暑假作业03 平方根和立方根（巩固培优，15大题型+能力培优练+创新拓展练）七年级数学新教材人教版

**基本信息** 聚焦平方根与立方根核心概念，通过15类题型构建从概念理解到实际应用的递进训练，突出知识逻辑与中考高频考点的针对性，培养抽象能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平方根|9类题型|概念辨析、求值、非负性应用、估算、实际应用|从定义（平方根/算术平方根）到性质（符号、运算），再到方程与实际问题，形成完整认知链| |立方根|5类题型|概念理解、解方程、规律探究、实际应用|类比平方根学习路径，突出与平方根的性质差异（符号、被开方数范围）| |综合应用|1类题型|平方根与立方根性质综合|整合两者概念，强化知识间的联系与区别|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 平方根和立方根 【知识点1 平方根】 1.定义：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根(也叫二次方根)。即若，则叫做的平方根，记作 算术平方根：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。规定：0的算术平方根是0。记作 ①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根。 注：判断一个式子是否为二次根式，应根据以下两个标准判断： ①是否含有二次根号“”； ②被开方数是否为非负数。 若两个标准都符合，则是二次根式；若只符合其中一个标准，则不是二次根式。 【知识点2 立方根】 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根(也叫三次方根)。即若，则叫做的立方根，记作 性质：①正数的立方根是正数；②负数的立方根是负数；③0的立方根是0。 注：立方根的判断要点： ①是否含有三次根号; ②被开方数可以是任意实数(正数、负数、0均可)。 【题型1 对平方根概念的理解】 1．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【详解】解：根据平方根定义，负数没有平方根，∵是负数，∴没有平方根，故A错误； ∵0的平方根是0，∴0有平方根，故B错误； 的算术平方根是，符合算术平方根的定义，故C正确； ，的平方根是，不是，故D错误． 2．（25-26七年级下·天津南开·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．没有平方根 B．算术平方根是其本身的数是 C．的平方根是 D．的值一定是 【答案】D 【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐个判断选项正误即可得到答案． 【详解】解：A．当时，，此时有平方根，故该选项错误，不符合题意， B．算术平方根是其本身的数是和，故该选项错误，不符合题意， C．，没有平方根，故该选项错误，不符合题意， D．∵有意义， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故该选项正确，符合题意． 3．下列说法中正确的是（   ） A．的算术平方根是 B．是144的平方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是a 【答案】B 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义，先化简题目中的二次根式，再根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解： A. ∵， ∴的算术平方根是，不是，A错误； B. ∵， ∴是144的平方根，B正确； C. ∵， ∴的平方根是，不是，C错误； D. 当时，的算术平方根是，因此的算术平方根不一定是，D错误． 4．（25-26七年级下·贵州遵义·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．3是9的算术平方根 B．0没有平方根 C．81的平方根是9 D．的平方根是 【答案】A 【详解】解∶A． ∵ ，根据算术平方根的定义可得，3是9的算术平方根，故本选项正确，符合题意； B． 0的平方根是0，故本选项错误，不符合题意； C． ∵ ，∴ 81的平方根是，故本选项错误，不符合题意； D． ∵ ，∴ 4的平方根是，即的平方根是，故本选项错误，不符合题意． 故选∶A． 【题型2 求一个数的平方根】 1．（16-17八年级上·江苏连云港·阶段检测）的平方根是______． 【答案】 【分析】先计算出的值，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解：∵， ∴的平方根为． 2．（25-26七年级下·广东湛江·期中）4的平方根是________；的算术平方根是________． 【答案】 2 【详解】解：计算的平方根，得； 先化简，得，再计算的算术平方根，得． 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）7的算术平方根________；的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义求出7的算术平方根，化简后，再根据平方根的定义求出的平方根即可． 【详解】解： 7的算术平方根为． ．故的平方根为 ． 4．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）64的算术平方根是______，的平方根是______． 【答案】 8 【分析】平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．注意第二个空先求出，再计算平方根． 【详解】解：， 的算术平方根是8， ， 的平方根是， 故答案为：8，． 【题型3 求代数式的平方根】 1．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 2．若，求的平方根是___________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 3．（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， 又，，且，， ∴，， ，， 解得，， ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 4．（2026·湖南·一模）若，为实数，且满足，则的值是____________． 【答案】1 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴且， ∴，解得， 则可化为，即，解得， ∴． 5．（2026·重庆渝中·三模）若实数，同时满足，，则________． 【答案】 【分析】先根据平方的性质求出的所有可能值，再结合算术平方根的非负性舍去不符合题意的值，最后代入原方程求出，计算即可． 【详解】解：， 是算术平方根， ，即， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，代入 得 ， 两边平方得， 解得， ． 【题型4 已知一个数的平方根求这个数】 1．已知正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求y的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，解二元一次方程组，要熟练掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，是解答此题的关键． （1）先根据平方根的定义，得，再化简即可； （2）联立，再解二元一次方程组，求出解，再根据平方根的定义即可． 【详解】（1）实数a的两个平方根分别是x和， ， 即， 当时，； （2）由（1）得 ， 联立得， 解得：， ． 2．一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查平方根： （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出a的值，再根据平方根求出b的值； （2）将（1）中结果代入，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数b的平方根是与， ∴， ∴． ∴，， ∵9的个平方根是， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即平方根是． 2．一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键． （1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴，解得， ∴； （2）解：将代入中， 得， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 3．已知与是一个正数的平方根，求的值和这个正数． 【答案】的值为9，这个正数是或的值为3，这个正数是 【分析】根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：当如果与相等时，那么， 解得， 此时， 则， 所以这个正数为； 当如果与互为相反数时，那么 解得， 此时，， 则， 所以这个正数为， 答：的值为9，这个正数是或的值为3，这个正数是． 【点睛】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提． 4．（25-26七年级下·广东中山·期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a和正数m的值； (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】（1）由一个正数的两个平方根互为相反数求值，即可求解； （2）将代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ； （2）解：当时，， ， ， ∴或． 【题型5 利用平方根解方程】 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）求下列各式中x的值． ； 【答案】或 【分析】首先将原方程整理为，根据平方根的性质可得，进一步求解即可获得答案． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴或． 2．（25-26七年级下·西藏日喀则·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 开平方得：， 即，； （2）解：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， 解得：，． 3．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 或． 4．（25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）利用平方根的意义求下列各式中的． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查平方根的定义，如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根或二次方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数： （1）根据平方根的定义即可求得答案； （2）根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：移项，得 根据平方根的定义，得 或； （2）解：系数化为，得 根据平方根的意义，得 或 所以或． 5．（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以9，最后把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 【题型6 利用算术平方根的非负性求解】 1．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知实数a、b满足，求： (1)a、b的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)代数式的值为 【详解】（1）解：∵，，且两者和为0， ∴，， 解得：，； （2）解：将，代入代数式： . 2．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，，为实数，且，求的值 【答案】 【分析】根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求解、、，再代入求值即可． 【详解】解： ， ，，， ，，， ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴4的平方根为， 即的平方根为． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得； （）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根； 本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 【题型7 利用算术平方根估算取值范围】 1．（25-26九年级下·重庆开州·期中）若n为正整数，且满足，则________． 【答案】5 【分析】先估算出的取值范围，再结合已知不等式即可确定正整数的值． 【详解】解：， ，即， 又，且为正整数， ． 2．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 【答案】4 【分析】先确定的取值范围，找到介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式确定整数的值． 【详解】解：， ，即， ，且为整数， ． 3．（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测）若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 【答案】5 【分析】先根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉绝对值符号化简方程组，求解得到的值，再估算无理数的大小得到整数，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：由 得 ， 根据绝对值的非负性得，即； 当时，， 代入 得 ， 整理得， 由得 ， 解得 ， 因此，代入 得， 将代入得：， 解得， 将代入得， ∵，∴， ∵ ，为整数， ∴， ∴ ． 4．（25-26八年级上·山西运城·期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 【题型8 与算术平方根有关的规律探究题】 1．（25-26七年级下·广东汕头·期中）利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 若，则___________． 【答案】48.5 【分析】从表格数据归纳得到规律，被开方数的小数点向右移动两位，其算术平方根的小数点相应向右移动一位，据此利用已知近似值计算结果. 【详解】解：， 即被开方数的小数点向右移动两位得到， 又， 根据规律可得. 2．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）已知，，则______． 【答案】453.9 【分析】根据被开方数扩大10000倍，结果扩大100倍解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 3．（25-26七年级下·河南商丘·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第行（从左往右数）最后一个数是_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】从数阵的每一行可以找到规律是二次根式里面依次加1，观察每行的最后1个数，总结规律即可得答案． 【详解】解：第1行的最后一个数为， 第2行的最后一个数为， 第3行的最后一个数为， 第4行的最后一个数为， ……． 第n行的最后一个数为． 4．（25-26七年级下·江西·阶段检测）根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 【答案】(1)14.6；144；0.142 (2)148；1.45 (3)286 【分析】观察表格中数据，找到对应的数据即可解决问题． 【详解】（1）解：观察表格中数据，发现：当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵22000与21904更接近， ∴与最接近的整数是148； ∵，且2.1与2.1025更接近， 且， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴整数n的个数为：． 5．（25-26七年级下·广东广州·期中）根据下表回答下列问题： x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 (1)112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____； (2)若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 【答案】(1)； (2)或或或 (3) 【分析】（1）根据表格即可解答； （2）根据表格得到对应的的取值范围，即可解答； （3）将代入题中的式子，对比表格即可解答． 【详解】（1）解：根据表格可得112.36的算术平方根是，118.81的平方根是； （2）解：， ， 正整数a的值为或或或； （3）解：将代入可得， 根据表格可得， 答：该物体到达地面大概需要． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段检测）根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)在表中介于和之间，理由见解析． 【分析】本题考查利用表格数据，求平方根，算术平方根，估值，掌握利用表格数据搜集与处理数据的能力，会求平方根，近似计算以及估值是解题关键． （1）观察表格中的数据可知，，根据平方根定义即可求解； （2）由表中的数据结合开平方先求出即可求解； （3）观察表中数据找到280介于哪两个小数之间，再根据算术平方根可得在表中介于和之间即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知：， ∴的平方根是； （2）解：∵由表中数据可知：， ∴， 故答案为：； （3）解：∵由表中数据可知：，，， ∴， ∴在表中介于和之间． 7．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【答案】(1)42，110(2)14(3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简． （1）直接利用规律计算； （2）利用规律列方程求解； （3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， 即， 解得（舍去）． （3）解：原式 ． 【题型9 算术平方根的实际应用】 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” (1)求原正方形纸片的边长； (2)你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 【答案】(1)原正方形纸片的边长为． (2)不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片． 【分析】（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据长方形的面积公式建立方程求出长方形的长，再与正方形的边长比较即可得到结论． 【详解】（1）解：， ∴正方形纸片的边长为； （2）解：设长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴长方形的长大于正方形的边长， ∴不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片． 2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知：一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的动能（单位：焦耳）与质量（单位：千克），速度（单位：米/秒）近似满足公式．若一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克，动能是2800焦耳． (1)求该运动员的跑步速度； (2)已知，，估计（1）中求得的速度的近似值． 【答案】(1)该运动员的跑步速度是米/秒 (2)该运动员跑步速度的近似值约为米/秒 【分析】（1）根据题意得到，，将上述数据代入公式即可求得跑步速度； （2）根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：，代入得： ， 即， 解得：，负值舍去， ∴该运动员的跑步速度是米／秒． （2）解：∵， ∴（米/秒）， 即该运动员跑步速度的近似值约为米/秒． 3．（25-26七年级下·广东东莞·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的长和宽； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1)长为，宽为 (2)不能裁出来，理由见解析 【分析】（1）设绣布的长为，宽为，根据面积列方程求解； （2）设完整的圆形绣布的半径为，根据圆面积公式列式，进行计算得，然后判断出，即可作答． 【详解】（1）解：∵长、宽之比为 ∴设绣布的长为，宽为， 根据题意，得 ∴ ∴绣布的长为，宽为； （2）解：不能裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为 根据题意得，， ∴ 解得（负值已舍去） 则， ∴， 由（1）得绣布的长为，宽为， ∴不能裁出来． 4．（25-26七年级下·江西上饶·期中）某地举办了“绘少年力量，画无烟未来”绘画大赛．米米想用一块面积为的正方形画布画上自己的参赛作品 (1)正方形画布的边长为________； (2)米米用铅笔打完草稿图发现画布有点大，想沿边裁出一块面积为的长方形画布，若使长方形画布的长、宽之比为，米米能用这块画布裁出符合要求的画布吗？若能，请帮米米设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． 【答案】(1)25 (2)米米不能用这块画布裁出符合要求的画布，理由见解析 【分析】（1）设正方形画布的边长为．根据正方形的面积列方程，利用平方根的意义解方程即可； （2）设长方形画布的长为，则长方形画布的宽为，根据面积列方程，利用平方根的意义解方程即可． 【详解】（1）解：设正方形画布的边长为． 正方形画布的面积为， ， 解得（负值舍去）， 正方形画布的边长为． （2）解：不能．理由如下： 长方形画布的长、宽之比为， 设长方形画布的长为，则长方形画布的宽为， ， ， 解得（负值舍去）， 长方形画布的长为，宽为． ， 长方形画布的长大于正方形画布的边长， 米米不能用这块画布裁出符合要求的画布． 5．（25-26七年级下·山东临沂·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t s和下落高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从20m的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从80m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2s (2)正确，理由见解析 (3)90J，启示：严禁高空抛物． 【分析】(1) 本题考查算术平方根的实际应用，直接将代入公式计算即可． (2) 通过计算时的下落时间，与(1)中结果比较即可判断． (3) 先由求出下落高度，再代入能量公式计算． 【详解】（1）解：当时， ， 物体从20m高空落到地面的时间为s． （2）解：小明的说法正确， 理由：当时， ， ， 从80m高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2倍． （3）解：当时，， ， ， 能量， 这个鸡蛋在下落过程中产生的能量为， ， 足以伤害无防护人体， 启示：严禁高空抛物． 【题型10 判断选项是否正确】 1．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根与立方根的基本性质，根据定义计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意． 2．（25-26七年级下·山东日照·期中）下列各式正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根的定义，根据定义计算各选项即可判断正误． 【详解】解：算术平方根的结果为非负数， ，选项A错误． ， 选项B错误． ， 选项C错误． ，根据立方根定义可得， 选项D正确． 3．（25-26七年级下·广东东莞·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，故错误； B．，故错误； C．，正确； D．，故错误． 4．（25-26七年级下·广东广州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A，∵表示4的算术平方根，结果为非负数，∴，A计算错误； 对于选项B，∵，∴，B计算正确； 对于选项C，∵，∴C计算错误； 对于选项D，∵，∴D计算错误； 【题型11 求一个数的立方根】 1．（25-26七年级下·重庆璧山·期中）设、为实数，且，则的立方根是______． 【答案】2 【分析】先根据算术平方根的定义求出x、y的值，然后根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根是． 2．（25-26七年级下·江西赣州·阶段检测）已知正数的两个不同平方根分别是和的算术平方根是1． (1)求和的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)4 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ， ， 的算术平方根是1， ， ； （2）解：，而64的立方根是4， 的立方根为4． 3．（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）解：的立方根是， ， ； 的算术平方根为3， ， ，且， ； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， 的平方根为； （3）解：， 的立方根为. 4．（25-26七年级下·江西南昌·期中）已知的算术平方根是的平方根是是的立方根，求的值． 【答案】2 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根求出a，b，c的值，再求即可． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∵的平方根是， ∴， ∴， 又∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型12 与立方根有关的规律探索题】 1．（25-26七年级下·重庆永川·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试： (1)因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个 位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是 ； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是 ．所以 ． (2)已110592一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明． 【答案】(1)两；9；3；39 (2)110592的立方根为48，说明见解析 【分析】（1）根据立方根的定义补全过程即可； （2）仿照题干思路作答即可． 【详解】（1）解：因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个两位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是9； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是3．所以． （2）解：因为是一个立方数，即某个整数的立方， 由， 所以， 即能确定是一个两位数； 又∵的个位上的数是 ∴能确定的个位上的数是8； 划去后面的三位592得到数110，即将被开方数小数点向左移三位， ∵， ∴， 由此能确定的十位上的数是4． 所以． 2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 【答案】(1)①两；②3或7；③43或47；43 (2)见解析 【分析】（1）根据所提供的方法进行计算即可；（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可． （1）①因为要确定算术平方根的位数，所以利用平方数的位数规律，通过对比已知的整十数、整百数的平方与1849的大小关系来判断． ②因为一个数的平方的个位数字由原数的个位数字决定，所以根据1849的个位数字，结合平方的个位特征来确定算术平方根的个位数字． ③因为要确定算术平方根的十位数字，所以划去后两位得到的数，对比相邻整数的平方，再结合给定的判断方法缩小范围，最终确定算术平方根． （2）因为求立方根的思路与求算术平方根类似，所以先利用立方数的位数规律确定立方根的位数；再根据立方数的个位数字特征确定立方根的个位数字；最后划去后三位得到的数，对比相邻整数的立方，结合类似的判断方法缩小范围确定十位数字，进而得到立方根． 【详解】（1）解：①∵，，且， ∴， ∴是两位数； ②∵1849的个位上的数是9，一个数平方后的数个位上为9的只有3和7， ∴的个位上的数是3或7； ③划去1849后面的两位49得到数18，而，， ∴十位上的数是4， ∴1849的算术平方根可能是43或47； ∵十位上的数是4，若个位上的数是7，需进位，，而， ∴个位上的数是3， ∴． （2）解： ，， 103823的立方根是两位数； 103823个位上的数字是3， 103823的立方根个位上的数字是7； 如果划去103823后面的三位“823”得到数103，而，， 由此可确定103823的立方根十位上的数字是4， 那么103823的立方根是47． 3．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1)(2)(3)或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 4．（25-26七年级下·山东日照·期中）人教版七年级数学下册第59页《数学活动2》讲述我国著名数学家华罗庚的故事，同时揭示了数学中求立方根的奥秘．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是________，由此求得________； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①________，②________． 【答案】(1)①两；②9；③3，39 (2)①；② 【分析】（1）①由可知是两位数； ②由可知的个位上的数是9； ③由可知的十位上的数是3，进而得出； （2）①的立方根是负数，由可知是两位数；由可知的个位上的数是8；由可知的十位上的数是4；进而得出，即可求出的值； ②由于，仿照①的步骤求出即可求解． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数； ②的个位上的数是9，而， 的个位上的数是9； ③，，， 的十位上的数是3， 又 的个位上的数是9， ； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵110592的个位上的数是2，而， ∴个位上的数是8， ∵划去后面的三位得到数，而，， ， 十位上的数为4， ∴， ∴； ②∵， ，，， ， 是两位数， ∵个位上的数是，而， 个位数是1， ∵划去后面的三位得到数，而， ∴， 十位数为8， ∴， ∴． 【题型13 立方根的实际应用】 1．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可． 【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，． 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 2．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 【答案】 【详解】解：设这个升降阻车桩的底面半径是，则高为， 由题意可得：． 解得． 答：这个升降阻车桩的底面半径是． 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 【答案】(1)立方厘米； (2)厘米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及立方根的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程． （1）设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为，根据瓶子的容积为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设正方体的棱长为厘米，根据题意列出方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设瓶内溶液的体积为，则空余部分的体积为， 依题意，得：， 解得：． ， 答：瓶内溶液的体积为立方厘米． （2）解：设正方体的棱长为厘米， 据题意，得：， 解得：， 答：正方体容器的棱长为厘米． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个铅球体积是，则它能否被装到容积为的立方体容器中？请说明理由．（球的体积公式为，其中为球的体积，为球的半径） 【答案】能，理由见解析 【分析】本题考查了利用立方根解题，熟练掌握相关知识是解题的关键； 先根据球的体积公式求出铅球半径，进而得到直径，再根据立方体容积求出棱长，最后比较铅球直径与立方体棱长的大小． 【详解】解：能． 理由：设铅球的半径为， 根据题意，得 ， 即， ． 设立方体容器从里面测量棱长为， 则， ． ， 铅球能被装到容积为的立方体容器中． 5．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 【题型14 利用立方根解方程】 1．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）解方程，求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 2．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： 解得：或 （2）解： 解得： 3．（25-26八年级下·云南昭通·期中）求的值：． 【答案】 【详解】解：， 4．（25-26七年级下·四川广元·期中）求下列式子中x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： 移项得 系数化为1得 开平方得 解得或； （2）解： 系数化为1得 开立方得 解得． 【题型15 平方根与立方根的综合】 1．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 2．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根和平方根的定义，求出，的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义列出方程组，求解得到的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根． 【详解】解：由题意知：， 解得：，， ∴ ∴，， ∴ ∴的立方根等于． 3．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知是 的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，立方根，解二元一次方程，熟练掌握算术平方根，立方根，解二元一次方程的方法是解题的关键． 由题意得，解方程组得，得出，即可求解． 【详解】解： 由题意得 ， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根为：． 4．已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．根据是的算术平方根，得到，求出a的值，根据是的立方根，得到，求出b的值，从而求出A，B，进而求出的值，即可求出结果． 【详解】解：是的算术平方根， ， ， 是的立方根， ， 又， ， ，， ， ． 1．如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】A 【分析】根据正方形面积求出边长，进而求出的长，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵大正方形面积为，小正方形面积为， ∴大正方形边长，小正方形边长， ∴，， ∴ ． 2．若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．25 【答案】D 【分析】根据一个正数的两个平方根是和，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得：， ∴这个正数是． 3．下列运算中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①先化简带分数：，，①错误； ②算术平方根的结果为非负数，，②错误； ③根据立方根的性质，负数的立方根是负数，，③正确； ④，负数没有算术平方根，原式运算不成立，④错误； 综上，正确的运算只有1个． 4．按一定规律排列的一列单项式：，，，，…，则第7个单项式是______． 【答案】 【分析】分别观察单项式的符号根号内的数分母以及y的指数的变化规律，推导出第个单项式为 ，再代入即可得到结果． 【详解】解：观察已知单项式可得规律： ①符号规律：第奇数个单项式的符号为正，第偶数个单项式的符号为负，即； ②根号内的数的规律：第个单项式根号内的数为； ③分母规律：所有单项式的分母均为； ④的指数规律：第个单项式的指数为． 第个单项式为 ∴第7个单项式为． 5．已知，则被开方数x的值为_____． 【答案】 【分析】当算术平方根的小数点向左移动一位时，被开方数的小数点向左移动两位，据此求解即可． 【详解】解：∵102的小数点向左移动1位得10.2， ∴10404的小数点向左移动2位得x， ∴x的值为． 6．小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【答案】6 【分析】先根据正方体体积公式求出印章的棱长，得到长方体木匣的宽，再设木匣的长为未知数，根据长方体体积公式求解即可． 【详解】解：设正方体印章的棱长为， 由正方体体积公式得：， ∴， 因此木匣的宽为， 设木匣的长为，则木匣的高也为， 根据长方体体积公式可得：，即， 所以， 即木匣的长为． 7．的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查算术平方根、立方根、平方根、绝对值的基本概念，先根据算术平方根和立方根的定义求出a和b的值，再依次代入求解后续两个问题即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 解得：； （2）解：由（1）知，，， 则， 因此，的平方根为：； （3）解：由（1）知，，， 则，即， 令或， 解得：或． 8．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，又∵， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数91125，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是______位数； ②它的立方根的个位数字是______； ③91125的立方根是______． (2)求140608的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】(1)①两；②5；③45； (2)52． 【分析】（1）仿照题干中提供的解题思路解答即可； （2）根据题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：①，， 又， ， 的立方根是两位数； ②， 的立方根的个位数是； ③划去的后三位数，得到， ， ， 的立方根的十位数是， ； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴能确定的立方根是个两位数． 140608的个位数是8， ∵， ∴能确定的立方根的个位数是2． 划去后面的三位608，得到数140， 而， 则． ∴， 由此确定140608的立方根的十位数是5，因此140608的立方根是52． 1．【探究】 (1)观察下列算式，并完成填空： ， ， ， ， ______． (2)下图是某广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，每层有块正方形地板砖，第一层包括块正三角形地板砖，第二层包括块正三角形地板砖……以此递推． （ⅰ）第层中含有______块正三角形地板砖； （ⅱ）第层中含有______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． 【应用】 (3)若某学校拟采用如图样式的图案铺设地面，现有块正六边形、块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正方形地板砖？ 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） (3)还需要块正方形地板砖 【分析】（1）根据所给等式，找出规律，即可得出答案； （2）（ⅰ）根据每层含个正方形，每两个正方形间的正三角形个数分别为、、……，即可得出答案； （ⅱ）根据（i）中规律解得即可； （3）设可铺设层，根据（2）中规律列出方程，结合（1）中规律解方程求出，根据每层都有块正方形地板砖即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴， ∴． （2）解：（ⅰ）由图形可知，每层含个正方形，每两个正方形间的正三角形个数分别为、、……， 第一层包括块正三角形地板砖， 第二层包括块正三角形地板砖， 第三层包括块正三角形地板砖， ∴第层包括块正三角形地板砖， （ⅱ）由（i）规律可得，第层中含有块正三角形地板砖． （3）解：设可铺设层， ∵有块正六边形、块正三角形地板砖， ∴， ∴， 解得：（负值舍去），即共铺设层， ∵每层都有块正方形地板砖， ∴还需要块正方形地板砖． 2．数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）找出规律，据此即可求解． 【详解】（1）解：    ； （2）解：由题意得：； （3）解：∵； ； ； ……； ∴（为正整数）， ∵， ∴， 解得：， ∴． 3．按照国际标准，系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……将纸按如图1所示的方式折叠，你有什么发现？ (1)你的发现： ； (2)你能据此估算纸的长与宽分别是多少毫米吗（结果取整数）？参考数据：，，，，， 【答案】(1)A系列纸矩形的长是宽的倍（答案不唯一） (2)长为毫米，宽为毫米 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）设纸的长为毫米，宽为毫米，根据面积得到，然后求解即可； 设纸的宽为b毫米，长为毫米，根据面积得到，然后求解即可；． 【详解】（1）解：我的发现：A系列纸矩形的长是宽的倍； （2）解：设纸的长为毫米，宽为毫米，则． 解得，（毫米） 设纸的宽为b毫米，长为毫米，则． 解得，（毫米）． 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 平方根和立方根 【知识点1 平方根】 1.定义：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的 (也叫二次方根)。即若，则叫做的 ，记作 算术平方根：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的 。规定：0的算术平方根是 。记作 ①正数有两个平方根，它们互为 ；②0的平方根是 ；③负数 平方根。 注：判断一个式子是否为二次根式，应根据以下两个标准判断： ①是否含有二次根号“”； ②被开方数是否为非负数。 若两个标准都符合，则是二次根式；若只符合其中一个标准，则不是二次根式。 【知识点2 立方根】 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根(也叫三次方根)。即若，则叫做的立方根，记作 性质：①正数的立方根是正数；②负数的立方根是负数；③0的立方根是0。 注：立方根的判断要点： ①是否含有三次根号; ②被开方数可以是任意实数(正数、负数、0均可)。 【题型1 对平方根概念的理解】 1．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 2．（25-26七年级下·天津南开·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．没有平方根 B．算术平方根是其本身的数是 C．的平方根是 D．的值一定是 3．下列说法中正确的是（   ） A．的算术平方根是 B．是144的平方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是a 4．（25-26七年级下·贵州遵义·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．3是9的算术平方根 B．0没有平方根 C．81的平方根是9 D．的平方根是 【题型2 求一个数的平方根】 1．（16-17八年级上·江苏连云港·阶段检测）的平方根是______． 2．（25-26七年级下·广东湛江·期中）4的平方根是________；的算术平方根是________． 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）7的算术平方根________；的平方根是________． 4．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）64的算术平方根是______，的平方根是______． 【题型3 求代数式的平方根】 1．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 2．若，求的平方根是___________． 3．（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 4．（2026·湖南·一模）若，为实数，且满足，则的值是____________． 5．（2026·重庆渝中·三模）若实数，同时满足，，则________． 【题型4 已知一个数的平方根求这个数】 1．已知正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求y的值； (2)若，求a的值． 2．一个正数b的平方根是与， (1)求a和b的值． (2)求平方根． 2．一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值． (2)求的平方根． 3．已知与是一个正数的平方根，求的值和这个正数． 4．（25-26七年级下·广东中山·期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a和正数m的值； (2)求关于x的方程的解． 【题型5 利用平方根解方程】 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）求下列各式中x的值． ； 2．（25-26七年级下·西藏日喀则·期中）解方程： (1)； (2)． 3．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 4．（25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）利用平方根的意义求下列各式中的． (1)； (2)． 5．（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）解方程： (1) (2)． 【题型6 利用算术平方根的非负性求解】 1．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知实数a、b满足，求： (1)a、b的值； (2)求代数式的值． 2．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，，为实数，且，求的值 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【题型7 利用算术平方根估算取值范围】 1．（25-26九年级下·重庆开州·期中）若n为正整数，且满足，则________． 2．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 3．（25-26九年级下·重庆江津·阶段检测）若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 4．（25-26八年级上·山西运城·期中）观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 【题型8 与算术平方根有关的规律探究题】 1．（25-26七年级下·广东汕头·期中）利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 若，则___________． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测）已知，，则______． 3．（25-26七年级下·河南商丘·期中）下面是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第行（从左往右数）最后一个数是_____．（用含的代数式表示） 4．（25-26七年级下·江西·阶段检测）根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 5．（25-26七年级下·广东广州·期中）根据下表回答下列问题： x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81 (1)112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____； (2)若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a； (3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到） 6．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段检测）根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 7．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【题型9 算术平方根的实际应用】 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” (1)求原正方形纸片的边长； (2)你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知：一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的动能（单位：焦耳）与质量（单位：千克），速度（单位：米/秒）近似满足公式．若一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克，动能是2800焦耳． (1)求该运动员的跑步速度； (2)已知，，估计（1）中求得的速度的近似值． 3．（25-26七年级下·广东东莞·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为． (1)求绣布的长和宽； (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 4．（25-26七年级下·江西上饶·期中）某地举办了“绘少年力量，画无烟未来”绘画大赛．米米想用一块面积为的正方形画布画上自己的参赛作品 (1)正方形画布的边长为________； (2)米米用铅笔打完草稿图发现画布有点大，想沿边裁出一块面积为的长方形画布，若使长方形画布的长、宽之比为，米米能用这块画布裁出符合要求的画布吗？若能，请帮米米设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． 5．（25-26七年级下·山东临沂·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t s和下落高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从20m的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从80m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【题型10 判断选项是否正确】 1．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东日照·期中）下列各式正确的是（　　）． A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东东莞·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·广东广州·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型11 求一个数的立方根】 1．（25-26七年级下·重庆璧山·期中）设、为实数，且，则的立方根是______． 2．（25-26七年级下·江西赣州·阶段检测）已知正数的两个不同平方根分别是和的算术平方根是1． (1)求和的值； (2)求的立方根． 3．（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 4．（25-26七年级下·江西南昌·期中）已知的算术平方根是的平方根是是的立方根，求的值． 【题型12 与立方根有关的规律探索题】 1．（25-26七年级下·重庆永川·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出了答案．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法（完成填空）试一试： (1)因为59319是一个立方数，即某个整数的立方， 由，所以，即能确定是一个 位数； 又∵59319的个位上的数是 ， ∴能确定的个位上的数是 ； 划去59319后面的三位319得到数59，即相当于将被开方数小数点向左移三位， ∵，∴ 由此能确定的十位上的数是 ．所以 ． (2)已110592一个整数的立方，按照上述方法，你能确定它的立方根吗？请你按照上述的方法说明． 2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 3．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 4．（25-26七年级下·山东日照·期中）人教版七年级数学下册第59页《数学活动2》讲述我国著名数学家华罗庚的故事，同时揭示了数学中求立方根的奥秘．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是________，由此求得________； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①________，②________． 【题型13 立方根的实际应用】 1．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 2．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）升降阻车桩是一种安防设备，用于升降隔离车辆，实现交通管制和人车分流．某市在路口安装圆柱形的升降阻车桩，已知一个升降阻车桩的体积是，升降阻车桩的高是底面半径的6倍，求这个升降阻车桩的底面半径．（圆柱体积计算公式，是圆柱的高，是底面半径，取） 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）小斌对书本第页第题进行了改编，如下： 如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满两个一样大的正方体容器（容器壁的厚度忽略不计）． 请解答下列问题： (1)瓶内溶液的体积是多少立方厘米？ (2)求正方体容器的棱长． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个铅球体积是，则它能否被装到容积为的立方体容器中？请说明理由．（球的体积公式为，其中为球的体积，为球的半径） 5．（25-26七年级下·全国·周测）如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【题型14 利用立方根解方程】 1．（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）解方程，求x的值： (1)； (2)． 2．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解方程： (1)； (2) 3．（25-26八年级下·云南昭通·期中）求的值：． 4．（25-26七年级下·四川广元·期中）求下列式子中x的值： (1) (2) 【题型15 平方根与立方根的综合】 1．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 2．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 3．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知是 的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 4．已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 1．如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 2．若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．25 3．下列运算中：①；②；③；④．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．按一定规律排列的一列单项式：，，，，…，则第7个单项式是______． 5．已知，则被开方数x的值为_____． 6．小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 7．的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 8．跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，又∵， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数91125，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是______位数； ②它的立方根的个位数字是______； ③91125的立方根是______． (2)求140608的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 1．【探究】 (1)观察下列算式，并完成填空： ， ， ， ， ______． (2)下图是某广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，每层有块正方形地板砖，第一层包括块正三角形地板砖，第二层包括块正三角形地板砖……以此递推． （ⅰ）第层中含有______块正三角形地板砖； （ⅱ）第层中含有______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． 【应用】 (3)若某学校拟采用如图样式的图案铺设地面，现有块正六边形、块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正方形地板砖？ 2．数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 3．按照国际标准，系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……将纸按如图1所示的方式折叠，你有什么发现？ (1)你的发现： ； (2)你能据此估算纸的长与宽分别是多少毫米吗（结果取整数）？参考数据：，，，，， 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $