第二十一章 四边形 专题复习-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学期末复习专号升级突破大模拟（人教版·新教材 广东专版）

数理极 知识回顾 1.多边形 (1)定义：在平面内，由n条线段 组成的图形叫作多边形 (2)n边形的内角和等于 (3)多边形的外角和等于 2.平行四边形 (1)定义：两组对边分别 的四边形 叫作平行四边形 (2)性质：①平行四边形的对边 ②平行四边形的对角 ③平行四边形的对角线 (3)两条平行线中，一条直线上 到 另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距 离 (4)判定：①定义； ②两组对边分别 的四边形是平行 四边形； ③两组 分别相等的四边形是平行 四边形； ④对角线 的四边形是平行四 边形； ⑤一组对边 的四边形是 平行四边形 3.三角形的中位线定理 三角形的中位线 于三角形的第三 边，并且 第三边的一半 4.矩形 (1)定义：有一个角是 的平行四边 形叫作矩形. (2)性质：①具有平行四边形的所有性质； ②矩形的四个角都是 ③矩形的对角线 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 (3)判定：①定义； ②有三个角是 的四边形是矩形； ③对角线相等的 是矩形 5.菱形 (1)定义：有一组邻边 的平行四边 形叫作菱形 (2)性质：①具有平行四边形的所有性质； ②菱形的四条边都 ③菱形的两条对角线互相 ,并且 每一条对角线 一组对角 ④菱形的面积等于 (适 用于所有对角线互相垂直的四边形). (3)判定：①定义； ②对角线互相 的平行四边形是菱 形； ③四条边 的四边形是菱形 6.正方形 (1)定义：有一组邻边 ,并且有一 个角是 的平行四边形叫作正方形. (2)性质：正方形既是矩形又是菱形，因此， 正方形既有 的性质又有 的性 质 (3)判定：①定义； ②先判定它为矩形，再判定它也是菱形； ③先判定它为菱形，再判定它也是矩形 专题复习 第二十一章 四边形 ⊙河北李妍 考点解密 B.AD BC C.OA OC ”考点1：多边形 D.AD AB 例1正十二边形一个外角的度数是 7.如图5，平行四边形ABCD的对角线AC与 BD相交于点0，AB⊥AC,若AB=8,AC=12, 解：因为正十二边形的外角和为360°，且每则BD的长是 个外角都相等，所以正十二边形一个外角的 度数是：360°÷12=30°. 故填30. ·专项练习 图5 ✉6 1.已知一个n边形的内角和是1080°，从它 8.如图6，在△ABC中，D是AC边的中点， 的一个顶点出发一共可以作m条对角线，则m+ 连接BD并延长至点E,使DE=BD,延长BC至 n的值为 点F,使CF=BC,连接AE,EF.求证：四边形 A.9 B.11 ACFE是平行四边形. C.13 D.28 ”考点3：三角形的中位线定理 2.如图1，将一个五边形 例3如图7，A,B两点 ABCDE沿虚线裁去一个角，得 被池塘隔开，A,B,C三点不 到六边形ABCDGF,则下列说 共线.设AC,BC的中点分别 法正确的是 ( 为M,N.若MN=3米，则AB A.外角和减少180° B.外角和增加1809 的长为 ( A.4米 B.6米 C.内角和减少1809 C.8米 D.内角和增加180° D.10米 3.一个多边形的内角和比四边形外角和的 解：因为M,N分别是AC,BC的中点，所以 AB=2MN=6米， 4倍少180°，求这个多边形的边数 冬考点2：平行四边形 故选B. 例2如图2，在口ABCD ●专项练习 中，BD=CD,AE⊥BD于点E 9.如图8，在△ABC中，AB 若∠C=70°，则∠BAE= BC=14,BD是AC边上的高， 垂足为D,点F在BC边上，连接 解：因为BD=CD,∠C= AF,E为AF的中点，连接DE.若 70° 图2 DE=5,则BF的长是( 所以∠DBC=70° A.3 B.6 所以∠BDC=180°-∠C-∠DBC=40%. C.5 D.4 因为四边形ABCD是平行四边形， ?考点4：矩形 所以AB∥CD. 例4如图9,0是矩形 所以∠ABD=∠BDC=40°. ABCD的对角线AC的中点，E 因为AE⊥BD 为AD的中点.若AB=6,B0 所以∠AEB=90, =8,则△B0E的周长为 所以∠BAE=90°-∠ABE=50° ( 图9 故填50. A.10 B.8+25 ●专项练习 C.8+2/13 D.14 4.在平行四边形ABCD中，∠A+ ∠C 解：因为四边形ABCD是矩形，AB=6,BC 100°，则∠D的度数是 =8 A.50° B.80° 所以CD=6,AD=8,∠ABC=∠BAD= C.100° D.130° 90°. 5.如图3，已知直线4，∥l2,点A在直线4， 因为点O是AC的中点，E为AD的中点， 上，点B,C在直线2上，AC⊥2.如果AB= 5cm,BC=4cm,则平行线l1,l2之间的距离是 所以0E=2CD=3,AE=2AD=4 根据勾股定理，得BE=√AB+AE= 3,AC=√AB2+BC=10. 所以B0=2AC=5. 图3 所以△BOE的周长为：BO+OE+BE=8+ 6.如图4，已知AB∥CD,增加下列条件可 2√3 以使四边形ABCD成为平行四边形的是( 故选C. A.∠1=∠2 (下转第6版) 6 专题复习 数理极 (上接第5版) 为AC的中点，则BD的长为 因为四边形ABCD是正方形， ●专项练习 ?考点6：菱形 所以AB=BC=2,∠ABC=90° 10.如图10，在矩形 例6如图17，在菱 根据勾股定理，得AC=√AB2+BC2= ABCD中，对角线AC,BD 形ABCD中，连接AC,BD 22 交于点O,过点0作EF⊥ 若∠1=20°，则∠2的度 因为BE=BA, AC交AD于点E,交BC于 数为 ( ) 图17 A.20° 所以BE=BC 点F.已知AB=4,△AOE B.60° C.709 D.809 所以∠BEC=∠BCE. 的面积为5，则DE的长为 解：因为四边形ABCD是菱形 所以∠EBC=180°-2∠BEC. A.2 B.5 C.6 D.3 所以AB∥CD,AC⊥BD. 所以∠ABE=∠ABC-∠EBC=2∠BEC- 11.如图11，平行四边形ABCD中，对角线 所以∠DCA=∠1=20° 90° AC,BD相胶于点0，且0A=OB,∠0AD=65°， 所以∠2=90°-∠DCA=70° 因为BF平分∠ABE, 则∠ODC= 故选C. 。专项练习 所以∠ABF=∠EBF=LABE=∠BEC 17.将两个完全相同的菱形 45° 按如图18方式放置，若∠BAD 所以∠BFE=∠BEC-∠EBF=45°. =α，∠CBE=B,则B的度数是 AB EB. 图11 1 ( ) 图18 在△BAF和△BEF中，{∠ABF=∠EBF, 12.如图12，在矩形ABCD中，对角线AC,BD A.45°+20 B.45°+20 3 BFBF, 相交于点O,AB=BO,AE平分∠BAD交BC于 所以△BAF兰△BEF(SAS) 点E,点E,F关于AC对称，连接EF,则LAEF的 C.90°- 、1 D.90°- 度数为 2a 所以∠BFA=∠BFE=45°. A.909 B.859 18.如图19，已知菱形ABCD的面积等于24 所以∠AFC=∠BFA+∠BFE=90°. BD=8. 因为0为对角线AC的中点， C.75° D.无法确定 13.如图13，在矩形ABCD中，AB=1,AD= (1)AC= 所以0F=3AC=2 2,点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF (2)点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边 连接CE,DF,则CE+DF长度的最小值为 上的点，且BE=BF=CG=AH,则EF+GH= 故选D. ·专项练习 21.当一个四边形的两组对边分别平行，四 条边都相等，四个角都相等时，这个四边形是 A.平行四边形 B.正方形 C.菱形 D.矩形 图13 图14 图19 到2 14.如图14，点M在□ABCD的边AD上，BM 22.如图24，已知点E是 =CM,请从以下三个选项中：①∠1=∠2； 19.如图20，在四边形ABCD中，0为边DA正方形ABCD对角线BD上 ②AM=DM;③∠3=∠4，选择一个合适的选项 上一点，连接CO并延长与BA的延长线交于点点，点F在BC上且EF=EC, 作为已知条件，使口ABCD为矩形. E,且点A恰好为BE的中点，0D=2DC,△A0E 连接AE,AF,则∠ECF与 (1)你添加的条件是 （填序号)； ∠AFB之间的数量关系为 ≌△D0C. 2 (2)添加条件后，请证明口ABCD为矩形. ( (1)求证：四边形ABCD是菱形： 15.如图15，已知 A.∠AFB-∠ECF=15° (2)若∠E=30°，BC=6,菱形ABCD的面 AB∥DE,AB=DE B.∠ECF+∠AFB=135° 积等于185，求EC的长. AC=FD,∠CEF= C.2∠AFB-∠ECF=90° 20.如图21，在四边形 90°. D.2∠ECF+∠AFB=1809 ABCD中，AD=CD,BD⊥ (1)求证：△ABF 图15 23.如图25，在正方形ABCD中，E为BC边 AC于点O,点E是DB延长 ≌△DEC; 上的点，连接AE,作AE的垂直平分线交AB于点 线上一点，OE=OD,BF⊥ (2)求证：四边形BCEF是矩形 AE于点F 图21 G,交cD于点P,连接6R已为-是 ?考点5：直角三角形斜边上中线的性质 (1)求证：四边形AECD是菱形； 例5如图16，在 (1)若正方形ABCD的边长为4，求BG的长； (2)若AB平分∠EAC,OB=3,BE=5,求 Rt△ABC中，∠BAC=90°， (2)求证：CF=7 DF EF和AD的长 AD,AE分别是边BC上的 冬考点7：正方形 中线、高.若AE=2,AD= D 例7如图22，在正方形ABCD中，0为对角 3,则△ABC的面积为 线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE,BE= ( BA,连接CE并延长，与LABE的平分线交于点 A.2 B.3 C.4 D.6 F,连接OF,若AB=2,则OF的长度为( 解：因为AD是Rt△ABC的中线，AD=3, 图25 图26 A B.3 D.2 所以BC=2AD=6. 24.如图26，在□ABCD中，过点C作CF1 因为AE是△ABC的高， CD,CF=CD,CF交DB的延长线于点F;过点C 所以Sm=C·A被=6 作CE∥DB,交AB的延长线于点E,BE交CF于 点0，连接EF,AB=2B0=4. 故选D. (1)求0E的长； ●专项练习 (2)求证：四边形BCEF为正方形 16.在△ABC中，∠ABC=90°，AC=4,点D 解：如图23，连接AF (本章复习检测卷见第11~12版)16 =3,HD=5.所以AD=√32+5=√34.所以 +4+√(5-x)2+1的最小值是√/34. (3)构造△ABC,CD⊥AB于点D,AC=6,BC=8, 图略.设CD=x,则AD=√36-，BD=√64-x.所以 4B=√36-x+64-x=10.因为62+82=102，所以 LACB=90e所以7×6x8=7×10所以x=48 《四边形》专项练习 1.C:2.D 3.设这个多边形的边数为n. 根据题意，得(n-2)×180°=4×360°-180°.解得 n=9. 答：这个多边形的边数为9. 4.D;5.3;6.C;7.20 8.连接CE,图略.因为D是AC边的中点，所以AD= CD.因为DE=BD,所以四边形ABCE是平行四边形.所 以AE=BC,AE∥BC.因为CF=BC,所以CF=AE.所 以四边形ACFE是平行四边形 9.D;10.D;11.25°；12.C;13.22. 14.(1)①（或②）： (2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥ DC,AB=DC.所以∠A+∠D=180°. 选择①.证明如下： AB DC. 在△ABM和△DCM中，{∠1=∠2，所以△ABM≌ BM CM, △DCM(SAS).所以∠A=∠D=90°.所以口ABCD为矩 形 选择②.证明如下： rAB DC, 在△ABM和△DCM中，{AM=DM,所以△ABM≌ LBM CM, △DCM(SSS).所以∠A=∠D=90°.所以口ABCD为矩 形. 15.(1)因为AB∥DE,所以∠A=∠D.因为AC= FD,所以AC-CF=DF-CF,即AF=DC.在△ABF和 rAF DC, △DEC中，{∠A=∠D,所以△ABF≌△DEC(SAS). AB DE, (2)因为△ABF≌△DEC,所以BF=EC,∠BFA= ∠ECD.所以180°-∠BFA=180°-∠ECD,即∠BFC= ∠ECF.所以EC∥BF.所以四边形BCEF是平行四边形， 因为∠CEF=90°，所以四边形BCEF是矩形 16.2;17.D;18.(1)6,(2)6. 19.(1)因为△AOE≌△D0C,所以OA=OD,AE= CD,∠E=∠DCO.所以CD∥AB.因为点A为BE的中 点，所以AE=AB.所以CD=AB.所以四边形ABCD是平 行四边形因为0D=2DC,0D=4D,所以A 0= DC.所以四边形ABCD是菱形 (2)过点C作CF⊥AB于点F,图略.因为四边形 ABCD是菱形，所以AB=BC=6.因为菱形ABCD的面积 等于183，所以AB边上的高CF=183÷6=33.因 为∠E=30°，所以EC=2CF=65. 20.(1)因为AD=CD,BD⊥AC,所以OA=OC.因 为OE=OD,所以四边形AECD是平行四边形.因为AC ⊥BD,所以四边形AECD是菱形. (2)因为AB平分∠EAC,BF⊥AE,OE⊥OA,所以 BF=OB=3,∠AFB=∠AOE=90°.所以Rt△AFB≌ Rt△AOB(HL).所以AF=OA.因为BE=5,所以EF= √BE-BF=4,OE=OB+BE=8.在Rt△AOE中，根 据勾股定理，得OA2+OE2=AE2,即(AE-4)2+82= AE2.解得AE=10.因为四边形AECD是菱形，所以AD= AE=10. 21.B: 22.B. 23.因为 BE =三，所以设BG=3x,则BE=4x.因为 4 四边形ABCD是正方形，所以∠B=90°.所以EG √BG+BE2=5x.因为FG是AE的垂直平分线，所以 AG=EG=5x.所以AB=AG+BG=8x. (1)因为正方形ABCD的边长为4，所以8x=4.解得 x= 所以B =3x=3 (2)连接AF,EF,图略.因为四边形ABCD是正方 形，所以AD=BC=CD=8x,∠C=∠D=90°.所以CE 参考答案 =BC-BE=4x.因为FG是AE的垂直平分线，所以AF =EF.所以AD2+DF2=CE+CF2,即(8x)2+D2= (4x)2+(8x-DF)2.解得DF=x.所以CF=CD-DF =7x所以2器-分 24.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥ CD,CD=AB=4.因为CE∥DB,所以四边形ECDB是平 行四边形.所以BE=CD=4.因为2B0=4,所以B0= 2.所以OE=BE-B0=2. (2)由(1)得OB=OE=2.因为CE∥DB,所以 ∠CEO= ∠FBO,∠ECO=∠BFO.所以△COE≌ △FOB(AAS).所以OC=OF.所以四边形BCEF是平行 四边形.因为AB∥CD,CF⊥CD,所以CF⊥OB.所以四 边形BCEF是菱形.因为BE=CD,CF=CD,所以BE= CF.所以四边形BCEF是正方形. 《四边形》复习检测卷 题号 6 8 10 答案 D B B 二、11.8；12.两组对边分别相等的四边形是平行 四边形；13.67.5°；14. 19 15.6或45. 三、16.因为平行四边形ABCD与平行四边形CDEF 的周长相等，所以AB∥CD,AD=DE.所以∠DAE= ∠DEA.因为∠BAD=60°，∠F=110°，所以∠ADC= 180°-∠BAD=120°，∠CDE=∠F=110°.所以∠ADE =360°-∠ADC-∠CDE=130°.所以∠DAE= 3180-乙A0E)=259 17.取BC的中点H,连接EH,FH,图略.因为E,F分 别是AB,CD的中点，所以EH=24C=2cm,FH= BD=3cm,EH∥AC,FH∥Bn因为AC⊥BD,所以 ∠EHF=90°.在Rt△EHF中，由勾股定理，得EF= Ef+Fr=√I3cm. 18.因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD BC,AD∥BC.因为BE=DF,所以AD-DF=BC-BE, 即AF=EC.所以四边形AECF是平行四边形.因为AC= EF,所以四边形AECF是矩形， 四、19.(1)设该多边形的边数是n.根据题意，得(n -2)×180°=1470.解得n=(不合题意，舍去).所 6 以多边形的内角和不可能是1470°. (2)设该多边形的边数是n.根据题意，得1470° 180°<(n-2)x180°<1470解得g<n<g因 6 为n为整数，所以n=10.所以该多边形的内角和是：(10 -2)×180°=1440 (3)正十边形的每一个内角为：1440°÷10=144°， 每一个外角为：360°÷10=36°.所以该正多边形的一个 内角比一个外角大：144°-36°=108°. 20.(1)因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC.所 以∠DAC=∠BCA.由折叠的性质，得∠HAF= 3LDAC=之∠BCA=∠MCE所以AF∥CE (2)30.理由如下： 因为四边形ABCD为矩形，所以AB∥CD,∠B= 90°.又AF∥CE,所以四边形AECF是平行四边形.因为 ∠BAC=30°，所以∠ACB=90°-∠BAC=60°.所以 ∠MCE=30°.所以AE=CE.所以四边形AECF是菱形. 21.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，点O是BD 的中点，所以AD∥BC,BO=DO.所以∠ADB=∠CBD r∠EBO=∠FDO 在△B0E和△D0F中，B0=DO, 所以△BOE≌ L∠BOE=∠DOF, △DOF(ASA).所以DF=BE.所以四边形BEDF是平行 四边形 (2)过点D作DN⊥EC于点N,图略.因为DE=DC =6,DN⊥EC,CE=4,所以EN=CN=2.所以DN= /DC-CW2=42.因为∠DBC=45°，DN⊥BC,所以 ∠BDN=∠DBC=45°.所以BN=DW=4E.所以BE =BN-EN=42-2.因为S-EDF=BE·DN=DE·PG, 所以PG= BE·DW-16-42 DE 3 五、22.(1)因为EF∥AC,所以∠EFD=∠OCD.在 数理极 r∠OCD=∠EFD, △ODC和△EDF中，{DC=DF, 所以△ODC≌ L∠CDO=∠FDE, △EDF(ASA). (2)四边形OCEF是正方形.证明如下： 因为△ODC≌△EDF,所以OD=ED.因为DF= DC,所以四边形OCEF是平行四边形.因为OD=DC,所 以ED=DC,OE=CF.所以四边形OCEF是矩形.因为 ∠BEC=45°，所以∠DCE=45°.所以∠CDE=180°- ∠DEC-∠DCE=90°.所以OE⊥CF.所以四边形 OCEF是正方形. 23.(1)取OC的中点M,连接DM.因为四边形ABCD 是正方形，所以AB=CD,AB∥CD,∠BAO=∠DCM= 45°.所以∠CE0=∠AB0.因为D为CE的中点，M为OC 的中点，所以OE=2MD,DM∥OE.所以∠CDM= ∠CEO.所以∠ABO=∠CDM.在△ABO和△CDM中， ∠BAO=∠DCM, AB CD, 所以△ABO≌△CDM(ASA).所以 L∠ABO=∠CDM, OB=MD.所以OE=2OB. (2)因为四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形， 所以AB=BC,∠BCE=∠EBG=90°，BE=BG.所以 ∠BEC+∠EBC=90°，∠ABE+∠GBH=90°.由(1)得 ∠BEC=∠ABE.所以∠EBC=∠GBH.因为GH⊥AB, 所以∠BHG=90°.所以△BEC≌△BGH(AAS).所以 BC=BH.所以AB=BH. 《函数》专项练习 1.(1)常量：4，T;变量：S,R (2)常量： ,g;变量：h,t (3)常量：1.8，变量：x,y 2.y=0.65x-22.5. 3.(1)气温，声音在空气中的传播速度， (2)v=0.6T+331. (3)(0.6×10+331)×3=1011(m). 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距1011m. 4.(1)10.5,6. (2)y与x之间的解析式为y=0.5x+8.当x=10 时，y=0.5×10+8=13. (3)常量是0.5,8.它们是定值，保持不变，表示增加 一个纸杯，纸杯的总高度在8cm的基础上增加一个 0.5cm. 5.C;6.C. 《函数》复习检测卷 题号 2 10 答案 B B B 二、11.空周每小时的用电量；12.y=5x+1; 13.5.44:14.4:15.2或3. 三、16.(1)n,m为变量；20,1.2为常量. (2)a与B之间的解析式为a=180°-2B. 1.由题意，得y=之(x+8)×5=子+20，所以 四边形ABCE的面积y与AE的长x(0<x<8)之间的 解析武为y=多+20(0<x<8.列表如下」 t 3 4 5 6 7 27.5 30 32.5 35 37.5 18.(1)70,54. (2)变大. (3)摩天轮的直径为：70-5=65(m). 四、19.(1)68. (2)37÷5=7.4(cmHg),所以h每增加1m,压强增 加7.4cmHg 所以p与h之间的解析式为p=68+7.4h. 当h=32.8时，p=68+7.4×32.8=310.72,所以 离水面32.8m处的压强为310.72cmHg. 20.(1)时间，下降的速度. (2)13s. (3)根据图象可知，20s时，该运动员下降的速度为 5m/s,且到落地前速度不变，所以20s时，该运动员距离 地面的高度是：5×(40-20)=100(m). 21.(1)3480,2200. (2)8.