第十九章 二次根式&第二十章 勾股定理 专题复习-【数理报】2025-2026学年八年级下册数学期末复习专号升级突破大模拟（人教版·新教材 广东专版）

数理极 专题复习 第十九章 二次根式 ◎广东裴文杰 知识回顾 (4)商的算术平方根：√ 1.二次根式的有关概念 ≥0，b>0) (1)定义：形如 的式子叫作二次根 3.二次根式的运算 式 (1)二次根式的加减：先将二次根式化成 注意：被开方数a只能是正数或0，即a≥0. 二次根式，再将 的二次根式进 (2)最简二次根式：①被开方数不含 行合并合并时，仅合并 入 ;②被开方数中不含能 变 ·满足这两个条件的二 (2)二次根式的乘法：√a·√b= 次根式叫作最简二次根式， (4≥0，b≥0) 2.二次根式的性质 (3)二次根式的除法：巨 (a≥ (1)非负性：√a(a≥0)是一个 并且a也是 (常说√a具有双重非负 0.b>0) 性) (4)二次根式的加、减、乘、除混合运算 小结：常见的具有非负性的数：√a(a≥0)， 注意：(1)合并同类二次根式与合并同类项 I al ,a". 类似，被开方数不同的二次根式不能合并 (2)两个重要性质： (2)二次根式运算的最后结果应化为 ①(a)2=a( (3)二次根式的混合运算顺序为：先乘除， ②√辰=1al= (a≥0)， 后加减，有括号的先算括号里面的，实数的各种 (a<0) 运算定律也同样适用于二次根式的混合运算。 小结：若√辰>a,则a<0. (4)在二次根式的运算中，常会出现分母中 (3)积的算术平方根：ab 含有二次根式的计算，需要运用分式的基本性 ≥0，b≥0). 质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化 考点解密 A.√(-2) B.2- C.(-2)° D.(2)2 考点1：二次根式有意义的条件 4.已知x,y两个实数在数轴上的位置如图2 例1若二次根式√5-x有意义，则x的取 所示，则化简1y-xI+√(x-y)产的结果是 值范围是 ( A.x≥0 B.x>0 C.x≤5 D.x<5 0 图2 解：根据题意，得5-x≥0.解得x≤5。 A.2x B.2y 故选C C.2x -2y D.2y -2x ●专项练习 1.下列各式中，一定是二次根式的是 5.已知xy>0,则化简二次根式x 的 ( )结果是 A./a B.3 冬考点3：最简二次根式 C.√e2+1 D.6 例3下列二次根式中，是最简二次根式的 2.要使二次根式√2x-5有意义，则实数x 是 的取值范围为 /1 A.2 B./11 考点2：二次根式的性质与化简 C.27 D.√ 例2实数m在数轴上对应点的位置如图1 解：A选项中的被开方数含有分母；B选项 所示，化简：√(m-2)7= 中的被开方数不含能开得尽方的因数，也不含分 上→ 母；C,D选项中的被开方数分别含有能开得尽方 图1 的因数、因式 解：根据数轴，得m<2.所以m-2<0. 故选B. 根据二次根式的非负性，得√(m-2)=1m ●专项练习 -2|=2-m 6.下列是最简二次根式的是 故填2-m. ●专项练习 A.√8 B后 3.下列值最小的是 C.23 D.2 3 7.若最简二次根式√2m-9与√m+4可 以合并，则√3m+6的值是 ( A.3√3 B.35 C.45 D.43 考点4：二次根式的运算 例4计算√2×6-8的结果是 解：原式=62-3√2=32. 故填32. ●专项练习 8.陈老师在黑板上写了一个式子：(3+ 1)口(1-3)，“口”中的运算符号没有给出，如 果要求运算结果是有理数，那么“口”中的运算 符号可能是 ( A.+或× B.×或÷ C.+或- D.-或： 9.计算： )反+31写 (2分)11-1-方+-6： (3)网9×22-6 (4)(25-7)(25+7)-(5-3)2 10.若x+y=√2，xy=1-√2. (1)求代数式(x+1)(y+1)的值； (2)求代数式x2-y+y2的值， 冬考点5：二次根式的应用 例5 已知一个三角形的三边长分别是 √⑧cm,√8cm,√32cm,则此三角形的周长为 A.9√2cm B.8√2cm C.7.2 cm D.6√2cm 解：根据题意得，此三角形的周长为：⑧+ 18+√32=22+32+42=92(cm). 故选A. ●专项练习 11.如图3，正方形 I的边长为a,面积为 12;正方形Ⅱ的边长为 b,面积为27，则(b-a) 图3 ÷√3的计算结果为 A.1 B.-1 C.5 D.3 3 12.在△ABC中，已知AB的长是3+√2，BC 的长是5-2，则AC的长可以是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 13.不等式2x-5>√5x的解集是 14.关于x,y的二元一次方程组 3x+2y=1,的解为 x+2y=√3 (本合刊专项练习答案见第15~18版) (本章复习检测卷见第7~8版) 专题复习 第二十章 勾股定理 ◎浙江应思涵 知识回顾 先确定最长边c,再验证c2与2+b2的关系，如 果 一，那么这个三角形就是直角三角形， 1.勾股定理 否则就不是 如果直角三角形的两条直角边长分别为a, 3.勾股数 b,斜边长为c,那么 =c2 能够成为直角三角形三条边长的三个正整 在运用勾股定理时，要注意如下三点： 数叫作勾股数， (1)注意勾股定理的使用条件：只对直角三 4.应用 角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角 (1)勾股定理的应用主要有： 形； ①已知直角三角形的两边，求第三边； (2)注意分清斜边和直角边，避免宣目代入 ②已知直角三角形的一边，求另两边的关 公式致错； 系； (3)注意勾股定理公式的变形：在直角三角 ③用于说明含有平方关系的式子； 形中，已知任意两边，可求第三边.即c2=a2+ ④用于作长为n(n为正整数)的线段； b2,ad2=c2-b2,6=c2-a2. ⑤用勾股定理来构造方程，解决实际问题； 2.勾股定理的逆定理 ⑥求几何体表面两点间的最短路程是一类 如果三角形的三边长α，b,c满足比较常见的数学问题，解答这类问题，通常将几 那么这个三角形是直角三角形. 何体表面 把立体图形转化为 利用这一判别方法时，要注意如下两点： ,利用勾股定理及其他知识加以解 (1)这一方法与勾股定理的题设和结论正：答 好相反，值得注意的是，在这一方法的描述中， (2)勾股定理的逆定理的应用主要有： 不能带有“斜边”“直角边”字样； ①判别某三角形是否为直角三角形： (2)要判别一个三角形是否是直角三角形， ②说明两条线段垂直. 考点解密 ?考点2：勾股定理的逆定理 例2满足下列条件的△ABC,其中是直 ÷考点1：勾股定理 角三角形的为 例1如图1，有一张长方 A.∠A:∠B:∠C=3:4:5 形纸片ABCD,AB=8cm,BC B.AB =1,BC =3,AC =2 =10cm,点E为CD边上一点， C.AB =2,BC =4,AC =6 将纸片沿AE折叠，BC的对应 D.∠A=∠B=2∠C 边B'C'恰好经过点D,则线段 解：A.因为∠A+∠B+∠C=180°，所以 DE的长为 5 A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 最大角∠C=180°×3+4+5=75，所以 解：由长方形的性质，得AD=BC=10cm, △ABC不是直角三角形，不符合题意；B.因为 ∠B=90°.根据折叠的性质，得AB′=AB= AB2+BC2=12+(5)2=4=AC2,所以△ABC 8 cm,C'E CE =8-DE,B'C'=BC =10 cm, 是直角三角形，符合题意；C.2+4=6,不满足 ∠B'=∠B=90°.在Rt△AB'D中，由勾股定 三角形三边关系，不能构成三角形，更不能构成 理，得B'D=√AD2-AB=6cm.所以C'D= 直角三角形，不符合题意；D.设∠C=x,则∠A B'C'-B'D=4cm.在Rt△EC'D中，由勾股定 =∠B=2x,所以x+2x+2x=180°，解得x= 理，得CE2+C'D2=DE2,即(8-DE)2+42= 36°，所以∠A=∠B=72°，∠C=36°，所以 DE2.解得DE=5cm. △ABC不是直角三角形，不符合题意 故选C. 故选B. ●专项练习 ·专项练习 1.如图2,5个阴影四边形都是正方形，所有 3.如图4，∠BAC=90°，AB=4,AC=4, BD=7,DC=9,则∠DBA= 三角形都是直角三角形，若正方形A,C,D的面积 依次为4,5,20，则正方形B的面积为 A.8 B.9 C.10 D.11 图4 图5 4.如图5，在△ABC中，BC的垂直平分线DE 分别交AB,BC于点D,E,且BD-DP=AC2 图2 图3 (1)求证：△ABC是直角三角形； 2.如图3，在离水面高度为8米的岸上，有 (2)若BC=214,AD:BD=3:4,求AC 人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为：的长. 17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子 考点3：勾股数 CD的长为10米，问船向岸边移动了多少米， 例3下列各组数中，是勾股数的是() 数理极 A.0.6,0.8,1 B.3,4,5 c.111 D.1,2,5 3’4’5 解：一组勾股数中的三个数必须是正整数， 故选项A,C,D均不符合题意.32+42=52，是勾 股数，故选项B符合题意， 故选B. ●专项练习 5.清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理 的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法 则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体 现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法 则写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12， 13;③7,24,25；④9,40,41…根据上述规律， 写出第⑤组勾股数为 考点4：勾股定理的应用 例4如图6，桌上有一个圆柱形无盖玻璃 杯高6厘米，底面周长为16厘米，在杯口内壁离 杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外 壁A的相对方向有一只小虫P,小虫离杯底的垂 直距离是1.5厘米，求小虫爬到蜜糖A处的最短 距离 图6 图7 解：如图7，将圆柱形玻璃杯沿侧面展开，作 点A关于BC的对称点A',连接A'P,此时A'P的 长度即为小虫爬到蜜糖A处的最短距离.过点P 作PE⊥AA',交A'A的延长线于点E,PE为底面 周长的一半.由题意，得PE=8厘米，A'C=AC =1.5厘米.所以A'E=6-1.5+1.5=6(厘 米).在Rt△A'PE中，由勾股定理，得A'P= /PE2+A'E2=10厘米 ●专项练习 6.如图8，一只小猫沿着斜立在墙角的木板 往上爬，木板底端距离墙角0.7米.当小猫从木 板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了 1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的 长为 米 北 西 东 7777分77777777 A 图8 图9 7.在一个长6m、宽3m、高2m的房间里放 进一根竹竿，竹竿最长可以是 8.第12届世界运动会于2025年8月7日至 8月17日在四川川成都举行，健身运动的热潮也 席卷全市，更多的人开始运动健身.为了方便人 们运动，现在对市郊区绿道进行修整.绿道分布 具体如下：如图9，已知AB=16km,AC 20km,BD=13km,点B在点C的正西方向，点 D在点C的正北方5km处. (1)试判断AB与BC的位置关系，并说明 理由； (2)修整好后，居委会派出无人机进行环 境检测，无人机从A飞到D,求线段AD的长度 (本章复习检测卷见第9~10版)数理极 第39期2版参考答案 24.1数据的集中趋势 24.1.1平均数 基础训练1.B;2.87分. 3.(1)应该选学习委员为优秀学生干部. (2)班长应当选为优秀学生干部. 24.1.2中位数和众数 基础训练 1.C;2.B; 3.-3和5：4.9. 5.(1)A品种玉米5块试验田产量的平均数为：5× (80+85+85+90+95)=87(kg),中位数为85kg,众 数为85kg:B品种玉米5块试验田产量的平均数为：5× (80+85+90+90+90)=87(kg),中位数为90kg,众 数为90kg (2)虽然两个品种玉米5块试验田的产量平均数相 同，但B品种玉米5块试验田产量的中位数和众数均高 于A品种玉米，所以应该选择B品种玉米推广种植， 24.2数据的离散程度 基础训练 1.B;2.5. 3.(1)x甲=90分，x2=90分. (2)=25 ，2=34因为甲的方差小于乙的方差， 2 所以选择甲参加比赛更合适. 24.3数据的四分位数 基础训练 1.C;2.B.3.略 24.4数据的分组 基础训练1.B:2.2,4},{8,10,12} 3.将竞赛成绩分成的两组是{15,15,18}，24}. 第39期3版参考答案 题号 8 答案 C B B 二、9.9： 10.69;11.2;125; 13.4:14.5或9 三、15.这10名学生所在家庭平均月使用塑料袋80 只，中位数是80只，众数是85只 16.（1)甲的平均成绩为90分，乙的平均成绩为90 分，所以不能以此确定两人的名次 (2)甲的平均成绩为90.8分，乙的平均成绩为89.8 分.因为90.8>89.8，所以甲排第一，乙排第二 (3)答案不唯一，略 17.(1)x甲 =2,xz=2. (2)乙机床的性能比甲机床的性能好. 18.(1)Q1=70,Q2=90,Q3=96. (2)图略.(3)略 附加题 1.(1)20万元， 17万元，22万元 (2)基本销售额应定为22万 元理由略 2.(1)7,7. (2)s=0.81,52=0.4,s= 0.8.因为0.4<0.8<0.81，所以队 员乙发挥的稳定性最好 (3)略 第40期综合测评卷参考答案 题号 10 答案 B B B B 二、11.24；12.丙；13.4.2元； 14415号或4或号 三、16.(1)该同学所得分数的众数与中位数分别为 8分、7分 (2)该同学所得分数的平均数为7分. 17.甲的平均成绩为88.2分，乙的平均成绩为87.4 分.甲将被录取. 18.Q1=8.3分，Q2=8.8分，Q3=9.2分 四、19.（1)英语成绩的标准差为6. (2)甲同学在这次考试中，数学成绩更好. 20.(1)乙.(2)8.8,9 (3)此人是乙，理由略 21.(1)①8,8,1.56. ②应该给九年级颁奖， (2)九年级的获奖率高. 五、22.(1)a=6,b=4.7,c= 4.75. (2)(3)略. 23.略. 参考答案· 15 复习专号参考答案 +22 (2)4+2. 《二次根式》专项练习 (3)根据题意，得BC=√AB-AC 1.C;2.x≥；3.B;4.D;5.-y √(4-3)2-(3)2 =/16-85+3-3= 16-85=/(23)2-85+22=√(23-2)2 6.C:7.B:8.A. =25-2. 9.(1)0:(2)9-32 ； 《勾股定理》专项练习 (3)62;(4)-43+65. 1.D 10.因为x+y=2,y=1-2,所以 2.船向岸边移动了9米 (1)(x+1)(y+1)=y+x+y+1=1-2+2+ 3.450 1=2 4.(1)连接CD,图略.因为DE是BC的垂直平分线， (2)x-+y2=(x+y)2-3=(2)2-3(1-所以CD=DB.因为BD-D4=AC,所以CD-DA 2)=32-1. AC2.所以CD2=AD2+AC2.所以△ACD是直角三角形， 且∠A=90°.所以△ABC是直角三角形. 11.A;12.C;13.x<-10-55; (2)设AD=3x,BD=4x,则CD=BD=4x,AB= rx=-1, 14. AD+DB=7x.在Rt△ACD中，AC=/CD2-AD= 2 16-9元=万x,在Rt△ABC中，AC2+AB2=BC2,所 以(7x)2+(7x)2=(214)2.解得x=1(负值舍去). 《二次根式》复习检测卷 所以AC=万×1=万. 5.11,60,61;6.2.5;7.7m. 题号12345678910 8.(1)AB⊥BC.理由：因为点D在点C的正北方 答案BB D C B D A CC B 5km处，即DC=5km.所以BC2=BD2-DC2=132 52=122.因为AB2+BC2=162+122=202=AC2,所以 二、11.答案不唯一，如√x-2;12.<; △ABC是直角三角形，且∠ABC=90°.所以AB⊥BC. 13.5+2:14.68:15.24√13 (2)过点D作DE⊥AB,交AB的延长线于点E,图 三、16.(1)165 略.所以∠E=90°，DE=BC=12km,BE=CD=5km. 3 (2)5. 所以AE=AB+BE=21km.所以AD=AE+DE= 17.根据数轴，得a<0,a+c<0,c-b<0,b-a>365km 0.所以原式=-a+a+c+b-c-(b-a)=a. 18.(1)二次根式的除法法则 《勾股定理》复习检测卷 (2)②，去括号时，符号错误 (3)原武=2-厘x(√2m+5)=?万 题号12345678910 √2 3 答案C BB D CC D A CB 125-22=-252 2 二、11.3或41；124；13.45°；14.15；15.60 (4)答案不唯一，如二次根式运算的最后结果应化 三、16.旗杆折断之前的高度为18m, 为最简二次根式 17.△ABD是直角三角形. 四、19.(1)45,5. 18.钟摆AD的长度为17cm. 四、19.图略 (2)长方体盒子的底面边长为：45-25=25≈ 2O.连接BD,过点B作BF⊥DE,交DE的延长线于 2×2.24≈4.5(cm),体积为：25×25×5=205=点F,图略.由题意知BF=6-a,因为S边形m=SaE 20×2.24=44.8(cm3). 1 20.()由题意，得x2+ =2-5,y=2-万 1 +Sae=2b+Zab,S时D=Sans+SaEB=c =2+5.所以x+y=2-万+2+5=4，x-y=2- +a(6-a),所以26+2b=c+2a(6-a). 5-2-5=-25.所以原式=4 25 所以a2+b2=c2. 3 21.(1)因为BC=8m,CD=6m,BD=10m,所以 BC2+CD2=82+62=102=BD2.所以△BCD是直角 (2)由(1)，得xy=(2-√5)(2+3)=1，x-y= 三角形，且.∠BCD=90° 25.所以原式=(x-y)2-y=(-25)2-1=11. (2)过点A作AE⊥BD于点E,图略.因为AB=AD 21.(1)由题意，得m=6÷√5=2√5. =13m,BD=10m,所以BE=2BD=5m在Rt△ABE (2)由题意，得5a-1= 4 4(5-1) 5+i=(5+1)(5-1)）中，AE=√AB-BE=12m所以S影=Sam-Sam =5-1.所以5a=5.所以a=1. =2BD·AE-2BC·CD=36m.所以200×36= 五、22.(1)两个正方形的面积之和为：2+6=17200（元），即此块空地全部种植花卉共需花费7200元 +(5)2=3. 五、22.(1)2. (2)根据题意，得∠ACD=∠DCF=45°.所以 (2)当点P到达点C时，t=8÷2=4,所以4s内， ∠ACF=∠ACD+∠DCF=90°.根据勾股定理，得AC2 :点P在线段BC上，连接AP,图略.因为BP=AP=2tcm =AB2+BC=10,CP=CE2+EP=6.所以AF=BC=8cm,所以PC=(8-2t)cm.根据勾股定理，得PC /AC2+CF=4. +AC=AP,即(8-2)2+6=(202解得4-空所 (3)因为am-bn=√3，an+bm=5,所以(am- bn)2=3①，(an+bm)2=5②.①+②，得a2m2+bn2- 以BP=2×空=空(m). 2abmn a'n2+m2+2abmn (a+b2)(m2+n2)= (3)①当∠APB=90°时，点P和点C重合，t=4: 8根据题意，得公2+2=2，(m+n)2=3.所以4+②当∠BAP=90°时点P在线段BC延长线上，因为BP =2tcm,BC=8cm,所以PC=(2t-8)cm,在Rt△ACP 2mn=6.解得mn=L所以SAACE=2×5m×2n= 中，AP2=AC2+PC2=6+(2t-8)2,在Rt△ABP中， AP2=BP2-AB2=(2t)2-102,所以62+(2t-8)2= 23.)）B+4元=3+2m,因为5+8(2)2-10，解得4=空 =13,5×8=40,即(5)2+(8)2=13，√5×8= 综上所述，当△ABP为直角三角形时，=4或票 /40,所以/13+4/10=√13+240 23.(1)13. (5)2+(8)2+2(5×8)=√(5+8)2=5 (2)因为AC=2,DF=1,CF=5,所以AH=2+1