划分： 平面被坐标轴分成四个部分，每个部分称为一个象限，按逆时针方向依次为： ①第一象限： ②第二象限： ③第三象限： ④第四象限： 2.坐标轴上的点： ①x轴上的点：纵坐标为0，即(a,0); ②y轴上的点：横坐标为0，即(0,b); ③原点坐标：(0,0)。 注：坐标轴上的点不属于任何象限。 【知识点4 特殊位置点的坐标特征】 1.平行于坐标轴的直线上的点： 平行于x轴的直线上的点：纵坐标相同； 平行于y轴的直线上的点：横坐标相同。 2.对称点的坐标特征： 关于x轴对称横坐标不变，纵坐标互为相反数，即 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即 关于原点对称：横、纵坐标都互为相反数，即 3.象限角平分线上的点： 一、三象限角平分线上的点：横、纵坐标相等，即; 二、四象限角平分线上的点：横、纵坐标互为相反数，即 【知识点5 点到坐标轴的距离】 ·点P(a，b)到x轴的距离是|b|(纵坐标的绝对值）； ·点P(a，b)到y轴的距离是|a|（横坐标的绝对值）； ·点P(a，b)到原点的距离是。 【知识点6 用坐标表示平移】 在平面直角坐标系中，点的平移规律： 左右平移：横坐标“左减右加”，纵坐标不变； 向右平移m个单位： 向左平移m个单位： 上下平移：纵坐标“上加下减”，横坐标不变； 向上平移n个单位： 向下平移n个单位： 【题型1 写出直角坐标系中点的坐标】 1．如图，被遮挡住的点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标特点解答即可． 【详解】解：由图可知，被遮挡住的点位于第四象限， 所以，被遮挡住的点的坐标应位于第四象限，则可以为， 故选项A、C、D错误，选项B正确． 2．下图平面直角坐标系中点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的坐标为． 3．如图，将庆阳市部分旅游景点放在平面直角坐标系中，则公刘庙所在位置点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：在如图所示的平面直角坐标系中，公刘庙所在位置在第四象限， 故公刘庙所在位置点的坐标可能是． 4．《望天门山》一诗通过对天门山景色的描绘，不仅展现了大自然的神奇壮丽，更体现了李白诗歌中情景交融的艺术境界，诗的前两句为“天门中断楚江开，碧水东流至此回”．小冉将“碧”“水”“东”“流”写在如图所示的网格中．若建立平面直角坐标系，使“碧”“水”的坐标分别为，，则“东”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知点的坐标，建立直角坐标系，进而读出“东”的坐标即可. 【详解】解：∵“碧”“水”的坐标分别为，， ∴如图建立平面直角坐标系得： ∴“东”的坐标为. 【题型2 根据点到坐标轴的距离求点坐标】 1．点P在y轴左方、x轴上方，距x轴、y轴分别为1个和2个单位长度，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据点的位置判断横纵坐标的符号，再根据点到坐标轴的距离计算得到点的具体坐标 【详解】解：∵点在轴左方，轴上方， ∴点位于第二象限，点的横坐标为负，纵坐标为正，可排除A，C选项； ∵平面直角坐标系中，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值， 已知点距轴个单位长度，距轴个单位长度， ∴，， ∴，， ∴点的坐标是 2．已知点在轴的右侧，点到轴的距离为，且它到轴的距离是到轴距离的一半，则点的坐标是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标，掌握点到坐标轴的距离规律是解题关键，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，结合点在轴右侧，横坐标为正求解即可． 【详解】∵点到轴的距离为，且它到轴的距离是到轴距离的一半， ∴点到轴的距离是， ∵点在轴右侧， ∴点的横坐标为， ∵点到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为或． 3．在平面直角坐标系中，点在第二象限，它到轴、轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限内点的坐标特征，以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解点P的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， 点在第二象限， ∴，， 点到轴的距离为个单位长度，到轴的距离为个单位长度， ， ∴， 点的坐标为． 4．点在轴的左侧，到轴、轴的距离分别是和，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵点在轴的左侧， ∴点的横坐标小于 ∵点到轴、轴的距离分别是和， ∴的横坐标为，纵坐标为或，即或 【题型3 已知点到坐标轴的距离求参数】 1．平面直角坐标系中，第二象限内的点到y轴的距离是5，则a的值为________． 【答案】 【分析】点到轴的距离等于点横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于，据此列式求解即可． 【详解】解：点在第二象限，且到轴的距离是， ，且， ， 解得， 此时，符合题意． 2．如果点到两坐标轴的距离相等，则m的值是________． 【答案】 5或 【分析】根据点到坐标轴的距离的定义，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，列出绝对值方程后求解即可． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等，点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， ∴或， 解得或． 3．已知点的坐标为，且点到轴的距离为，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，解绝对值方程即可得到的值． 【详解】解：∵点到轴的距离为， ∴， ∴或， 解得：或． ∴的值为或． 4．已知第四象限的点到轴的距离是到轴距离的3倍，则的值是______． 【答案】 【分析】根据“点到轴的距离是到轴距离的3倍”得到，根据点在第四象限可知且，进而取绝对值求解即可． 【详解】解：点到轴的距离是到轴距离的3倍， ， 点在第四象限， 且， ， 解得． 5．在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，到两坐标轴的距离相等，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据点到两坐标轴的距离相等列出方程，再结合第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负，求解即可． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 解得． 【题型4 判断点所在的象限】 1．在平面直角坐标系中，点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵点的坐标为，横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限点的坐标特征， ∴点在第四象限． 2．在平面直角坐标系中，点在第二象限，则点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】四个象限坐标符号特点为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，先根据点的位置判断的符号，再推导点横纵坐标的符号，即可判断所在象限． 【详解】解：∵ 点在第二象限 ∴， ∴ ∴点的横纵坐标符号为，符合第一象限点的坐标特征 ∴点在第一象限． 3．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先判断点M横纵坐标的正负，即可确定点M所在象限． 【详解】解：∵ ， ∴， 又∵ 点的纵坐标， ∴ 点在第一象限． 4．若点M在第二象限，则点N所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据第二象限内点的坐标特征得到和的符号，再判断点横纵坐标的符号，最后根据象限坐标特征确定点所在象限. 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴，， ∴，， ∴点在第三象限. 5．在平面直角坐标系中，已知点，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵， ∴ ． ， ∴ 点在第四象限． 【题型5 根据坐标轴上点的特点求参数】 1．已知点在轴上，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据轴上的点的横坐标为，列方程求解，即可得到的值. 【详解】解：点在轴上， ， 解得． 2．在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据轴上的点的坐标特征列方程求解即可得到答案． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得：． 3．已知点的坐标为，且点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】先根据轴上点的纵坐标等于求出的值，再代入计算得到点的横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，且点在轴上， ∴， 解得：， 将代入横坐标得， ∴点的坐标为． 4．在平面直角坐标系中，点落在轴上，则点的坐标为_____________． 【答案】 【分析】根据x轴上点的坐标特征，x轴上点的纵坐标为0，可列方程求出的值，再代入计算横坐标，即可得到点A的坐标． 【详解】解：∵点落在轴上， ∴点A的纵坐标为，即， 解得， 将代入横坐标，得 ， ∴点的坐标为． 【题型6 与坐标轴平行的直线上点的特点】 1．已知轴，且点A的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等. ∵点的坐标为，点的纵坐标为， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则________． 【答案】或3/3或 【分析】平行于轴的直线上点的纵坐标相等，两点间距离等于横坐标差的绝对值，根据轴求出的值，再根据求出的所有可能值，最后计算即可． 【详解】解：轴，点，点 点与点的纵坐标相等 解得 整理得 或 解得或 当，时， 当，时， 综上可知，或3 3．平面直角坐标系中，已知直线轴，且，，则点A的坐标为________． 【答案】 【分析】根据直线轴，可得点A，B两点的横坐标相同，可求出m的值，即可． 【详解】解：∵直线轴，且，， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 4．已知点，点的坐标为，直线轴．则的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据平行于x轴时，点A和点B的纵坐标相等，求出a的值，代入点A坐标中即可． 【详解】解：∵点的坐标为，点，直线轴， ∴， ∴， ∴， 即点A坐标为． 5．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，且轴，则线段的长度为_____． 【答案】12 【分析】根据轴，得到A，B纵坐标相等，从而求出m值，可得点A，点B坐标，即可求出线段的长度． 【详解】解：∵轴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，顶点A的坐标是，轴，点B，C在第一象限，则顶点C的坐标是________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，平行于坐标轴的直线上的点的特征，进行求解即可. 【详解】解：∵正方形的边长为3， ∴， ∵轴， ∴ 轴， ∵顶点A的坐标是， ∴顶点的坐标为，即， ∴顶点的坐标为即，即. 【题型7 平面直角坐标系中角平分线上点的特点】 1．已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在第二、四象限的角平分线上； (2)点在过点，且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二，四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数，进行求解即可； （2）根据与轴平行的直线上的点的纵坐标相同，列方程进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴. 2．在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第一、三象限的角平分线上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴上点的纵坐标为，列关于的方程并求解即可； （2）根据第一、三象限的角平分线上点横纵坐标相等，列关于的方程并求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上，， ，解得． （2）解：点在第一、三象限的角平分线上， ，解得． 3．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴的距离减去点P到y轴的距离称为点P的“横纵距差”，记作． (1)若，则____；若点B在一、三象限角平分线上，则____； (2)若点且，求点C的坐标 【答案】(1)；0 (2)或 【分析】（1）直接根据“横纵距差”求解即可； （2）根据“横纵距差”列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵点B在一、三象限角平分线上， ∴点B的横纵坐标相等， ∴； （2）解：∵点且， ∴， ∴， ∴或 解得或， ∴点C的坐标或． 4．已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点在第二、四象限的角平分线上． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴上点的纵坐标为列式计算即可； （2）根据第二、四象限的角平分线上点的特点：横坐标与纵坐标互为相反数，得到方程即可得到答案． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ， ； （2）解：点在第二、四象限的角平分线上， 横纵坐标互为相反数， ， 解得， ， ， ． 【题型8 平面直角坐标系中点的特点综合求解】 1．已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在y轴上，求m的值； (2)若点Q的坐标为且轴，求点P的坐标； (3)若点P到x轴，y轴的距离相等，且点P在第一象限，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据坐标轴上点的特征求解； （2）根据平行坐标轴的点的坐标特征求解； （3）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征求解． 【详解】（1）解：∵点P在y轴上， ∴， 解得； （2）解：∵轴， ∴两点的横坐标相等，纵坐标不相等， ∴，且， 解得， ∴， ∴点P的坐标； （3）解：∵点P到x轴，y轴的距离相等，且点P在第一象限， ， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若是第一象限内的一点，且到轴、轴的距离相等，求的值． (3)若Q的坐标为，轴，则的值为 ，此时= ． 【答案】(1)点的坐标为 (2) (3)， 【分析】（1）根据在轴上的点的纵坐标为，由此求得的值，进而求得横坐标，即可解答； （2）根据到轴、轴的距离相等的点的横、纵坐标的绝对值相等得到方程，然后结合点是第一象限的点，可知其纵横坐标均大于，据此化简绝对值方程，即可解答； （3）根据平行于轴的直线上的点横坐标相等列方程即可求得的值，进而求点坐标，最后根据平行于轴的两点间距离为纵坐标差的绝对值即可计算出的长度． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点到轴、轴的距离相等， ∴， 又∵是第一象限的一点，即，， ∴， 解得； （3）解：∵的坐标为，轴， ∴， 解得； ∴， ∴点的坐标为， ∴． 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标． (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． (3)若点在第二、第四象限的角平分线上，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】（1）根据轴上的点的纵坐标为，进行求解即可； （2）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相等，进行求解即可； （3）根据第二、第四象限的角平分线上的点的横纵坐标互为相反数，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴即：， ∴， 即：； （2）解：∵点的坐标为，且轴， ∴，解得：， ∴， 即：； （3）解：∵点在第二、第四象限的角平分线上， ∴解得：， ∴， 即：. 4．在平面直角坐标系中，已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求点P的坐标． (2)若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标． (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）x轴上的点的纵坐标为； （2）直线轴，则点和点的横坐标相同； （3）点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，则点的横坐标和纵坐标互为相反数． 【详解】（1）解：点P在x轴上，可得 ． 解方程，得 ． 所以． 所以点P的坐标为． （2）解：点Q的坐标为，直线轴，可得 ． 解方程，得 ． 所以． 所以点P的坐标为． （3）解：点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，可得 ． 解得：． 所以． 5．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点M在y轴上，求点M的坐标； (2)存在点，当轴时，求点M的坐标； (3)若点M在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为4，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)不存在符合条件的点M 【分析】（1）根据题意得到，据此求解即可； （2）根据平行于y轴的直线上的点的特征：横坐标相同可求得m的值，从而求解； （3）根据点M在第一象限，求得且到两坐标轴的距离之和为4，列方程即可求得m的值，从而求解． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为； （2）解：∵轴，点，点， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为； （3）解：∵点在第一象限， ∴， ∴， ∵点到两坐标轴的距离之和为4， ∴， 解得，不符合题意，舍去， ∴不存在符合条件的点M． 【题型9 坐标系中描点】 1．某公园有6个景点．如图所示是景点在平面直角坐标系中的分布示意图，景点A的坐标是，景点B的坐标是． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在图中的平面直角坐标系中描出点D，E，F． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【分析】（1）根据A和B的坐标建立适当的平面直角坐标系，根据直角坐标系即可得出点的坐标； （2）根据D的坐标为，E点的坐标为，F点的坐标为，在坐标系中标注的位置． 【详解】（1）解：如图所示， ， 景点C的坐标为： （2）解：点D，E，F的位置如图所示 2．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出三角形； (2)将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，在图中画出平移后得到的三角形，并写出点，的坐标． 【答案】(1)如图：三角形即为所求， (2)如图：三角形，即为所求， ， 【分析】（1）先描点，再连线即可得出三角形； （2）根据平移的性质作出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 3．中华传统文化是中华民族五千多年历史积淀的智慧结晶．某景区以中国经典文化元素为主题，打造了活字工坊、匠心体验、典籍之光、节气食肆等主题区域．如图是某些主题区域的分布示意图，小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对活字工坊和匠心体验的位置做出如下描述：小珂；“活字工坊的坐标是”．妈妈：“匠心体验的坐标为”． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系； (2)请写出典籍之光和节气食肆的坐标； (3)已知该景区的汉服体验中心的坐标为，请在图中标出汉服体验中心的位置． 【答案】(1)见解析； (2)典籍之光的坐标为，节气食肆的坐标为； (3)见解析． 【分析】（1）活字工坊和匠心体验的坐标可建立平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系可得出答案； （3）汉服体验中心的坐标为，可得出其位置． 【详解】（1）解：根据活字工坊的坐标是和匠心体验的坐标为建立平面直角坐标系，如图： （2）解：由平面直角坐标系可知， 典籍之光的坐标为，节气食肆的坐标为； （3）解：汉服体验中心的坐标为，则汉服体验中心的位置如图： 4．在平面直角坐标系中描出下列各点，顺次用线段将这些点连起来，并将最后一个点与第一个点连起来，看看得到的是什么图形？ ，，，，， ，，，， ，，，． 【答案】得到的图形是一棵圣诞树． 【分析】按题目给定的坐标在平面直角坐标系中描点，然后顺次连线即可． 【详解】略 5．已知：， (1)请在图中坐标系的格点（网格线的交点称为格点）中描出5个点P的位置，使得点P的横坐标比纵坐标大2． ①请直接写出a，b满足的等式：________； ②这五个点是在同一条直线上？_____（填“是”或者“否”）； (2)在（1）的条件下，若点、，，求点P的坐标； (3)在（1）的条件下，若点、，．求点P的坐标． 【答案】(1)见解析；①；②是 (2)或 (3)或 【分析】（1）在坐标系中找到五个符合题意的点即可； ①根据要求列出代数式； ②观察图形即可得出结论； （2）①根据坐标求出的长度，根据三角形面积公式即可求出结果； ②由图可分两种情况，P位于C点上侧时，P位于C点下侧时进行求解即可． 【详解】（1）解：5个点P的位置如下图： ① 的横坐标比纵坐标大2， ； ②如图，五点都在网格的对角线上，则这五点共线； （2）解：、， ， ， ， 点P的坐标满足（1）问中的条件， 或， 或； （3）解：、， P位于C点上侧时，如图：轴，轴，相交于E点，作轴交点P所在的直线于M， ∵平行线间的距离处处相等， ∴M到y轴的距离等于D到y轴的距离， 即M横坐标为1， ∵点P所在的直线上横坐标比纵坐标大2， ∴M纵坐标为， 即， ∴， ∴， ∴（P到的距离）， 即P到的距离为2， （为C点不合题意，舍去）或（符合要求）； P位于C点下侧时，如图：轴，轴，相交于F点， 同理可知， 综上所述，或． 【题型10 实际问题中用坐标表示位置】 1．云南省部分城市在地图中的位置如图所示，临沧市位置的坐标为，昭通市位置的坐标为，则坐标原点表示的位置是（     ） A．曲靖市 B．昆明市 C．丽江市 D．文山市 【答案】B 【分析】由题意，建立平面直角坐标系，进而可得坐标原点的位置． 【详解】解：由题意，建立平面直角坐标系如图， 由图知，坐标原点表示的位置是昆明市． 2．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为， 建立平面直角坐标系如下： ∴棋子“炮”的坐标为． 3．瓮安欢乐谷坐落于草塘石林公园处，周末小星和小丽相约到欢乐谷游玩，游玩结束后，他们绘制了欢乐谷部分平面示意图，其中碰碰车的坐标为，大摆锤的坐标． (1)请你根据上述信息，在图中画出平面直角坐标系； (2)写出图中海盗船的坐标； (3)若在欢乐谷新建一个游客中心，请你在图中画出游客中心的位置． 【答案】(1)如图，平面直角坐标系即为所求； (2)海盗船的坐标为 (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）表示碰碰车的点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，就是原点位置，可以画出平面直角坐标系； （2）观察表示海盗船的点的位置，可得其坐标； （3）在图上找出游客中心，即可求解． 【详解】（1）略 （2）由图可得，海盗船的坐标为； （3）略 4．如图，在正方形网格中，标明了学校附近的一些地方，其中每一个小正方形网格的边长代表1个单位长度．已知学校的坐标为，体育馆的坐标为． (1)请在图中画出这个平面直角坐标系； (2)请直接写出超市和电影院所在位置的坐标． 【答案】(1) (2)超市，电影院 【分析】（1）根据学校和体育馆的坐标建立平面直角坐标系； （2）根据超市和电影院所在位置写出坐标． 【详解】（1）略 （2）解：超市所在位置的坐标为，电影院所在位置的坐标为． 5．中华传统文化是中华民族五千多年历史积淀的智慧结晶．某景区以中国经典文化元素为主题，打造了活字工坊、匠心体验、典籍之光、节气食肆等主题区域．如图是某些主题区域的分布示意图，小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对活字工坊和匠心体验的位置做出如下描述：小珂：“活字工坊的坐标是”．妈妈：“匠心体验的坐标为”． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系； (2)请写出典籍之光和节气食肆的坐标； (3)已知该景区的汉服体验中心的坐标为，请在图中标出汉服体验中心的位置． 【答案】(1)见详解 (2)典籍之光的坐标，节气食肆的坐标 (3)见详解 【分析】（1）根据活字工坊的坐标是建立坐标系即可； （2）根据典籍之光和节气食肆在坐标系中的位置解答即可； （3）根据汉服体验中心的坐标为在坐标系中表示即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图； （2）解：根据坐标系可得：典籍之光的坐标，节气食肆的坐标； （3）解：汉服体验中心的位置如图． 【题型11 用方向角和距离确定物体的位置】 1．如图，在一次活动中，位于A处的佳佳准备前往相距的B处与琪琪会合．请你用方向和距离描述佳佳相对于琪琪的位置，其中描述正确的是（    ） A．佳佳在琪琪的北偏东，处 B．佳佳在琪琪的北偏东，处 C．佳佳在琪琪的南偏西，处 D．佳佳在琪琪的南偏西，处 【答案】B 【详解】解：由题意可知：佳佳在琪琪的北偏东，处． 2．小华家在学校北偏东方向200米处，那么学校在小华家的（    ） A．北偏东方向200米处 B．南偏西方向200米处 C．西偏南方向200米处 D．北偏西方向200米处 【答案】B 【分析】本题考查位置与方向的相对性，解题关键是掌握观测点互换时，方向相反，角度和距离不变的规律，根据南北相对，东西相对变换方向即可求解． 【详解】解：根据位置相对性可知，交换观测点后，方向相反，角度和距离保持不变， ∵小华家在学校北偏东方向米处，北与南相对，东与西相对， ∴学校在小华家南偏西方向米处． 3．根据指令（，单位：，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度，再面向旋转后角度的方向，沿直线行走s个单位，如表示机器人由点运动到点（如图1）． (1)如图2，若机器人从运动到，则机器人收到一个什么指令？ (2)若机器人接到指令运动到点处，请你在图3中画出机器人从到的运动路径． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据图示求解即可； （2）由指令得到先原地逆时针旋转，再面向旋转后的方向，沿直线行走，然后画图即可． 【详解】（1）解：根据题意得，机器人从运动到，收到的指令为； （2）解：如图，即为所求． 4．2026年春节期间，开封清明上河园接待游客万人次，旅游收入亿元，位列河南省春节景区接待量第1名．为进一步体会宋代的历史文化，某班来到清明上河园分组开展研学活动，其中A组在文房博物馆体验“大宋科举”，B组在九龙桥观看“东京保卫战”，C组在虹桥西侧观看“火神冲浪”，最后一起到大宋校场集合观看经典节目“岳飞枪挑小梁王”．为了描述集合地点，同学们想出了不同的方法． (1)小明同学想到用平面直角坐标系，如图1，网格中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若文房博物馆的坐标为，九龙桥的坐标为． ①请在图1中建立合适的平面直角坐标系； ②大宋校场的坐标为_____，虹桥的坐标为_____； (2)小华同学想到用方位角和距离，如图2，以文房博物馆为基准点，大宋校场在文房博物馆的北偏东方向，距离处，则大宋校场的位置记为（北偏东），若九龙桥与文房博物馆的距离和大宋校场与文房博物馆的距离相等，文房博物馆在九龙桥的北偏西方向，那么以文房博物馆为基准点，九龙桥的位置应记为_____． 【答案】(1)①见详解；②； (2)(南偏东) 【分析】（1）根据已知两点坐标确定坐标系原点位置，再根据网格读出大宋校场和虹桥的坐标； （2） 利用方位角和距离的互逆性：若 在 的某方位，则 在 的相反方向；结合已知距离条件确定九龙桥的方位和距离． 【详解】（1）解：①如图，建立平面直角坐标系： ②大宋校场坐标为，虹桥坐标为； （2）解：∵文房博物馆在九龙桥的北偏西方向， 以文房博物馆为基准点，九龙桥在文房博物馆的南偏东方向， 又九龙桥与文房博物馆的距离=大宋校场与文房博物馆的距离， 以文房博物馆为基准点，九龙桥的位置应记为(南偏东)． 5．如图，表示的是图书馆、保龙仓、中国银行和餐馆的位置关系： (1)一般地，可以用表示方向的角和距离描述各地点相对于图书馆的位置，如“保龙仓在图书馆西偏南方向上，且距离图书馆”，请以图书馆为参照物，用方向角和图中所标的距离分别表示中国银行和餐馆的位置； (2)火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，请在图中画出火车站的位置． 【答案】(1)中国银行在图书馆北偏东方向上，且距离图书馆；餐馆在图书馆北偏西方向上，且距离图书馆； (2)见解析 【分析】（1）结合图象利用各方位角以及所标距离求出答案； （2）利用火车站在图书馆的南偏东的方向上，并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等，进而得出答案． 【详解】（1）解：由图形得： 中国银行在图书馆北偏东方向上，且距离图书馆； 餐馆在图书馆北偏西方向上，且距离图书馆； （2）解：如图所示： ． 【题型12 求沿x轴、y轴平移后点坐标】 1．将点先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：将原坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标减，可得平移后坐标为，即． 再将点向上平移个单位长度，横坐标不变，纵坐标加，可得平移后坐标为，即． 2．将点向左平移3个单位长度后落在轴上，则的值为________． 【答案】 【分析】根据点平移的坐标变化规律得到平移后点的横坐标，再利用轴上点的横坐标为列方程求解即可． 【详解】解：根据点平移的坐标规律，向左平移时横坐标减，纵坐标不变，可得平移后点的横坐标为， 因为平移后点落在轴上，轴上所有点的横坐标为，因此列方程得， 解得． 3．在直角坐标系中把点向左平移2个单位长度，得点的坐标____________；再向上平移5个单位长度得点的坐标______________ 【答案】 【分析】本题利用平面直角坐标系中点的平移规律求解，平移规律为：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，依次计算两次平移后的坐标即可． 【详解】解：已知点坐标为，将点向左平移个单位长度， 则点的坐标为； 将点向上平移个单位长度， 则点的坐标为． 4．将点向左平移2个单位长度，向上平移2个单位长度得到点，点的坐标为，则__________． 【答案】2 【分析】利用坐标平移的变化规律得到平移后点的坐标，根据平移后点的已知坐标建立关于和的方程，求解得到和的值后，即可计算的值． 【详解】解：将点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到点的坐标为，即． 点的坐标为， ，， 解得，， ． 5．将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，若内一点的坐标是，则点在内的对应点的坐标是__________． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标是，先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点， ∴点的坐标是． 6．在平面直角坐标系中，若点向上平移4个单位长度后得到的点在x轴上，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移及坐标轴上点的特征，正确记忆相关知识点是解题关键． 让点的纵坐标加后等于，即可求得的值． 【详解】解：∵把点向上平移个单位长度后得到的点在轴上， ∴， 解得． 故答案为：． 【题型13 由平移前后点的坐标判断平移方式】 1．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形平移，得到三角形，其中任意一点平移后的对应点为． (1)画出三角形，并写出点的坐标为______； (2)写出三角形的一种沿坐标轴方向的平移方式． 【答案】(1)三角形如图所示． (2)将三角形先向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到三角形．（答案不唯一） 【分析】（1）根据点P平移前后的坐标得出平移的方式，然后画出，然后写出直角坐标系中的坐标即可． （2）由（1）可写出答案（答案不唯一） 【详解】（1）解：任意一点平移后的对应点为． 则平移方式为：向右平移7个单位，向下平移4个单位． 则如下图所示： ∴ （2）解：如（1）将三角形先向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到三角形．（答案不唯一） 2．在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出A，的坐标：A ， ； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到； (3)若是三角形内部的一点，经过平移后，点M在三角形中的对应点的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)， (2)向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度 (3)， 【分析】（1）观察A，在坐标系中的位置即可； （2）根据A，的坐标可确定平移方式； （3）根据平移方式确定对应点的坐标，结合给出的坐标列方程，即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，； （2）解：由的对应点为，得点A向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度得到点， 三角形是由三角形向左平移2个单位长度，再向下移动3个单位长度得到的； （3）解：平移后对应点的坐标为，即， 又 的坐标为， ，， 解得，． 3．在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)点A的坐标为______，点的坐标为______； (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)，； (2)三角形是由三角形向左平移5个单位，向上平移4个单位得到； (3)． 【分析】（1）根据已知图形可得答案； （2）由的对应点得平移规律，即可得到答案； （3）由（2）平移规律得出m、n的方程． 【详解】（1）解：由图知，； （2）解：的对应点得：A向左平移5个单位，向上平移4个单位得到， 则三角形是由三角形向左平移5个单位，向上平移4个单位得到． （3）解：内平移后对应点的坐标为， ∵的坐标为， ∴， ∴． 4．如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为，，． (1)画； (2)如图，是由经过平移得到的．已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标是_____． (3)求面积． 【答案】(1)如图所示． (2) (3)9.5 【分析】（1）根据坐标，描出、、三点，依次连接，即可求解； （2）根据题意得，是由先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到的，即可求解； （3）用所在的长方形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得：是由先向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到的， ∴点在内的对应点的坐标是． （3）解：． 5．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为，，．将三角形平移，使点A平移到点处，得到三角形其中点B，C的对应点分别为，． (1)画出三角形； (2)若三角形内一点平移后的对应点为，求点P的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)点的坐标为． 【分析】（1）由点平移后的对应点为，可得平移方式，可得点，的坐标，在平面直角坐标系中找到，，，顺次连接，即可得三角形； （2）根据平移方式，结合点平移前后的坐标，列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵点平移后的对应点为，，， ∴将三角形向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，可得三角形， 又∵，， ∴，， 在平面直角坐标系中找到，，，顺次连接，即可得三角形． （2）解：由（1）知，将三角形向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，可得三角形， ∵三角形内一点平移后的对应点为， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 【题型14 已知平移后点的坐标求平移前的】 1．在平面直角坐标系中有点，将它向右平移个单位长度后，对应点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平面直角坐标系中点的平移与关于轴对称点的坐标规律，灵活运用平移和对称的坐标变化规律是解题的关键．根据点的平移规律，向右平移横坐标加、纵坐标不变，可求出点的坐标；再根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变、纵坐标互为相反数，进而求出点关于轴的对称点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，根据点的平移规律：向右平移横坐标加，纵坐标不变，可得平移后点的坐标为 已知的坐标为，因此可得，， 解得，，即点的坐标为， 根据关于轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 2．在平面直角坐标系中，若将点向左平移可得到点，若将向下平移可得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据点的平移规则：左减右加纵不变，上加下减横不变，进行求解即可. 【详解】解：∵将点向左平移可得到点，将向下平移可得到点， ∴点与点的纵坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴. 3．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后所得点的坐标是，则m，n的值分别是________． 【答案】， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 根据坐标平移的规律，向左平移使横坐标减少，向上平移使纵坐标增加；从平移后的点坐标逆推原坐标，可列方程求解 【详解】解：∵点 先向左平移个单位长度，横坐标减少，变为 ；再向上平移个单位长度，纵坐标增加，变为， ∴平移后点坐标为， ∵与给定点相等， ， 解得 ， 故答案为：，． 4．在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标确定平移规则，再根据平移规则，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵平移后，点的对应点为， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∴点先向右平移4个单位，再向下平移5个单位，得到点， ∵点的坐标为， ∴，即； 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，若将点向左平移可以得到，向下平移可以得到则点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：将点向左平移得到，左右平移过程中纵坐标不变， 点的纵坐标为， 又将点向下平移得到，上下平移过程中横坐标不变， 点的横坐标为， 点的坐标为． 【题型15 中点坐标】 1．在平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的中点的坐标为__________． 【答案】 【分析】若已知点，，则线段的中点坐标为，将已知点坐标代入公式即可求解． 【详解】解：，， 线段的中点坐标为，即． 2．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若线段轴，且，则线段的中点的坐标为______． 【答案】或 【分析】线段轴，是的中点，点的横坐标、点的横坐标与点的横坐标相同，都等于，点的纵坐标加上或者减去，即为点的纵坐标． 【详解】解：因为点的坐标为，若线段轴，是的中点， 所以点的横坐标、点的横坐标与点的坐标相同，等于， ，， 若点在点的上方，此时点的坐标为，即 ， 若点在点的下方，此时点的坐标为，即 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 【答案】或 【分析】由题意可得，，分两种情况：当点在上运动时；当点在上运动时；分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵三角形中，， ∴，， ∵动点C从点O出发，沿，三角形的面积等于三角形一半， ∴当点在上运动时，，， ∴， ∴，即此时点的坐标为； 当点在上运动时，设点到的距离为，则，， ∴， ∴，即点为的中点， ∴此时点的坐标为，即； 综上所述，点C的坐标为或． 4．在平面直角坐标系中，点和点的中点坐标为 ______． 【答案】 【分析】本题考查了中点坐标公式． 根据中点坐标公式，直接计算两点横纵坐标的平均值． 【详解】解：点和点的中点坐标公式为，即． 故答案为：． 5．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，连接BF，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为________． 【答案】 【详解】通过建立平面直角坐标系，利用坐标确定各点位置，再结合中点坐标公式和两点间距离公式来求解的长度． 解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系： 由坐标系可知： ，，，，，，． ∵为的中点，根据中点坐标公式，可得的坐标为： ． 再根据两点间距离公式：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的应用、中点坐标公式和两点间距离公式，解题关键是通过建立坐标系将几何问题代数化，准确计算各点坐标并运用公式求解． 【题型16 点坐标规律探索】 1．如图，正方形，正方形，正方形，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为，，，，，，，，，，，…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A2026的坐标为_________． 【答案】 【分析】观察图形及题干描述可知，正方形的顶点坐标变化具有规律性，每4个顶点为一个循环组，分别位于第三、二、一、四象限．根据除以的商和余数，确定点所在的象限以及所属正方形的序号，结合正方形边长规律即可求解． 【详解】解：由题意可知，正方形的中心均在坐标原点，各边均与轴或轴平行，每个正方形有个顶点，从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序依次排列， ∵第个正方形的边长为， ∴正方形顶点到坐标轴的距离均为， ∵， ∴点位于第个正方形，且是该正方形的第个顶点，该点位于第二象限，横坐标为负，纵坐标为正， ∵第个正方形的顶点坐标绝对值为 ∴点的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，，，，，，，，以此规律进行下去，则的横坐标为________． 【答案】 【分析】探究点横坐标的变化规律即可求解． 【详解】解：依题意得：点横坐标的变化规律为4个一组，绝对值相等，前两个为正，后两个为负， 且的横坐标为， ∵， ∴， ∴点的横坐标为507． 3．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，……，按这样的运动规律，点的坐标是_____． 【答案】 【分析】结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是以点为起点，以点为终点，4个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1，据此规律即可解答． 【详解】解：由图象得：，，，， ∴图象上点的规律是：纵坐标的变化是以点为起点，以点为终点，4个点为一组循环变化；横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1， ∵从到共有2026个点， ∴纵坐标的循环次数为：， ∴的横坐标为2026，纵坐标为0．即坐标为． 4．如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点，…．照此规律，的坐标是__________． 【答案】 【分析】通过观察前几个点的坐标，归纳出点的坐标随跳动次数变化的规律，利用周期性求解即可． 【详解】解：观察发现： ， ， ， ， ， ， ， ， ……， ∴ ， ， ， （为自然数）， ， ∴对应的形式，其中， ∴ ，即． 5．在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1），，，，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分别为2，4，6，，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，点的坐标为________． 【答案】 【分析】先找出点的坐标变化规律，发现当为偶数，且不是4的倍数，即为2，6，10，时，的坐标为，再根据规律判断的坐标． 【详解】解：由题意，得，，，，，， 观察点的坐标变化发现当为偶数，且不是4的倍数，即为2，6，10，时，的坐标为； 当为偶数，且是4的倍数，即为4，8，12，时，的坐标为． ， 点的坐标为． 【题型17 平面直角坐标系中新定义类】 1．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．如：点的“长距”为2，点称为“完美点”． (1)若点是“完美点”，求的值； (2)若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 【答案】(1)或 (2)见解析 【分析】（1）根据完美点的定义可得，求出答案； （2）先根据“长距”是4求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵点是“完美点”， ∴， 或， 解得或； （2）解：∵点的长距为4，， ∴． 又∵点C在第四象限内， ∴， ， 解得， ， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴D是“完美点”． 2．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且），例如，点的“2级关联点”为，即． (1)若点P的坐标为，则它的“1级关联点”的坐标为______； (2)若点的“3级关联点”的坐标为，求的值； (3)若点Q是点的“级关联点”，且点Q位于坐标轴上，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据“级关联点”的定义即可求解； （2）根据“级关联点”的定义列出方程，解出，，即可求解； （3）先表示出点的“级关联点”，再分在轴、轴两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：点P的坐标为，则它的“1级关联点”的坐标为，即． （2）解：由题意得，， 解得，， 所以； （3）解：因为点的“级关联点”为Q， ， ∴， ①当点Q位于x轴上时，， 解得； ②当点Q位于y轴上时，， 解得． 综上，m的值为或． 3．定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点，若点，则称点Q是点P的“双生点”． (1)若，求点P的“双生点”； (2)若点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，与点的“双生点”重合，求点P的坐标； (3)若点P在坐标轴上，点Q是点P的“双生点”，且的面积为4，求点P的坐标． 【答案】(1)点的“双生点”为： (2)点的坐标为： (3)点的坐标为：，，， 【分析】此题考查了点的坐标、勾股定理、坐标系中点的平移等知识，熟练掌握“双生点”的定义是关键． （1）根据“双生点”的定义进行解答即可； （2）根据点的“双生点”为与平移得到互相重合建立方程组，解方程组即可得到答案； （3）根据点在坐标轴的位置分当在轴上、当点在轴上两种情况，利用是直角三角形结合三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得 横坐标： 纵坐标： 所以点的“双生点”为：． （2）解：∵点的“双生点”为，点向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标为：． 由题意得：， 解得：， 所以点的坐标为：． （3）解：①当点在轴上，此时，点坐标为 双生点的横坐标：，纵坐标：，即． 的三个顶点为：，， ∵这是一个直角三角形，底为，高为 ． 解得：或． 对应点坐标：或； ②当点在轴上，此时，点坐标为 双生点的横坐标：，纵坐标：，即． 的三个顶点为： ∵这是一个直角三角形，底为，高为 解得：或． 对应点坐标：或 综上，点的坐标为：，，，． 4．在平面直角坐标系中，规定某一点到轴、轴距离的较小值称为该点的“短距”．若某点到轴，轴距离相等，则称该点为“完美点”． (1)点的“短距”是________； (2)若点是“完美点”，求点的坐标； (3)若坐标系第三象限内存在一点，且它的“短距”是5，现有一点，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】（1）根据“短距”的定义求解； （2）根据“完美点”的定义得到，求出或，然后分别代入求解即可； （3）首先得到，然后根据“短距”的定义得到，求出，得到坐标为，然后根据“完美点”的定义求解． 【详解】（1）解：点到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴点的“短距”是2； （2）解：∵点是“完美点” ∴ ∴或 当时，，； 当时，，； ∴点的坐标为或； （3）证明：∵点在第三象限， ∴，即， ∴该点到轴的距离为， ∵它的“短距”是， ∴，即， 解得， 将代入点的横坐标，得， ∴点坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点到轴、轴的距离相等， ∴点是“完美点”． 5．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“灵动距离”，定义如下：若，则“灵动距离”为；若，则“灵动距离”为． (1)已知点，，则点M与点N的“灵动距离”是______ (2)已知点，B为坐标系内的一个动点． ①若点A与点B的“灵动距离”为5，且B点的横坐标与纵坐标相等；求满足条件的点B的坐标； ②若点B在y轴上，求点A与点B的“灵动距离”的最小值． 【答案】(1)4 (2)①或② 【分析】（1）根据定义，得，， 满足，求解即可； （2）①不妨设，B为坐标系内的一个动点，且B点的横坐标与纵坐标相等．不妨设，根据定义，分类求解即可； ②点，不妨设，因为点B在y轴上，不妨设，则，，设两点的灵动距离为，分类求解即可． 【详解】（1）解：因为点，，则，根据定义，得，， 满足， 故点M与点N的“灵动距离”是4； （2）解：因为点，不妨设， B为坐标系内的一个动点，且B点的横坐标与纵坐标相等．不妨设， ①则，， 因为点A与点B的“灵动距离”为5， 当时，则， 解得或， 当时，满足，此时； 当时，不满足，舍去； 当时，则， 解得或， 当时，满足，此时； 当时，不满足，舍去； 故满足条件的点B的坐标为或； ②解：点，不妨设，因为点B在y轴上，不妨设， 则，，设两点的灵动距离为， 当时，； 当时，，根据题意，得， 故， 故点A与点B的“灵动距离”的最小值为． 【题型18 平面直角坐标系中综合压轴】 1．已知，为4的算术平方根，在平面直角坐标系中，点，，，且． (1)直接写出______，______，______； (2)如图①，当点在直线上时，连接，求三角形的面积； (3)平移线段，使点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为（秒）． ①如图②，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由； ②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标． 【答案】(1)5，，2 (2) (3)①，理由见解析；②点D的坐标为或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性得到，，求出，，然后根据算术平方根的定义求出； （2）根据题意得到，然后三角形面积公式求解； （3）①首先表示出，由平移的性质得到，，表示出，，，，，，然后得到，进而求解即可； ②根据题意分三种情况讨论，分别判断求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∵为4的算术平方根， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴，， ∴， ∴三角形的面积； （3）解：①，理由如下： ∵，， ∴， ∵平移后点的对应点M在y轴的正半轴上，点的对应点N在x轴的负半轴上，且， ∴平移方式为向下平移2个单位，向左平移a个单位， ∴，， ∴，， 由题意得，， ，， ， ， ， ， 即； ②当时，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴PQ可以看作由向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到， 此时，点D不存在； 当，如图1，点D在三角形内部或和点O重合，此时，不符合题意； 当时，如图2，点D在第四象限，连接， 设，由①得， ， ， ， ， ， ，， ； 当时，如图3，点D在第二象限，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， 综上，点D的坐标为或． 2．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接，． (1)直接写出A，B，C，D四个点的坐标． (2)如图2，点M是线段上的一个动点，点N是线段上的一个定点，连接，，当点M在线段上移动时（不与A，C重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)在y轴上存在点P，使的面积与的面积相等，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)点，点，点，点 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）先由绝对值的非负性与算术平方根的非负性求解a，b的值，由此可得点A，B的坐标，再根据平移的性质可得点C，D的坐标． （2）添加辅助线，过点M作，由平行线的性质可得，再由平角的定义即可得． （3）先求解出的面积，再表示出的面积求解即可． 【详解】（1）解：∵a，b满足， ∴且，解得，， ∴点，点， ∵先将点A向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点C， ∴点，即点， ∵将点B向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点D， ∴点，即点． （2）解：，理由如下： 过点M作，如图， 则有， 由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即． （3）解：由（1）可知，点，点，点，点， ∴， ∴， 设点， ∴， ∴，即， 则有， 当时，；当时，， ∴点P的坐标为或． 3．在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）根据长方形的性质，结合坐标系，即可求解； （2）①先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可得出结论； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合，连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则，根据①得出，则，设，则，得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵已知长方形，其中点，点． ∴ ∴，； （2）①，理由如下： 如图1，过点作于， 由平移知，轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴，即：； ②如图，∵四边形是长方形， ∴当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合， 连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则， ∵ 设 ∴ 由①可得 ∴ ∴即 解得： ∴ 4．如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）． (1)连接，，，，求的度数． (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或 (3)的值不会变化，，理由见解析 【分析】（1）过点F作，根据平行线的性质求解即可； （2）先求出，再分类讨论，当点P在y轴正半轴上时，当点P在y轴负半轴上时，再根据面积关系列方程求解即可； （3）设，，，则，，根据平行线的性质可得，由（1）可知，即可求出n值，进而得解． 【详解】（1）解：过点F作， ， ，， ， ， ， ． （2）解：存在， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作轴，轴，轴， 设， ， ， 解得，则； 当点P在y轴负半轴上时，如图， ， ， 解得，则； 综上，点的坐标为或； （3）解：的值不会变化，，理由如下： 设，，，则，， 始终平分， ， ， ， ，即， 由（1）可知，， ，即， ， ， ， ， ∴的值不会变化，． 5．如图1，点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接、． (1)请直接写出点C的坐标是_______，点D的坐标_______； (2)连接交于点E，若点G在线段上，且三角形面积为3，求G点坐标； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3)的值是定值，定值为3． 【分析】（1）利用平移的性质即可解决问题． （2）利用面积法求解，可得；设，则，进一步再求解即可． （3）结论：的值是定值．分两种情形：当点N在线段上时，连接．当点N在的延长线上时，连接．分别说明即可解决问题． 【详解】（1）解：∵点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D， ∴，； （2）解：如图， 由题意得，，，，，， ∴， ∴， 即， 解得 ∴； 设，则， ∵三角形面积为3， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∴； （3）解：结论：的值是定值．理由：如图，当点N在线段上时，连接． 设运动时间为t秒， 由题意：，， ，， ， ， ； 如图，当点N在的延长线上时，连接． 同理可得：， ， 综上所述，的值是定值，定值为3． 1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，轴，且点B的纵坐标为2m，则下列说法正确的是（     ） A．当点B在第三象限时，存在 B．当时，m的值为或 C．无论m取何值，点B不可能在y轴上 D．无论何时，m的值不可能是 【答案】B 【分析】先根据垂直关系确定点的坐标，再得到和的长度表达式，结合象限坐标特征解方程，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵ 轴，，的纵坐标为， ∴ 的横坐标与相同，即， ∴，， 对选项A：若在第三象限，则，得， 若，则，时，，解得，不满足，不存在这样的，不符合题意； 对选项B：若，则，两边平方得：，整理得，因式分解得，解得或，符合题意； 对选项C：若在轴上，则横坐标，解得，存在这样的，可以在轴上，不符合题意； 对选项D：由选项C可知，可以取，不符合题意． 2．在平面直角坐标系中，一个点从开始按图中箭头所示方向运动，即点的坐标依次为 ，由此规律可得点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察点的运动轨迹，分别寻找横坐标与纵坐标的变化规律．由已知点的坐标可知，每运动一步横坐标均增加；纵坐标呈现周期为的循环规律，据此可确定的坐标． 【详解】解：由题意及图象可知，点的坐标依次为 观察横坐标： 第个点的横坐标为． 因此点的横坐标为． 观察纵坐标： 可知纵坐标以为一个周期循环出现，周期为． 点的纵坐标与的纵坐标相同，即为． 3．如图，直线轴，且直线经过点，点的坐标为，为直线上的一动点，为的中点，点从点出发，沿着直线向轴负方向移动，则在移动过程中，三角形的面积（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大再变小 D．不变，面积始终为 【答案】D 【分析】根据题意，由中点坐标求法得到点的坐标为，即点到轴的距离始终为，在平面直角坐标系中求出三角形的面积即可确定答案． 【详解】解：直线轴，且直线经过点，为直线上的一动点， 点的坐标为， 为的中点， 点的坐标为，即点到轴的距离始终为， 、， ，即三角形的面积不变，面积始终为． 4．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别是，，，，直线交边于点D，点E在边上．若，则的长为___________． 【答案】1 【分析】由长方形的性质以及点的坐标可得出，，求出长方形的面积，进而可得出，进而可求出的长，进而求出，再根据即可求出，进而可求出的长． 【详解】解：∵长方形的顶点坐标分别是，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，的顶点B，C的坐标分别为，，将沿方向平移得到，若点A的对应点D的坐标是，则点A的坐标为________． 【答案】 【分析】由图可知：根据点A和点D的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度；点A的对应点D的坐标是，再反向平移即可得到点A的坐标． 【详解】解：由题可知点平移后得到点； ∴平移方式是先向左平移1个单位长度，在再向下平移2个单位长度； ∵点A的对应点D的坐标是， ∴点A的坐标为． 6．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为． (1)求a，b的值及； (2)若点M在x轴上，且，试求点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)点M的坐标为或 【分析】（1）由“”结合绝对值、算术平方根的非负性即可得出a、b的值，再结合三角形的面积公式即可求出的值； （2）设出点M的坐标，找出线段AM的长度，根据三角形的面积公式结合，即可得出的值，从而得出点M的坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，， ∴点，点． 又∵点， ，， ． （2）解：设点M的坐标为，则， 又， ， ， ， 即， 解得：或， 故点M的坐标为或． 7．新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“优美点”，例如，如图1，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值均为16，则点是“优美点”． (1)判断点是否是“优美点”?说明理由； (2)若点是“优美点”，求的值； (3)已知点是“优美点”，过点作轴于点，点在线段上，且，求点的坐标． 【答案】(1)点不是“优美点”，理由： 过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长为，面积为， ∵， ∴点不是“优美点”； (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求出过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长和面积，比较即可得出结果； （2）根据“优美点”的定义可得，求解即可； （3）根据“优美点”的定义求出或，再分两种情况，结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵点是“优美点”， ∴， 整理可得， 解得或； （3）解：∵点是“优美点”， ∴， 解得或， ∴或， 当时，此时，设， ∴，，， ∵， ∴， 解得，此时； 当时，此时，设， ∴，，， ∵， ∴， 解得，此时， 综上所述，点的坐标为或． 1．问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点，点是线段的中点，则点的坐标为．如：已知点，则线段的中点的坐标：，，故点的坐标为．解决问题： (1)已知点，，则线段的中点的坐标是_____． (2)若已知点，且线段的中点坐标为，求点的坐标． (3)已知三点，，，若第四个点与、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）直接由线段中点坐标公式求解即可． （2）设点，根据中点坐标公式求解即可． （3）分三种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， 则线段的中点的坐标为，即． （2）解：设点， ∵点，且线段的中点坐标为， ∴，解得， ∴点． （3）解：当点与点的中点，点与点的中点重合时， 线段的中点为，线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 当点与点的中点，点与点的中点重合时， 线段的中点为，线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 线段的中点为，线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 2．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ______； ______；点B的坐标为______； (2)在移动过程中，当点P移动3秒时，求三角形的面积； (3)当点P移动11秒时，坐标轴上是否存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或或或 【分析】（）根据非负数的性质可求出的值，进而根据长方形的性质可得出点的坐标； （）当点P移动3秒时，，此时点在上，再根据三角形面积公式计算即可求解； （）分两种情况，根据三角形面积公式列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴轴，轴， ∴； （2）解：当点P移动3秒时，， 此时点在上， ∴三角形的面积； （3）解：存在， 当点移动秒时，移动的路程为， ∵， ∴点在上，即 ∴ ∴， ∴； ①当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； ②当点在轴上时，设，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得， ∴或； 综上，存在或或或，使的面积与的面积相等． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $