专题04四边形及多边形期末复习讲义 (17大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题04四边形及多边形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握多边形相关概念，熟记内角和、外角和、对角线计算公式。 2.分清平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的定义、性质与判定。 3.理清各类特殊四边形的从属关系与图形对称性。 1.能运用定理完成几何推理、证明，步骤规范。 2.熟练进行角度、线段、周长、面积相关计算。 3.学会结合图形性质分析综合题型，掌握数形结合思路。 1.选择、填空：快速判断图形类型、角度、线段及对称性，零失误。 2.解答题：准确选用性质与判定，规范书写证明、计算过程。 3.综合题：灵活串联知识点，攻克四边形结合几何变换、计算的压轴小题。 题型01.四边形的不稳定性 题型02.多边形的概念与分类 题型03.正多边形概念辨析 题型04.多边形截角后的边数问题 题型05.多边形的周长 题型06.网格中多边形面积比较 题型07.多边形对角线条数问题 题型08.对角线分成的三角形个数问题 题型09.多边形内角和问题 题型10.正多边形的内角问题 题型11.多(少)算一个角问题 题型12.多边形截角后的内角和问题 题型13.复杂图形的内角和 题型14.正多边形的外角问题 题型15.多边形外角和的实际应用 题型16.多边形内角和与外角和综合 题型17.平面镶嵌 知识点01:多边形的有关概念 1.多边形定义 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 按照组成线段的条数,分为：三角形.四边形.五边形……n边形n3，n为正整数）。 2.多边形各组成部分（课本标配名词） 元素 定义 数量 边 组成多边形的各条线段 n 条 顶点 相邻两边的公共端点 n 个 内角 相邻两边组成的角 n 个 外角 多边形的边与它的邻边延长线组成的角 n 个（每个顶点 1 个） 对角线 连接不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发：n-3条总条数：条 3.多边形分类 凸多边形：画出多边形的任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧。 凹多边形：存在至少一条边，使多边形分布在直线两侧，本章节不作考查。 4.正多边形 定义：各边都相等，并且各内角也都相等的多边形叫做正多边形。 关键：两个条件缺一不可，仅边相等或仅角相等，都不是正多边形。 知识点02:多边形的内角和 1.推导思路 从 n 边形的一个顶点出发，可以作 (n-3) 条对角线，把 n 边形分割成 (n-2) 个三角形。 三角形内角和为 180，由此推出公式。 2.n 边形内角和公式 n边形内角和=(n-2)180 (n3) 3.基础应用 四边形内角和：(4-2)180=360 五边形内角和：((5-2)180=540 规律：多边形每增加一条边，内角和增加180。 知识点03:多边形的外角和 1.定义 在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。 2.核心结论（课本重点） 任意多边形的外角和都等于 360，与边数无关。 3.正多边形角度计算（必考） 设正多边形边数为 n： 正 n 边形一个内角： 正 n 边形一个外角： 4.解题技巧 已知正多边形一个外角度数，求边数： =360单个外角度数，计算最简便。 知识点04:平面镶嵌 1.平面镶嵌定义 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面镶嵌，也简称密铺。 2.核心条件（密铺本质） 拼接点（公共顶点）处，所有图形内角相加的和恰好等于 360 3.关键：围绕同一个顶点，各内角和 = 360，这是判断能否密铺的唯一依据。 题型01.四边形的不稳定性 1．下列图形不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形具有稳定性，其他多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得B、C、D都具有稳定性，不具有稳定性的是A选项． 2．生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ____． 【答案】平行四边形具有不稳定性 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行四边形的不稳定性求解可得． 【详解】解：因为平行四边形具有不稳定性， 所以可以灵活的开关窗户， 故窗户的支撑装置（四边形被设计成平行四边形． 故答案为：平行四边形具有不稳定性． 3．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 题型02.多边形的概念与分类 4．下列图形不是凸多边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了凸多边形的概念，根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形． 【详解】 解：根据凸多边形的概念，可知图形不是凸多边形的是． 故选：D． 5．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 ___________ 个． 【答案】3 【分析】本题考查多边形，理解“邻等四边形”的定义是正确解答的关键． 据“邻等四边形”以及网格点的意义在网格中找出符合条件的点D的位置即可． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格点的意义可知， 所有符合条件的点D共有3个，即图形中的， 故答案为：3 6．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】根据多边形的定义，多边形对角线，角的大小，周角等知识逐项判断即可求解． 【详解】解：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形，判断错误； ②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形，判断正确； ③角的边越长，角越大，判断错误； ④一条射线就是一个周角，判断错误． 故选：A 【点睛】本题考查了多边形、角等知识，理解多边形、多边形对角线、角、周角的概念是解题关键． 题型03.正多边形概念辨析 7．下列说法正确的是（    ） A．正三角形不是正多边形 B．平行四边形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的定义，牢记各边相等且各角相等是解题关键． 根据正多边形的定义逐一分析即可． 【详解】解：正多边形需同时满足各边相等和各角相等． ∵正三角形各边相等、各角相等， ∴是正多边形，故A错误； ∵平行四边形邻边不一定相等，邻角也不一定相等， ∴不一定是正多边形，故B错误； ∵正方形各边相等、各角相等， ∴是正多边形，故C正确； ∵各角相等的多边形边不一定相等（如矩形）， ∴不一定是正多边形，故D错误． 故选：C． 8．如图，正六边形中包含__________个全等的等腰梯形． 【答案】 6 【分析】根据全等的性质来举例即可求解． 【详解】解：根据题意得图， 可知正六边形中每条边都相等，每个内角都相等 包含有6个等边三角形， 则三个相邻的等边三角形组成的四边形是等腰梯形， 则四边形,四边形,四边形,四边形,四边形,四边形都是等腰梯形， 则有6个全等的等腰梯形． 9．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 题型04.多边形截角后的边数问题 10．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 11．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 12．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】根据截线经过的位置不同分三种情况讨论，即可得到剩下多边形的形状。 【详解】解：分三种情况讨论： ∵当截线经过四边形的两个不相邻顶点，即沿对角线截去一个角时，剩余多边形为三角形； 当截线经过四边形的一个顶点和不与该顶点相邻的边上的一点时，剩余多边形为四边形； 当截线经过四边形相邻两条边上非顶点的两点时，剩余多边形为五边形； ∴剩下的多边形是三角形或四边形或五边形． 题型05.多边形的周长 13．学校操场旁边的空地是一个多边形，形状如图所示，则这个多边形的周长为_______．    【答案】/ 【分析】本题考查了平移的性质和求多边形的周长，直接利用平移的性质将原图形平移为矩形，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，这个多边形的周长为， 故答案为：． 14．用个边长为的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是______． 【答案】 【分析】根据小正方形总面积得到大长方形的面积，找出所有符合条件的长和宽的组合，利用长方形周长公式计算各组合对应的周长，比较得到最短周长． 【详解】解：∵边长为的小正方形面积为，个小正方形的总面积为， ∴拼成的大长方形面积为， 设大长方形的长为，宽为，且，，为正整数，可得， 所有符合条件的组合如下： 当时，，周长为， 当时，，周长为， 当时，，周长为， 比较得， 因此最短周长为． 15．中国古典窗框不仅是建筑的采光构件，更是“借景抒情”的艺术载体．明清时期，窗的形制丰富多样，其中正八边形窗因其对称精美，被广泛应用于园林连廊和厅堂轩榭．图1为正八边形窗框的实物图，图2为其几何示意图，已知正八边形的边长为20，并过顶点，分别作支架，，则制作该正八边形窗框（含外框及内部支架，材料损耗不计）需要的材料至少为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得：，分别过点F，G作，垂足分别为点M，N，则四边形为矩形，结合正八边形的性质可得为等腰直角三角形，从而得到，同理，进而得到，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 如图，分别过点F，G作，垂足分别为点M，N，则四边形为矩形， ∴， ∵正八边形的边长为20， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理， ∴， ∴制作该正八边形窗框（含外框及内部支架，材料损耗不计）需要的材料至少为． 题型06.网格中多边形面积比较 16．如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成个正方形，那么新正方形的边长是_____ 【答案】 【分析】用阴影部分所在的正方形的面积减去两个直角三角形的面积，得到阴影部分的面积，再根据算术平方根的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 阴影部分的面积为， ∴新正方形的边长是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 17．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________． 【答案】1∶4 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ∴的面积与的面积比为1∶4． 故答案为1∶4． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键． 18．如图，小正方形边长为1．求： (1)四边形的周长； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了勾股定理和方格问题； （1）利用勾股定理分别求出，，，，然后相加即可； （2）利用割补法求出四边形的面积即可． 解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 【详解】（1）解：， ， ， ∴四边形的周长为： ； （2）解：， 答：四边形的面积为18． 题型07.多边形对角线条数问题 19．从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 【答案】 【分析】边形从一个顶点出发可以引条对角线，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴从七边形一个顶点出发，最多可引条对角线． 20．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将这个多边形分成4个三角形，那么从这个多边形的一个顶点出发对角线有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】边形从一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，且从一个顶点出发可引出条对角线，先根据分成的三角形个数求出多边形边数，再计算对角线条数即可. 【详解】解：设这个多边形有条边， 从边形的一个顶点出发作对角线，最多将多边形分成个三角形， ，解得，即这个多边形是六边形， 又从边形的一个顶点出发可作条对角线， ∴从这个多边形的一个顶点出发对角线有条. 21．一个多边形有20条对角线，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线，关键是熟记多边形的对角线公式. 根据多边形的对角线公式进行计算即可得解． 【详解】解：n边形共有条对角线. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故选：C． 22．【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 【答案】(1)2，3， (2)5 (3) 【分析】（1）根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线，解答即可； （2）根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线，解答即可； （3）根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线，解答即可． 本题考查了多边形的对角线的规律探索，熟练掌握从特殊到一般的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线， 故答案为：2，3，． （2）解：根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线， 故答案为：5． （3）解：根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线， 故答案为：． 题型08.对角线分成的三角形个数问题 23．过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了 4 个三角形，则这个多边形的边数是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据过n边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵过边形的一个顶点的所有对角线把边形分成个三角形， 又由题可知，分得三角形的个数为， ∴可得方程 ， 解得． 即这个多边形的边数为6． 24．两个相同的小正六边形刚好按照如图所示的方式放在大正六边形中，若小正六边形的面积是2，则大正六边形的面积是__________． 【答案】18 【分析】由正六边形的性质，可知图中每个三角形都为等边三角形且全等，再确定每个小正三角形的面积，即可得出结果． 【详解】解：如图连线： ∵多边形为正六边形， ∴图中每个三角形都为等边三角形且全等， ∵小正六边形的面积是2， ∴每个三角形的面积为， 由图得共有54个等边小三角形， 故大正六边形的面积是， 25．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【分析】本题考查图形的分割，根据题意列举即可． 【详解】解：如下图，共有10种， 故选：B． 题型09.多边形内角和问题 26．已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求的值． 【答案】(1)这个多边形的内角和为900° (2)的值为8 【分析】（1）由内角和公式直接计算即可； （2）根据任何多边形的外角和为360度，可以先求出所求多边形的内角和，再用内角和公式列方程即可求出该多边形的边数． 【详解】（1）解：当时，多边形内角和为： 则这个多边形的内角和为900° （2）解：由题意得， 解得， 则的值为8． 27．计算及求x (1)计算：； (2)求出图形中的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）利用四边形的内角和为360度求出的度数，再由平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：如图所示， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．如图，四边形中，，平分交于E，平分交于F． (1)若，则　　°，　　°； (2)与平行吗？试说明理由； 【答案】(1)120，30 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据四边形的内角和为求出，结合角平分线定义得出，进而可求解； （2）同（1）的方法求出，由角平分线的定义可知，从而得，根据平行线的判定定理可证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分交于F， ∴， ∴； （2）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵平分交于F， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 题型10.正多边形的内角问题 29．如图，是正五边形的一条对角线，求的度数． 【答案】 【分析】先根据正五边形的内角和求出它的每个内角的度数，再根据等腰三角形的性质可得的度数，然后根据角的和差即可得． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ， ． 30．如图，已知四边形是正方形，O是对角线的中点，以为边作一个正五边形，求α的度数． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，根据多边形的内角和定理可得，再根据四边形的内角和可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵以为边作一个正五边形， ∴， ∵， ∴． 31．如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，将这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角分别记作、、，我们知道根据正方形的性质，， (1)请直接写出　　°，α6=　　°； (2)请直接写出正n边形相邻两条对角线的夹角　　（用含n的代数式表示）； (3)爱思考的小敏提出：如图4，点M、N分别是正五边形、上的动点，且始终保持，与的夹角β与相等，你同意她的观点吗？请说明理由． 【答案】(1)108；120 (2) (3)同意，见解析 【分析】本题主要考查了正多边形、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用， （1）根据正多边形的性质逐个求解即可； （2）根据（1）中的结果总结规律即可； （3）设与的交点为F，利用全等三角形的判定得，进而得即可得出结论． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， 由正六边形，可得∶ ∴，， ∴， ∴； 故答案为∶108，120； （2）根据（1）中的结果发现，等于正n边形一个内角的度数， ， 故答案为∶； （3）解：同意，理由如下： 设与的交点为F， 由正五边形，可得：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴；                    ∴， ∴我同意小敏的观点． 题型11.多(少)算一个角问题 32．马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 【答案】7或8 【分析】n边形的内角和为，多边形每个内角大于小于，因此少算的2个内角和的范围为，根据多边形内角和定理列出不等式，求解得到正整数n即可． 【详解】解：设少算的2个内角和为，该多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得：， 整理得， 多边形每个内角满足内角， ∴少算的2个内角和的范围， 即， 移项得， 不等式同除以得， 为正整数， ∴或． 33．阅读明明和芳芳的对话，解答下列问题． (1)明明通过计算，发现少加了一个锐角，则这个“少加的锐角”的度数是_________°． (2)在（1）的条件下，明明求的是几边形的内角和？ (3)在（1）的条件下，若这是一个正多边形，则这个正多边形的每一个外角的度数是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查多边形的内角和和外角和，掌握多边形内角和的计算方法以及多边形的性质是解答本题的关键． （1）根据多边形的内角和的公式进行估算即可； （2）根据多边形的内角和公式列方程求解即可； （3）根据正多边形外角和为360°，而每一个外角都相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵多边形内角和公式为， ∴当时，多边形内角和为， 当时，多边形内角和为， 当时，多边形内角和为， ∵发现少加了一个锐角， ∴这个“少加的锐角”是， 故答案为：； （2）设多边形边数为， 则， 解得：， 即明明求的是边形的内角和； （3）∵正边形的外角都相等，而多边形的外角和始终为， ∴这个正多边形的每个外角为， ∴这个正多边形的每一个外角的度数是． 34．某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为．当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角．问：多加的这个内角的度数是多少？这个多边形是几边形？ 【答案】多加的这个内角是，这个多边形是八边形 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式 ，多边形的内角在之间，是解决问题的关键. 首先由题意列出不等式组，进而求出边数的取值范围，注意边数为不小于3的整数，然后确定多加的内角度数． 【详解】解：由题意可知： 多加的内角为． 解得． ∵n为正整数， ∴． ∴多加的内角为：． 故多加的这个内角是，这个多边形是八边形． 题型12.多边形截角后的内角和问题 35．将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数可能是________． 【答案】5，6，7 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故答案为：5，6，7． 36．将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知，，，则剪去的这个角的度数为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别画出图形，根据三角形和四边形的内角和进行解答即可． 【详解】解：在四边形中，内角和等于． ∵，，， ∴． 若剪去的三角形与边重合，如图（1）所示， ∴． 若剪去的三角形与边重合，如图（2）所示， ∴． 综上所述，剪去的这个角的度数是或． 37．（1）等腰三角形的三边长分别为、、8．求等腰三角形的周长 （2）将一个多边形截去一个角后，形成了一个内角和为的多边形，则原来的多边形的边数可能是多少？ 【答案】（1）17.5；（2）原多边形的边数为9或10或11 【分析】（1）分三种情况：当时，当时，当时，然后分别进行计算即可； （2）先利用多边形的内角和公式求得内角和为的多边形，即可确定原多边形的边数． 【详解】解：（1）分三种情况： 当时， 解得， ∴（舍）， 当时， 解得， ∴， ∴三角形的三边分别为8、21、8， ∵， ∴不能组成三角形， 当时， 解得， ∴， ∴三角形的三边分别为1.5、8、8， ∴等腰三角形的周长为， 综上所述，等腰三角形的周长为17.5； （2）设内角和为的多边形的边数是n， 则， 解得， ∴原多边形的边数为9或10或11． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系、解一元一次方程、多边形内角和公式，根据等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键． 题型13.复杂图形的内角和 38．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________． 【答案】68 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 39．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 40．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 题型14.正多边形的外角问题 41．如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形是几边形？ 【答案】五边形 【分析】本题考查了根据多边形外角和求多边形边数，设这个多边形是边形，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求出正多边形的边数，即可解题． 【详解】解：设这个多边形是边形． 根据题意，得 解得． 所以，这个多边形是五边形． 42．已知一个正多边形的内角和为， (1)这个多边形是几边形？ (2)这个多边形的一个外角的度数为多少？ 【答案】(1)十边形 (2) 【分析】（1）利用n边形内角和公式列方程求出边数； （2）根据任意多边形外角和为，结合正多边形各外角相等的性质计算得到一个外角的度数． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得：， ∴， 即这个多边形是十边形． （2）解：∵任意多边形的外角和为，正多边形的所有外角都相等， ∴这个多边形的一个外角的度数为． 43．请根据下面与的对话解答下列各小题： ：我和都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为； ：的边数与我的边数之比为． (1)求与y的外角和相加的度数； (2)分别求出与的边数； (3)试求出共有多少条对角线？ 【答案】(1) (2)3和9 (3)27条 【分析】本题主要考查的是多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和公式与外角和定理是解题的关键．多边形的外角和为；n边形的内角和，n边形的对角线． 【详解】（1）解：； （2）解：设的边数为的边数为，由题意得：， 解得：， ∴， ∴与的边数分别为3和9； （3）解：条， 答：共有27条对角线． 题型15.多边形外角和的实际应用 44．如图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则_____． 【答案】/360度 【分析】观察图形可知，，，，，恰好是五边形的五个外角，根据多边形的外角和定理即可求解． 【详解】解：由图可知，，，，，是五边形的五个外角， 由多边形的外角和定理，任意多边形的外角和等于， ∴． 45．九年级（1）班的同学体育课上玩游戏，让小李同学从A出发前进10米后左转30°，再前进10米后左转30°，按照这样的方法一直走下去，当他回到A时，共走了（    ） A．150米 B．120米 C．100米 D．80米 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的外角和，根据正多边形的外角和为360°即可解答． 【详解】解：由多边形的外角和为360°可知， 小李同学的路径围成一个边长为10米的正边形， 故小李共走了(米)， 故选：B． 46．请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 【答案】(1) (2)甲的边数为3，乙的边数为9 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形外角和定理，一元一次方程的几何应用： （1）根据多边形的外角和均为360度进行求解即可； （2）设甲的边数为n，则乙的边数为，根据n边形的内角和为结合题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵多边形外角和都为360度， ∴甲与乙的外角和相加的度数为； （2）解：设甲的边数为n，则乙的边数为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴甲的边数为3，乙的边数为9． 题型16.多边形内角和与外角和综合 47．已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，这个多边形的边数是________． 【答案】8 【分析】设这个多边形的边数为，根据题目给出的内角和与外角和的倍数关系列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为，任意多边形的外角和为，边形内角和公式为， 由题意得：， 解得． 48．如图，是正边形纸片的一部分，其中是正n边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，掌握正多边形的性质是解题的关键．求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以外角度数即可求解． 【详解】解：如图， 直线相交于点，则， 正多边形的每个内角相等， 正多边形的每个外角也相等， 故选：A． 49．请用两种方法证明：四边形的外角和为． 已知：如图，四边形，、、、是它的外角．求证： 方法一：        方法二： 证明：        证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，解题关键是熟练掌握多边形内角和及外角和的计算及三角形内角和与外角定理． 证法由四边形内角和为及相邻内角外角互补求解．证法连接，由三角形内角和定理与外角定理求解． 【详解】证明：证法1： ，，，， ． ， ． 证法2：连接， ，， ． 题型17.平面镶嵌 50．工人师傅用两块边长均为a的正五边形地砖按如图所示的方式进行铺设，若一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_______． 【答案】10 【详解】解：由题意，得， 设这个正多边形地砖的边数为n， 则有， 解得， ∴这块正多边形地砖的边数是10． 51．在生活中，很多墙面与地面会用各种形状的瓷砖铺成，像这样用一些不重叠摆放的多边形将平面完全覆盖，叫做平面镶嵌，为了使镶嵌美丽多变，有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，下列不可以进行平面镶嵌的一组是（   ） A．正三角形、正四边形 B．正三角形、正六边形 C．正五边形、正十边形 D．正四边形、正六边形 【答案】D 【分析】平面镶嵌的条件是，拼接点处所有多边形的内角和为，设两种正多边形分别需要块块，判断是否存在正整数使内角和等于即可得到结果. 【详解】解：正三角形一个内角的度数为，正四边形一个内角的度数为，正五边形一个内角的度数为，正六边形一个内角的度数为，正十边形一个内角的度数为： A 、设需要正三角形瓷砖块，正四边形瓷砖块，可得方程，化简得，存在正整数解，可以平面镶嵌； B、 设需要正三角形瓷砖块，正六边形瓷砖块，可得方程，化简得，存在正整数解，可以平面镶嵌； C、 设需要正五边形瓷砖块，正十边形瓷砖块，可得方程，化简得，存在正整数解，可以平面镶嵌； D 、设需要正四边形瓷砖块，正六边形瓷砖块，可得方程，化简得，不存在正整数满足方程，因此不可以平面镶嵌； 52．【描述定义】用形状、大小完全相同的几种平面图形无空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面密铺（或称为平面镶嵌）．在生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】 (1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是 （用含的式子表示）； (2)密铺的条件：公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 (3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是 ；（多选） A．正三角形    B．正方形    C．正五边形 D．正六边形    E．正八边形 (4)公园的一段通道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________． 【任务二：创作密铺】 (5)数学“挑战小组”提出同时用“正方形+正六边形”的密铺方案．请你思考并判断该方案是否可行，可进行如下验证： 验证方案：“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形个，正六边形个，得方程 ，发现方程 （填“有”或“无”）正整数解； 结论：由上可得，“挑战小组”方案 ．（填“可行”或“不可行”） 【任务三：资金预算】 (6)某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形和正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．已知1块正六边形地砖成本20元，1块正方形地砖成本8元，1块正三角形地砖成本5元，且估算需要90块正方形地砖，请你设计出用三种正多边形共顶点组合密铺方案，并计算铺设广场的总成本． 【答案】(1) (2) (3)A，B，D (4) (5)，无，不可行 (6)铺设广场的总成本为1845元 【分析】（1）根据正多边形内角和可进行求解； （2）根据周角的定义可进行求解； （3）根据密铺的定义及正多边形的性质可进行求解； （4）由题意易得五边形内角和，然后根据图形可进行求解； （5）由题意易得方程，然后问题可求解； （6）设正三角形个，正方形个，正六边形个，则，然后可得该图形由1个正三角形、2个正方形和1个正六边形组合密铺，进而问题可求解． 【详解】（1）解：对于正边形，每个内角都相等，度数是； （2）解：密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合； （3）解：A．正三角形的每个内角为，，且各边相等，能够单独密铺平面； B．正方形的每个内角为，，且各边相等，能够单独密铺平面； C．正五边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； D．正六边形的每个内角为且各边相等，，能够单独密铺平面； E．正八边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面． （4）解：五边形内角和：， ； （5）解：“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形个，正六边形个，根据题意，可得方程； 发现方程无正整数解；结论：由上可得，“挑战小组”方案不可行； （6）解：设正三角形个，正方形个，正六边形个，则， ，，为正整数， ， 故可由1个正三角形、2个正方形和1个正六边形组合密铺，如图，则三角形，正方形，正六边形的数量之比为， 需要90块正方形地砖，费用：（元）， 需要正三角形数量：（块），费用：（元）， 需要正六边形数量：（块），费用：（元）， 总成本：（元）， 答：铺设广场的总成本为1845元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04四边形及多边形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握多边形相关概念，熟记内角和、外角和、对角线计算公式。 2.分清平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的定义、性质与判定。 3.理清各类特殊四边形的从属关系与图形对称性。 1.能运用定理完成几何推理、证明，步骤规范。 2.熟练进行角度、线段、周长、面积相关计算。 3.学会结合图形性质分析综合题型，掌握数形结合思路。 1.选择、填空：快速判断图形类型、角度、线段及对称性，零失误。 2.解答题：准确选用性质与判定，规范书写证明、计算过程。 3.综合题：灵活串联知识点，攻克四边形结合几何变换、计算的压轴小题。 题型01.四边形的不稳定性 题型02.多边形的概念与分类 题型03.正多边形概念辨析 题型04.多边形截角后的边数问题 题型05.多边形的周长 题型06.网格中多边形面积比较 题型07.多边形对角线条数问题 题型08.对角线分成的三角形个数问题 题型09.多边形内角和问题 题型10.正多边形的内角问题 题型11.多(少)算一个角问题 题型12.多边形截角后的内角和问题 题型13.复杂图形的内角和 题型14.正多边形的外角问题 题型15.多边形外角和的实际应用 题型16.多边形内角和与外角和综合 题型17.平面镶嵌 知识点01:多边形的有关概念 1.多边形定义 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 按照组成线段的条数,分为：三角形.四边形.五边形……n边形n3，n为正整数）。 2.多边形各组成部分（课本标配名词） 元素 定义 数量 边 组成多边形的各条线段 n 条 顶点 相邻两边的公共端点 n 个 内角 相邻两边组成的角 n 个 外角 多边形的边与它的邻边延长线组成的角 n 个（每个顶点 1 个） 对角线 连接不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发：n-3条总条数：条 3.多边形分类 凸多边形：画出多边形的任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧。 凹多边形：存在至少一条边，使多边形分布在直线两侧，本章节不作考查。 4.正多边形 定义：各边都相等，并且各内角也都相等的多边形叫做正多边形。 关键：两个条件缺一不可，仅边相等或仅角相等，都不是正多边形。 知识点02:多边形的内角和 1.推导思路 从 n 边形的一个顶点出发，可以作 (n-3) 条对角线，把 n 边形分割成 (n-2) 个三角形。 三角形内角和为 180，由此推出公式。 2.n 边形内角和公式 n边形内角和=(n-2)180 (n3) 3.基础应用 四边形内角和：(4-2)180=360 五边形内角和：((5-2)180=540 规律：多边形每增加一条边，内角和增加180。 知识点03:多边形的外角和 1.定义 在多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。 2.核心结论（课本重点） 任意多边形的外角和都等于 360，与边数无关。 3.正多边形角度计算（必考） 设正多边形边数为 n： 正 n 边形一个内角： 正 n 边形一个外角： 4.解题技巧 已知正多边形一个外角度数，求边数： =360单个外角度数，计算最简便。 知识点04:平面镶嵌 1.平面镶嵌定义 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面镶嵌，也简称密铺。 2.核心条件（密铺本质） 拼接点（公共顶点）处，所有图形内角相加的和恰好等于 360 3.关键：围绕同一个顶点，各内角和 = 360，这是判断能否密铺的唯一依据。 题型01.四边形的不稳定性 1．下列图形不具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 2．生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ____． 3．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 题型02.多边形的概念与分类 4．下列图形不是凸多边形的是（　　） A． B． C． D． 5．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有 ___________ 个． 6．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成个三角形；③角的边越长，角越大；④一条射线就是一个周角．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 题型03.正多边形概念辨析 7．下列说法正确的是（    ） A．正三角形不是正多边形 B．平行四边形是正多边形 C．正方形是正多边形 D．各角相等的多边形是正多边形 8．如图，正六边形中包含__________个全等的等腰梯形． 9．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 题型04.多边形截角后的边数问题 10．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______． 11．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ___． 12．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 题型05.多边形的周长 13．学校操场旁边的空地是一个多边形，形状如图所示，则这个多边形的周长为_______．    14．用个边长为的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是______． 15．中国古典窗框不仅是建筑的采光构件，更是“借景抒情”的艺术载体．明清时期，窗的形制丰富多样，其中正八边形窗因其对称精美，被广泛应用于园林连廊和厅堂轩榭．图1为正八边形窗框的实物图，图2为其几何示意图，已知正八边形的边长为20，并过顶点，分别作支架，，则制作该正八边形窗框（含外框及内部支架，材料损耗不计）需要的材料至少为（     ） A． B． C． D． 题型06.网格中多边形面积比较 16．如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成个正方形，那么新正方形的边长是_____ 17．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________． 18．如图，小正方形边长为1．求： (1)四边形的周长； (2)四边形的面积． 题型07.多边形对角线条数问题 19．从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 20．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将这个多边形分成4个三角形，那么从这个多边形的一个顶点出发对角线有（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 21．一个多边形有20条对角线，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 22．【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 题型08.对角线分成的三角形个数问题 23．过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了 4 个三角形，则这个多边形的边数是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 24．两个相同的小正六边形刚好按照如图所示的方式放在大正六边形中，若小正六边形的面积是2，则大正六边形的面积是__________． 25．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 题型09.多边形内角和问题 26．已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求的值． 27．计算及求x (1)计算：； (2)求出图形中的值． 28．如图，四边形中，，平分交于E，平分交于F． (1)若，则　　°，　　°； (2)与平行吗？试说明理由； 题型10.正多边形的内角问题 29．如图，是正五边形的一条对角线，求的度数． 30．如图，已知四边形是正方形，O是对角线的中点，以为边作一个正五边形，求α的度数． 31．如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，将这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角分别记作、、，我们知道根据正方形的性质，， (1)请直接写出　　°，α6=　　°； (2)请直接写出正n边形相邻两条对角线的夹角　　（用含n的代数式表示）； (3)爱思考的小敏提出：如图4，点M、N分别是正五边形、上的动点，且始终保持，与的夹角β与相等，你同意她的观点吗？请说明理由． 题型11.多(少)算一个角问题 32．马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 33．阅读明明和芳芳的对话，解答下列问题． (1)明明通过计算，发现少加了一个锐角，则这个“少加的锐角”的度数是_________°． (2)在（1）的条件下，明明求的是几边形的内角和？ (3)在（1）的条件下，若这是一个正多边形，则这个正多边形的每一个外角的度数是多少？ 34．某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为．当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角．问：多加的这个内角的度数是多少？这个多边形是几边形？ 题型12.多边形截角后的内角和问题 35．将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数可能是________． 36．将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知，，，则剪去的这个角的度数为（   ） A．或 B．或 C． D． 37．（1）等腰三角形的三边长分别为、、8．求等腰三角形的周长 （2）将一个多边形截去一个角后，形成了一个内角和为的多边形，则原来的多边形的边数可能是多少？ 题型13.复杂图形的内角和 38．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________． 39．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 40．如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 题型14.正多边形的外角问题 41．如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形是几边形？ 42．已知一个正多边形的内角和为， (1)这个多边形是几边形？ (2)这个多边形的一个外角的度数为多少？ 43．请根据下面与的对话解答下列各小题： ：我和都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为； ：的边数与我的边数之比为． (1)求与y的外角和相加的度数； (2)分别求出与的边数； (3)试求出共有多少条对角线？ 题型15.多边形外角和的实际应用 44．如图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则_____． 45．九年级（1）班的同学体育课上玩游戏，让小李同学从A出发前进10米后左转30°，再前进10米后左转30°，按照这样的方法一直走下去，当他回到A时，共走了（    ） A．150米 B．120米 C．100米 D．80米 46．请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 题型16.多边形内角和与外角和综合 47．已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，这个多边形的边数是________． 48．如图，是正边形纸片的一部分，其中是正n边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（） A． B． C． D． 49．请用两种方法证明：四边形的外角和为． 已知：如图，四边形，、、、是它的外角．求证： 方法一：        方法二： 证明：        证明： 题型17.平面镶嵌 50．工人师傅用两块边长均为a的正五边形地砖按如图所示的方式进行铺设，若一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_______． 51．在生活中，很多墙面与地面会用各种形状的瓷砖铺成，像这样用一些不重叠摆放的多边形将平面完全覆盖，叫做平面镶嵌，为了使镶嵌美丽多变，有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，下列不可以进行平面镶嵌的一组是（   ） A．正三角形、正四边形 B．正三角形、正六边形 C．正五边形、正十边形 D．正四边形、正六边形 52．【描述定义】用形状、大小完全相同的几种平面图形无空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面密铺（或称为平面镶嵌）．在生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】 (1)对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是 （用含的式子表示）； (2)密铺的条件：公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 (3)下列正多边形中，能够单独密铺平面的是 ；（多选） A．正三角形    B．正方形    C．正五边形 D．正六边形    E．正八边形 (4)公园的一段通道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________． 【任务二：创作密铺】 (5)数学“挑战小组”提出同时用“正方形+正六边形”的密铺方案．请你思考并判断该方案是否可行，可进行如下验证： 验证方案：“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形个，正六边形个，得方程 ，发现方程 （填“有”或“无”）正整数解； 结论：由上可得，“挑战小组”方案 ．（填“可行”或“不可行”） 【任务三：资金预算】 (6)某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形和正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．已知1块正六边形地砖成本20元，1块正方形地砖成本8元，1块正三角形地砖成本5元，且估算需要90块正方形地砖，请你设计出用三种正多边形共顶点组合密铺方案，并计算铺设广场的总成本． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $