暑假作业02 平行线（巩固培优，23大题型+能力培优练+创新拓展练）七年级数学新教材人教版

**基本信息** 以“概念-判定-性质-应用”为逻辑主线，系统整合平行线、平移及命题相关知识，通过23类题型实现从基础到综合的能力递进，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行线及其判定|4知识点+9题型|同位角/内错角/同旁内角判定法、平行公理推论|从定义出发，通过角关系推导线平行，建立“角-线”转化模型| |平行线的性质|3知识点+7题型|性质与判定互逆应用、折叠/三角板综合计算|以平行为前提推导角关系，结合实际情境（如光反射）强化应用意识| |平移|2知识点+5题型|平移作图规范、坐标变换规律、面积转化技巧|从定义到性质，通过网格/坐标系实现图形变换的量化表达| |定义命题定理|3知识点+2题型|命题改写技巧、真假命题判定方法|构建数学语言表达体系，为推理证明提供逻辑基础|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 平行线 【知识点1 平行线及其判定】 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做 ，记作a∥b。 形如“在同一平面内永不相交的两条直线”的图形是平行线的基本模型，其中“同一平面内”是前提条件。 注：判断两条直线是否平行，应根据以下两个标准判断： ①是否在同一平面内； ②是否永不相交。 若两个标准都符合，则是平行线；若只符合其中一个标准，则不是。 2.平行线的判定方法： ① 相等，两直线平行； ② 相等，两直线平行； ③ 互补，两直线平行； ④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线 平行。 根据平行线的判定，若同位角、内错角、同旁内角的关系满足判定条件，则可推出两直线平行。 【知识点2 平行线的性质】 1.定义： 两条平行线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角具有特定的数量关系，这些关系就是平行线的性质。 形如“两条平行线被第三条直线所截”的图形是平行线性质的基本模型，其中的截线也叫“截线”。 注：平行线的性质与判定的区别，应根据以下两个标准判断： ①条件是“两直线平行”还是“角的关系”; ②结论是“角的关系”还是“两直线平行”。 2.平行线的性质内容： ①两直线平行， 相等； ②两直线平行， 相等； ③两直线平行， 互补。 根据平行线的性质，若两直线平行，则对应的同位角、内错角相等，同旁内角互补。 【知识点3 平移】 1.定义： 把一个图形沿某一方向移动，得到一个新的图形，这种图形的移动叫做 。 其中，移动的方向和距离叫做平移的 和平移 。 注：判断一个图形的运动是否为平移，应根据以下两个标准判断： ①图形的形状、大小是否不变； ②图形上所有点是否都沿同一方向、移动相同的距离。 若两个标准都符合，则是平移；若只符合其中一个标准，则不是平移。 2.平移的性质： 平移不改变图形的 和 ，只改变图形的位置； 平移后，对应点的连线 (或在同一直线上)且 ，对应线段 (或在同一直线上)且 ，对应角 。 根据平移的性质，若图形平移了一定距离，则所有对应点的连线都等于 。 【知识点4 定义、命题、定理】 1.定义：对某一名称或术语的含义加以描述，作出明确规定，就是它们的 。形如“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”就是角的定义。 注：判断一个语句是否为定义，应根据以下两个标准判断： ①是否是对某一名称或术语的含义的描述； ②是否作出了明确的规定。 若两个标准都符合，则是定义；若只符合其中一个标准，则不是定义。 2.命题： 判断一件事情的语句，叫做 。 命题由题设(已知事项)和结论(由已知事项推出的事项)两部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式。 注：判断一个语句是否为命题，应根据以下两个标准判断： ①是否是一个完整的句子； ②是否对某件事情作出了判断(肯定或否定)。 若两个标准都符合，则是命题；若只符合其中一个标准，则不是命题。 命题分为真命题和假命题：题设成立，结论一定成立的是真命题；题设成立，结论不一定成立的是假命题。 3.定理： 经过推理证实的真命题叫做 。 定理可以作为继续推理的依据，如“对顶角相等”“两直线平行，同位角相等”都是定理。 根据定理的定义，若一个命题是经过推理证实的真命题，则它是定理；定理一定是真命题，但真命题不一定是定理(如公理)。 【题型1 两直线的位置关系】 1．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列说法中正确的有（   ）个． ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列说法中，正确的是（    ） A．过一点只能画一条直线 B．两点之间，直线最短 C．若两个角相等，则它们是对顶角 D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 4．下列说法中正确的是（   ） A．两条直线的位置关系只有两种：相交和平行． B．有且只有一条直线垂直于已知直线． C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． 【题型2 用直尺、三角板画平行线】 1．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是正方形，点，，，都在格点上，请利用网格完成下面画图并回答问题： (1)过点画直线（点E是格点）； (2)过点P画的垂线（点F是格点），交于点C； (3)在（2）中，线段______的长度表示点P到直线的距离，与的大小关系是______，依据是______． 2．如图，P是的边上的一点，点A，O，P都在格点上． (1)请同学们借助三角板或直尺，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母（保留作图痕迹）．要求：过点P画的垂线，交于点C；过点P画的垂线，垂足为点D； (2)在第（1）问基础上，完成下面填空： ①线段______的长度表示点P到直线的距离； ②______（填“”“”或“”），理由是______； (3)请同学们借助三角板或直尺，或利用尺规作图的方法，过点A画的平行线（保留作图痕迹）． 3．如图，点，，，均在正方形方格纸的格点上，按要求完成下列问题． (1)经过点画的平行线，交于点； (2)过点，画的垂线段，交于点； (3)连接，； (4)线段，，，中，最短的线段为______，理由是______． 4．在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，A，B，C，E为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） (1)过点E画直线； (2)在线段上找一点P，使得点P与点E距离最短，在图中作出点P，此时最短蕴含的数学道理是______； (3)点Q为图中的格点，点Q与点E不重合，满足的点Q有______个．请在图中标注出来． 【题型3 平行线公理】 1．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是____________． 2．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 3．平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 4．如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是____________． 【题型4 利用同位角相等证明平行】 1．如图，直线分别与直线、相交于点，平分，平分，，试说明：． 2．如图，，垂足为，，，试判断与是否平行，并说明理由． 3．如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 4．如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【题型5 利用内错角相等证明平行】 1．如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 2．如图，直线，被直线所截，为与的交点，，垂足为． (1)若恰好平分，则的度数为________． (2)若，求证：． 3．如图，直线，被直线所截，H为与的交点，，垂足为H． (1)若恰好平分，则的度数为______； (2)若，求证：． 4．如图，已知，，垂足为点O，是一条线段． (1)过点E作的垂线，垂足为点F，判断与的位置关系，并说明理由． (2)若点E位于点O北偏西，求和的度数． 【题型6 利用同旁内角互补证明平行】 1．如图，点为直线上一点，，，平分，．那么直线和平行吗？为什么？ 2．如图，，与互余． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，试说明：． 3．如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 4．如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 5．如图，直线与射线交于点，平分，连接，过点作是射线上一点，连接，且．若，求与之间的位置关系，并说明理由． 【题型7 利用平行线的判定判断平行】 1．如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，不能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 4．如图，下列条件中，能判定的是（     ） A． B． C． D． 【题型8 平行于同一直线的两直线平行】 1．在同一平面内，不重合的三条直线、、中，如果，，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．不能确定 2．在同一平面内，有三条不重合的直线a，b，c，（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 4．在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过点作的垂线，则直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．平行或垂直 【题型9 利用平行线的判定填空】 1．填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由． 如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：∵平分，平分（已知）， ∴ ， （ ）． 又∵（已知）， ∴ ． 又∵（已知）， ∴ ， ∴（ ）． 2．如图，如果，求证：；．观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（已知）， （________①__________）， ∴ 又∵（已知）， ∴____②_____（______③_________）， ∴（_________④_____________________）， 又∵（______⑤___________） ∴（___________⑥________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（_____________⑦___________）． 3．根据解答过程填空． 已知：如图，，平分交于点F，．求证：． 证明：∵ ∴（ ）， ∴ ∵平分（已知）， ∴（ ）， ∴ ∵， ∴（ ）， ∴（ ）， ∴ 4．把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 如图，点，，在同一条直线上，已知平分，，，求证． 证明：∵（已知） ∴______（______） ∴______， ∵平分（已知） ∴____________（角平分线定义） ∵（已知） ∴______（______）， ∴（______）． 5．看图填空，并在括号内注明说理依据． 如图，已知，，，，则与平行吗？与平行吗？ 解：∵，（已知）， ∴． ∴____________________（____________________）． ∵（已知）， ∴（__________）． ∴__________． 同理可得，__________． ∴． ∴____________________（同位角相等，两直线平行）． 【题型10 利用平行线的性质求角度】 1．如图，，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线，点在上，连接，，且，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，，且平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，，则∠3的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型11 平行线的性质与三角板综合】 1．如图，将直尺与含角的直角三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数为____________． 2．如图，直线，一块含角的直角三角板如图所示放置，若．则______． 3．将一个直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放（角的顶点在直尺的边上），若，则__________． 4．如图将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，则的度数________． 【题型12 平行线中折叠问题】 1．已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B沿向下折叠至点N，M处，将点C，D沿折叠至点P，K处，若，则的度数为_______． 2．在中，，点D，E分别是边两个动点．将沿折叠得到，点A的对应点为点F，的平分线交直线于点G．若边与的一条边平行，，则的度数为______． 3．如图，将长方形纸片沿折叠，使得点，分别落在，的位置，再沿折叠，使得点，分别落在，的位置，已知，，，若，则___________°（用含的代数式表示）． 【题型13 平行线在实际生活中的应用】 1．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是_______度． 2．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光从水中射向空气时，会发生折射，且在水中平行的光线射向空气中后也互相平行．如图，容器水平放置，平行光线，从水中射向空气时发生折射，已知，，则________． 3．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为_______． 4．某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为______． 5．2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于______________． 【题型14 平行线的性质解答题综合】 1．如图，在三角形中，点、点分别是边上的点，点、点是边上的点，连接和 ，若． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若是的角平分线，，求的度数； 2．如图，点在的延长线上，，交于点，且，． (1)求证：； (2)若，点、在线段上，且，射线平分，求的度数． 3．如图，在三角形中，点在边上，点E在边上，过点作交边于点，与的延长线交于点，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，，求的度数． 4．如图， ，点E，F在直线上，点G在直线上，与交于点H，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，，求的度数． 【题型15 平行线的性质与判定综合填空】 1．如图是小志在一次野外拓展训练活动中的行动路线，从A地出发沿北偏东方向到补给地B，从补给地B沿北偏西方向到C地与伙伴汇合，小志通过指南针确定：从C地出发沿着与BC垂直的方向前进，就可以保持与AB的方向一致，到达目的地D，并且距离最短。小志解释理由如下，请你填空： 因为（已知）， 所以（①_______），且CD最短． 因为（已知）， 所以②_______，（③_______） 因为， 所以④_______°． 因为（已知）， 所以⑤_______°， 所以⑥________， 所以⑦________（⑧________）． 2．如图，在中，、是上的点，是上的点，、是上的点，如果于点，连接、、，其中，．求证：． 请将下面的证明过程补充完整： ，（已知）， （理由：①______）， ②______（理由：③______）， （理由：④______）， （已知）， （⑤______）（⑥______）， 即， （理由：⑦______）． 3．已知：如图，，，垂足分别为D，F，．试说明：平分． 解：因为，（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以____________（___________）． 所以____________（两直线平行，内错角相等）， ____________（___________）． 因为（已知）， 所以____________（___________）． 所以平分（角平分线的定义）． 4．如图，，，，求证：； 请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内或横线上注明条件或理由． 证明： （已知）， （① ）， （② ）， ③ （④ ）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， ， （内错角相等，两直线平行），     ⑤ （⑥ ）， （已知）； ， （⑦ ）， （⑧ ）． 【题型16 根据平行线的性质探究角度关系】 1．已知直线被直线所截，交点分别为点、，平分交于点，且． (1)如图1，试说明； (2)点是射线上一交点，（不与重合），平分、交于点，过点作，交于点． ①如图2，当点在线段上时，若．求的大小； ②在点运动过程中，设，试探索之间的数量关系，并说明理由． 2．已知直线，直线分别交于点． 【问题提出】 (1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______； 【问题迁移】 (2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系． 3．直线分别交直线，于点点在直线与直线之间． 【初步感知】 (1)如图①，若，则直线，的位置关系是_______； 【问题探究】 (2)如图②，，交于点，点在射线上，点在射线上，且，若，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图③，，，点在射线上，与的平分线交于点，探究与之间存在的数量关系． 4．如图，点，分别在直线，上，点是直线与外一点，且点，，三点不在同一直线上，连接，． 【问题提出】 (1)如图1，若，，，探究直线，的位置关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图2，过点作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线，的位置关系是__________； 【问题迁移】 (2)如图3，直线、平分交的延长线于点，平分交的延长线交于点，交于点，若，，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图4，直线在上方，且，若点在直线上运动，平分，平分交直线于点，连接，试探究与之间存在的数量关系． 【题型17 判断是否为真（假）命题】 1．①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤同位角相等；其中假命题有______个． 2．下列6个命题中， （1）相等的角是对顶角 （2）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （4）有一条公共边且互补的两个角互为邻补角 （5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等 （6）如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行．为真命题的是_____．（写序号） 3．命题“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是_________命题．（填“真”或“假”） 4．下列命题中是真命题的有__________．（填序号） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平行于同一条直线的两条直线互相平行；③同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；④互补的两个角是邻补角；⑤从直线外一点作这条直线的垂线段，叫作这点到这条直线的距离． 【题型18 将命题改写为如果......那么......的形式】 1．将“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式为______． 2．把命题“等角的余角相等”改写成“如果......那么......”的形式___． 3．将命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 4．把命题“负数没有平方根”写成“如果……，那么……”的形式：_____． 【题型19 生活中的平移现象】 1．国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动．下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图是马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（     ） A．B．C． D． 3．2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示的图案分别是几种国产汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【题型20 利用平移的性质求解】 1．如图，将一块三角尺沿一条直角边所在的直线向右平移若干个单位长度到的位置．若四边形的周长为a，的周长为b，则向右平移的单位长度为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将沿射线平移至（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F）处，使得点E为的中点，连接．若，则的长为（     ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 3．如图，点是长方形内部一点，连接、，将三角形沿方向向上平移至三角形的位置，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型21 利用平移解决实际问题】 1．有一个长方形花圃，为方便行入观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 2．为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建道路，道路的宽忽略不计，若草坪的长是，宽是，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 4．如图，长方形花园中，，，花园中建有两条宽度一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（   ） A．640 B．576 C．540 D．600 【题型22 平移中作图问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．在图中画出三角形，并求三角形的面积． (3)过B画y轴的平行线交线段于点D，直接写出点D的坐标_____________ 2．如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）． (1)在图中画出三角形； (2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是______； (3)在平移过程中，求线段扫过的图形的面积． 3．如图，三角形的顶点落在边长为1个单位长度的小正方形网格的格点上． (1)将三角形向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形，请画出三角形．（、、分别对应、、） (2)图中与相等的角是______． (3)连接、、，图中与相等的线段有______． 4．先将方格图中的图形向左平移5格，然后再向下平移3格，作出平移后的图形． 【题型23 平移解答题综合】 1．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线，，且和直角三角形相交，，． (1)在图1中，，则的度数为______； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，试说明和的数量关系； (3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当平分时，此时发现和又存在新的数量关系，请直接写出和的数量关系． 2．平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用．它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用．某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小．如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点M，N分别在直线，上，，，  ． (1)如图1，直接写出______ (2)如图2所示，李明将一个含，角的直角三角形 的顶点G与点M重合，点E落在直线上，顶点 G固定不动，将点E在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即，，保持不变，直角三角尺固定不动，且，当点E运动到点N重合时停止(如图3所示)，问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请直接写出的大小(用α的代数式表示)； (3)王芳将直角三角形从图3位置沿两条平行线平移，始终保持，分别作和的角平分线和， 交直线于点 R，交直线于点 Q，与交于点H，求的大小．(要求：在备用图中画出图形，写出过程) 3．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是______（用含的式子表示）． 4．如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 5．直线，一副三角尺中，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，两线相交于点（图3），直接写出的度数． 1．将一副三角板按如图所示摆放，，点在线段上，点在线段上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G．若，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 3．如图，长方形纸片沿线折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在三角形中，，将周长为12的三角形沿方向平移2个单位得到三角形，连接，则下列结论：①，；②；③四边形的周长是18；④，其中正确的有______（填序号） 5．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 6．已知：，点C在点D的右侧，B是AG上一动点，连接平分，DE平分，所在直线交于点E，，．则的度数是______． 7．如图，，点是直线上一点，是直线与直线之间一点，连接，． (1)求证：； (2)如图，过点作平分，过点作交的角平分线于点，过点作交于点，探索和的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，是直线的一点，请直接写出和的数量关系． 1．如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为，一光束从点处出发，投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处，已知，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，，当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 3．如图，，，则，，之间关系是（    ）． A． B． C． D． 4．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1，动车顶上的“受电弓”是动车从接触网取得电能的电气设备，保证了动车高速顺畅地运行．“受电弓”示意图如图2所示．已知在某一时刻，，，则的度数为______． 5．【跨学科】潜望镜模型由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置，镜筒上下壁和直管左右壁可看作分别相互平行的直线，是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足，．设，． (1)如图1，若光线与直管壁平行，求的度数；小昆的同学的解答过程如下，请你帮她补充完整；（括号里填理由） 解：∵_____（已知），∴（平角的定义）， ∵（已知），∴_________（_________）， ∵（已知），∴； (2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经过平面镜上的点O处反射到平面镜上点C处，并调整平面镜的位置，最终使，则此时与满足怎样的数量关系？说明理由． 1 / 97 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业02 平行线 【知识点1 平行线及其判定】 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a∥b。 形如“在同一平面内永不相交的两条直线”的图形是平行线的基本模型，其中“同一平面内”是前提条件。 注：判断两条直线是否平行，应根据以下两个标准判断： ①是否在同一平面内； ②是否永不相交。 若两个标准都符合，则是平行线；若只符合其中一个标准，则不是。 2.平行线的判定方法： ①同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行； ③同旁内角互补，两直线平行； ④同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 根据平行线的判定，若同位角、内错角、同旁内角的关系满足判定条件，则可推出两直线平行。 【知识点2 平行线的性质】 1.定义： 两条平行线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角具有特定的数量关系，这些关系就是平行线的性质。 形如“两条平行线被第三条直线所截”的图形是平行线性质的基本模型，其中的截线也叫“截线”。 注：平行线的性质与判定的区别，应根据以下两个标准判断： ①条件是“两直线平行”还是“角的关系”; ②结论是“角的关系”还是“两直线平行”。 2.平行线的性质内容： ①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角互补。 根据平行线的性质，若两直线平行，则对应的同位角、内错角相等，同旁内角互补。 【知识点3 平移】 1.定义： 把一个图形沿某一方向移动，得到一个新的图形，这种图形的移动叫做平移。 其中，移动的方向和距离叫做平移的方向和平移距离。 注：判断一个图形的运动是否为平移，应根据以下两个标准判断： ①图形的形状、大小是否不变； ②图形上所有点是否都沿同一方向、移动相同的距离。 若两个标准都符合，则是平移；若只符合其中一个标准，则不是平移。 2.平移的性质： 平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置； 平移后，对应点的连线平行(或在同一直线上)且相等，对应线段平行(或在同一直线上)且相等，对应角相等。 根据平移的性质，若图形平移了一定距离，则所有对应点的连线都等于平移距离。 【知识点4 定义、命题、定理】 1.定义：对某一名称或术语的含义加以描述，作出明确规定，就是它们的定义。形如“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”就是角的定义。 注：判断一个语句是否为定义，应根据以下两个标准判断： ①是否是对某一名称或术语的含义的描述； ②是否作出了明确的规定。 若两个标准都符合，则是定义；若只符合其中一个标准，则不是定义。 2.命题： 判断一件事情的语句，叫做命题。 命题由题设(已知事项)和结论(由已知事项推出的事项)两部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式。 注：判断一个语句是否为命题，应根据以下两个标准判断： ①是否是一个完整的句子； ②是否对某件事情作出了判断(肯定或否定)。 若两个标准都符合，则是命题；若只符合其中一个标准，则不是命题。 命题分为真命题和假命题：题设成立，结论一定成立的是真命题；题设成立，结论不一定成立的是假命题。 3.定理： 经过推理证实的真命题叫做定理。 定理可以作为继续推理的依据，如“对顶角相等”“两直线平行，同位角相等”都是定理。 根据定理的定义，若一个命题是经过推理证实的真命题，则它是定理；定理一定是真命题，但真命题不一定是定理(如公理)。 【题型1 两直线的位置关系】 1．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：同一平面内不重合的两条直线，位置关系只有相交和平行两种，故①正确； 若给出的点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，只有过直线外一点才有且只有一条直线和已知直线平行，故②错误； 当与不平行时，不存在过点且满足，的直线，故③错误； 平行具有传递性，若直线，，则，故④正确； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线性质，故⑤正确； 综上，正确的语句共个， 故选：B． 2．下列说法中正确的有（   ）个． ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角性质、余角补角性质、直线位置关系、平行线性质，逐个判断各说法的正误，统计正确的个数即可． 【详解】解：①对顶角相等，是对顶角的基本性质，说法正确； ②设锐角为，则，则其补角为，余角为， ， ， 即一个锐角的补角比这个角的余角大，说法正确； ③该说法缺少前提“在同一平面内”，空间中还存在异面直线，说法错误； ④同角的补角相等，是补角的基本性质，说法正确； ⑤该说法缺少前提“过直线外一点”，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，说法错误； 综上，正确的说法共3个． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．过一点只能画一条直线 B．两点之间，直线最短 C．若两个角相等，则它们是对顶角 D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 【答案】D 【分析】根据直线的定义，线段的性质，对顶角和平行线的定义，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵ 过一点可以画出无数条直线，∴ 选项A错误； ∵ 两点之间线段最短，∴ 选项B错误； ∵ 相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分出的两个角相等但不是对顶角，∴ 选项C错误； ∵ 由平行线的定义可知，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，∴ 选项D正确. 4．下列说法中正确的是（   ） A．两条直线的位置关系只有两种：相交和平行． B．有且只有一条直线垂直于已知直线． C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． 【答案】C 【详解】解：A、未说明“在同一平面内”，缺少前提条件，说法错误，故A不符合要求； B、未说明“在同一平面内，过一点”，同一平面内任意一条已知直线有无数条垂线，说法错误，故B不符合要求； C、根据平行公理的推论，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，说法正确，故C符合要求； D、点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身，说法错误，故D不符合要求． 【题型2 用直尺、三角板画平行线】 1．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是正方形，点，，，都在格点上，请利用网格完成下面画图并回答问题： (1)过点画直线（点E是格点）； (2)过点P画的垂线（点F是格点），交于点C； (3)在（2）中，线段______的长度表示点P到直线的距离，与的大小关系是______，依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，，垂线段最短 【分析】（1）根据平行线的判定定理解题； （2）根据垂线的定义解题即可； （3）根据垂线段最短解题即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， （3）解：线段的长度表示点P到直线的距离， ∴， 依据是垂线段最短． 2．如图，P是的边上的一点，点A，O，P都在格点上． (1)请同学们借助三角板或直尺，在方格纸上按要求画图，并标注相应的字母（保留作图痕迹）．要求：过点P画的垂线，交于点C；过点P画的垂线，垂足为点D； (2)在第（1）问基础上，完成下面填空： ①线段______的长度表示点P到直线的距离； ②______（填“”“”或“”），理由是______； (3)请同学们借助三角板或直尺，或利用尺规作图的方法，过点A画的平行线（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，点到直线的距离，垂线段最短 (3)见解析 【分析】（1）根据题意即可作出垂线； （2）①根据点到直线的距离的定义判断即可；②根据垂线段最短，可得结论； （3）取格点E，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求；直线即为所求； （2）解：①线段的长度表示点到直线的距离； ②根据垂线段最短得到，理由是点到直线的距离，垂线段最短； （3）解：如图，直线即为所求． 3．如图，点，，，均在正方形方格纸的格点上，按要求完成下列问题． (1)经过点画的平行线，交于点； (2)过点，画的垂线段，交于点； (3)连接，； (4)线段，，，中，最短的线段为______，理由是______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)，垂线段最短． 【分析】（）根据网格作平行线即可； （）根据题意画出垂线段即可； （）根据题意画图即可； （）由垂线段最短直接判定即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图， （4）解：线段，，，中，最短的线段为，理由是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 4．在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，A，B，C，E为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） (1)过点E画直线； (2)在线段上找一点P，使得点P与点E距离最短，在图中作出点P，此时最短蕴含的数学道理是______； (3)点Q为图中的格点，点Q与点E不重合，满足的点Q有______个．请在图中标注出来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；垂线段最短 (3)4，见解析 【分析】（1）先确定的方向（从到是向右 3 格、向上 3 格），再从点出发，按相同方向（向右 3 格、向上 3 格）找到格点，连接直线即可； （2）过点作的垂线，此时最短，依据是：垂线段最短； （3）要使，则点必须在与平行且到的距离等于点到的距离的两条直线上，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：点P是过E作的垂线的垂足，此时最短， 依据是：垂线段最短； （3）解：要使，则点必须在与平行且到的距离等于点到的距离的两条直线上，在图中，这样的格点（不与重合）共有,,,共4个. 【题型3 平行线公理】 1．如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是____________． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴点、、在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 2．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3．平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵若，，，，，，…， ∴，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：平行． 4．如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是____________． 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行公理推论，根据平行于同一条直线的两条直线平行即可求解，正确理解平行公理推论是解题的关键， 【详解】解：∵，， ∴， 理由：平行于同一条直线的两条直线平行， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【题型4 利用同位角相等证明平行】 1．如图，直线分别与直线、相交于点，平分，平分，，试说明：． 【答案】说明见解析 【分析】先由角平分线定义及已知条件得到，再等量代换得到同位角相等即可说明． 【详解】解： 平分，平分， ，， ， ， ， ， ． 2．如图，，垂足为，，，试判断与是否平行，并说明理由． 【答案】，见解析 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，AB与CD相交于点O，OA平分，．判断CB与EO的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解题的关键． 由角平分线的定义得，结合对顶角的性质可证，从而可得． 【详解】解：． 理由：平分， ． ， ． 又， ， ． 4．如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 【题型5 利用内错角相等证明平行】 1．如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质以及角度的比例求解即可； （2）由角平分线的性质可得角度的关系，再根据内错角相等，即可证明平行． 【详解】（1）解：平分， ， ， ． ． ． （2）解：平分平分， ． ， ， ． ． ． 2．如图，直线，被直线所截，为与的交点，，垂足为． (1)若恰好平分，则的度数为________． (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义即可求解． （2）证明即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴. （2）证明： ， ， ， ， ， ， ． 3．如图，直线，被直线所截，H为与的交点，，垂足为H． (1)若恰好平分，则的度数为______； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（1）证明，结合角平分线的含义可得答案； （2）证明即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴. （2）证明： ， ， ， ， ， ， ． 4．如图，已知，，垂足为点O，是一条线段． (1)过点E作的垂线，垂足为点F，判断与的位置关系，并说明理由． (2)若点E位于点O北偏西，求和的度数． 【答案】(1)画图见解析，，理由见解析 (2)， 【分析】本题考查的是画垂线，平行线的判定，角的和差运算，方向角的含义. （1）先画图，再证明，进一步可得结论. （2）由方向角的含义可得 ，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：如图： ， 理由如下：， ， ， ， ， . （2）解：位于点O北偏西， ， ， ， ， . 【题型6 利用同旁内角互补证明平行】 1．如图，点为直线上一点，，，平分，．那么直线和平行吗？为什么？ 【答案】直线和平行，理由见解析 【分析】利用角平分线的定义与垂直的定义求出，从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论． 【详解】解：直线和平行，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ． 2．如图，，与互余． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，试说明：． 【答案】(1)   见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义及两角互余的定义得到，即可判定； （2）结合（1）得到，再由得到，即可判定． 【详解】（1）．理由如下： ， ． 与互余， ， ， ． （2）解：由（1）知，． ， ， ． 3．如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，掌握角平分线的性质和同旁内角互补，两直线平行的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线定义表示出，再用减去，即可得到的表达式； （2）通过角平分线和角度和差推出，结合得到，利用同旁内角互补，两直线平行证明． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴， ． 4．如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 5．如图，直线与射线交于点，平分，连接，过点作是射线上一点，连接，且．若，求与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质以及垂直的定义，熟练掌握角的等量代换和利用内错角相等判定两直线平行是解题的关键．通过角的关系，利用平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等 ）以及垂直的性质，推导与的位置关系． 【详解】解：，理由如下： ∵ ， ∴ 又∵ 平分，即 ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∵ ∴ ∴ 【题型7 利用平行线的判定判断平行】 1．如图，点E在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解： ， ， 故A选项符合题意； ， ，不能判定， 故B选项不符合题意； ， ，不能判定， 故C选项不符合题意； ， ，不能判定， 故D选项不符合题意． 2．如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，根据“内错角相等，两直线平行”可判断； B．，无法判断； C．，根据“同位角相等，两直线平行”可判断； D．，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判断． 3．如图，不能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由可根据“内错角相等，两直线平行”判定，故不符合题意； B、由，不能判定，故符合题意； C、由可根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，故不符合题意； D、由可根据“内错角相等，两直线平行”判定，故不符合题意； 故选：B． 4．如图，下列条件中，能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；逐一判定即可． 【详解】解：A选项，，根据同位角相等，两直线平行，能判定，符合题意； B选项，，根据内错角相等，两直线平行，能判定，但不能判定，不符合题意； C选项，，根据内错角相等，两直线平行，能判定，但不能判定，不符合题意； D选项，，能判定，但不能判定，不符合题意． 【题型8 平行于同一直线的两直线平行】 1．在同一平面内，不重合的三条直线、、中，如果，，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据同一平面内直线位置关系的判定定理，直接推导与的位置关系即可. 【详解】解：∵在同一平面内，垂直于同一条直线的两条不重合的直线互相平行， 又∵，，且与不重合， ∴，即与的位置关系是平行． 2．在同一平面内，有三条不重合的直线a，b，c，（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用平行线与垂直的性质逐一判断选项即可. 【详解】解：A、若，，则，原说法错误； B、若，，则，原说法错误； C、若，，则，原说法正确； D、若，，则，原说法错误. 3．在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，从题目中找出各直线间的位置关系是解题的关键． 根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴． …… 可知从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，， ∵ ， ∴ ． 故选：A． 4．在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过点作的垂线，则直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．平行或垂直 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键．根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断． 【详解】解：∵过直线外一点作的垂线， ∴ ∵过点作的垂线， ∴ ∴ 故选：C． 【题型9 利用平行线的判定填空】 1．填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由． 如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：∵平分，平分（已知）， ∴ ， （ ）． 又∵（已知）， ∴ ． 又∵（已知）， ∴ ， ∴（ ）． 【答案】；；角平分线的定义；；；；同位角相等，两直线平行． 【分析】根据平行线的判定定理及已知条件逐步推导论证即可． 【详解】证明：平分，平分（已知）， ，（角平分线的定义）． 又（已知）， ． （已知）， ， （同位角相等，两直线平行）． 2．如图，如果，求证：；．观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（已知）， （________①__________）， ∴ 又∵（已知）， ∴____②_____（______③_________）， ∴（_________④_____________________）， 又∵（______⑤___________） ∴（___________⑥________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（_____________⑦___________）． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定解答即可． 【详解】证明：∵（已知）， （对顶角相等）， ∴ 又∵（已知）， ∴（等式的性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（邻补角定义） ∴（等式的性质）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 3．根据解答过程填空． 已知：如图，，平分交于点F，．求证：． 证明：∵ ∴（ ）， ∴ ∵平分（已知）， ∴（ ）， ∴ ∵， ∴（ ）， ∴（ ）， ∴ 【答案】证明过程见详解 【分析】根据平行线的判定方法，角平分线的定义，平行线的性质进行作答即可． 【详解】证明：∵ ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴． 4．把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 如图，点，，在同一条直线上，已知平分，，，求证． 证明：∵（已知） ∴______（______） ∴______， ∵平分（已知） ∴____________（角平分线定义） ∵（已知） ∴______（______）， ∴（______）． 【答案】，垂直的定义，，，，，内错角相等，两直线平行． 【分析】根据垂直的定义及角平分线的定义得出，根据内错角相等，两直线平行即可得出结论． 【详解】解：∵（已知） ∴（垂直的定义） ∴， ∵平分（已知） ∴（角平分线定义） ∵（已知） ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 5．看图填空，并在括号内注明说理依据． 如图，已知，，，，则与平行吗？与平行吗？ 解：∵，（已知）， ∴． ∴____________________（____________________）． ∵（已知）， ∴（__________）． ∴__________． 同理可得，__________． ∴． ∴____________________（同位角相等，两直线平行）． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；垂直的定义；；；； 【分析】根据已知得，然后根据“同位角相等，两直线平行”得，再推出，最后根据“同位角相等，两直线平行”可得证． 【详解】解：∵，（已知）， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∵（已知）， ∴（垂直的定义）． ∴． 同理可得，． ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． 【题型10 利用平行线的性质求角度】 1．如图，，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，得到，由平分，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 2．如图，直线，点在上，连接，，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，由得出，进而求出的度数，再由利用同旁内角互补即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，，且平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据平行线的性质得出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 4．如图，已知，，，则∠3的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作，如图， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型11 平行线的性质与三角板综合】 1．如图，将直尺与含角的直角三角尺按如图所示的位置摆放．若，则的度数为____________． 【答案】/125度 【分析】根据平行线的性质得出，再由三角形内角和定理及对顶角相等求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据题意得：， ∴， ∵， ∴． 2．如图，直线，一块含角的直角三角板如图所示放置，若．则______． 【答案】 【分析】过点M作，则，由平行线的性质得到，根据角的和差关系求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点M作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．将一个直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放（角的顶点在直尺的边上），若，则__________． 【答案】/140度 【分析】先利用“两直线平行，同位角相等”求出的度数，然后利用“两直线平行，内错角相等”求出的度数即可． 【详解】解：如图， 由题意，知，， ∵，， ∴， ∵， ∴. 4．如图将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，则的度数________． 【答案】/33度 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∴． 【题型12 平行线中折叠问题】 1．已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B沿向下折叠至点N，M处，将点C，D沿折叠至点P，K处，若，则的度数为_______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，证明，则；当在下方时，延长，交于点，证明，则． 【详解】解：当在上方时，延长、交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在下方时，延长，交于点， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：或． 2．在中，，点D，E分别是边两个动点．将沿折叠得到，点A的对应点为点F，的平分线交直线于点G．若边与的一条边平行，，则的度数为______． 【答案】或或 【分析】根据题目与的一条边平行，先确定线段的位置，再利用平行线和角平分线的性质求得对应角的度数求出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵在中，，， ∴， 当时，①如图1所示： ， ∵， ∴， ∴； ②如图2所示： ， ∵， ∴， ∴； 当，如图3所示： ， ∵， ∴， 在中，， ∴． 3．如图，将长方形纸片沿折叠，使得点，分别落在，的位置，再沿折叠，使得点，分别落在，的位置，已知，，，若，则___________°（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据翻折的性质以及平行线的性质得出相等的角，根据垂直得出直角，然后列出方程求解． 【详解】解：由翻折的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且由翻折可得， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【题型13 平行线在实际生活中的应用】 1．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是_______度． 【答案】 137 【分析】 根据题意得出 ，，利用平行线的性质分别求出 和 的度数，进而求和． 【详解】解：由题意可知， ，． ， ． ， ． ， ． . ， ． ． 2．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光从水中射向空气时，会发生折射，且在水中平行的光线射向空气中后也互相平行．如图，容器水平放置，平行光线，从水中射向空气时发生折射，已知，，则________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵光线在空气中也平行，.， ∴, ∵液面和底面平行，， ∴, ∴． 3．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为_______． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为______． 【答案】/49度 【分析】本题考查平行线性质的应用，根据某一时刻在阳光照射下的光线互相平行，可得，，再代入计算即可．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴的大小为． 故答案为：． 5．2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于______________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质的实际应用，作，，则，根据平行线得到，，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，，点在点右边，点在点右边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与水平线的夹角为， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型14 平行线的性质解答题综合】 1．如图，在三角形中，点、点分别是边上的点，点、点是边上的点，连接和 ，若． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若是的角平分线，，求的度数； 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质得出，等量代换可得出，进而可得出． （2）先求出，在根据角平分线的定义得出，然后利用平行线的性质得出． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ． （2）解：， ， 是的角平分线， ， ， ． 2．如图，点在的延长线上，，交于点，且，． (1)求证：； (2)若，点、在线段上，且，射线平分，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； （2）设，结合平行线的性质可得，则，由角平分线的定义可得，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 3．如图，在三角形中，点在边上，点E在边上，过点作交边于点，与的延长线交于点，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质得出，等量代换可得出，进而可得出． （2）由平行线的性质得出，，由角的和差关系得出，由平行线的性质得出，进而可得出． 【详解】（1）解：． 理由：， ， ， ， ． （2）解：， ，， ，， ， 解得， ， ， ． 4．如图， ，点E，F在直线上，点G在直线上，与交于点H，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) ，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质可得，继而可得，从而可得结论； （2）由结合已知可得；再由两直线平行，同旁内角互补可得，结合已知即可求得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； ∵， ∴， 又， ∴， ∴． 【题型15 平行线的性质与判定综合填空】 1．如图是小志在一次野外拓展训练活动中的行动路线，从A地出发沿北偏东方向到补给地B，从补给地B沿北偏西方向到C地与伙伴汇合，小志通过指南针确定：从C地出发沿着与BC垂直的方向前进，就可以保持与AB的方向一致，到达目的地D，并且距离最短。小志解释理由如下，请你填空： 因为（已知）， 所以（①_______），且CD最短． 因为（已知）， 所以②_______，（③_______） 因为， 所以④_______°． 因为（已知）， 所以⑤_______°， 所以⑥________， 所以⑦________（⑧________）． 【答案】①垂直的定义，②，③两直线平行，同旁内角互补，④，⑤，⑥，⑦，⑧内错角相等，两直线平行 【分析】根据垂直的定义和平行的判定和性质解答即可． 【详解】略． 2．如图，在中，、是上的点，是上的点，、是上的点，如果于点，连接、、，其中，．求证：． 请将下面的证明过程补充完整： ，（已知）， （理由：①______）， ②______（理由：③______）， （理由：④______）， （已知）， （⑤______）（⑥______）， 即， （理由：⑦______）． 【答案】①垂直的定义；②；③同位角相等，两直线平行；④两直线平行，内错角相等；⑤；⑥；⑦内错角相等，两直线平行 【分析】运用平行线的性质和判定定理进行推理即可． 【详解】证明：，（已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， ， 即， （内错角相等，两直线平行）． 3．已知：如图，，，垂足分别为D，F，．试说明：平分． 解：因为，（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以____________（___________）． 所以____________（两直线平行，内错角相等）， ____________（___________）． 因为（已知）， 所以____________（___________）． 所以平分（角平分线的定义）． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；；；；；两直线平行，同位角相等；；；等量代换． 【分析】首先根据平行线的判定证明两条直线平行，再根据平行线的性质证明有关角相等，运用等量代换的方法证明所分的两个角相等，即可证明． 【详解】解：因为，（已知）， 所以（垂直的定义）． 所以 （同位角相等，两直线平行）． 所以 （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 因为（已知）， 所以 （等量代换）． 所以平分（角平分线的定义）． 4．如图，，，，求证：； 请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内或横线上注明条件或理由． 证明： （已知）， （① ）， （② ）， ③ （④ ）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， ， （内错角相等，两直线平行），     ⑤ （⑥ ）， （已知）； ， （⑦ ）， （⑧ ）． 【答案】①对顶角相等；②等量代换；③；④同位角相等，两直线平行；⑤；⑥两直线平行，内错角相等；⑦同旁内角互补，两直线平行；⑧平行于同一条直线的两直线互相平行 【分析】先根据已知和对顶角得到，推出，得到，进而得到，推出，得到，推出，然后根据等量代换即可得证． 【详解】证明： （已知）， （对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， ， （内错角相等，两直线平行），     （两直线平行，内错角相等）， （已知）； ， （同旁内角互补，两直线平行）， （平行于同一条直线的两直线互相平行）． 【题型16 根据平行线的性质探究角度关系】 1．已知直线被直线所截，交点分别为点、，平分交于点，且． (1)如图1，试说明； (2)点是射线上一交点，（不与重合），平分、交于点，过点作，交于点． ①如图2，当点在线段上时，若．求的大小； ②在点运动过程中，设，试探索之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)解：平分， ， ， ， ； (2)①； ②与之间的数量关系为或，理由如下： 当点在线段的延长线上时，设， 平分，平分， ，， ， ，即， ， ，即， ； 当点在线段上时，设， 平分，平分， ， ， ，即， ， ，即， ； 综上，与之间的数量关系为或． 【分析】（1）根据角平分线的定义结合已知条件推出，即可得证； （2）①根据平行线的性质，角平分线的定义，以及角的和差关系进行求解即可；②分点在线段的延长线上和点在线段上两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：①，， ， 平分， ， ，平分， ， ， ； ②略 2．已知直线，直线分别交于点． 【问题提出】 (1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______； 【问题迁移】 (2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出，可得，可证明，从而可证明； （2）求出，由可得，由平分 平分，求出，再根据三角形外角的性质可得结论； （3）分类讨论，过拐点作平行线：过R作，过Q作，然后设参，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分 平分， ∴， ∴； （3）解：设， 过R作，过Q作， 则，， 第一种情况：如图，当点Q在线段上时， 则，， 则， ∴，， ∴， ∴， ∴； 第二种情况：如图，当点Q在点E上方时， 此时， 则， ∴， ∵， ∴； 第三种情况：如图，当点Q在点F下方时， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 3．直线分别交直线，于点点在直线与直线之间． 【初步感知】 (1)如图①，若，则直线，的位置关系是_______； 【问题探究】 (2)如图②，，交于点，点在射线上，点在射线上，且，若，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图③，，，点在射线上，与的平分线交于点，探究与之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)与之间存在的数量关系是或或 【分析】（1）过点I作，根据平行线的判定和性质即可证明； （2）根据题意得出，．过点F作，利用平行线的判定和性质得出，过点I作，结合图形即可求解； （3）设，，得出，．确定，，，然后分三种情况分析：①当点I，Q在直线的两侧时，②当点I，Q在直线的左侧时，③当点I，Q在直线的右侧时，作出相应图形，求解即可． 【详解】（1）解：过点I作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ，． 如图②，过点F作． ， ，， ，      ， , ， 过点I作， ， ，，      ， ． （3），， ，， 与的平分线交于点Q， 设，， ，． ，，，      ①当点I，Q在直线的两侧时，如图③-1，过点I作． ， ，， ， 过点Q作， ， ，， ， ．      ②当点I，Q在直线的左侧时，如图③-2． 同①，得， ． ．      ③当点I，Q在直线的右侧时，如图③-3． 同①，得，． ． 综上所述，与之间存在的数量关系是或或． 4．如图，点，分别在直线，上，点是直线与外一点，且点，，三点不在同一直线上，连接，． 【问题提出】 (1)如图1，若，，，探究直线，的位置关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图2，过点作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线，的位置关系是__________； 【问题迁移】 (2)如图3，直线、平分交的延长线于点，平分交的延长线交于点，交于点，若，，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图4，直线在上方，且，若点在直线上运动，平分，平分交直线于点，连接，试探究与之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用平行线的判定和性质进行证明； （2）根据平行线的性质以及角平分线的定义求出相关角的度数，过点作，得出，然后根据平行线的性质以及角平分线的定义求解； （3）根据角平分线的定义得出相等的角，设，，表示出相关的角，过点作，得出，分两种情况进行讨论，利用平行线的性质进行求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：因为， 所以，， 因为平分， 所以，． 所以． 如图③，过点作，且， 所以． 所以，． 因为平分， 所以． 因为． 所以． 所以． 所以； （3）解：因为平分，平分， 所以，． 设，． 所以， ． ①当点在直线左侧时，如图，过点作，且， 所以． 所以， ， ，． 所以，． 所以； ②当点在直线右侧时，如图，过点作，且， 所以． 所以， ， ， ． 所以， ． 所以． 综上所述，与之间存在的数量关系为或． 【题型17 判断是否为真（假）命题】 1．①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤同位角相等；其中假命题有______个． 【答案】 【分析】判定一个命题是真命题通常需要严格的证明，但判定一个命题是假命题，通常只需要举出一个反例． 【详解】解：①平行于同一直线的两条直线平行，是真命题． ②缺少“在同一平面内”的前提，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，是假命题． ③缺少“过直线外一点”的前提，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，是假命题． ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题． ⑤“同位角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，不一定成立，是假命题． 因此假命题共有个． 2．下列6个命题中， （1）相等的角是对顶角 （2）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （4）有一条公共边且互补的两个角互为邻补角 （5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等 （6）如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行．为真命题的是_____．（写序号） 【答案】（3） 【分析】根据对顶角、平行公理、邻补角、平行线的性质等相关初中数学知识点，逐一判断每个命题的真假即可． 【详解】解：（1）相等的角不一定是对顶角，因此（1）是假命题； （2）该命题未限定“在同一平面内”，因此（2）是假命题； （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合平行公理，因此（3）是真命题； （4）邻补角需要满足两个角有公共边，且另一边互为反向延长线，仅满足有一条公共边且互补的两个角不一定是邻补角，因此（4）是假命题； （5）只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，因此（5）是假命题； （6）同一平面内，两条直线不垂直，也可能相交不平行，因此（6）是假命题． 3．命题“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”是_________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【详解】解：根据平行公理可知，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，因此该命题是真命题. 4．下列命题中是真命题的有__________．（填序号） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平行于同一条直线的两条直线互相平行；③同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；④互补的两个角是邻补角；⑤从直线外一点作这条直线的垂线段，叫作这点到这条直线的距离． 【答案】②③/③② 【详解】解：①“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的结论需要添加“在同一平面内”的前提才能成立，题目未给出前提，因此①是假命题； ②根据平行公理的推论可知，平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此②是真命题； ③若同旁内角互补，则两个同旁内角的和为，角平分线将两个同旁内角各分为一半，两个半角的和为， 因此两条角平分线的夹角为，即互相垂直，因此③是真命题； ④互补仅要求两个角的和为，不要求两个角有公共顶点与公共边，邻补角不仅要求互补还要求位置相邻，因此互补的两个角不一定是邻补角，因此④是假命题． ⑤从直线外一点作这条直线的垂线段，垂线段的长度叫作这点到这条直线的距离，距离是长度不是垂线段本身，因此⑤是假命题． 【题型18 将命题改写为如果......那么......的形式】 1．将“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式为______． 【答案】如果两个角是邻补角，那么这两个角互补 【详解】解：命题“邻补角互补”的题设为：两个角是邻补角，结论为：这两个角互补， 因此改写为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． 2．把命题“等角的余角相等”改写成“如果......那么......”的形式___． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等 【分析】命题由题设和结论两部分组成，将命题改写为“如果...那么...”的形式时，“如果”后接题设，“那么”后接结论，只需找出原命题的题设与结论即可进行改写. 【详解】解：命题“等角的余角相等”的题设是两个角相等，结论是这两个角的余角相等，因此改写为：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等. 3．将命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【分析】找出原命题的题设与结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中， 改写为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 4．把命题“负数没有平方根”写成“如果……，那么……”的形式：_____． 【答案】如果一个数是负数，那么这个数没有平方根 【详解】解：如果一个数是负数，那么这个数没有平方根． 【题型19 生活中的平移现象】 1．国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动．下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A：图形的大小发生了改变，不合题意； B：图形的形状和大小没有改变，可以通过平移得到，符合题意； C：图形的方向发生了改变，不合题意； D：图形大小不同，不能通过平移得到，不合题意． 2．如图是马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】 解：根据平移的定义，平移后的图形与原图形的形状、大小和方向完全相同， A、图形发生了旋转，方向改变，故不符合题意； B、图形发生了旋转，方向改变，故不符合题意； C、图形的形状、大小和方向与原图完全一致，可以通过平移得到，故符合题意； D、图形发生了旋转，方向改变，故不符合题意． 3．2025年全运会在11月9日至21日举行，由粤港澳三地共办，运动会会徽的设计常常运用数学中图形的变化．以下各届运动会会徽设计中蕴含平移元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质：平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，平移不改变图形的形状和大小，结合各选项图形特征进行判断即可． 【详解】A．该图形属于旋转对称图形，是由基本图形绕中心旋转得到的，故本选项不符合题意； B．该图形中的三个小图形的形状大小相同、方向一致，可以看作是由一个基本图形通过平移得到的，故本选项符合题意； C．该图形属于轴对称图形，是沿对称轴折叠重合，故本选项不符合题意； D．该图形主要由扇形和线条组成，不具备通过平移一个基本图形得到整体的特征，故本选项不符合题意． 4．如图所示的图案分别是几种国产汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；找出各选项中图形的“基本图案”，结合平移的性质可得到答案． 【详解】解：选项B、C、D都不能由“基本图案”经过平移得到， 而选项A是由一个平行四边形平移得到的，故符合题意． 【题型20 利用平移的性质求解】 1．如图，将一块三角尺沿一条直角边所在的直线向右平移若干个单位长度到的位置．若四边形的周长为a，的周长为b，则向右平移的单位长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出，，然后结合平移的性质确定，作差即可求解． 【详解】解：四边形的周长为a， ∴． ∵的周长为b， ∴． 由平移的性质，得， ， ，即向右平移的单位长度为． 2．如图，将沿射线平移至（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F）处，使得点E为的中点，连接．若，则的长为（     ） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】B 【详解】解：由平移的性质可得：，， ∵点为的中点， ∴， ∴． 3．如图，点是长方形内部一点，连接、，将三角形沿方向向上平移至三角形的位置，若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质可知，然后利用求解． 【详解】解：∵三角形沿方向向上平移至三角形的位置， ∴， ∴． 4．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平移的性质确定空白长方形的长和宽，再分别计算原长方形与空白部分的面积，最后通过面积差求出阴影部分的面积． 【详解】解：长方形的长为，宽为， ． 平移后空白长方形的长为， ∵平移后空白长方形的宽为， ． ． 【题型21 利用平移解决实际问题】 1．有一个长方形花圃，为方便行入观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图），花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（    ）平方米． A．1440 B．1400 C．1344 D．120 【答案】C 【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积． 【详解】解：利用平移的思想，将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上， 花圃长米，宽米，道路宽米， 种花部分可拼接为长（米），宽（米）的长方形， 种花的面积是（平方米）． 2．为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建道路，道路的宽忽略不计，若草坪的长是，宽是，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平移的性质可得，所有横向道路线段平移后总长度等于长方形的长，所有纵向道路线段平移后总长度等于长方形的宽，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，道路的总长为． 3．如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移性质得到绿化区的总长是，根据长方形的面积公式计算即得． 【详解】解：绿化区的面积是：． 4．如图，长方形花园中，，，花园中建有两条宽度一致的小路．若，则花园中可绿化部分的面积为（   ） A．640 B．576 C．540 D．600 【答案】C 【分析】利用平移将分散的绿化部分拼凑成一个完整的长方形，从而简化计算． 【详解】解：利用平移的性质，将图中的两条小路分别平移到长方形的边缘（例如最下方和最左侧），则剩余的绿化部分可以拼成一个新的长方形， 新长方形的竖直边长为，水平边长为， 花园中可绿化部分的面积为． 【题型22 平移中作图问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．在图中画出三角形，并求三角形的面积． (3)过B画y轴的平行线交线段于点D，直接写出点D的坐标_____________ 【答案】(1)，， (2)作图见详解，三角形的面积为7 (3)作图见详解， 【分析】（1）根据题中的图形利用平面直角坐标系特征分别找出对应的点A，B，C的坐标即可； （2）根据题中平移的方式找出平移后点A、B、C的对应点，，，并依次连接即可画出，利用割补法求出的面积即可； （3）先作出对应的图形，利用平行线的性质结合图形求出点D的横坐标，再观察点A，C的坐标，找出对应规律后，从而求得点D的纵坐标，进而得出点D的坐标． 【详解】（1）解：根据图象可知， ，，． （2）解：如图所示，即为所求： ∴． （3）解：如图所示，点D为所求： ∵轴，， ∴， ∵点D为线段的交点，，， 从点A到点C，横坐标增加了，纵坐标减少了， ∴横坐标每增加1，则纵坐标减少， ∵，点D的横坐标比点A的横坐标增加了1， 由横坐标每增加1，则纵坐标减少可知， ∵， ∴， ∴． 2．如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）． (1)在图中画出三角形； (2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是______； (3)在平移过程中，求线段扫过的图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)18 【分析】（1）根据平移的规律先确定，，，进而作出即可； （2）根据垂线段最短求解即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据点到直线的距离中，垂线段最短，可得当轴时，线段长度最小， ∴点P的坐标是； （3）解：在平移过程中，线段扫过的图形的面积为． 3．如图，三角形的顶点落在边长为1个单位长度的小正方形网格的格点上． (1)将三角形向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到三角形，请画出三角形．（、、分别对应、、） (2)图中与相等的角是______． (3)连接、、，图中与相等的线段有______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点、、，再连线即可得解； （2）根据平移前后三角形的角的大小不变即可得解； （3）根据平移的性质即可得解． 【详解】（1）解：如图，三角形为所求． （2）解：与相等的角是． （3）解：图中与相等的线段有． 4．先将方格图中的图形向左平移5格，然后再向下平移3格，作出平移后的图形． 【答案】平移后的图形如图： 【分析】按要求平移得到的图形即为所求． 【详解】解：略 【题型23 平移解答题综合】 1．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线，，且和直角三角形相交，，． (1)在图1中，，则的度数为______； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，试说明和的数量关系； (3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当平分时，此时发现和又存在新的数量关系，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等求解即可； （2）过点作，根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补求解即可；　 （3）过点作，根据两直线平行内错角相等、角平分线定义求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）如图， 过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图， ， 过点作， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用．它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用．某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小．如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点M，N分别在直线，上，，，  ． (1)如图1，直接写出______ (2)如图2所示，李明将一个含，角的直角三角形 的顶点G与点M重合，点E落在直线上，顶点 G固定不动，将点E在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即，，保持不变，直角三角尺固定不动，且，当点E运动到点N重合时停止(如图3所示)，问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请直接写出的大小(用α的代数式表示)； (3)王芳将直角三角形从图3位置沿两条平行线平移，始终保持，分别作和的角平分线和， 交直线于点 R，交直线于点 Q，与交于点H，求的大小．(要求：在备用图中画出图形，写出过程) 【答案】(1)90 (2)或或 (3)或 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质求出，，根据，求出结果即可； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分两种情况讨论：向右移动时，向左移动时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点P作，如图所示： 又∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：分以下三种情况： 当时，如图所示： 则， 根据解析（1）可知：， ∴； 当时，如图所示： 则， ∵， ∴，， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴； 综上所述，或或； （3）解：分以下两种情况： 向右移动时，如图所示： ∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ； 向左移动时，如图所示： ∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ； 综上所述，或． 3．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是______（用含的式子表示）． 【答案】(1)图见解析；证明见解析 (2)①或 ② 【分析】（）作，根据平行线的性质证明即可； （）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②利用平移性质得到平行四边形，确定面积为定值，再通过三角形面积公式推出点到直线的距离与长度成反比，结合垂线段最短得出时距离最大，最后在直角三角形中利用平行线性质算出． 【详解】（1）证明：补全图形如图所示， 由平移的性质得：， 过点作，交于点， 则， ∴，， ∴； （2）①分两种情况： 第一种情况：点在直线的上方时，如图所示： 由平移的性质得：， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 整理，得； 第二种情况：点在直线的下方时，如图所示： ， ， 整理，得； ②由平移性质得四边形是平行四边形，，面积为定值， ∵，点到的距离等于平行线与PD的距离， 由（为距离） 得：距离， ∴当最短时最大， 定点到直线上点的距离，垂线段最短，即时最短，最大，如图所示： 此时中，， ∴， ∴． 4．如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质定理及平行公理的推论，平移的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据已知先求得的邻补角的度数，得到即可得结论； （2）分两种情况讨论，过G作的平行线，利用平行线的性质定理，平移的性质和平行公理的推论即可求解； （3）分三种情况讨论，分别过点作的平行线，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可求解． 【详解】（1）证明：∵，的度数是的3倍少． ∴，， ∴， ∴． （2）解：当点G在F下方时，过点作， 根据平移，得， ∴， ∴， ∴； 当点G在F上方时，过G作， 根据平移，得， ∴， ∴； ∵； 综上所述，的度数为或． （3）解：①当点N在D左侧时，过M作， ∵， ∴， ∴； ∵，， ， ∴； ∴； ∴； ②当点N在D右侧时，如图，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； ③当点N在D右侧时，如图，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ， 综上所述，或或． 5．直线，一副三角尺中，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，两线相交于点（图3），直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）②如图，过E作，运用平行线判定与性质即可得出答案 ②如图，分别过点作，，运用平行线判定与性质和角平分线定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：在中，，， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：①如图，过E作， ， 又， ， ，， ， ； ②如图，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 1．将一副三角板按如图所示摆放，，点在线段上，点在线段上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角板可知 ，，过点 作 ，利用平行线性质得 ，再由对顶角相等得 ． 【详解】解：由题意，可得,， 如图，过点作， ， ， ， , ． 2．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G．若，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，由此可求解与的度数，再根据由此可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ． 3．如图，长方形纸片沿线折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形对边平行，得，故；由折叠的性质得，再结合以及平角的定义，列方程求解得出，进而求得的度数． 【详解】解： 四边形是长方形， ， ． 由折叠的性质可知，， ． ，且， ， 即， ， ， ， ∴ ∴． 4．如图，在三角形中，，将周长为12的三角形沿方向平移2个单位得到三角形，连接，则下列结论：①，；②；③四边形的周长是18；④，其中正确的有______（填序号） 【答案】 ①②④ 【分析】根据平移的性质：平移前后的图形对应线段平行且相等，对应点所连的线段平行且相等，利用这些性质结合已知条件和三角形周长数据，对四个结论逐一进行判定即可； 【详解】解：∵平移得到， 对于①，与是对应边，根据平移性质可得，，故①正确； 对于②，与是对应边，根据平移性质可得， ，即， ，故②正确； 对于③，平移距离为2，即， 四边形的周长 ， 的周长为12，即， 四边形的周长，故③错误； 对于④，由平移性质得， ，， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④． 5．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 【答案】 【分析】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案．能正确作出辅助线是解题关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．已知：，点C在点D的右侧，B是AG上一动点，连接平分，DE平分，所在直线交于点E，，．则的度数是______． 【答案】/47度 【分析】根据角平分线的定义求出和的度数，过点作，利用平行公理推论得到，再根据两直线平行内错角相等，将转化为与的和即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， 过点作（在点左侧），如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，，点是直线上一点，是直线与直线之间一点，连接，． (1)求证：； (2)如图，过点作平分，过点作交的角平分线于点，过点作交于点，探索和的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，是直线的一点，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)证明：如图过作 ， ， ， ， ， ． (2) ，理由如下： 平分，平分， 可设，, ． 由（1）同理可得，． ， ，即， ． ， ， ，即． (3)或 【分析】（1）过点作 ，利用平行线性质将和转移为的两部分； （2）设，，则，，由（1）结论得．由得，从而，利用三角形内角和定理求得，代入计算化简得； （3）由（2）的结论设，，，，作延长线得，利用（1）结论得，代入，解得，再分点在直线左侧和右侧两种情况，利用三角形内角和、邻补角关系及角度代换，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：根据题意，设，， 由（2）得，，， 如图，作的延长线，点是延长线上一点， ， ， ，即， 由（1）同理可得， ，即， 解得， ． 如图，当在左侧时， ，， ，即 ， ， 即． 如图，当在右侧时， 同理，， ， ，即． 综上，或． 1．如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为，一光束从点处出发，投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处，已知，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，可证，推出，，求出，即可得到，再求出即可解答． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，，当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，则，根据平行线的性质得到，进行求解即可． 【详解】解：过点作，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．如图，，，则，，之间关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别过作的平行线和，根据两直线平行内错角相等以及角的和差关系得到，根据垂直的定义得到． 【详解】解：如图，分别过作的平行线和， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 4．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图1，动车顶上的“受电弓”是动车从接触网取得电能的电气设备，保证了动车高速顺畅地运行．“受电弓”示意图如图2所示．已知在某一时刻，，，则的度数为______． 【答案】48°/48度 【分析】过点C作，则，再利用平行线的性质求出和的度数，最后根据代入对应角度即可求解． 【详解】解：如图，过点C作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．【跨学科】潜望镜模型由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置，镜筒上下壁和直管左右壁可看作分别相互平行的直线，是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足，．设，． (1)如图1，若光线与直管壁平行，求的度数；小昆的同学的解答过程如下，请你帮她补充完整；（括号里填理由） 解：∵_____（已知），∴（平角的定义）， ∵（已知），∴_________（_________）， ∵（已知），∴； (2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经过平面镜上的点O处反射到平面镜上点C处，并调整平面镜的位置，最终使，则此时与满足怎样的数量关系？说明理由． 【答案】(1)90，，两直线平行，内错角相等； (2)解：，理由如下： ∵与入射镜筒壁平行， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，过点O作， ∴， ∵与直管壁垂直，， ∴与直管壁垂直， 即， 由题干的反射定律可知， ∴， ∵镜筒上下壁可看作分别相互平行的直线，，，， ∴， ∴， 由题干的反射定律可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 【分析】（1）根据垂线的定义及平行线的性质作答即可； （2）根据平行线的性质得到，进而求出，过点O作，根据平行线的性质得到与直管壁垂直，即，进而得到，证明，得到，由题干的反射定律可知，进而得到，根据平行线的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵（已知）， ∴（平角的定义）， ∵（已知）， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴； （2）略． 1 / 97 学科网（北京）股份有限公司 $