暑假作业04 实数（巩固培优，15大题型+能力培优练+创新拓展练）七年级数学新教材人教版

**基本信息** 以实数概念为核心，通过15类题型系统构建“定义-判断-估算-运算-应用”的方法体系，逻辑链清晰，突出抽象能力与运算能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |实数专项|1知识点+15题型（含阅读材料题）|无理数判断双标准、夹逼法估算、整数小数部分分离法、数轴化简规则|从定义分类到性质应用，逐步递进至综合与创新题型，形成完整认知链|

暑假作业04 实数完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 【知识点1 实数】 1.无理数定义：无限 小数叫做无理数。 实数定义： 和 统称为实数。 实数的分类： 有理数：有限小数或无限循环小数，包括整数和分数； 无理数：无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、特定结构的无限不循环小数。 实数的性质： ①实数与数轴上的点 对应； ②实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数一致； ③实数的运算法则、运算律与有理数相同。 注：判断一个数是否为无理数的两个标准： ①是否为无限小数； ②是否为不循环小数。 若两个标准都符合，则是无理数；若只符合其中一个标准，则不是无理数。 【题型1 判断是否为无理数】 1．在下列实数中：，，，，，…（每两个1之间多一个0）其中无理数有（     ） A． B．个 C．个 D．个 2．实数、、、、、中，无理数的个数是（   ） A． B． C． D． 3．下列各数，，，，，，中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知实数，3.14，，－8，，，其中无理数有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【题型2 无理数大小的估算】 1．估计的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．估计的值（    ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 3．若为正整数，且满足，则_____． 4．若为正整数，且满足，则________． 【题型3 无理数的整数部分与小数部分计算】 1．若是的整数部分，是的小数部分，则的值______． 2．已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，求代数式 ______． 3．【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 4．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 5．阅读下列材料： ∵．即，∴的整数部分为2，小数部分为，仿照上例回答下列问题； (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么______，______； (2)x是的小数部分，y是的整数部分，求______，______； (3)在（2）的条件下求的平方根． 【题型4 无理数的估算与平（立）方根综合】 1．已知正数x的两个不相等的平方根分别为和，的立方根是，c是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 2．已知一个正数的两个平方根分别是和，是的整数部分． (1)求的值． (2)求的立方根． 3．已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)求的平方根； (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 4．已知的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)如果的整数部分为，求的平方根与的小数部分的差． 5．已知一个数的两个平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【题型5 实数的分类】 1．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 2．把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 3．把下列各数填入相应的集合内： ， ，，， ，，， (1)有理数集合：｛               ｝ (2)无理数集合：｛               ｝ (3)正实数集合：｛               ｝ (4)负实数集合：｛               ｝ 4．把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.15，0.13030030003．．．（相邻两个3之间依次多1个0），． （1）整数集合                                  …； （2）分数集合                                  …； （3）有理数集合                                  …； （4）无理数集合                                 …； 5．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ， ， ， ， ， ， ， ， ， （相邻两个之间的逐次加） （1）整数集合：{ }； （2）正实数集合：{ }； （3）负有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }； （5）非负整数集合：{ }． 【题型6 实数与数轴求点的值】 1．如图，在数轴上表示的点可能是点______． 2．若为正整数，且满足，则数轴上表示的数的点为______．（填字母） 3．如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 4．如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴交于点，与负半轴的交点为，已知交点表示的数为，则交点表示的数为___________． 5．如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点B表示的数是_______． 【题型7 实数与数轴化简求值】 1．已知、、在数轴上位置如图所示，化简____________． 2．已知实数在数轴上的位置如图所示，则 _____． 3．实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 4．已知的位置如图所示，化简： 5．已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简： (2)若实数，满足，求的立方根． 6．如图是数轴上三个点所对应的实数．试化简： 【题型8 实数与数轴综合】 1．如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点表示的数是2，则滚动前点表示的数是． (1)实数的值是 ； (2)求的值 (3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的算术平方根； 2．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 3．如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为，…，以此类推，请问点表示的数为多少？ 4．如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形的一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，则另一个顶点分别落在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为______；点表示的数为______． (2)一只蚂蚁以个单位长度/秒的速度从点沿数轴向右爬了秒到达点，设点表示的数为． ①则实数的值为______（用含的代数式表示）； ②当时，求的值． (3)在数轴上，还有，两点分别表示，，且与互为相反数，求的平方根． 【题型9 实数比较大小】 1．设，，是互不相等的实数，且，下列式子正确的是(     ) A． B． C． D． 2．如图，数轴上点A，B，C，D分别表示实数a，b，c，d，则其中最大的数是（     ） A．a B．b C．c D．d 3．若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．在这四个数中，最小的无理数是（    ） A． B． C． D． 5．计算：______；比较大小：______4（填“”、“”或“”号）． 【题型10 实数的混合运算】 1．计算： (1) (2) 2．计算： 3．计算：． 4．计算：． 5．计算：． 【题型11 程序设计与实数综合】 1．如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是（     ） 　 A． B．4 C． D．8 2．在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输出值为时，输入值为3或9； ②当输入值为16时，输出值为； ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值； ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 4．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值是27，则输出y的值为（   ） A． B． C． D．3 5．一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为256时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请你写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【题型12 实数下新定义运算（选填）】 1．用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，如，则的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，，记，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1，又例如：对17连续求根整数3次，，这时候结果为1．现有如下三种说法： ①； ②若，则满足题意的整数有5个； ③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19． 其中正确的说法有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．用“”定义新运算，对于任意非负实数，都有，例如，那么（   ） A．27 B．72 C．78 D．84 5．自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 【题型13 实数下新定义运算（解答）】 1．对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如．按照这种规定，请解答下列问题： (1)计算：______； (2)观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系是______． (3)若，求的值． 2．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)计算：______；______； (2)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (3)计算． 3．阅读与思考 【阅读理解】 材料一：对于实数m，n，定义新运算：当时，；当时，．例如：，． 材料二：计算：． 设，则． 由得 ． 所以 【问题解决】 (1)计算：； (2)已知，求； (3)对于正数t，有，求的值． 4．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．复数的运算与整式的运算类似． 例如，计算：； ． 根据以上信息，解决下列问题． (1)填空：______，______ (2)计算：． (3)计算： 5．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，，满足关系式：，，求的“青一区间”． (3)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 【题型14 实数运算的实际应用】 1．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 2．有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 3．阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 4．如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 5．某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【题型15 与实数相关的规律探索问题】 1．观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 2．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） (2)请用（1）中你发现的规律计算：． 3．观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… (1)请直接写出第4个等式 ； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 4．观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 5．【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 1．先观察下列三个等式，再回答下列问题：①；②；③，请你根据上面三个等式提供的信息，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将直径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴滚动一周，点A到达了点的位置，则线段的中点表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 3．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是和，A是线段的中点，则点C所表示的实数为（     ） A． B． C． D． 4．已知有理数a，b满足，则_____． 5．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积．现已知三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和之间，则n的值是______． 6．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 7．我们规定，若任意实数满足，则称与是关于的对称数．例如：，则5与3是关于4的对称数． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若数与是关于的对称数，求数的值； (2)若，判断与是否是关于7的对称数，并说明理由． 1．如图，图1中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形．      (1)图2中拼成的大正方形纸片的边长为_____； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由． 2．单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知，因此设，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若，且，试用含m和n式子表示的估算值． 3．综合与实践 (1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为_____． (2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；长方形的对角线长为_____． (3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假作业04 实数完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 【知识点1 实数】 1.无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 实数定义：有理数和无理数统称为实数。 实数的分类： 有理数：有限小数或无限循环小数，包括整数和分数； 无理数：无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、特定结构的无限不循环小数。 实数的性质： ①实数与数轴上的点一一对应； ②实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数一致； ③实数的运算法则、运算律与有理数相同。 注：判断一个数是否为无理数的两个标准： ①是否为无限小数； ②是否为不循环小数。 若两个标准都符合，则是无理数；若只符合其中一个标准，则不是无理数。 【题型1 判断是否为无理数】 1．在下列实数中：，，，，，…（每两个1之间多一个0）其中无理数有（     ） A． B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先化简可开方的数，再根据无理数是无限不循环小数逐个判断即可． 【详解】解：先化简给出的数：，， 由整数，分数，有限小数都属于有理数，即，，，都是有理数； 无理数为无限不循环小数，是无限不循环小数，（每两个1之间多一个0）是无限不循环小数，均为无理数． 综上，无理数共有个． 2．实数、、、、、中，无理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，先化简题目中可化简的数，再根据无理数的定义逐个判断，统计无理数的个数即可． 【详解】解：是开方开不尽的无限不循环小数，故是无理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； ，是整数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； ，是整数，是有理数； 无理数的个数为个． 3．下列各数，，，，，，中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，逐个判断各数即可得到答案． 【详解】解： ，是整数，属于有理数；，是有限小数，是分数，都属于有理数； 根据无理数的定义得：无理数为，，，共个． 4．已知实数，3.14，，－8，，，其中无理数有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，对给出的数逐个判断，统计无理数的个数即可，初中常见无理数包括开方开不尽的数、含的数等类型． 【详解】解： 是分数，属于有理数， 是有限小数，属于有理数， 是整数，属于有理数， 开平方开不尽，是无理数， 中是无限不循环小数，因此是无理数， 开立方开不尽，是无理数， 综上可知，无理数共有个． 【题型2 无理数大小的估算】 1．估计的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】根据夹逼法估计无理数的取值范围，先找到和31相邻的两个完全平方数，确定的范围，再推导的范围即可得到结果． 【详解】解：∵，，且 ∴，即 对不等式三边同时加1，得 即 ∴的值在6和7之间． 2．估计的值（    ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 【答案】A 【分析】本题利用夹逼法估算无理数的大小，先确定的取值范围，再计算的范围即可得到答案． 【详解】解：， ， 即 ， ， 即 ， 因此 的值在1到2之间． 3．若为正整数，且满足，则_____． 【答案】8 【分析】估算出的取值范围，确定其介于两个连续正整数之间，即可求解． 【详解】解：， ，即， 又，且为正整数， ． 4．若为正整数，且满足，则________． 【答案】 【分析】先估算无理数的取值范围，再得到的取值范围，结合为正整数和已知不等式即可求出的值． 【详解】解：，， ， ∴ ， ∴ ， 为正整数，且满足 ， ． 【题型3 无理数的整数部分与小数部分计算】 1．若是的整数部分，是的小数部分，则的值______． 【答案】20 【分析】夹逼法求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 2．已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，求代数式 ______． 【答案】/ 【分析】根据相反数，倒数的定义，以及无理数的估算得到各未知量的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵实数、互为相反数， ∴， ∵、互为倒数， ∴， ∵， ∴的整数部分为，即， ∵， ∴的小数部分为，即， ∴ ． 3．【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用夹逼法估算无理数的大小即可； （2）夹逼法求出，再进行计算即可； （3）夹逼法求出，再进行计算即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是6，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，其中是整数，， ∴，， ∴. 4．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干得到a、b的值，进而代入计算即可； （3）仿照题干得到x、y的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 5．阅读下列材料： ∵．即，∴的整数部分为2，小数部分为，仿照上例回答下列问题； (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么______，______； (2)x是的小数部分，y是的整数部分，求______，______； (3)在（2）的条件下求的平方根． 【答案】(1)4，5； (2)，3； (3) 【分析】（1）根据的范围确定出、的值； （2）求出，的范围，即可求出、的值； （3）将代入中求解平方根即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∵介于连续的两个整数a和b之间，， ，； （2）解：， ，， 的小数部分为：，的整数部分为3， ∴，； （3）解：，， ，64的平方根为 的平方根为． 【题型4 无理数的估算与平（立）方根综合】 1．已知正数x的两个不相等的平方根分别为和，的立方根是，c是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)38 (2) 【分析】（1）利用平方根和立方根的定义求解； （2）得出无理数的整数部分，然后利用平方根的定义求解． 【详解】（1）解：∵正数x的两个不相等的平方根分别为和， ∴， 解得， ∴； ∵的立方根是， ∴， 解得； ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，其平方根为． 2．已知一个正数的两个平方根分别是和，是的整数部分． (1)求的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根的概念可求解a的值，再由的取值范围可求解b的值． （2）将与代入先求解的值，再由立方根的概念求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴，解得； ∵，，即， ∴的整数部分为3，即． （2）解：由（1）可知：，， 则，则． 3．已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)求的平方根； (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a，b的值，代入求出的值，再计算它的平方根． （2）先求出，再估算无理数得到整数部分和小数部分，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：的平方根是 解得 的立方根是 解得 ∴ 的平方根是； （2）解：是的算术平方根， ， ， 的整数部分，小数部分， ． 4．已知的平方根是，的立方根为2． (1)求a与b的值； (2)如果的整数部分为，求的平方根与的小数部分的差． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质即可求解； （2）先估算出，可得，然后再求出小数部分，再代入求出平方根，最后求出差即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为2， ∴，， 解得，， （2）∵ ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴的小数部分为， 由（1）得，， ∴， ∴16的平方根为， ∴的平方根与的小数部分的差为 或． 5．已知一个数的两个平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】（1）先根据已知条件和平方根与立方根的定义，列出关于和关于的方程，解方程求出，，再估算的大小，从而求出其整数部分c即可； （2）把（1）中所求，，的值代入进行计算，从而求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个数的两个平方根分别是和， ∴，解得． ∵的立方根为， ∴，解得． ∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴． （2）解：∵，，， ∴． ∵2的平方根为， ∴的平方根为． 【题型5 实数的分类】 1．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 2．把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 【答案】(1)，，，（两个1之间依次增加一个7） (2)， (3)，， (4)，，（两个1之间依次增加一个7） 【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数； （2）根据负实数的定义确定，负实数包括负有理数和负无理数； （3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数； （4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数． 【详解】（1）正实数：{，，，（两个1之间依次增加一个7）}； （2）负实数：{，}； （3） 有理数：{，，}； （4）无理数：{，，（两个1之间依次增加一个7）}． 3．把下列各数填入相应的集合内： ， ，，， ，，， (1)有理数集合：｛               ｝ (2)无理数集合：｛               ｝ (3)正实数集合：｛               ｝ (4)负实数集合：｛               ｝ 【答案】(1)，， ， ，， (2)，； (3)， ， ，，； (4)， ，． 【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，负实数是小于0的所有实数；结合，，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴有理数集合：｛，，，，，｝ （2）解：无理数集合：｛，｝ （3）解：正实数集合：｛，，，，｝ （4）解：负实数集合：｛，，｝ 4．把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.15，0.13030030003．．．（相邻两个3之间依次多1个0），． （1）整数集合                                  …； （2）分数集合                                  …； （3）有理数集合                                  …； （4）无理数集合                                 …； 【答案】（1），， （2），， （3），，，，， （4），，， （相邻两个之间依次多个） 【分析】先计算和，然后再根据实数的定义分类即可． 【详解】解：，， （1）整数集合 ，，…； （2）分数集合 ，，…； （3）有理数集合 ，，，，，…； （4）无理数集合 ，，， （相邻两个之间依次多个）…； 5．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ， ， ， ， ， ， ， ， ， （相邻两个之间的逐次加） （1）整数集合：{ }； （2）正实数集合：{ }； （3）负有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }； （5）非负整数集合：{ }． 【答案】（）；（）；（）；（）；（） 【详解】解：先化简各数：，， （）整数包括正整数，零，负整数，符合条件的数为； （）大于的实数是正实数，符合条件的数为； （）小于的有理数是负有理数，符合条件的数为； （）无限不循环小数是无理数，符合条件的数为； （）大于等于的整数是非负整数，符合条件的数为． 【题型6 实数与数轴求点的值】 1．如图，在数轴上表示的点可能是点______． 【答案】 【分析】利用夹逼法估算无理数的大小，确定其介于哪两个连续整数之间，结合数轴上各点的位置即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， 观察数轴可知，点P表示的数在2和3之间，点Q表示的数在3和4之间，点M表示的数在4和5之间，点N表示的数在5和6之间 ， ∴在数轴上表示的点可能是点M ． 2．若为正整数，且满足，则数轴上表示的数的点为______．（填字母） 【答案】 【分析】通过平方法估算的范围即可求解． 【详解】解：，， ∵， ∴，即， ∵为正整数，且满足， ∴， ∴数轴上表示的数的点为． 3．如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 【答案】/ 【详解】解：∵圆的周长为， ∴点B表示的数为． 4．如图，以1个单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴交于点，与负半轴的交点为，已知交点表示的数为，则交点表示的数为___________． 【答案】 【分析】根据交点表示的数为，即可得出交点表示的数． 【详解】解：以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴交于点，与负半轴的交点为，且交点表示的数为， 交点表示的数为． 5．如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点B表示的数是_______． 【答案】/ 【分析】先把两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形面积为2，可得小正方形对角线长为，再根据题意即可得点B表示的数． 【详解】解：如图，由两个小正方形拼成正方形，则的面积为2， ∴， ∵以表示数的点为圆心，正方形对角线的长为半径画半圆，交数轴于点A和点B， ∴点B表示的数为． 【题型7 实数与数轴化简求值】 1．已知、、在数轴上位置如图所示，化简____________． 【答案】/ 【分析】先根据数轴得到，，那么，，再化简即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴， ∴ ． 2．已知实数在数轴上的位置如图所示，则 _____． 【答案】 【分析】根据数轴可推出，据此计算算术平方根和绝对值，再根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ 3．实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，，再化简得到平方根即可； （2）根据算术平方根、立方根、相反数的概念得到，再代入求平方根即可． 【详解】（1）解：由实数a，b，c在数轴上对应的点的位置， 可知，， ， 则的平方根为； （2）解：，则， ，则，即，解得， ，解得， ， 则的平方根为． 4．已知的位置如图所示，化简： 【答案】 【分析】根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性，进行化简即可. 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴原式. 5．已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简： (2)若实数，满足，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可知，，，，根据二次根式的性质、绝对值的性质求解即可； （2）根据非负数的性质求得实数，的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，， ∴ ； （2）解： ，，， ，， ，， 故的立方根为：． 6．如图是数轴上三个点所对应的实数．试化简： 【答案】 【分析】直接利用数轴得出，再化简求解即可． 【详解】解：由图可得，， ∴ ． 【题型8 实数与数轴综合】 1．如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点表示的数是2，则滚动前点表示的数是． (1)实数的值是 ； (2)求的值 (3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的算术平方根； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由已知圆周长为，则， 则实数的值是； （2）∵ ∴原式 原式； （3）解：与互为相反数， ， ，， ，， 解得，， ； 2．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是___________； (2)求的值； (3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)，见详解 (3)2，见详解 【分析】（1）根据移动的方向和距离列算式即可求解； （2）由（1）可知，再利用绝对值和算术平方根的性质，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出的值，再代入，进而求得立方根． 【详解】（1）解：由条件可知，蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，则 ； （2）解：结合数轴可知， ， ； （3）解： 与 互为相反数， ． ， ， ， ， 的立方根为2． 【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为，…，以此类推，请问点表示的数为多少？ 【答案】(1)正方形的面积为，正方形的边长为，这个值在3与4之间 (2) (3) 【分析】（1）先求得正方形的面积，再开方求得正方形的边长为，再根据，可得，从而可得这个值在3与4之间； （2）先根据，得出，从而可得，再代入求值即可； （3）先写出前几个，再找出规律，然后利用规律求解即可． 【详解】（1）解：正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴这个值在3与4之间； （2）∵阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，， ∴， ∴， ∴ （3）∵点表示的数为，正方形的边长为， ∴把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为； ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， … 以此类推， 点表示的数为． 【点睛】本题考查了无理数的大小估算，无理数整数部分的有关计算，图形类规律探索，实数与数轴等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 4．如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形的一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，则另一个顶点分别落在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为______；点表示的数为______． (2)一只蚂蚁以个单位长度/秒的速度从点沿数轴向右爬了秒到达点，设点表示的数为． ①则实数的值为______（用含的代数式表示）； ②当时，求的值． (3)在数轴上，还有，两点分别表示，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质、数轴上点的表示、绝对值的化简、非负数的性质及平方根的计算，熟练掌握非负数的性质（几个非负数的和为0，则每个非负数均为0）是解题的关键． （1）根据正方形面积求边长，结合数轴上点的位置确定点、表示的数； （2）①根据蚂蚁爬行的速度、时间得到移动距离，结合点表示的数表示出点的数； ②代入的值得到，再计算绝对值表达式的值； （3）利用非负数的性质（算术平方根与绝对值的非负性）列方程，求解、后计算的平方根． 【详解】（1）解：∵面积为的正方形边长为，点在原点左侧， ∴点表示的数为； ∵面积为的正方形边长为，点在原点右侧， ∴点表示的数为． （2）解：①∵点表示，蚂蚁向右爬了个单位， ∴． ②当时，； ∵，， ∴． （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，① 且．② 解①得，则， ∴； 解②得，则， ∴． ∴， ∴的平方根为． 【题型9 实数比较大小】 1．设，，是互不相等的实数，且，下列式子正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题中A，B无法确定，，的大小关系，只需利用等式的基本性质对已知等式变形，即可验证C，D选项得到结论． 【详解】解：∵， 等式两边同乘得， 验证选项C：右边，将代入得左边，因此C正确； 验证选项D：右边，因此D错误； 对于A，B：仅根据无法确定a，b，c的大小， 例如，当时，，满足，当时，，满足，因此A，B都不一定正确． 故选：C． 2．如图，数轴上点A，B，C，D分别表示实数a，b，c，d，则其中最大的数是（     ） A．a B．b C．c D．d 【答案】D 【分析】根据数轴的性质：数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，观察图形找出最右侧的点即可.． 【详解】解：由图可知，点 在数轴上从左到右依次排列 ， 数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大， ， 最大的数是 ． 3．若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用乘方法比较正数大小，带根号的正数同时乘相同次数的方去掉根号后，结果越大则原数越大，据此依次比较得到三者的大小关系． 【详解】解：∵，，均为正数，正数乘方后大小关系与原数一致， 先比较与，将两数同时平方得： ， ， ∵ ， ∴ ， 再比较与，将两数同时立方得： ， ， ∵ ， ∴ ， 综上可得 ． 4．在这四个数中，最小的无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题先根据有理数与无理数的定义判断，再进行比较即可． 【详解】解：是分数，是整数，二者都是有理数，不符合题意；和都是无理数，，，则， 故C符合题意． 5．计算：______；比较大小：______4（填“”、“”或“”号）． 【答案】 3 【分析】根据，即可得出，运用，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【题型10 实数的混合运算】 1．计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用算术平方根的定义，立方根定义，以及绝对值运算法则进行运算，即可得到结果； （2）利用平方根，绝对值，立方根运算法则，计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ． 2．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．计算：． 【答案】 【详解】解： . 4．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 5．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 【题型11 程序设计与实数综合】 1．如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是（     ） 　 A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出即可． 【详解】解：当时，是有理数， 当时，是无理数， 故输出的y值为，选项C符合题意． 2．在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 3．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输出值为时，输入值为3或9； ②当输入值为16时，输出值为； ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值； ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据程序运算图逐项判断即可求解． 【详解】解：①∵输出值为时， ∴输入值为或或等，故①错误； ②当时，∵是有理数， ∴重新输入， ∵是有理数， ∴重新输入， ∵是无理数， ∴输出值为，故②正确； ③当时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值，故③正确； ④当为正无理数时，不存在正整数，使得，故④错误； 综上，说法正确的是②③． 4．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值是27，则输出y的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可． 【详解】解：若开始输入的的值是， 则其立方根为，是有理数， 则的算术平方根是， ∵是无理数， ∴输出． 5．一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为256时，输出的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请你写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)所有满足要求的的值为0，1．理由见解析 (3)3，9（答案不唯一） 【分析】（1）根据流程图进行求解即可； （2）根据题意，得到的算术平方根等于其本身，即可得出结果； （3）根据一次计算的结果为和二次计算的结果为，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：为无理数，输出， 故输出的值为； （2）解：由题意，的算术平方根等于其本身， 即或1； （3）解：当输入3时，输出结果为； 当输入9时，是无理数，输出； 故的值可以为3或9. 【题型12 实数下新定义运算（选填）】 1．用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，如，则的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 2．若我们约定：表示不大于的最大整数，例如：，，，记，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算分子的总和，再计算分母的值，进而求出，最后得到的值． 【详解】解：， ， ， 当时，（n为正整数），当x取正整数时，满足的整数共有个， 则中，共有3个1，5个2，7个3，9个4，11个5， ， ， ∴， ， ． 3．对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1，又例如：对17连续求根整数3次，，这时候结果为1．现有如下三种说法： ①； ②若，则满足题意的整数有5个； ③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19． 其中正确的说法有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】根据根整数的定义，结合无理数的估算逐一判断三个说法即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴根据定义得， ∴平方得， ∵是整数， ∴的取值为，共个，故②正确； 由题意，只需进行次运算得，即第二次运算结果满足对运算一次得，且第一次不能直接得到， ∵， ∴，即， 若，则，只需次运算，不符合要求，因此可取； 最小满足，得，最小正整数； 最大满足，得，最大正整数； ∴最大值与最小值的和为，故③正确； 综上，三个说法都正确． 4．用“”定义新运算，对于任意非负实数，都有，例如，那么（   ） A．27 B．72 C．78 D．84 【答案】C 【详解】解：∵， ∴． 5．自定义运算：，例如： ，若m，n在数轴上位置如图所示，且，则的值等于（    ） A．2025 B．2026 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】首先证明，进而结合，可得，据此求解的值即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 即，， ， ， ∴ ∴． 【题型13 实数下新定义运算（解答）】 1．对于代数式，我们可以引入一种新的符号表示方式：，这种符号形式称为行列式．规定．例如．按照这种规定，请解答下列问题： (1)计算：______； (2)观察这两个行列式：与，你发现它们之间的数量关系是______． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据行列式的计算方法直接列式计算； （2）根据行列式的计算方法展开两个行列式，再写出数量关系； （3）根据行列式的计算方法展开，整理成一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ； （3）解：∵， ∴， 整理得， 解得． 2．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)计算：______；______； (2)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (3)计算． 【答案】(1)2， (2) (3)23 【分析】（1）先估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （3）先逐项化简并归纳规律，最终求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点， ∴点C表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． （3）解：，， ，…， ∵，， ∴ ． 3．阅读与思考 【阅读理解】 材料一：对于实数m，n，定义新运算：当时，；当时，．例如：，． 材料二：计算：． 设，则． 由得 ． 所以 【问题解决】 (1)计算：； (2)已知，求； (3)对于正数t，有，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义规则判断两个数的大小关系，再代入对应法则计算； （2）利用推出，再代入对应法则化简计算； （3）先根据已知条件求出正数，再根据的大小分情况，结合材料二的求和法则计算即可. 【详解】（1）解：根据新定义， ， ， ， ， ． （2）解： ，即，． ． （3）解：t是正数， ， ． ，即， ． 4．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．复数的运算与整式的运算类似． 例如，计算：； ． 根据以上信息，解决下列问题． (1)填空：______，______ (2)计算：． (3)计算： 【答案】(1)1；i (2) (3) 【分析】（1）把化为，把化为，根据新定义计算即可； （2）根据复数的运算法则进行计算即可； （3）根据题干和（1）的结果，得出的结果以i，，，1循环，据此求解即可． 【详解】（1）解；； ； （2）解：原式； （3）解：∵，，，，，…， ∴的结果以i，，，1循环， ∵，， ∴原式． 5．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，，满足关系式：，，求的“青一区间”． (3)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“青一区间”定义，通过平方数判断被开方数的范围即可； （2）先解出，的值，计算，再用平方数判断的区间，进而求出的“青一区间”； （3）通过两次区间条件列出的范围，取交集确定的值，再代入计算． 【详解】（1）解： ， 的“青一区间”为， ， 的“青一区间”为， 的“青一区间”为． （2）解： ， ，即， ， ， ， ， 的“青一区间”为． （3）解： 的“青一区间”为， ，即， 的“青一区间”为， ，即， 为正整数，是无理数， ， ． 【题型14 实数运算的实际应用】 1．陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 2．有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】能办到；长方形的长和宽分别为米和米 【分析】先求得长方形的长为，正方形的边长为，比较大小，即可求解． 【详解】解：设长方形的长为米，则宽为米， 则由题意得，解得（取正值）， 所以长为米，宽为米， 因为面积为平方米的正方形的边长为， 因为，所以， 所以李师傅能办到，长方形的长和宽分别为米和米． 3．阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长． 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的． 将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________． 请根据材料回答下列问题： (1)A5纸的面积是__________平方米． (2)A4纸的长宽__________． (3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，） 【答案】(1) (2) (3)A0纸的长为，宽为 【分析】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案； （2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案； （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米， A1纸的面积为平方米， A2纸的面积为平方米， A3纸的面积为平方米， A4纸的面积为平方米， A5纸的面积是平方米． （2）解：如图， 由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中， ，即A4纸的长宽之比为； （3）解：设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负值不合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：纸的长为，宽为． 4．如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 5．某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 【题型15 与实数相关的规律探索问题】 1．观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) ；见解析 【分析】（1）根据规律计算的值即可； （2）根据题意，找到前2025个等式求和，再与2026比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，，， ， ， ， ∵， ． 2．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） (2)请用（1）中你发现的规律计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察3个等式得出第5个等式和第个等式； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：第5个等式：， 第个等式：； （2）解： ． 3．观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… (1)请直接写出第4个等式 ； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 【答案】(1) (2)（的自然数）； 【分析】（1）利用前面3个等式的规律写出第4个等式； （2）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第n个等式，然后根据规律化简计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：（的自然数） 原式 ． 4．观察下列两组算式，解答下列问题第一组：． 第二组：． (1)由第一组可得结论：对于任意实数a，有______； (2)由第二组可得结论：当时，______； (3)利用（1）（2）的结论计算： ______；______． (4)当时，计算的值． 【答案】(1) (2)a (3)； (4) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及与实数有关的规律问题，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）根据题干数据规律即可求解； （2）根据题干数据规律即可求解； （3）由（1）的结论计算即可； （4）由（1）的结论计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴可得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：；， 故答案为：；； （4）解：∵ ∴． 5．【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）仿照题干即可求解； （2）仿照题干即可求解； （3）将原式变形为，再运用结论求解． 【详解】解：（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式： （2）根据规律可得：； （3）解：原式 ． 1．先观察下列三个等式，再回答下列问题：①；②；③，请你根据上面三个等式提供的信息，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给式子总结变化规律可得，然后根据规律求解即可． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ∴， ∴． 2．如图，将直径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴滚动一周，点A到达了点的位置，则线段的中点表示的数是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】题目未指定滚动方向，需分向左滚动和向右滚动两种情况讨论，分别求出点表示的数，再利用中点公式求解． 【详解】解：∵圆的直径为， ∴圆的周长为， ∵点与数轴上表示的点重合，将纸片沿着数轴滚动一周到达点， ∴需分两种情况讨论： ①当圆向右滚动时，点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为； ②当圆向左滚动时，点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为． 综上所述，线段的中点表示的数是或． 故选：B． 3．如图，数轴上A，B两点表示的数分别是和，A是线段的中点，则点C所表示的实数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，再根据右边的点减去左边的点表示数轴上两点之间的距离，据此求解即可． 【详解】解：设点表示的数为， ∵点B关于点A的对称点为C， ，即， 解得， 点C所表示的实数为． 4．已知有理数a，b满足，则_____． 【答案】 【分析】先将该等式整理，按照有理数和无理数进行分组得到，根据有理数和无理数的和为无理数，得出是有理数，即可解答． 【详解】解：， ， ， ∵a，b都是有理数， ∴，解得：， ∴． 5．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积．现已知三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和之间，则n的值是______． 【答案】3 【分析】先把三角形的三边长分别为2，4，4代入求得，再估算S的取值范围即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，4，4， ∴设， ∴； ∵，， ∴n为的整数部分，即． 6．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出两个正方形的边长，从而得到长方形的长与宽，最后求出周长； （2）将长方形的面积减去正方形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意可知，两个正方形的边长分别为， 由图可知：长方形的长等于两个正方形边长之和，宽等于大正方形的边长， ∴，， ∴长方形的周长为； （2）解：由（1）可知，，， ∴． 7．我们规定，若任意实数满足，则称与是关于的对称数．例如：，则5与3是关于4的对称数． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若数与是关于的对称数，求数的值； (2)若，判断与是否是关于7的对称数，并说明理由． 【答案】(1) (2)是关于7的对称数 【分析】（1）根据“对称数”的定义代入计算即可． （2）根据实数的运算得出x，y的值，然后再根据“对称数”的定义代入计算并判断即可． 【详解】（1）解：∵数与是关于的对称数， ∴， ． ∴． （2）解：是关于7的对称数，理由如下： ， ∵；， ∴， ∴与是关于7的对称数． 1．如图，图1中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图2所示的一个大正方形．      (1)图2中拼成的大正方形纸片的边长为_____； (2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见详解 【分析】（1）抓住“剪拼前后图形总面积不变”的核心，得到大正方形的面积，再通过正方形面积公式求边长． （2）通过设长方形纸片的宽为，长为，根据长方形的面积列方程得到长方形的长和宽，判断裁剪的可行性． 【详解】（1）解：由条件可知大正方形纸片的面积为， ∴大正方形纸片的边长为； （2）解：设长方形纸片的宽为，长为，由题意得：， 解得， ∴， ∵ ∴， ∴不能剪出这样的长方形． 2．单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知，因此设，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若，且，试用含m和n式子表示的估算值． 【答案】(1)2.65，图见解析，求解过程见解析 (2) 【分析】（1）首先由得到，设，然后同题干的方法求解； （2）设，然后同题干的方法求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，设， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵较小故略去，得， ∴，即； （2）解：∵，且 ∴设， 如下图所示，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵较小故略去，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．综合与实践 (1)【问题发现】：如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的边长为_____． (2)【知识迁移】：爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为_____；大正方形的面积为_____；长方形的对角线长为_____． (3)【拓展延伸】：小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【答案】(1) (2)1；13； (3)小思说得对，小明说得不对；说明见解析 【分析】（1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，则，计算、比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为； （2）解：由题意得：所得到的小正方形的边长为：； 大正方形的面积为：；长方形的对角线长为； （3）小思说得对，小明说得不对，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∵， ∴， 由于面积为的正方形纸片边长为， ∴ ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $